CCP Physique 1 PC 2005

Thème de l'épreuve L'ascenseur spatial. Optique physique et photographie.
Principaux outils utilisés mécanique céleste, mécanique des fluides, mécanique du solide, induction, optique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2005 PCPIOO5 A CONCOURS COMMUNS POLYÏECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - F ILIERE PC PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque fois que cela est possible. Le symbole SI désigne l'unité homogène à la grandeur physique considérée, dans le cadre du Système International d'unités. *** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** PROBLÈME I L'ASCENSEUR SPATIAL L'ascenseur spatial appartient au domaine de la science-fiction. Le concept, imaginé en 1960 par l'ingénieur soviétique Youri N. Artsutanov, fut popularisé par le romancier anglais Arthur C. Clarke en 1979 ("The fountain of paradise"). L'idée consiste à envoyer un câble très résistant au dessus de l'équateur et à s'en servir pour lever des charges en direction de l'orbite terrestre, tel un ascenseur géant. Le but de ce problème est d'étudier quelques aspects physiques d'une telle réalisation. Données: Masse de la Terre MT = 5, 98 >< 1024 kg, rayon équatorial de la Terre RT = 6, 38 >< 106 m, constante de gravitation g = 6, 67 >< 10"11 m3.s"2.kg"1, accélération de la pesanteur moyenne àla surface de la Terre (équateur) g = 9, 78 m.s'1, vitesse angulaire de rotation de la Terre par rapport aux étoiles lointaines Q = 7, 29 >< 10'"5 rad.s"'. 1.1 Mouvements orbitaux La Terre est assimilée à un corps de symétrie sphérique. On néglige ici la masse et l'influence de la Lune, considérée comme un satellite léger. Les distances radiales r sont mesurées par rapport au centre de la Terre. -- 1.1.1 Trouver la valeur du champ de gravité GO régnant àla surface de la Terre en fonction de Q , MT et RT. On pourra appliquer, par exemple, le théorème de Gauss pour GO àla surface de la Terre. Y a-t-il une différence entre GO et g ? - 1.1.2 Rappeler la relation entre le rayon r de l'orbite circulaire d'un satellite et sa période 7' de révolution. Exprimer ce rayon en fonction de GO. -- 1.1.3 Calculer, en jours, la période de révolution de la Lune, en assimilant son orbite à un cercle de rayon 384 000 km. -- 1.1.4 Pour quelle distance Ras un satellite est--il immobile dans le référentiel de la Terre RT ? Comment s'appelle cette orbite ? Figure 1 L2 Equilibre du câble Le câble de l'ascenseur (Figure 1) possède une masse par unité de longueur u(r) qui peut éventuellement dépendre de l'altitude (dans le cas où la section du câble varie, ou si le câble est élastique). Le câble est positionné exactement à la verticale de l'équateur. On supposera qu'un équilibre stable du câble est possible, résultant d'un équilibre entre la force de gravité, la force d'inertie de rotation dans le référentiel Terrestre RT, et la force tensile T (7°) du câble. -- 1.2.1 Rappeler la différence entre le référentiel géocentrique R} et le référentiel Terrestre RT. Lequel des deux est le plus proche d'un référentiel Galiléen ? - 1.2.2 Donner dans un repère de coordonnées sphériques (Figure 1), lié au référentiel RT, l'expression de la force d'inertie d'entraînement EQ", 9) et de la force de gravité terrestre Ë;(r) en fonction de la distance ,,. d'un objet de masse m. - 1.2.3 En tout point N d'altitude r, la partie supérieure du câble exerce sur la partie inférieure une force T(r) : T(r)ê}, où T(r) est une fonction de signe positif, dont l'effet est de s'opposer à un allongement du câble. Montrer que l'équilibre du câble implique l'équation suivante: , R2 T(r + dr) -- T(r) + ,u(r)dr (TQZ --- Clg--7%) : 0 - 1.2.4 Le câble se termine à une altitude Rt0p supérieure à Rgg par une masse Mtop. En supposant