CCP Physique 1 PC 2006

Thème de l'épreuve Mesure de résistances. Production de froid.
Principaux outils utilisés électrocinétique, électrostatique, mécanique du point, thermodynamique générale, changement d'état, diagrammes binaires, machines thermiques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2006 Pcmoos A CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES .EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque fois que cela est . possible. Le symbole SI désigne [ 'unité homogène à la grandeur physique considérée, dans le cadre du Système International d'unités. ' *** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. - *** PROBLÈME I + MESURE DE RESISTANCES Abréviations : -- force électromotrice ' f.e.m. -- apprdximation des régimes quasi-stationnaires -- A.R.Q.S. - x très grand devant y x >> y Données : Dans un repère de coordonnées cylindriques (r, *9, z) rapporté au repère orthogonal ("é... êg, él), on rappelle les formules suivantes : _: X = X,è'r+X9êe+Xêz ôf_, 18f_, ôfê, ., ___--> Vf(f,9,Z) : gradf= a_rer+ raeee azeZ _. 1 X 1X ' divX : _ô(r )+_d__9+ÊX_ r dr r 89 az Af(r,9,z) ._ %â(r%f)+ï 92 f+ aaZ2----2f = div(fidf) 1.1 Mesure directe Ondispose d'un résistor de résistance inconnue X . -- 1.1.1 Pour déterminer X ,. on place en série un résistor de résistance connue r = 100 Q, un générateur de tension e = 1,50 V et un ampèremètre A de résistance négligeable. Représenter le circuit correspondant. - 1.1.2 Montrer que la mesure de l'intensité I du courant traversant le circuit permet de remonter à la valeur de X . L' incertitude sur la valeur de la résistance r et sur la valeur de la f.e.m e sont respectivement de 0, 5% et 1% tandis que la lecture de l'ampèremètre donne 4, 29 mA avec 0, 1% d'erreur. Donner la valeur de X ainsi que l'incertitude AX portant sur cette mesure. - 1.1.3 Comment appelle-t-on un appareil fonctionnant sur ce principe '? La mesure est-elle précise ? 1.2 Pont de Wheatstone Figure 1 La résistance inconnue X est placée dans le montage (classique) de la Figure 1, appelé pont de Wheatstone. Entre les homes B et D est placé un microampèremètre de résistance interne négligeable, protégé par une résistance r = 100 S2. Les résistances R1, R2 sont des résistances étalons et R., une résistance étalon variable (obtenue par exemple au moyen de boîtes de résistances montées en série). - 1.2.1 Déterminer dans le cas général, et en fonction de la f.e.m e et des différentes résistances, l'intensité I traversant le microampèremètre. Indication : on cherchera le générateur de Norton (ou de Thévenin) équivalent, entre les bornes B et D, au réseau constitué du générateur et des quatre résistances R1, R2, R,, et X. -- 1.2.2 Donner la condition sur R1, R2, R,, et X, pour laquelle le courant traversant le mi-- croampèremètre s' annule. - 1.2.3 On choisit R1 = 100,0 Q, R2 = 1,000 kg et la mesure donne R,, = 2520 Q lorsque le pont est équilibré. Les résistances R1, R2, RV Sont précises à 0, 1% près. Le générateur et la résistance r sont les mêmes que ceux de la question 1.1.1. Calculer la valeur de X et l'incertitude AX associée à cette mesure. Aiguille Sens de parcours du courant Figure 2 - 1.2.4 Le microampèremètre n'est autre qu'un galvanomètre à cadre mobile. Le courant I à mesurer circule dans un enroulement ayant la forme d'un carré de EUR = 2 cm de côté. L' enroule-- ment est un cadre plat contenant ns : 10 spires. Les portions du circuit parallèles à l'axe de rotation sont plongées dans le champ magnétique d'un aimant de 0,1 T. Le champ magnétique produit est stationnaire, contenu dans le plan du_circuit et perpendiculaire à l'axe de rotation (colinéaire à ê}, voir Figure 2). Le cadre est maintenu par un ressort de torsion dont le couple de rappel I' est proportionnel à_l'angle de déviation 0 : F : --k0 avec k = 2 >< 10"8J.rad--l. Déterminer