CCP Physique 1 PC 2001

Thème de l'épreuve Formation de neige artificielle. Étude d'une turbine Pelton.
Principaux outils utilisés thermodynamique, changement d'état, hydrodynamique, théorème du moment cinétique

Corrigé

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SESSION 2001 PCOO5 A CONCOURS (OMMUNS POlYTE(HNIOUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC PHYSIQUE 1 DURÉE : 4 heures L'utilisation des calculatrices est autorisée - Les deux problèmes sont indépendants PROBLEME I - FORMATION DE NEIGE ARTIFICIELLE Certains hivers, il faut améliorer l 'enneigement des pistes de ski en utilisant de la neige artificielle. Elle est produite à l'aide de canons à neige. La qualité de la neige produite dépend principalement des conditions atmosphériques et de la façon dont sont générées les gouttes d'eau à l'intérieur du canon. On se propose ici de traiter quelques points relatifs à la thermodynamique et aux transferts thermiques mis en jeu lors de la production de neige artificielle. Quelques données thermodynamiques de l'eau sont disponibles à la fin de l'énoncé. 1- Changement de phase solide-liquide des corps 1- 1. D'après le diagramme présenté sur la figure 1 : -- Situer les zones solide, liquide, et vapeur. -- Définir les points X et Y et décrire brièvement ce qui s'y passe. - Comment s'appellent les courbes SY, Yf et XY ? Figure 1 On appelle chaleur latente massique de transition de phase, de la phase 1 vers la phase 2, le transfert thermique L;2 nécessaire pour réaliser de façon réversible à la température T sous la pression P, la transition de l'unité de masse d'un corps pur, tel que : qu2 : h2 ---- h1 où h 1 et h; sont les enthalpies massiques des phases 1 et 2. Tournez la page S.V.P. I- 2. Montrer que la transition de phase est associée à une discontinuité de l'entropie telle que : L12 : TAS : T(sz ---- sl) où SI et 32 sont les entropies massiques respectives des phases 1 et 2 et T la température de changement de phase à la pression P. L 3. Montrer que le changement de phase réversible d'un corps pur se fait à enthalpie libre constante. I- 4. En déduire la relation de Clapeyron qui donne au point (PO,To) la pente de la courbe de changement de phase dans un diagramme (P,T) en fonction de L12, T0 et des volumes massiques vl et v2 des phases 1 et 2. I- 5. Calculer la pente de la courbe d'équilibre solide--liquide de l'eau dans un diagramme (P,T) à T : O°C. On donne d la densité de la glace : d = 0.917. Pourquoi le diagramme de la figure 1 n'est--il pas celui de l'eau '? I- 6. Donner l'équation de la courbe d'équilibre solide--liquide de l'eau assimilée à une droite. 1- 7. On considère l'échauffement isobare de la glace prise à T = - 5°C sous 500 bars. Quelle est la température de changement de phase de la glace '? Que se passe--t--il si l'échauffement a lieu à une pression inférieure à P,, ? I- 8. Soient g;(T) l'enthalpie libre massique de l'eau liquide et gS(T) l'enthalpie libre massique de l'eau solide calculées à pression constante. Leurs variations en fonction de la température au voisinage de la température de changement de phase Tf sont représentées sur la figure 2. Montrer que l'entropie diminue lorsque le degré d'organisation de la matière augmente. g(T) Tf T Figure 2 : variations en fonction de la température, au voisinage de la température de changement de phase Tf, des enthalpies libres massiques des phases liquide et solide I- 9. Qu'appelle-t-bn surfusion '? II- Germination : Modèle de Volmer Le processus de changement de phase liquide-solide repose sur le concept de germination. La germination est définie comme la formation d'une nouvelle phase dans une région distincte séparée de ce qui l'entoure par une limite bien définie : l'interface liquide-solide. L'énergie interfaciale O'(N. m"), à la température T et à la pression P est définie à partir du travail ÔÎ/V qu'il est nécessaire de fournir au système pour former une interface d'aire dA : ôW : odA Ainsi, la prise en compte d'une interface d 'aire A entre deux phases, revient à ajouter le terme O'A à [ 'enthalpie libre. En évaluant la variation d 'enthalpie libre associée à la formation d'un germe sphérique solide dans un volume donné de liquide, le modèle de VOLMER montre que le changement de phase liquide-- solide des corps purs ne peut avoir lieu que si la température du système est inférieure à la température thermodynamique de changement de phase à la pression considérée. ETAT 1 ETAT 2 Germe solide sphérique de rayon r Soit m la masse totale du système dans l'état 1 et 2, et vs le volume massique de la phase solide contenue dans le germe sphérique de rayon r du système dans l'état 2. II. 1- Calculer l'enthalpie libre G1 du système dans l'état 1. II. 2- Calculer en fonction des enthalpies libres massiques g; du liquide et g, du solide, de 0", vs, m et r l'enthalpie libre GZ du système dans l'état 2. II. 3- En déduire la variation d'enthalpie libre AG 12 correspondant au passage du système de l'état 1 à l'état 2. II. 4- Donner l'allure de AG 12(r) pour T = T; et T< 7}. Montrer que l'état 2 ne peut être stable que si T < T_;-- et que la nouvelle phase ne peut continuer à se développer que si le rayon du germe est supérieur à une valeur minimale re...