CCP Physique 1 PC 2003

Thème de l'épreuve Climatisation et formation des nuages. Vidange d'un réservoir.
Principaux outils utilisés gaz parfait, changement d'état, relation de Bernoulli
Mots clefs air humide, vidange

Corrigé

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 SESSION 2003 ' l \ PCP1006 CONCOURS (OMMUNS POI.YÎECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - F ILIERE PC PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures L'utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont indépendants Une feuille de papier millimétré devra être distribuée avec le sujet. *** N. B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. *** PROBLEME I - L'AIR HUMIDE : CLIMATISATION ET FORMATION DES NUAGES L'air qui nous entoure est humide : c'est un mélange d'air sec et de vapeur d'eau. Les caractéristiques de l'air humide sont liées aux proportions de chacun des deux constituants. Sauf indication particulière, on considère, dans tout le problème, de l'air humide à la pression atmosphérique P = 1,013 .] 05 Pa. Pour les applications numériques, on se référera, si nécessaire, aux données et au tableau figurant à la fin de l'énoncé. On supposera dans tout le problème que l'air sec et la vapeur d'eau se comportent comme des gaz parfaits. I. Grandeurs caractéristiques et propriétés de l'air humide Soient Ma la masse molaire de l'air sec et MV la masse molaire de l'eau pure. Soient Pa la pression partielle de l'air sec contenu dans un volume V d'air humide à la température T et P., la pression partielle de la vapeur d'eau du même volume àla même température. 1.1. Justifier que P = Pa + P.. 1.2. Soit ma la masse d'air sec contenue dans le volume Vd'airhumide à la température T. On peut alors écrire : Pa V= ma Ra T. Exprimer Ra en fonction de R et Ma. Application numérique. Soit mv la masse de vapeur d'eau contenue dans le volume V d'air humide à la température T. On peut alors écrire : Pv V = mv R., T. Exprimer RV en fonction de R et M... Application numérique. 1.3. L'humidité spécifique a) de l'air humide, à la température T, est le rapport de la masse de vapeur d'eau contenue dans un volume Vd'air humide à la masse d'air sec contenue dans ce même volume. Elle est donnée en kilogramme d'eau par kilogramme d'air sec. P. P -- Pv ' En déduire l'expression de la constante A et la calculer numériquement. Montrer que l'humidité spécifique s'exprime sous la forme : co = A 1.4. La sensation d'un individu de se trouver dans un air plus ou moins humide est directement liée Pv P vsat ..., la pression de vapeur à l'humidité relative ou degré hygrométrique 8 défini par : EUR = saturante de l'eau a la température T de l'air humide. Soit 1 m3 d'air humide, à t9= 15°C, dont le degré hygrométrique est égal' a 0,85. Calculer numériquement les masses ma d'air sec et mv de vapeur d' eau du mélange. 1.5. Un air humide tel que EUR = 1, ne peut plus accepter d'eau sous forme vapeur. L'eau supplémentaire renfermée dans l'air humide se présente alors sous forme de gouttelettes d'eau suffisamment fines pour rester en suspension et formant ainsi un brouillard. Tracer, de façon précise sur papier millimétré, la courbe représentative de l'air humide saturé dans le graphe w=f(69, appelé diagramme de Carrier. Sur le graphe précédent, indiquer en le justifiant où se trouve la zone de brouillard. 