la masse linéique ,u du câble constante, calculer la valeur de la tension T (7°) en fonction de Mm}, et Rtop, pour toute valeur supérieure à Rbase : RT : 6380 km. -- 1.2.5 Montrer que si la masse Mt0p est trop faible, ou l'altitude Rt0p insuffisante, la tension T (7°) prendra une valeur négative. Cette valeur négative, synonyme de travail en compression, se traduirait vraisemblablement par un effondrement du câble. En déduire donc un critère de stabilité du câble de l'ascenseur. On s'appuiera sur l'étude des variations de la fonction T (7) - 1.2.6 Un câble de hauteur R..., = 145 000 km est-il stable en l'absence de masse MtoP '? 1.3 Masse et résistance du câble Le câble possède un rayon rc et une section A : 7rrî. On appelle contrainte E, la valeur de la force T (7°) par unité de section (m2) du câble. La résistance d'un matériau -hOmOgènedépend de la" valeur de E qui ne doit pas dépasser une valeur critique EC propre à chaque matériau. L'application d'une contrainte supérieure à EC entraîne une déformation non--élastique, irréversible du matériau, puis éventuellement ensuite sa rupture. - 1.3.1 En quelle unité bien connue s'exprime Z? - 1.3.2 Le matériau a une masse volumique p. Exprimer la masse linéique en fonction de p et A puis de p et rc. -- 1.3.3 On considère un câble, de section'bonstante, dont la tension est toujours positive. Mon-- trer que la tension du câble passe par un maximum. En déduire que l'équilibre du câble im-- plique que le matériau doit résister à une contrainte au moins égale à E...,, que l'on exprimera en fonction des données du problème. Comment le rayon du câble rc influe--t-il sur la solidité de l'édifice '? -- 1.3.4 Les valeurs numériques de p et EC sont respectivement: * Acier: p = 7800 kg.m'3et EC 2 109 SI. * Kev1ar: p = 1440 kg.m"3 et EC : 3, 6 >< 109 81. La résistance de l'acier et du kevlar vous semble-t--elle suffisante pour assurer la stabilité de l'édifice ? Le module de Young de l'acier est de 200 GPa et celui du kevlar de 35 GPa (1GPa : 109 Pa). Calculer dans chaque cas l'allongement relatif 6Ë/Æ qu'impliquerait un câble utilisant ces matériaux au voisinage de Emacs. - 1.3.5 Les espoirs actuels sont fondés sur les nanotubes de carbone, supposés résister àE...OE : 100 >< 109 81, pour une masse volumique d'environ 1300 kg.m"3. Un câble spatial en nanotubes de carbone serait-il assez solide ? -- 1.3.6 Pour fabriquer un câble de masse optimale, il suffit de faire varier la section A du câble avec la hauteur 7" de façon à ce que la résistance du câble soit juste suffisante pour supporter une tension T (7°) En faisant intervenir la contrainte critique EC et la masse volumique ;) du matériau, montrer que la masse linéique ,u(r) devient proportionnelle à la tension T. -- 1.3.7 Ecrire et résoudre l'équation différentielle de 1.2.3 dans cette situation. -- 1.3.8 Tracer l'allure de la fonction T(r) obtenue en fonction de r. T(r) peut--elle devenir négative '? On estime que pour lever une charge de 10 tonnes, la tension du câble doit être au moins égale à 106 N, de sorte que la surcharge dûe à la masse supplémentaire ne dépasse pas 10% de T au sol. Calculer le rapport entre la tension maximale du câble et la tension du câble au niveau du sol dans le cas de l'acier et d'un câble en "nanotubes". Nota Bene : les plus longues fibres de nanotube de carbone actuelles ne mesurent pas plus de 1 mn de long, et l 'e'pissage d'un câble de nanotubes nécessite encore une révolution tech- nologique. I.4 Stabilité du dispositif Figure 2 -- 1.4.1 Pour étudier la propagation des vibrations le long du câble, nous assimilons celui-ci à une corde homogène de masse linéique constante ,u et de tension constante T. La gravitation ne perturbe pas les oscillations transverses du câble. La