--tique que l'on calculera en fonction de gl, g,, oet D,. II. 5- En utilisant les données de la figure 2, montrer que la germination est d'autant plus facile que la surfusion est importante. Tournez la page S.V.P. 111- Fabrication de neige artificielle -- Canon à neige La neige artificielle est obtenue en pulvérisant, à l'aide de canons à neige de fines gouttes d'eau liquide à Ti : 10°C dans l'air ambiant & la température Te : --15 °C. On propose de calculer le temps mis par une goutte d'eau pour passer de l'état liquide à l'état solide. On suppose que la goutte d'eau est sphérique de rayon R = 0.2 mm et que sa température à tout instant est uniforme. A l'interface eau-air, le flux thermique dû à travers une surface dS dans le sens de la normale extérieure n est donnée par la loi des transferts convecto-diflùsifs : dOE= h [T(t)-- Te] dS où T( t) est la température de la goutte, supposée uniforme, & l'instant t. h est une constante que l'on prendra égale à h = 65 W. m'2 IC]. ' III- 1. En utilisant le premier principe de la thermodynamique, en supposant la goutte indéf0rmable, en équilibre mécanique avec le milieu ambiant, établir que l'équation qui régit la variation temporelle de la température T(t) de la goutte d'eau liquide est : pc,R £ =-3h[T(t)--Te] dt où c; est la capacité thermique massique de l'eau liquide et p sa masse volumique supposée constante. III- 2. Montrer que la variation temporelle de la température de la goutte liquide est régie par : T(t)--Te =6--% Tl --Te Exprimer T en fonction de h, ,o, c, et R. Calculer le temps ta mis par la goutte d'eau liquide pour atteindre la température de surfusion T(l0) : --5°C. III- 3. Lorsque la goutte atteint la température ' de --5°C, il y a rupture de la surfusion : la température est alors égale à 0°C et la goutte est partiellement solidifiée. Calculer la fraction x de liquide restant à solidifier après la rupture de la surfusion. On admettra pour cela la transformation adiabatique car très rapide. On néglige également la variation de volume due au changement de masse volumique. III- 4. Calculer le temps nécessaire à la solidification du reste de l'eau liquide. 111- 5. A son arrivée au sol, le rayon de la goutte solide est inférieur à celui de la goutte liquide injectée par le canon à neige (on néglige la variation de masse volumique avec la température) : la glace s'est sublimée. Quel est le mécanisme physique responsable de cette sublimation '? Quelques données thermodynamiques de l'eau Point triple : T,, = 0.01 °C Ptr : 06113 kPa Point critique : Pc : 22.09 MPa Tc : 374.14 °C Chaleur latente de changement de phase solide-liquide (P = 105 Pa) L,(273K) : 333 k]. kg" Capacité thermique massique (à 0°C) : de l'eau liquide : cl: 4.18 l 

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 CCP Physique 1 PC 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Yannick Alméras (professeur en CPGE) ; il a été relu par Florent Tournus (ENS Lyon) et Jean-David Picon (École Polytechnique). Ce sujet comporte deux problèmes indépendants. Le premier traite de la production de neige artificielle pour les pistes de ski. Le second s'intéresse à la conversion de la puissance hydraulique d'une cascade en puissance mécanique par le biais d'une turbine Pelton. · Après avoir réétabli quelques résultats importants concernant les transitions de phase liquide-solide, le premier problème s'intéresse à l'étude de la surfusion avec le modèle de germination de Volmer, puis à la solidification des gouttes d'eau après leur éjection du canon à neige. · Après quelques rappels de mécanique des fluides, le second problème aborde la question de la conversion de la puissance hydraulique en puissance mécanique. Il se termine sur une étude dynamique du démarrage et de l'arrêt de la turbine. Ce sujet permet de revoir les transitions de phase solide-liquide, ainsi que les bases de la mécanique des fluides. Il propose en outre, pour chaque problème, une application amusante ou utile. Indications Problème I I.I.2 Appliquer le second principe, à pression et température fixées. I.I.3 Utiliser un potentiel thermodynamique. I.I.4 Démontrer dans un premier temps l'égalité à l'équilibre des enthalpies libres massiques de chaque phase. Dans un deuxième temps, en déduire la relation de Clapeyron en utilisant l'égalité précédente pour deux points de la courbe d'équilibre infiniment proches. I.I.5 Choisir un point simple pour les calculs ultérieurs. I.I.8 