1.6. La température de rosée T, est la température de l'air humide saturé en humidité. Elle peut être mesurée par un hygrométre à condensation : on place dans l'air humide une petite surface dont on fait varier la température jusqu'à apparition sur celle-ci, de condensat (rosée ou buée) : la température de la surface est alors celle du point de rosée. Calculer le degré hygrométrique d'un air humide à H= 30°C dont la température de rosée est égale à 10°C. 1.7. L'enthalpie de" l'air humide tient compte de l'enthalpie de ses constituants définie sur la base des conventions suivantes : - l'origine de l'enthalpie de l'air sec est prise à O°C, ' - pour l'eau, 1' enthalpie de référence est celle de l'eau liquide a O°C. Soient c,... et cm les capacités thermiques massiques respectives de l'air sec et de la vapeur d'eau. Soit 1 la chaleur latente massique de vaporisation de l'eau. Donner, en fonction de ma, m... c,..., c..., l, et 9 la température en degrés Celsius de l'air humide, l'expression de l'enthalpie massique h de l'air humide. Donner, en fonction de a), c,..., c..., l et H, l'expression de l'enthalpie spécifique H* de l'air humide contenant un kilogramme d'air sec. Il. Conditionnement d'air -- formation des nuages Les techniques de climatisation et de conditionnement d'air ont pour objet l'amélioration des conditions de confort. Elles reposent sur des opérations telles que mélange, échaufl"ement, refroidissement ou humidification de l'air humide. Les opérations de mélange d 'airs humides sont également à l'origine de phénomènes météorologiques. En bord de mer, la rencontre de l'air frais et sec provenant de l'intérieur des terres avec de l'air marin fortement humide, produit les brouillards côtiers. D'autre part, l'air humide étant plus léger que l'air sec, il entre, dans son mouvement ascendant, en contact avec de l'air plus froid en altitude : c'est ainsi que se forment les nuages. II.1. Un réchauffeur apporte, par transfert thermique à pression constante, une quantité d'énergie Q à un kilogramme d'air humide, à la température initiale 19, d'humidité spécifique initiale a), contenant une masse ma d'air sec. Exprimer analytiquement (en fonction des paramètres du problème) % l'humidité spécifique et &, la température de l'air humide obtenu. Décrire qualitativement mais en le justifiantcomment évolue, au cours de l'opération de chauffage, le degré hygrométrique de l'air humide. 11.2. Une installation de climatisation industrielle assure le réchauffage isobare d'un débit massique de 12.103 kg.h'1 d'un air humide entrant à 9 = 15°C avec un degré hygrométrique EUR = 0,85. La température de sortie de l'air est égale à 45°C. Quelle est la puissance du réchauffeur '? 11.3. On mélange deux airs humides de température 91 et 92 d'humidités spécifiques cul et (02 contenant respectivement les masses d'air sec mal et mag. Etablir, en les justifiant, les relations permettant de calculer, en fonction de cal, (02, ma], nm et des enthalpies spécifiques H ; et H ; des constituants, l'humidité spécifique 503 et l'enthalpie spécifique H ; du mélange. 11.4. On mélange un kilogramme d'air humide dans l'étatl (61 = 35°C, (a; = 0,035 kg d'eau/kg d'air sec), à un kilogramme d'air humide dans l'état 2 (62 = 25°C, (02 = 0,0039 kg d'eau/kg d'air sec). Calculer numériquement l'humidité spécifique 603 et la température 93 du mélange. 11.5. On mélange maintenant une quantité d'air humide dans l'état 4 (94 = 40°C, 84 = l) à une quantité d'air humide dans l'état 5 (95 = 5°C, 85 = 0,2) contenant également toutes les deux, un kilogramme d'air sec. Calculer numériquement l'humidité spécifique 506 et la température 96 du mélange. Placer le point obtenu sur le graphe w=f(9) tracé en 1.5. Conclusion. 