déviation 50", t) du câble par rapport àla verticale ê} (Figure 2) obéit à l'équation : 2 "* 2 " ,,âfi _ Tâfi : , Ôt2 Ôr2 A quelle vitesse les ondes se propagent-elles le long du câble ? - 1.4.2 La base et l'extrémité du câble, à la hauteur Rtop : 50 000 km sont supposées fixes (si nécessaire au moyen d'un dispositif stabilisateur en haut du câble). Pour simplifier, on suppose que T et ,u sont constantes et que le rapport T / ,u vaut 6 >< 107 SI. Trouver la fréquence fondamentale de vibration du câble. Quelles sont les autres fréquences de vibration possibles '? - 1.4.3 Comparer ces fréquences au phénomène périodique des marées lunaires (de période environ 12 heures). Quel phénomène physique est susceptible de se produire si les périodes de vibration propres du câble sont trop proches de 12 h ? - 1.4.4 Effet du vent : un vent de vitesse u = 100 km/h souffle régulièrement sur le câble entre le sol et H = 5000 m d'altitude Si le câble mesure d = 10 cm de diamètre, sachant que la masse volumique de l'air est pa == 1, 3 kg.m"3, et sa viscosité de 77 = 1, 85 >< 10"5 Pas, calculer le nombre de Reynolds Re de l'écoulement autour du câble. On montre qu'à Re de l'ordre de, ou inférieur à l'unité, la force de friction de l'air Sur le câble est de : 47muH F... = 0.5 + ln(4/Re) alors qu'à nombre de Reynolds élevé, la force de friction de l'air est environ : 2 Fvent : OOE >< (ÊE'âL) >< dH avec C,, N1 Choisir l'expression adéquate et calculer la force exercée par le vent sur le câble, l'inclinaison qui en résulte et le déplacement induit à l'altitude H = 5000 m. Prendre T/,u : 107 SI au voisinage du sol, et un câble de masse volumique p = 1300 kg.m"3. -- 1.4.5 Séisme : lors d'un séisme, un train d'ondes d'amplitude 1 m est engendré à la base du câble pendant 10 5. Sur quelle longueur s'étend le train d'ondes ? Considérer la même valeur de T / ,a, de diamètre et masse volumique du câble qu'à la question précédente. -- 1.4.6 L'énergie mécanique (cinétique et potentielle) du câble vaut, par unité de longueur, &?Ë2+ÏQË2 ° 2813 287" L'ébranlement est sinuso'1'dal de fréquence 1 Hz. Quelle est l'énergie moyenne totale du train d'ondes '? 1.5 Freinage électromagnétique Nous venons de voir que l'un des problèmes est de dissiper l'énergie associée aux vibrations du câble (marées, séismes, tempêtes. . . ). L'idée est de mettre à profit l'existence du champ magnétique permanent de la Terre pour créer dans le câble des courants induits "de Foucault". Le câble est donc parcouru de fils de cuivre de conductivité 0 = 5, 9 >< 107 Q"l.m"l, ou, de façon équivalente, de résistivité pEUR == 1, 7 >< 10"8 Q.m. La section totale du fil de cuivre est supposée égale à S = 2 cm2, et on néglige l'influence du cuivre sur la masse linéique du câble, de diamètre d = 10 cm et de densité p = 1300 kg.m--3. -- 1.5.1 La dynamo Terrestre engendre un champ magnétique ressemblant à un dipôle magnétique orienté suivant l'axe de rotation de la Terre. Dessiner l'allure des lignes de champ magnétique autour de la Terre. - 1.5.2 Dans un repère de coordonnées sphériques dont l'axe 2 coïncide avec l'axe de rotation de la Terre, la valeur du champ magnétique est : --» M .. . .. B : _}î(2 cos(0)e, + sm(9)eg) Sachant que l'intensité du champ magnétique Terrestre est de l'ordre de HËH : 5 >< 10"5 T à Paris (500 de latitude Nord), calculer la valeur de M. Donner la valeur en tesla de HB à l'altitude Egg, dans le plan équatorial. -- 1.5.3 On appelle y l'axe Nord--Sud et sa l'axe Est--Ouest du plan tangent à la surface du sol, au voisinage de la base du câble (cf Figure 2). La déviation à la verticale s'écrit h(r, t) : h,,(r, t)ë} + hy(r, t)é'y. Le champ magnétique est localement uniforme et dirigé suivant @. Donner l'expression du champ électromoteur Êem induit par un déplacement du câble ÔÂ/Ôt. -- 1.5.4 Calculer l'intensité [ induite dans le câble conducteur de section 8 par ce déplacement, en supposant que le champ électromoteur est seul présent. - 1.5.5 En considérant la force de Laplace, justifier que l'équation pour hx devienne : 6%. 