l'angle de déviation associé à un courant I de 15 [AA. -- 1.2.5 Faute de galvanorhètre, on se propose d'utiliser à la place le montage à amplificateur opérationnel (A.O.) supposé idéal, représenté sur la Figure 3. Les conditions de fonction- - nement en régime linéaire sont-elles remplies ? Figure 3 - 1.2.6 Les bornes B et D du pont de Wheatstoné sont branchées respectivement aux bornes E et F du circuit, duquel le microampèremètre et la résistance r ont été retirés. Les résistances RE et RF sont égales à 100 kg. Un voltmètre mesure la tension de sortie Vs de l'A.O idéal (remarque : en particulier la tension d'offset est nulle). Expliquer de quelle façon ce montage peut remplacer le microampèremètre de la question 1.2.3. I.3 Résistance d'un disque conducteur ohmique - 1.3.1 Rappeler la relation entre la densité de courant Îet le champ électrique Ë régnant dans un conducteur ohmique de conductivité 0". Donner la relation entre la résistivité p du matériau et la conductivité O'. Quelles sont les unités de p et o '? -- 1.3.2 Ecrire les équations de Maxwell dans un conducteur ohmique, dans l'approximation A.R.Q.S. Que vaut la densité de charge électrique à l'intérieur du milieu conducteur ? En déduire la valeur de divË dans le conducteur. - 1.3.3 La distribution de charges et de courants est supposée stationnaire. Déduire de la ques- tion précédente une équation pour le potentiel électrique V. - 1.3.4 Un conducteur a la forme d'un mincecylindre d'épaisseur e et de rayon re (Figure 4). Au centre du cylindre arrive un fil conduçteur qui forme un contact circulaire de rayon r,-- petit devant re. Le disque est rapporté à un repère de coordonnées cylindriques (r, 9, z). On suppose valides les hypothèses suivantes : ' 1. Les grandeurs physiques ne dépendent pas de z. 2. La zone cylindrique r 5 r,-- de rayon r,--, située juste sous le contact du fil conducteur, est à potentiel constant V,-. 3. La circonférence extérieure du cylindre (ensemble des points de la surface latérale telle que r : re), reliée àla masse du circuit, est à potentiel constant nul. Déterminer en tout point du disque la valeur du potentiel V(r, 9). Indication : on pourra utiliser le formulaire donné en première page d'énoncé. - 1.3.5 Déterminer l'expression du champ électrique \Ë (r, 6). -- 1.3.6 En déduire l'expression de l'intensité totale I traversant une surface cylindrique quel- conque d'axe (Oz), de rayon r (avec r,-- < r < re) et de hauteur e. [ dépend-elle de r ? - 1.3.7 Calculer la résistance R : V,--/I du disque. Montrer que cette résistance s'écrit sous la forme r K ln(--Ê) ri expression dans laquelle K estune constante qui sera déterminée en fonction des données de l'énoncé. - 1.3.8 On place maintenant deux fils identiques faisant contact près du centre du disque (Fi- gure 5 à gauche). Les deux fils sont séparés d'une distance d petite devant re mais grande devant r,-. Montrer que le potentiel qui, en tout point M, vérifie : V(M) =Cln (___--"O_LM") ' IIO4MII est une solution de l'équation à laquelle doit obéir V. Trouver la valeur de la constante C pour laquelle les conditions aux limites V-- -- V1 à proximité de __O_>1, et V: V4-- _-- ----V1 à proximité de 04 sont vérifiées (à proximité signifiant a une distance ||OM||-- -- r,-- du point, et on suppose dans le calcul que r,-- peut être négligé devant d). En déduire la limite, pour r > d, du potentiel V(M ) d+--> _ d<_, Figure 5 - "1.3.9 Quelle est la forme géométrique des équipotentielles de V(M ) ? -- I.3.10 v Exprimer le champ électrique en tout point de la droite Q), médiatrice du segment [0104] dans le plan du disque. Indication : on déterminera au préalable par un argument de symétrie l'orientation du vecteur Ë en un point de la droite Q). Pour cela, il faudra déterminer si le plan vertical contenant @ est un plan de symétrie