11.6. Un thermomètre placé dans le mélange obtenu à la question 11.5 . indique une température supérieure de 3°C à celle déterminée en 11.5. Quelle est la raison de cet écart entre la température calculée et la température mesurée ? A l'aide du graphe (0 = j(69 tracé en 1.5, en déduire la masse me d'eau liquide présente dans le mélange. Constante des gaz parfaits : R = 8,32 J .mol'l.K'l. ' Masse molairede l'air sec : Ma = 29 g.mol". Masse molaire de l'eau pure MV = 18 g.mol'l. Pression de va eur saturante de l'eau en fonction de la tem érature : Capacité thermique de l'air sec cm = 1006 J .kg'l.K'l. Ca acité thermi ue de la va eur d'eau q.... = 1923 J .kg'l.K'1 (supposée indépendante de la température). Chaleur latente de .va orisation de l'eau ! = 2500 kJ.kg". PROBLEME II - VIDANGE D'UN RESERVOIR La partie I est indépendante des parties II et III. Rappel d'analyse vectorielle : div( fü ) = fdiv (17) + ü.grad ( f) avec f fonction scalaire et u vecteur quelconque. On considère un grand réservoir de section cylindrique S;. Ce réservoir hermétiquement fermé, contient de l'eau (masse volumique ,a), que l'on assimilera à un fluide parfait, emprisonnant ainsi un matelas d'air à la pression Po. L'air emprisonné sera assimilé à un gaz parfait. Un tube plongeur, de section 2], immergé dans l'eau jusqu'à la profondeur kg, est relié à l'extérieur où règne la pression atmosphérique Pa. Une étanchéité parfaite est réalisée entre le couvercle du réservoir et le tube plongeur. L'extrémité du tube plongeur est munie d'une électrovanne E V,, qui est initialement fermée (voir figure 1). Un tube de vidange cylindrique, de longueur L2 et de section $;, est raccordé sur le fond du réservoir , ce tube est muni d'une électrovanne EV; placée a son extrémité, débouchant' a la pression atmosphérique Pa. ' Étanchéité Pa Étanchéité 0% EV, A - Figure 1 -- Etat initial : avant ouverture des vannes 1. Etude préliminaire « 1.1. Les vannes E V; et E V2 étant initialement fermées, calculer la pression PB au point B en fonction de P0 et ha en particulier. Etanchéité Pa ÉtanChéité EV2 - Figure 2 -- Après ouverture de la vanne E V; 1.2. A l'instant t = O, l'électrovanne E V, est ouverte brusquement, E V2 restant fermée. On supposera que les conditions sont telles que PB > Pa. Le liquide monte donc dans le tube plongeur pour passer de B à B', points séparés d'une hauteur x. Une nouvelle pression Pg' s'établit au dessus du liquide, ainsi qu'une nouvelle hauteur de la surface libre notée h' (voir figure 2). 1.2.1. Donner l'expression de P0 ' en fonction de x, h' et Pa en particulier. . 2 . . . . . 1.2.2. On pose 8 = --. Ecr1re une relatmn tradmsant la conservatmn du volume d'eau en fonction SI des paramètres ho , h ', x et 8. Que devient l'expression de hg- h ' à l'ordre 1 en 8 quand 8 << 1 ? Dans toute la suite du problème on utilisera la relation simplifiée à l'ordre 1. 1.2.3. En supposant que la température de l'air emprisonné ne varie pas, écrire une relation faisant intervenir les paramètres H, h ', ho, Po et P0'. 1.2.4. Exprimer la pression Pg' en fonction de Po, & H, ha et x. . x Montrer que cette expresmon peut se mettre sous la forme : P0 ': P,,(1-- 8 H h ) ° "' 0 Donner en fonction de P... x, ha et EUR en particulier, l'expression de la pression P0'. 1.2.5. Déterminer en fonction de P0, P... H, ho, & p et g , l'expression de x en adoptant toujours le premier ordre en EUR. 1.3. On supposera désormais que Pa > PB avant l'ouverture de la vanne E V1. Que se passe t-il dès l'ouverture de la vanne E V; '? A l'équilibre, donner la valeur de x et de la pression PB. Déterminer l'expression de la nouvelle pression d'équilibre Po' au--dessus du fluide en fonction de Pa et ha en particulier. 