32h. ah,.(r, t) "au "Ta--2 "K Ôt avec K que l'on déterminera. Que devient l'équation pour hy '? -- 1.5.6 Calculer la puissance de la force de Laplace pour un segment de câble compris entre r et 7" + dr. Que devient cette puissance ? Comparer la puissance dissipée à l'énergie mécanique donnée ci--dessus, dans le cas d'un ébranlement sinuso'1'dal (question 1.4.6). Sur quelle échelle de temps caractéristique ce mode d'amortissement agit-il ? Les vibrations suivant ê'y sont--elles amorties ? - 1.5.7 En fait, la dynamo Terrestre n'est pas exactement ali gnée suivant l'aXe de rotation de la Terre. Il en résulte que le champ magnétique possède une petite composante verticale suivant ë}. Justifier que les équations pour hoe(r, t) et hy(r, t) deviennent couplées. Notes finales : Les problèmes techniques liés à une telle réalisation sont multiples. Citons entre autres la résistance aux débris spatiaux, la corrosion due aux radicaux libres de la haute almo-- sphère, la mise en place du câble . .. L 'hypothèse d'une décharge de la haute atmosphère par un câble conducteur a été évoquée, et doit être évitée. PROBLÈME II OPTIQUE PHYSIQUE ET PHOTOGRAPHIE Données : célérité de la lumière dans le vide 0 = 3 >< 108 m.s"1, constante de Planck h = 6,62 >< 10--34J.s, h : h/27r, perrnittivité diélectrique du vide eo : 8,85 >< 10"12 F.m"l, perméabilité magnétique ...) : 47r >< 10"7 H.m"1. L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct (MO, ë}, EUR.... 62). 11.1 L'énergie lumineuse Une onde plane monochromatique de longueur d'onde A = 0,6 nm se propage dans le vide. Le champ électrique en un point (cc, y, z) et à l'instant t est, en notation complexe : Ê(a:, y, z, t) : EO ei B, de constante cinétique l--c, où A désigne le réactif, B le produit et 7 un photon. On suppose que l'on peut traiter les photons comme une espèce chimique de concentration ..._ La réaction est élémentaire, et sa cinétique est du second ordre. Le milieu est soumis à une irradiation constante de la part d'un faisceau lumineux, de sorte que la "concentration" [7] peut être considérée comme constante et proportionnelle àla valeur moyenne du carré du champ électrique (Ê2). -- 11.2.1 Ecrire une équation cinétique pour les concentrations [A] (t) et [B] (t) des espèces A et B. ' - 11.2.2 A l'instant t = 0, la concentration de A est [A]... uniforme, et [B]O == 0. On appelle T le temps d"exposition, c'est-à--dire le temps durant lequel la réaction photochimique a lieu. Exprimer les concentrations [A](T) et [B](T) des espèces A et B en fonction de [A]... T, ... et k. - Il.2.3 La réaction 7 + A -----> B provoque le noircissement d'un film photographique. On ap-- pelle "opacité" du film, après déve10ppement, le rapport entre l'intensité lumineuse transmise à travers le film et l'intensité lumineuse incidente. Le développement du film ne révèle une ex- position que si la concentration {B] est supérieure à une valeur de seuil b, et on fait l'hypothèse que l'opacité est proportionnelle àla différence [B] -- b. Un film non exposé présente toujours un léger voile d'opac--ité égale à 1}. Montrer que ce modèle rend compte qualitativement de la courbe de noircissement d'un film photographique schématisée sur la Figure 3. Op cité Exposition [y}ç Figure 3 11.3 Montage Un laser de longueur d'onde A est utilisé dans le montage de la Figure 4 ci--dessous. Un dispositif optique forme une onde plane monochromatique, puis une lame semi--réfléchiSsante (en A) sépare le faisceau endeux. Après