ou d 'antisymétrie du système. - I.3.11 Exprimer l'intensité totale 1 traversant le plan vertical contenant la droite D, et d'équation 9 = :h% dans le repèrede coordonnées cylindriques. - I.3.12 Exprimer la résistance du dipôle équivalent situé entreles points de contact 01 et 04 en fonction de la résistivité p etdes longueurs d, r,-- et e, dans le cas où re >> d. 1.4 Mesures de résistivité à quatre fils Un supraconducteur comme le plomb refroidi à la température de l'hélium liquide (4,2 K), possède la propriété de conduire un courant continu sans perte par effet Joule, c'est--à-dire sans chute de tension. On peut considérer que sa résistivité est nulle, ou que sa conductivité est infinie. - 1.4.1 Un morceau de plomb est connecté à deux fils conducteurs de cuivre. A la température de l'hélium liquide, le cuivre reste métallique et résistif. Le circuit formé du morceau de plomb supraconducteur et des deux fils de cuivre constitue un dipôle dont on mesure précisément la résistance. Pourquoi la résistance du dipôle ne s '-annule t- elle pas lorsque le plomb devient supraconducteur ? ' - 1.4.2 Pour être sûr que la résistance du plomb est bien nulle, et non pas simplement faible, on a recours à un système de mesure à quatre fils. Deux fils servent à injecter un courant dans l'échantillon (le disque), tandis que les deux autres fils servent à déterminer la chute de tension consécutive au passage, dans l'échantillon à mesurer, d'une densité de courant électrique Î. On branche sur l'échantillon cylindrique mince de la partie 1.3 quatre fils de cuivre iden- tiques, alignés et équidistants (Figure5 à droite, intervalle de longueur d / 3 entre deux fils consécutifs). Les fils intermédiaires 2 et 3 sont branchés aux homes d'un voltmètre sensible de très grande résistance. Le plomb est dans l'état conducteur. Exprimer la chute de tension V2 -- V3, d'abord en fonction de la différence de potentiel V1 --- V4, puis de l'intensité I traversant les fils 1 et 4. Que devient la tension V2 -- V3 lorsque l'échantillon devient supraconducteur ? I.5 Résistance de contact A l'interface entre deux corps conducteurs, ou entre un conducteur et un supraconducteur ap-- paraît une résistance de contact, proportionnelle àla surface de contact entre les deux substances. - 1.5.1 Rappeler la valeur de la résistance d'un conducteur cylindrique de section 571, de longueur EUR et de résistivité p. Dans l'expérience de la question 1.4.1, les fils de cuivre utilisés ont une section de 1 mm de rayon, pour une longueur de 1 m. Le cuivre à 4,13 K possède une résistivité de 2 >< 10"11 SI. La résistance observée est de l'ordre de 0,64 9. La résistance des fils de cuivre peut--elle rendre compte, à elle seule, d'une telle valeur '? - 1.5.2 Pour comprendre pourquoi des électrons passent difficilement d'un métal à l'autre, on considère le mouvement unidimensionnel d'un ensemble de particules ponctuelles de masse m, n'interagissant pas entre elles, et soumises à une marche de potentiel, c'est--à-dire à une énergie potentielle : 0 si x--< 0 'V(x)= ---- si OSx_<_e --U si x>8 Tracer l'énergie potentielle 'V (x) pour U > 0 et U < 0. Cette énergie modélise l'interface entre deux conducteurs de nature différente, et la longueur 8 est supposée petite. Les particules arrivent en provenance des x négatifs avec une vitesse viêx. Donner la vitesse finale VI» de ces particules en fonction de U. Discuter les cas possibles. Quelle est la probabilité pour la particule de franchir l'obstacle constitué par la marche de potentiel si la grandeur U est de signe positif '? - 1.5.3 On sait, depuis le début du XXeme siècle, que les électrons, dans certaines situations, doivent être considérés comme des ondes. Ainsi dans le cas présent, l'électron incident peut être décrit comme une onde progressive 'P,--(oet -- k,--x), tandis que