1.4. On se place toujours dans le cas Pa > PB. La vanne EV; est maintenant ouverte. On attend l'établissement du régime permanent de l'écoulement dans tout le volume de fluide. Les répartitions de vitesse du fluide dans les sections S; et S; sont supposées uniformes. La vitesse de la surface libre sera notée V5, et celle dans la section S2 sera notée VA, A appartenant à la section de sortie 52 (voir figure 2). On supposera de plus que le niveau de l'eau reste toujours au--dessus du niveau de B. Ecrire une relation entre les vitesses VA, VE et des données d'ordre géométrique. Ecrire une relation liant VD et VA, où D est un point au même niveau que B. 1/2 ' 2 + L En déduire que la vitesse en A s'exprime sous la forme : VA : -------g-£--Ë'S----2--L 1-- --À 5 f( SI ) g ( ) où f et g sont deux fonctions que l'on déterminera. Que devient cette expression lorsque 8 tend vers zéro et Sg/S] << 1 '? Quel résultat connu retrouve-t-- on ? Il. Vidange du réservoir P > a °°: ho(t = 0) -Figure 3- La surface libre du réservoir est maintenant directement reliée à l'atmosphère (voir figure 3). La vanne E V2 est ouverte et le régime permanent est supposé atteint instantanément. Le volume instantané de fluide contenu dans le réservoir est désigné par 27, et celui contenu dans le tube de vidange de longueur L2 par 22. On supposera de plus que S 1>> S2. 11.1. En supposant un régime quasi- -statiohnaire, déterminer l'expression de la vitesse au point A en fonction de V,; et h(t). 11.2. Exprimer le rapport Vg/VA. Quelle condition doit-on appliquer sur les diamètres D2 et D; (diamètres reSpectifs des sections 82 et S ;) pour que VE n'excède pas 1% de VA. Donner alors l'expression de VA dans ces conditions. Cette relation sera vérifiée dans toute la suite du pr0blème. 11.3. Pour ho >L 2, écrire l'équation différentielle vérifiée par la hauteur h(t). II. 4. Dans les mêmes conditions que précédemment, donner l'expression de h en fonction du temps et déterminer le temps t; au bout duquel le volume 27 a été vidé. Calculer VA et t,. Données: S2/Sl= 1/100, L2-- ---- 1 m, hg-- -- 2 m, g= 9 81 ms'2 111- Théorème de Bernoulli en régime instationnaire. On rappelle l'équation locale de l'écoulement parfait d'un fluide (équation d'Euler) : %Ë+âgrævz+(r--oæv)A(ÿ)=--ÈgîæP+g où g désigne le champ de pesanteur, V le vecteur vitesse et P la pression. Le fluide est, de plus, supposé incompressible et l'écoulement irrotationnel, mais l'écoulement est non permanent. ' III.]. Ecrire, dans ces conditions, l'équation de continuité. Montrer, en précisant bien toutes les hypothèses, que l'équation d'Euler se ramène à : ,o BV2 -- ---- + V. rad H O 2 81 g (pg ): P V2 où H désigne la quantité ---- + --2---- + z ,appelée charge du fluide. Pg g Cette dernière équation constitue l'expression du théorème de Bernoulli en régime non permanent. III.2. Soit la surface fermée Z(t), de volume T(t), variable dans le temps. En intégrant l'expression du théorème de Bernoulli en régime non permanent sur le volume t(t), montrer que : <ÿ£({) ,ogHV.ñd>ï + j [ [[...12'i 8V2 dt = 0 81 ___--J 1] 12 On se propoSe d'appliquer la relation précédente à l'établissement du régime de vitesse en A. A l'instant t =0, la vanne E V2 est ouverte de manière instantanée. Dans toute la suite du problème, le volume T(t) correspond au volume délimité par la surface 27(t) entourant entièrement et exclusivement les volumes T](l) et z2(t). 111.3. Evaluation du terme Il , 111.3.1. Montrer que l'intégrale bilan I; se ramène à : 11 : IL ngV.ñdZ+ ";: ngV.ñdî où 21 et 22 désignent les 2 surfaces libres du fluide (voir figure 3). En déduire que l] : ,OgV(t)S2 (H (A)--H (E )) où V(t) désigne la vitesse en A durant le régime d'établissement. ' 111.3.2. Donner les expressions de la charge du fluide H(E) au niveau de la surface libre et H(A) au niveau de la sortie du tube de vidange. Montrer que, si la vitesse de descente de la surface libre VE est négligeable devant la vitesse en A, V2 t l'expression finale de 11 s'écrit :]1 : ng(t)S,( ; )--h(t)]. g 111.4. Evaluation du terme 12 111.4.1. A quelle condition peut-on écrire : % HL%(VZ )dT » ----( _" V 2d2') 111.4.2. Dans toute cette question, la notation [X] désignera l'ordre de grandeur de la quantité X. En admettant que : { " 172d2'] : [V]2 [T] , où rest le volume de fluide considéré, montrer que : ill V dïl= V2(' )('ÊZ'J S (h-- L )+VÎ(1)L,S,_ ---1-w----------J (B) (A) Toujours en raisonnant sur les ordres de grandeur et en considérant que h et L 2 sont du même ordre de grandeur, montrer que (B) >> (A). 