une réflexion en B, le faisceau numéro 2 vient interférer en M avec le faisceau numéro 1. On néglige le déphasage dû àla lame semi--réfléchissante sur le trajet du faisceau numéro 1, et on admet que les réflexions en A et B ne changent pas la phase du faisceau numéro 2. On introduit les distances L : AM et d = AB. Tous les effets dûs à la polarisation de la lumière sont négligés et le champ électrique est traité comme un champ scalaire. Figure 4 -- Il.3.l Qu'observe--t--on sur l'écran ? Illustrer par un schéma. - II.3.2 Pourquoi utilise--t-on une seule source de lumière et une lame semi--réfléchissante plutôt que deux sources de lumière pour les rayons l et 2 ? -- [1.3.3 Soit le point MO de coordonnées y = 0 et z = 0. Calculer la différence de marche entre le rayon 1 (AM) et le rayon 2 (AB et BM). En supposant que les faisceaux 1 et 2 sont des ondes planes monochromatiques dont les directions font entre elles un angle 9 (Figure 5), calculer la différence de phase % -- çbl entre les deux ondes pour un point de coordonnées (y, z) voisin de M. Démontrer que : çb2--@1=C--y/a où a est une longueur que l'on exprimera à l'aide de A et 9. Figure 5 -- [1.3.4 Le champ électrique en y vaut E(y) : E0REUR (ei(d>i(y)--wt) + EURi($z(y))--wtl) Calculer l'intensité lumineuse moyenne, proportionnelle à <Ê(y)2>, en un point M (y, z) proche de Mo. On notera 10 : Eâ. -- 11.3.5 On place sur l'écran un film photographique. Après développement, le film présente une succession de bandes transparentes et opaques. Combien de bandes transparentes par millimètre apparaissent sur le film ? Application : 9 : 30°. 11.4 Dispersion de la lumière Le film photographique de la question 11.3.5, après développement, est éclairé par l'arrière (à gauche sur la Figure 6) par un faisceau monochromatique cohérent de longueur d'onde À. On s'intéresse à l'onde transmise (à droite sur la figure), et on applique le théorème de Huy ghens-Fresnel à la surface du film. Chaque point du film se présente comme une source secondaire cohérente d'amplitude : A(y, z) = C + D cos (@) Py \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -- II.4.1 Justifier que l'onde transmise est équivalente à une superposition de trois ondes planes, l'une se propageant horizontalement, les deux autres respectivement suivant un angle 04 et --a avec l'horizontale. Indication : on pourra, soit faire un calcul, soit considérer 1 'amplilua'e du champ électrique que produiraient ces trois ondes dans le plan (M, y, z) en ! 'absencè du film. -- 11.4.2 On remplace le faisceau de longueur d'onde À par un faisceau de longueur d'onde /\' différente. Montrer que l'angle oz est modifié en a' . Ecrire une relation entre À, À', oz et a' . En déduire que ce film photographique possède le pouvoir de disperser la lumière blanche ou polychromatique. Comment s'appelle un tel dispositif optique ? Fin de l'énoncé

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 CCP Physique 1 PC 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Florian Iglésias (ENS Ulm) ; il a été relu par Olivier Frantz (Professeur agrégé) et Benoît Lobry (Professeur en CPGE). Le sujet comporte deux problèmes complètement indépendants. Le premier problème s'intéresse à une idée de science-fiction, l'ascenseur spatial. Il s'agit d'utiliser un câble résistant entre l'équateur terrestre et une orbite cible, et de se servir de ce câble pour lever des charges. L'étude se décompose en cinq parties : · La première partie est la plus simple. Elle met en jeu les connaissances de base de la mécanique céleste sur les planètes et les satellites. · La deuxième partie est très calculatoire. Son but est de déterminer un critère de stabilité de l'ascenseur spatial. Elle utilise la mécanique dans les référentiels non