l'électron ayant franchi la marche est décrit par 'lÿ(oet -- k fx). Le vecteur d'onde k,-- de l'électron incident est fonction de v,-, le vecteur d'onde k f fonction de vf et la pulsation oe, fonction de l'énergie, reste inchangée. En considérant une onde électromagnétique en incidence normale, calculer les coefficients de _ transmission T et de réflexion R de l'énergie transportée par l'onde à l'interface entre_deux milieux homogènes d'indices différents. Exprimer le résultat en fonction des indices n,- et n f d'une part, et des vecteurs d'onde k,-- et k f d'autre part. Remarque : Al 'expression des coeflîcients de transmission et de réflexion, fonction des vecteurs d'onde k,-- et k f, ne dépend pas de la nature de l'onde. Déduire du résultat obtenu que le caractère ondulatoire des électrons rend mieux compte que le modèle classique de la possibilité, pour certains électrons, d'être réfléchis à la traversée de l'interface séparant les deux métaux, même si leur énergie est suffisante. Ces réflexions contribuent à la résistance de contact. - 1.5.4 \ \ ä \ \ \ \ \ \ \ \ \ È \ % % \ \ \ \ \ \ \ \ \ & Interface Figure 6 Reprendre la question 1.5.2 avec des particules se déplaçant dans l'espace (x, y, z), en prove- nance du demi--espace x < 0 et dotées d'une énergie cinétique EC. Déterminer la vitesse finale Vf des particules, en fonction de U, de la masse m, de l'énergie cinétique EC et de l'angle d'incidence i de la trajectoire avec la normale à l'interface. Montrer que dans la limite où 8 ----> 0, les traject0ires sont identiques à celles de rayons lu- mineux àla traversée d'un di0ptre séparant deux milieux d'indices respectifs m et n2. Par analogie avec la loi de Snell-Descartes pour la réfraction, exprimer le rapport n1/n2 en fonction de U et de l'énergie cinétique EC des particules incidentes (Figure 6). Remarque : Dans un supraconducteur, les électrons se propagent par paire, ce qui cause une diflîculté supplémentaire pour une charge isolée de pénétrer dans le supraconducteur: PROBLÈME II PRODUCTION DE FROID Données et notations : _ Les températures T sont en Kelvin, @ en degrés Celsius. - Température de fusion de l'eau pure : 0 °C ou 273, 2 K. - Rapport des coefficients thermiques molaires, respectivement isobare et isochore, pour un gaz di-- atomique, constant dans le régime de température considéré : y = Cam/CV,... = 7/5 = 1,40.- - Constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J.mol"l.K_l. - 1 bar : 105 Pa. - Intensité du champ de pesanteur : g = 9, 81 ms - Température d'ébullition du butane (C4H...), sous 1 bar : (% = --0, 5 °C. - Température d'ébullition de l'ammoniac (NH3), sous 1 bar : G)}, = ----33, 5 °C. -- Masse volumique du butane liquide: pb-- -- 547 kg.m'°. -- Masse volumique del' eau: pe= 1000 kg. m"°. -- Masse molaire du butane . £Mb-- --- 58,1 g.mol"1 . --2 11.1 Détente simple Le diazote est assimilé à un gaz parfait diatomique. ' - II.1.1 Donner la relation entre pression P, volume V et température T d'une mole de dia- zote N2 (équation d'état). - Il.l.2 Que vaut la variation d'énergie interne AUOoC_.25oC d'une mole de N2 entre 0 °C et 25 °C '? - II.1.3 Une mole de N2 préalablement comprimée àla pression de 50 bars, et à la température ®,-- = 25 °C, subit une détente adiabatique, brutale et irréversible. La détente s'effectue contre une pression extérieure constante Pe = 1 bar. En fin de détente, la pression du gaz est de Pe = 1 bar. Calculer la température'8f du gaz en fin de détente, en degrés Celsius et en Kelvin. - II. 1.4 Comparer la température obtenue a la température @. quel' on aurait obtenue après une détente adiabàtique réversible ou quasi- statique de 50 a 1 bar. II.2 Détente de J oule-Thomson _ Un gaz parfait s'écoule à débit massique constant à travers une paroi poreuse, et sa pression chute d'une valeur P,-- en amont, à une