8V' t En déduire que: 1, =--Ê--L,S, ôt( ) . 111.5. Les intégrales ]; et 12 étant exprimées, montrer que l'équation différentielle vérifiée par la . 1 dV dV dt Vitesse V(t) enA est : ---- + = -- VA VA -- V VA + V L2 où VA est la vitesse en A, déterminée en régime stationnaire àla question 11.2. On considérera que la vitesse VA, correspondant au régime stationnaire, ne varie pas pendant le temps d'établissement du régime de vitesse en A. 111.6. En déduire l'expression de la vitesse V(t) en A en fonction du temps et de L 2. Représenter l'allure de V(t) et dessiner l'asymptote. III. 7. Soit le temps to, 99 au bout duquel la vitesse du fluide V(t) en A vaut 99% de la vitesse du régime stationnaire VA. aL2 VA Calculer to,99 en prenant comme vitesse VA la vitesse calculée à la hauteur ho. Calculer l'évolution de VA durant le régime transitoire. L'hypothèse effectuée sur VA en 111.5. paraît- elle justifiée '? Montrer que to 99 = où aest une constante que l'on calculera. Fin de l'énoncé

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 CCP Physique 1 PC 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Michaël Berhanu (ENS Lyon) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm). Ce sujet est composé de deux problèmes totalement indépendants. · Dans le premier, on étudie l'air humide. La modélisation proposée s'appuie sur un mélange de gaz parfaits. Cette partie n'est pas difficile si l'on arrive à bien comprendre et maîtriser les différentes notions et notations introduites. Il s'agit essentiellement de faire des bilans de matière. Les raisonnements sur le changement d'état d'un corps purs sont utiles pour aborder sereinement la fin de ce problème. · Dans le second, on s'intéresse à la vidange d'un réservoir. Ce problème est assez classique ; il fait appel à des connaissances élémentaires de mécanique des fluides et d'hydrostatique. Il y a quelques questions calculatoires mais la plupart des résultats intermédiaires sont donnés dans l'énoncé, ce qui permet de poursuivre l'étude si l'on ne parvient pas à résoudre ces questions. L'ensemble forme un sujet relativement court et d'une difficulté raisonnable, qui fait appel à peu de connaissances brutes mais beaucoup de bon sens. Le premier problème comporte de nombreuses applications numériques qui requièrent de la méthode si l'on veut éviter de « se noyer ». Indications Problème I I.4 Penser à convertir la température en kelvins. I.7 Utiliser l'extensivité de l'enthalpie et calculer séparément l'enthalpie massique de l'air sec et de la vapeur d'eau. Supposer en outre que l'air n'est pas saturé. II.1 Supposer que l'air est initialement non saturé. Que dire de l'humidité spécifique au cours de cette transformation ? II.2 Exprimer h obtenu à la question I.7 en fonction de . II.4 Pour calculer la température, utiliser le résultat sur l'enthalpie spécifique obtenu à la question précédente. II.5 Supposer que l'air n'est pas saturé. II.6 Puisque l'air est saturé, c'est que le point représentant le mélange dans le diagramme de Carrier est sur la courbe. L'écart de température est dû à la condensation partielle de l'eau. Problème II I.2.4 Développer l'expression obtenue au premier ordre en . I.4 La répartition des vitesses est uniforme donc VD = VE . II.1 Appliquer la relation de Bernoulli sur une ligne de courant entre E et A. III.2 Utiliser la formule d'analyse vectorielle donnée par l'énoncé et la relation intégrale du théorème de Stokes (qui fait intervenir la divergence) pour obtenir le résultat proposé. III.3.1 Si le réservoir n'est pas vide (ce qui est le cas par hypothèse puisque l'on s'intéresse au régime transitoire), alors 1 et 2 sont égaux à S1 et S2 respectivement. III.4.2 Séparer l'intégrale volumique en deux : la partie contenue, dans le réservoir de section S1 , et celle contenue dans le « tuyau » d'évacuation, de section S2 . Que peut-on dire de h - L2 et L2 en ordre de grandeur pendant le régime transitoire ? III.5 L'hypothèse formulée par l'énoncé est que la hauteur dans le réservoir ne varie pas significativement pendant le régime transitoire, de sorte que l'on peut supposer h(t) h0 . I. L'air humide : climatisation et formation des nuages Grandeurs caractéristiques et propriétés de l'air humide I.1 La pression partielle d'un constituant i est la pression qu'aurait le gaz i s'il était seul à occuper le volume total V. Pour l'air humide, considéré comme un gaz parfait, l'équation d'état s'écrit simplement PV = n RT Pour la vapeur d'eau et l'air sec, cette relation s'écrit Pa V = na RT Pv V = nv RT Puisque n = na + nv il vient bien P = Pa + Pv I.2 L'équation d'état du gaz parfait s'écrit pour l'air sec Pa V = na RT ma na = Ma Comme il vient Pa V = ma Ra T avec Ra = R = 287 J.kg-1 .K-1 Ma Le même raisonnement sur la vapeur d'eau conduit naturellement à Pv V = mv Rv T avec Rv = R = 462 J.kg-1 .K-1 Mv I.3 L'humidité relative est définie par = mv /ma . D'après la question précédente, on a, pour la vapeur d'eau, Pv V = mv Rv T et, en utilisant le résultat d'additivité des pressions partielles, il vient pour l'air sec (P - Pv ) V = ma Ra T En faisant le rapport membre à membre de ces deux équations, on obtient =A Pv P - Pv avec A= Ra = 0, 621 Rv I.4 Le degré hygrométrique s'exprime par = Pv /Pvsat . On utilise les résultats des questions I.1 et I.2 pour calculer ma et mv : Pv V Pvsat V mv = = = 1, 09.10-2 kg Rv T Rv T m = (P - Pv )V = (P - Pvsat )V = 1, 21 kg a Ra T Ra T I.5 On calcule () à partir des données de l'énoncé et le résultat obtenu à la question I.3. On obtient les valeurs suivantes : ( C) (10 -2 kg vap./kg air) 0 5 10 15 20 25 30 40 45 0, 38 0, 54 0, 76 1, 1 1, 5 2, 0 2, 7 4, 9 6, 6 ! 0; 05 zone de brouillard 0; 02 0 10 20 30 40 La courbe = f () sépare le quart de plan en deux domaines disjoints. L'axe = 0 (air sec) n'est évidemment pas dans la zone de brouillard donc cette zone est située au-dessus de la courbe. I.6 À la température de rosée, l'air est saturé, c'est-à-dire que = 1 soit Pv = Pvsat . Si de l'air à 30 C a une température de rosée de 10 C alors Pv (30 C) = Pvsat (10 C) = 1 227 Pa Comme Pvsat (30 C) = 4 247 Pa il vient (30 C) = Pv (30 C) = 0, 289 Pvsat (30 C) I.7 L'enthalpie étant une fonction d'état extensive, on peut écrire H = Ha + Hv où Ha et Hv sont les enthalpies de l'air sec et de la vapeur d'eau respectivement. On peut définir de même des enthalpies massiques en posant Hi = mi hi Ainsi, H = m h = ma h a + mv h v On calcule séparément ha et hv en utilisant la deuxième loi de Joule puisque les gaz sont considérés comme parfaits. Commençons par traiter ha en écrivant ha = cpa En tenant compte du fait que hréf a = 0 pour = 0 C, il vient ha = cpa On ne peut pas calculer hv aussi directement car l'état de référence (hréf = 0) est pris pour l'eau liquide. On calcule la variation d'enthalpie en utilisant un état intermédiaire dans lequel l'eau est à l'état de vapeur à 0 C (on note h0g son enthalpie massique). Ainsi, réf hv () - hréf = (hv () - h0g ) + h0g - h