s est donnée par l'opposé de la pente de g(T). I.II.4 Le système avec un germe est favorisé thermodynamiquement par rapport au système liquide pour G12 < 0. rcritique correspond au rayon où G2 (r) devient décroissant. I.II.5 Calculer la barrière énergétique G12 (rcritique ) et conclure. I.III.1 Exprimer la chaleur reçue pendant dt. I.III.2 Poser (t) = T(t) - Te pour l'intégration. I.III.3 D'où provient la chaleur permettant le passage de -5 C à 0 C ? Problème II II.I.3 Intégrer sur une ligne de courant pour l'écoulement irrotationnel. II.II.1 Faire un petit dessin. II.II.2.3 Ne pas se laisser impressionner par l'erreur d'énoncé. II.II.2.5 Pour un couple et une vitesse angulaire , la puissance vaut P = . - II.II.4 Regarder l'expression initiale de C . II.III.2 Poser = m - pour l'intégration. II.III.4 Que penser du rendement dans le régime de fonctionnement choisi ? Problème I Formation de neige artificielle I. Changement de phase solide-liquide des corps I.I.1 Le point X, limitant la courbe d'équilibre liquide-gaz, est le point critique : au-delà de ce point, il est impossible de distinguer les phases liquide et gaz. Si l'on contourne le point critique, il n'est plus possible d'observer une coexistence entre les deux phases car les propriétés physiques du corps pur, qui permettent de les distinguer, évoluent continûment. P f solide Y s liquide X gaz T Au-delà du point critique (T > Tc et P > Pc ), le système porte le nom de « fluide supercritique », pour traduire l'impossibilité de différencier les phases liquide et gaz. Il existe une définition mathématique du point critique : c'est le point d'inflexion de l'isotherme critique dans le diagramme (p, V, T). Le point Y est le point triple, seule combinaison de pression et de température permettant aux trois phases d'exister simultanément en équilibre. La courbe sY est appelée courbe de sublimation (ou, parfois, de condensation). La courbe Yf est appelée courbe de fusion (ou, parfois, de solidification). La courbe XY est appelée courbe de vaporisation (ou, parfois, de liquéfaction). I.I.2 Soit T la température de la transition de phase à la pression P ; T et P sont fixés. La transition 1 - 2 étant une transformation réversible, le second principe donne S = On en déduit QP H m L12 = = T T T L12 = T(s2 - s1 ) Lorsque L12 est non nul, il existe bien une discontinuité de l'entropie au changement de phase. En réalité, L12 n'est pas nul pour une transition de phase de première espèce. Il existe d'autres transitions de phase, dites de deuxième espèce, pour lesquelles L12 = 0. Dans le problème présent, en dehors du point critique, toutes les transitions sont de première espèce et il y a bien discontinuité de l'entropie massique. I.I.3 Soit le système fermé constitué du corps pur dont on étudie la transition de phase. La transformation est réversible, à T et P fixés. Par conséquent, le potentiel thermodynamique adapté au problème posé est l'enthalpie libre G. On sait alors que l'équilibre est obtenu lorsque G est minimal, d'où dG = 0. L'enthalpie libre est constante lors du changement de phase d'un corps pur. I.I.4 On reprend le système fermé précédent constitué du corps pur en transition de phase. D'après l'extensivité de G et en posant les enthalpies libres massiques g1 (P, T) et g2 (P, T) de chacune des phases de masses respectives m1 et m2 , on peut écrire au cours de la transformation G(P, T) = m1 g1 (P, T) + m2 g2 (P, T) L'extensivité de G n'est utilisable que lorsque les phases sont non miscibles, c'est-à-dire lorsque le système est la simple réunion des deux sous-systèmes {phase 1} et {phase 2}, ce qui est le cas envisagé dans le programme de physique de Spé PC. Dans le cas de mélanges, il est nécessaire d'introduire le potentiel chimique (cf cours de chimie). Alors dG = dm1 g1 (P, T) + dm2 g2 (P, T) Comme le système considéré est fermé, sa masse m = m1 + m2 est constante, donc on peut écrire dm = dm1 = -dm2 . Ainsi, dG = dm (g1 (P, T) - g2 (P, T)) En utilisant la question précédente, dG = 0 lors de la transition de phase 1 - 2 . On en déduit un résultat intermédiaire important, méritant d'être encadré. La condition d'équilibre des phases à T et P est g1 (P, T) = g2 (P, T). C'est cette égalité qui fixe l'équation P(T) de la courbe d'équilibre entre les phases 1 et 2 et il est, par conséquent, légitime de l'utiliser pour déterminer la pente de cette courbe. Considérons deux points, de coordonnées (P0 , T0 ) et (P0 + dP, T0 + dT), se trouvant sur la courbe de changement de phase et infiniment proches. Le résultat intermédiaire précédent donne g1 (P0 , T0 ) = g2 (P0 , T0 ) et g1 (P0 + dP, T0 + dT) = g2 (P0 + dP, T0 + dT) Par différence de ces deux équations, on trouve qu'au voisinage de (P0 , T0 ) sur la courbe de changement de phase, on a dg1 = dg2 Par conséquent, -s1 dT + v1 dP = -s2 dT + v2 dP