valeur Pf en aval de la paroi poreuse (Figure 7). Le tube dans lequel s'effectue la détente est calorifugé, de sorte que les échanges d'énergie thermique avec l'environnement sont négligeables. On démontre que la détente de Joule-Thomson est isenthalpique, c'est--à-dire que l'enthalpie d'une masse donnée de gaz ne change pas après avoir traversé la paroi poreuse. On se place en régime permanent, avec un débit massique constant. piston co /;resseur paroi oreuse 1j" ////////////////////// / //////////////////////// //////////////////////////////////////////////////A Figure 7 - Il.2.1 Définir l'enthalpie H d'une mole de gaz diatomique et exprimer sa valeur en fonction de'R et T. Comment évolue la température du gaz qui se détend _? II.3 Fluide de Van der Waals v Une mole de fluide de Van der Waals monoatomique est caractérisée par une équation d'état : (P+--%)(V-b)=RT tandis" que son énergie interne est : U=ÎRT--î 2 V avec V volume, P pression,T température, R constante des gaz parfaits. - Il.3.l Interpréter physiquement les paramètres a et 1). Déterminer l'enthalpie H (V, T) fonction du volume et de la température. - II.3.2 Une transformation élémentaire V ----> V + dV, T ----> T + dT se fait à enthalpie constante. Calculer le rapport dT/dV en fonction des dérivées partielles de H (V, T). En déduire une expression pour la dérivée partielle (BT/8V)y à enthalpie constante. Exprimer le résultat pour le gaz de Van der Waals. - II.3.3 Pour décrire la détente de Joule--Thomson, il faut déterminer la dérivée (ôP/âT)y, qui découle de l'expression de H (P, T), enthalpie fonction de la pression etde la température. On admet la relation : _ BH ôV 3T _ (W)T(Ê)T 8P H-- aH av + arr) W T äî P a? v Rappeler la définition du coefficient de compressibilité isotherme XT d'un gaz. En déduire le signe de (3%) T. On ne demande pas de calculer ((%) T. En admettant que le dénominateur de l'expression ci-dessus reste positif, montrer que pour . un volume donné, il existe une température T,--...,(V) pour laquelle (ôT/ôP)H s'annule en changeant de signe. ' ' Calculer cette température d'inversion Tinv(V). En déduire que pour T < T;..., la détente de J oule-Thomson s'accompagne d'un abaissement de la température. - Il.3.4 Application : calculer la température d'inversion î}nv,He pour le modèle de Van der Waals de l'hélium : _ a = 3,46 >< 10--3 Pa.m6.mol_2, b = 2, 38 >< 10--5 m3.morl, v = 2,90 >< 10-3 m3.morl. . La valeur expérimentale est de l'ordre de 40 K. Cet efiet est mis à profit dans les procédés de liquéfaction des gaz ( hélium liquide). ' ' II.4 Réfrigération Un type de réfrigérateur fréquemment utilisé dans l'industrie repose sur un cycle de transforma-- tion de l'ammoniac NH3 représenté sur la Figure 8 ci-dessous. Liquide + Vapeur \ Figure 8 AB Compression adiabatique de la vapeur (sèche) BC Condensation par échange avec la SourCe chaude (l'air ambiant, ou une circulation d'eau) CD Détente du liquide au moyen d'une valve ' DA Vaporisation de l'ammoniac liquide -- II.4.1 A quel endroit du cycle se produit l'absorption d'énergie thermique Q, énergie ther- mique reçue de la part du système à refroidir '? Quelle est la valeur théorique du travail W reçu par le fluide réfrigérant pour maintenir sa circulation ? Définir une notion d'efficacité pour ce cycle. 