galiléens. · Ensuite, l'étude est orientée vers la résistance de l'ascenseur aux contraintes et aux forces internes. La difficulté est raisonnable et l'accent est mis sur les applications numériques. Les conclusions qui en découlent sont très intéressantes. · Pour entrer dans le détail, le sujet propose dans la quatrième partie d'étudier la stabilité du dispositif vis-à-vis de différentes perturbations extérieures : séismes et vent. Les études sont menées en grande partie en ordre de grandeur et les rares calculs sont plutôt faciles. · Le problème s'achève sur des questions d'induction. Le principe de cette cinquième partie est d'utiliser les phénomènes inductifs pour aider à la stabilisation de l'ascenseur par rapport aux diverses perturbations vues dans la partie précédente. Le second problème, très calculatoire, aborde la photographie du point de vue de l'optique ondulatoire. Il est divisé en quatre parties de difficultés inégales : · Le problème débute par une étude de l'énergie lumineuse, en travaillant en particulier sur la dualité onde-corpuscule de la lumière. · La deuxième partie peut être déconcertante puisqu'elle traite de cinétique chimique. Elle ne comporte pas de difficultés physiques ou mathématiques. · Ensuite, on est amené à étudier en détail un dispositif optique d'interférences à deux ondes. La deuxième partie est alors exploitée pour expliquer comment afficher une figure d'interférences sur un écran. · La dernière partie, calculatoire, demande de bien comprendre le principe de diffraction de Huygens-Fresnel. Le sujet est donc très complet car de nombreuses parties du programme sont abordées (mécanique du solide et des fluides, induction, optique). Il est de difficulté moyenne, mais requiert une très bonne compréhension des phénomènes mis en jeu pour pouvoir être traité efficacement dans le temps imparti, sous peine de se perdre dans des calculs inutiles. Indications L'ascenseur spatial I.1.4 Réduire les forces s'exerçant sur le câble aux seules forces de gravitation et d'inertie centrifuge dans le référentiel Rt . I.2.3 Penser à isoler un tronçon de câble de longueur infinitésimale, puis à lui appliquer le principe fondamental de la dynamique. I.2.4 Pour calculer la constante d'intégration, penser à isoler la masse Mtop et à lui appliquer le principe fondamental de la dynamique. I.2.5 La question est un peu libre : il s'agit de trouver un critère et non le critère. Choisir par exemple de prendre la masse Mtop nulle. I.3.4 Là encore, il faut montrer un esprit d'initiative pour l'application numérique. Choisir des valeurs numériques pertinentes pour les constantes. On peut penser à prendre Mtop = 0. I.4.1 Faire attention au fait qu'il existe deux définitions de la vitesse pour une onde. Montrer que ces définitions donnent la même vitesse et conclure. I.4.2 Résoudre l'équation différentielle. I.4.3 Penser au phénomène de résonance en électricité. I.4.4 Justifier que seules les forces du vent et de tension du câble jouent un rôle dans la déviation du câble. Déterminer alors cette inclinaison à partir de ces deux forces. Optique physique et photographie II.1.4 Se souvenir que la puissance électromagnétique traversant une surface est le flux du vecteur de Poynting au travers de cette surface. II.1.5 Penser à la dualité onde corpuscule. Introduire la densité volumique de photons, et calculer de deux façons différentes la puissance surfacique transportée par l'onde. II.3.1 Les fentes d'Young... II.4.1 Faire appel à la fonction sinus cardinal qui ne prend de valeur non nulle qu'au voisinage de 0. I. L'ascenseur spatial I.1.1 Le champ de gravité - g0 de la Terre a la symétrie de sa source : la symétrie sphérique. Il est radial et ne dépend que de la distance radiale r. L'application du théorème