11.5 Le réfrigérateur sans pièce mobile d'Einstein-Szilard En 1930, Albert Einstein et Léo Szilard déposaient un brevet concernant un réfrigérateur sans pièce mobile, et monobare (fonctionnant avec une pression unique P). Auparavant (1922) un brevet similaire avait été déposé par Platen et Munters, suivant un principe légèrement différent. Le réfrigérateur d'Einstein--Szilard utilise trois fluides : le butane, l'eau et l'ammoniac. Chacun des trois fluides suit un cycle représenté sur la Figure 9. Les fluides'possèdent des miscibilités différentes selon la température et la fraction molaire de chacune des trois espèces. Dans l'évaporateur, de la vapeur d'ammoniac est injectée dans le butane liquide. Cela a pour effet d'abaisser la pression partielle du butane, et provoque son évaporation. La vapeur (am- moniac+butane) est dirigée vers une chambre CA (condenseur--absorbeur). Dans cette chambre, on pulvérise de l'eau pauvre en ammoniac. Cette eau, ayant une forte affinité pour la vapeur d'ammoniac dissout celle-ci. Privée d'ammoniac, la vapeur de butane, métastable ou instable, se recondense. La solution d'eau, riche en ammoniac, qui n'est pas miscible avec le butane, se sépare- de celui-ci et est entraînée au fond de la chambre. Le butane retourne dans l'évaporateur, tandis que le liquide (eau+ammoniac) est c0nduit vers une chambre de distillation. Par chauffage, on réalise une distillation du mélange (eau+ammoniac). La vapeur obtenue, riche en ammoniac retourne à l'évaporateur, après avoir été préalablement refroidie. L'eau liquide, pauvre en ammoniac est re- montée en hauteur grâce à une pompe à bulles jusqu'à un réservoir supérieur. Ce réservoir assure à l'eau une pression suffisante pour être pulvéfisée à nouveau dans la chambre CA. ' Réservoir supérieur Evap'orateur WW\AAMN \/ v Ch ff V au age v v V '-I V * < : Z : V d > ' 4 :' A . ' H . -. .4 . ' . 4 . . _. . C° :. O '.: .:.: _-- :Z ' :$ - '. . ' _ :. :.:. H .'. . . . . --'.' (A .'.'.'.'.'. -'.' .'.'.'.'.'. -'.° . v-1 . . . - . ......o.... :... . . .. ... ... ..... _ . . ' 4 . < -- -- - -- -. - . . . > . -- . < 4 - . . . , -°. '.'.' > . . - - 4 - . . . > _... -... , < . . - . . - ... . . - .. - . 1 . .< .< A.--------v0vv---vvovvv'04 ....|||.......... .|. . . ... . .............< .............-....-.....4 *.- -.- -..,',-.-.'.-,-,'.-.'.._'_-,'.','.'.'..A- Circuit de l'ammoniac {::} vapeur Evaporateur Circuit de l'eau Pompe à bulles Chambre CA Circuit du butane Distillateur Figure 9 Le schéma présenté sur la Figure 9 est en fait simplifié. Pour accroître le rendement de la machine, les concepteurs ont prévu un échangeur de chaleur entre la vapeur chaude d 'ammoniac arrivant à [ 'évaporateun et la vapeur (ammoniac + butane) quittant celui-ci. Un autre échangeur (non représenté sur le schéma) met en jeu l'eau destinée à être pulvérisée dans la chambre C et la solution ( edu+ammoniac) se rendant dans le distillateun Enfin de la vapeur d 'ammoniac présente au sommet du réservoir supérieur est recyclée dans la chambre CA. -- II.5.1 Etude de la pompe à bulles. Des bulles, assimilées à des sphères de rayon 0,3 mm, apparaissent dans une solution d'eau de viscosité n = 10"3 Pas. Quelle force permet aux bulles de remonter àla surface ? _ Sachant que la traînée visqueuse d'une bulle sphérique de rayon R se déplaçant à vitesse 17 engendre une force FV : ----47mRîx', calculer la vitesse ascensionnelle va de la bulle en régime permanent. - II.5.2 Calculer le nombre de Reynolds associé au déplacement d'une bulle. - [1.5.3 En supposant que lesbulles vont toutes àla vitesse va, qu'elles communiquent au fluide environnant une vitesse du même ordre de grandeur, et que le tube cylindrique a un rayon de 2 mm, estimer l'ordre de grandeur du débit de la pompe à bulles. -- II.5À Le mélange eau+butane liquide est-il un mélange idéal ? - 1155 Soit le diagramme binaire liquide-vapeur d'un mélange idéal A-B dont le composant A a une température d'ébullition®A supérieure à celle, 693, du composant B. Quel est le composant le plus volatil ? Tracer l'allure du diagramme binaire isobare T(xA). fonction de la fraction molaire xA et de la température T, et du diagramme binaire isotherme P(xA), fonction de la fraction molaire xA etde la pression P. Qui, de A ou B joue le rôle du butane, de l'ammoniac ? - II. 5. 6 On considère une solution de A presque pure, et on note xA, xB les fractions molaires des espèces A et B. Quelle est la dépendance en xB du potentiel chimique uA q,(T P ,xA,xB) en phase liquide. Faire l'application au mélange A- B supposé idéal, et montrer que si [B] est la concentration en moles par litre, alors la pression partielle de coexistence de A, exprimée en bars, obéit à l'équation : avec % masse molaire et ... masse volumique de l'espèce A, et po pression de vapeur satu- rante de A à la température considérée. - II.5.7 Application numérique : [B] : O,1_mol.L"l. -- II.5.8 Dans la machine réfrigérante de Einstein et Szilard, à quel endroit se produit l'échange de chaleur avec la source froide ? Sous quelle forme et à quel endroit doit--on fournir de l'énergie pour faire fonctionner le cycle ? Fin de l'énoncé

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 CCP Physique 1 PC 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Cyril Ravat (ENS Cachan) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet se compose de deux problèmes indépendants. Le premier est consacré à différentes techniques de mesure de résistances électriques. Après quelques calculs d'électrocinétique élémentaire, une sous-partie, plus conséquente, aborde des points d'électrostatique. La fin se consacre à une étude de la mise en évidence de la disparition du phénomène de résistance électrique dans les supraconducteurs. L'ensemble est assez directif et ne présente que peu de difficultés en dehors d'une « indication » fournie par l'énoncé qui suggère d'utiliser un théorème. . . hors-programme. La production de froid fait l'objet du deuxième problème. Outre le recours à des concepts de thermodynamique phénoménologique vus en première année, cette partie comporte quelques questions qui demandent une certaine habileté pour manipuler les dérivées partielles. Ces calculs sont utilisés pour montrer la possibilité du refroidissement d'un gaz qui suit le modèle de Van der Waals lors d'une détente de Joule­Thomson. En dehors de ces questions un peu calculatoires, ce problème n'est pas très difficile et il laisse parfois au candidat quelques initiatives en ne donnant pas toutes les approximations utiles pour mener les calculs ou applications numériques demandées. Il se termine par une étude d'un réfrigérateur sans partie mobile où se côtoient des notions de mécanique des fluides et de chimie via des diagrammes binaires. L'ensemble de ce sujet est assez long et fait beaucoup appel aux connaissances acquises en première année, ce qui peut dérouter les candidats : plus fréquent en filière MP, ce type de sujet était jusqu'ici rare en filière PC. C'est l'occasion de souligner que le programme des concours est bien composé de celui des deux années de formation. L'épreuve est en outre relativement calculatoire. On peut d'ailleurs regretter que certains calculs demandés ne soient pas dans l'esprit des programmes actuels. Le sujet est néanmoins bien guidé dans son ensemble et il ne devrait pas poser de difficultés insurmontables pour qui maîtrise bien son cours : cela en fait un assez bon problème d'entraînement. Indications Premier problème I.1.2 Pour déterminer l'incertitude, calculer la différentielle et passer aux incertitudes en sommant les valeurs absolues des différents termes. I.2.1 Les théorèmes de Thévenin et Norton sont hors-programme : orienter le circuit et utiliser les lois de Kirchhoff. Écrire deux lois des noeuds en B et D et trois lois des mailles indépendantes. I.2.4 Appliquer le théorème du moment cinétique à l'équilibre en utilisant le moment des forces de Laplace qui s'exercent sur le cadre et le couple de torsion. I.3.4 Montrer d'abord, par une analyse des symétries, que le potentiel ne dépend pas de . I.3.8 Vérifier que la forme proposée est la somme de deux fonctions qui sont chacune solution de l'équation de Laplace. I.3.11 On donne