de Gauss à la surface de la Terre (supposée sphérique) donne ZZ - - 2 4 RT g0 (RT ) = g0 · d S = ZZZ div - g0 dV 4 RT 2 g0 (RT ) = - 4 G MT d'où la valeur du champ de gravitation G0 : G MT G0 = k- g0 (RT )k = = 9, 80 m.s-2 RT 2 Il y a une différence entre g et G0 car g est la valeur du champ de pesanteur et non de gravitation : il faut ajouter la force centrifuge. Le champ de gravitation à l'équateur G0 est alors réduit d'un terme : 2 RT = 0, 03 m.s-1 Le champ g vaut donc environ 9, 77 m.s-1 , ce qui est compatible avec la valeur donnée par l'énoncé. Le calcul de G0 est en fait plus compliqué : il faut tenir compte de la nonsphéricité de la Terre. I.1.2 La relation entre le rayon r d'une orbite circulaire d'un satellite et sa période de révolution est la troisième loi de Kepler : 2 4 2 = 3 r G MT En utilisant le résultat de la question I.1.1, on obtient la relation 2 4 2 = = 9, 89.10-14 s2 .m-3 3 r G0 RT 2 I.1.3 Appliquons la formule de la question I.1.2, en supposant que la Lune est un objet ponctuel suivant une trajectoire circulaire de rayon r = 384 000 km : s 4 2 = r3 = 2, 37.106 s soit 27, 4 jours G0 RT 2 Ce résultat est en accord avec la valeur traditionnelle de 28 jours. I.1.4 Considérons le système S constitué du satellite de masse M, dans le référentiel RT de la Terre. Ce référentiel n'est pas galiléen, car la Terre est en rotation par rapport aux étoiles lointaines. Le satellite subit donc des forces d'inertie s'ajoutant à l'attraction gravitationnelle. Ces forces peuvent lutter contre l'attraction de la Terre (comme la force centrifuge) et stabiliser un satellite, l'immobilisant dans RT . != ! ez ! ey Supposons que la rotation de la Terre soit de vecteur instantané de rotation constant, c'est-à-dire de direction fixe et de période constante. La force d'inertie d'entraînement agissant sur le satellite de masse M est alors réduite à la force centrifuge : - - ---- Finertie = - M ( - r) = M 2 r sin - ex Point M ! er ! ex ! e Supposons aussi que nous recherchions la distance RGS , si elle existe, d'un satellite immobile dans RT . La force d'inertie de Coriolis est donc nulle : ----- - - FCoriolis = -2 M - v = 0 Le satellite est soumis uniquement à son poids, via l'attraction gravitationnelle, et à la force centrifuge. D'après le principe fondamental de la dynamique, le satellite est à l'équilibre dans RT si la somme de ces deux forces est nulle, ce qui donne la colatitude du satellite, = /2, et sa distance au centre de la Terre : G MT M = M 2 RGS RGS 2 soit RGS = G MT 2 = 42 200 km Cette orbite particulière s'appelle l'orbite géostationnaire. Le satellite est toujours à la verticale du même point de la surface de la Terre (situé sur l'Équateur). L'altitude de cette orbite est h = RGS - RT = 35 800 km, valeur compatible avec la valeur usuelle de 36 000 km. Une autre méthode consiste à utiliser les principes énergétiques. Dans le référentiel RT , l'énergie totale du satellite est conservée. Et la position d'équilibre du satellite est celle qui minimise son énergie totale E par rapport aux variables r et (analogue des principes thermodynamiques). E(r, ) = Ecinétique + Epotentielle + Ecentrifuge G MT M 1 - M 2 (r sin )2 r 2 La minimisation par rapport à et r donne E = - M 2 r2 sin cos 0= E G MT M 2 0= = - M 2 r (sin ) r r2 dont les solutions stables sont justement la colatitude et la distance r = RGS trouvées précédemment. = 0- Nous indiquons enfin une dernière méthode, de loin la plus astucieuse. Il s'agit de considérer le satellite évoluant dans un référentiel galiléen. Si l'on néglige le mouvement de la Terre, alors ce satellite subit uniquement une force centrale : la gravitation. On connaît sa période de révolution (T = 1 jour), donc d'après la troisième loi de Kepler 2 T G MT RGS = 4 2