l'intégrale Z A f (x) dx = Arctan f (A) - Arctan f (0) 2 0 1 + f (x) I.4.2 Justifier que V3 = -V2 puis utiliser le potentiel établi à la question I.3.8 pour déterminer V2 en fonction de V1 . I.5.1 Le conducteur est supposé filiforme. I.5.2 Appliquer le théorème de l'énergie mécanique à un électron. Attention, V est une énergie potentielle, pas un potentiel électrostatique. I.5.3 Traduire le fait que la fonction d'onde doit être au moins de classe C 1 au passage de l'interface. Ne pas oublier l'onde réfléchie r (t + k i x). Deuxième problème II.3.2 Utiliser l'expression de la différentielle d'une fonction de deux variables : f f df = dx + dy x y et traduire le caractère isenthalpique. II.3.3 Le coefficient de compressibilité isotherme T est toujours positif. II.4.1 Supposer que les transformations du cycle sont au moins quasi-statiques pour définir le travail théorique reçu W. II.5.1 Les bulles qui apparaissent sont des bulles de vapeur d'eau. Penser à la poussée d'Archimède. II.5.3 En régime permanent, on a en fait une vitesse d'écoulement de l'eau liquide à la vitesse v a dans le tube. II.5.6 À l'équilibre, le potentiel chimique de l'espèce A a la même valeur en phase gazeuse et en phase liquide. La relation à démontrer n'est autre que la loi de Raoult pour les mélanges idéaux. II.5.7 Calculer le rapport pA /p0 car la pression de vapeur saturante du butane à la température de fonctionnement n'est pas donnée. Mesure de résistances 1. Mesure directe I.1.1 Représentons le circuit proposé sur un schéma : X r A I e I.1.2 La loi de Pouillet pour un circuit à une seule maille permet d'écrire I= soit X= e X+r e - r = 250 I On évalue l'incertitude à partir d'un calcul différentiel e dX = d + dr I On calcule d On en déduit e I = e dX = I e I de dI -e 2 I I de dI - e I + dr On passe aux incertitudes X = e I - e I + r On se place ensuite dans le cas « le plus défavorable » en sommant les différents termes e e I X = + + r = 4,3 I e I La méthode de calcul des incertitudes à partir de la différentielle en se plaçant « dans la configuration la plus défavorable » ne permet pas un travail précis sur l'incertitude mais seulement de déterminer un ordre de grandeur de cette dernière. Un traitement sérieux ferait appel à des méthodes statistiques qui ne sont pas au programme des classes préparatoires. Vu que l'incertitude est évaluée à plusieurs ohms, il convient de ne pas donner trop de chiffres significatifs sur l'application numérique de X. I.1.3 Il s'agit du principe de l'ohmmètre (méthode dite volt-ampèremétrique). Ce n'est pas très précis car cela repose sur la mesure d'une intensité faible qui contribue à rendre l'incertitude importante. Notons que ce n'est pas l'appareil utilisé qui est en cause (un ampèremètre à 0,1 % près est un bon instrument) mais bien la méthode de mesure. Il est plus précis d'utiliser une technique où l'on cherche à détecter un « zéro » que de devoir mesurer une valeur faible (comme c'est le cas dans les questions suivantes). 2. Pont de Wheatstone I.2.1 Commençons par faire un schéma orienté iv Rv A iX X B R2 I r µA i2 C i1 R1 D I0 e Ce circuit présente six intensités inconnues dont une seule, I, nous intéresse. On écrit les lois de Kirchhoff : d'abord deux lois des noeuds en D : i1 = iX + I (N1 ) en B : iv = I + i2 (N2 ) puis trois lois des mailles maille eADC : e = XiX + R1 i1 (M1 ) maille eABC : e = Rv iv + R2 i2 (M2 ) maille BCD : R2 i2 = R1 i1 + rI (M3 ) Il reste à résoudre ce système. On procède par substitutions successives. On commence par reporter l'équation (N1 ) dans (M1 ) et (N2 ) dans (M2 ) pour en tirer les expressions respectives de i1 et i2 : i1 = e + XI X + R1 et i2 = e - Rv I Rv + R2 On injecte ensuite ces résultats dans (M3 ) R2 Finalement, e - Rv I e + XI = R1 +rI Rv + R2 X + R1 R1 R2 - Rv + R2 X + R1 I= e X R1 Rv R2 r+ + X + R1 Rv + R2