CCP Physique 1 PC 2000

Thème de l'épreuve Dispositifs de mesure du champ de pesanteur ; structures de l'atmosphère terrestre et du Soleil
Principaux outils utilisés mécanique du point, thermodynamique, raisonnements énergétiques

Corrigé

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SESSION 2000 PC006 A CONCOURS COMMUNSÏ'OlYTECHNIOUES ÉPREUVE SPÉCIFIOUE-FILIÈRE PC PHYSIQUE 1 DURÉE : 4 heures Les calculatrices sont autorisées ; les parties 1 et Il sont indépendantes. PARTIE 1 --DISPOSITIF S DE MESURE DU CHAMP DE PESANTEUR. 1.1.- Pendule de Holweck-Leiav Une masse ponctuelle m est placée à l'extrémité A d'une tige de masse négligeable, de longueur EUR = OA, articulée en un point fixe 0 et mobile dans un plan vertical ; un ressort spiral exerce sur cette tige un couple de rappel --C9, où 9désigne l'angle que fait la tige avec la verticale ascendante & . On désigne par g l'intensité du champ de pesanteur. 1.1.1. Le système étant conservatif et à un degré de liberté 9, former l'expression de l'énergie mécanique totale du système. L'expression précédente est une constante du mouvement ou intégrale première. 1.1.2. En déduire l'équation du mouvement. 1.1.3. En considérant 9 comme petit, à quelle condition la position 8 = 0 correspond-elle à un équilibre stable d'un oscillateur harmonique '? 1.1.4. Cette condition étant supposée réalisée, calculer la période T des petites oscillations que l'on écrira sous la forme : T : 27r./Æ/iA -- g) en donnant l'expression de A. 1.1.5. Calculer la variation relative de la période AT/T correspondant à une petite variation Ag de l'intensité du champ de pesanteur. Montrer que cet appareil peut être rendu plus sensible qu'un pendule simple, dont on appellera ATD/7}, la précision sur la mesure de la période T0 des petites oscillations. Tournez la page S.V.P. J. 0995 1.2.-- Système masse--ressort Un ressort à spires jointives de raideur k et de masse m0 est suspendu verticalement par son extrémité A, en un lieu où l'accélération de la pesanteur est g. Sa longueur au repos est E.,. On donne: k= 33 Nm" ; EUR, = 0,35 m ; m, = 0,105 kg A \ A l'autre extrémité B on accroche une masse quasi ponctuelle m. Le ressort s'allonge de la quantité h telle que BO = h. La longueur du ressort est alors AO = [. d'équilibre Etude statique négligeant la masse mg 1.2.1. Exprimer g en fonction de h. 1.2.2. Application numérique : pour m = 0,200 kg, on mesure h = 59,5 i 0,1 mm ; déterminer g et sa précision relative en sachant que m et k sont connus au millième près. Etude dynamique négligeant la masse mg A partir de la position d'équilibre 0 prise comme origine, on écarte la masse m d'une quantité x et on la lâche sans vitesse initiale au temps t = 0. 1.2.3. Ecrire l'équation du mouvement de la masse m en lui appliquant le principe fondamental de la dynamique. 1.2.4. En supposant le mouvement harmonique de la forme x = xo sin mot, où x0 représente l'amplitude des oscillations et 030 leur pulsation, donner 0)â en fonction des paramètres du système. 2 1.2.5. Exprimer g en fonction de h et 030 . 1.2.6. Application numérique: pour m = 0,200 kg, on compte l 13 oscillations par minute; calculer g. Méthode de Ragleigh Le résultat précédent est erroné car on n'a pas tenu compte de la masse m0 du ressort dans l'étude du mouvement. Ceci peut être fait grâce à la méthode de l'énergie dite de Rayleigh (1880). Le mouvement de l'oscillateur harmonique est conservatif : T est l'énergie cinétique T + V = constante , _ _ V est l'energie potentielle totale 1.2.7. Montrer que la relation ci-dessus se réduit ici à : T + V' = constante où V' = % k x2 est une partie de V. 1.2.8. Dans le cas précédent (masse du ressort négligée et x = x0 sin mot) : - déterminer le maximum de T ; que vaut alors V' ? - déterminer le maximum de V' ; que vaut alors T ? On peut donc écrire le principe de conservation de l'énergie mécanique sous la forme : T...ax = V'max et obtenir facilement la pulsation 030. On applique cette méthode à l 'ensemble masse-ressort de la façon suivante : Tmax (mo) + Tmax (m) : V'max (ressort) On ignore comment se déplace le ressort, mais on fait une hypothèse raisonnable sur la déformation dynamique, en supposant qu'elle est très proche de la déformation statique. L'extrémité se déplaçant de x... on postule que tous les points d'abscisse x du ressort entre 0 et EUR (l'origine des x est prise en A dans ce cas) se déplacent proportionnellement suivant le rapport x/Ë . Si X est la masse linéique du ressort (m0 = M), un élément de masse ldx , à la cote x, se déplace suivant ." (x/Ë) xQ sin oe0t 1.2.9. Exprimer l'énergie cinétique élémentaire maximale : dT...ax I.2.10. Calculer l'énergie cinétique maximale du ressort T...ax (m0), en fonction de m0 et de oeâ, par intégration de 0 à EUR. I.2.11. A partir des expressions de T...ax (m), "l"...ax (m0), et V'max (m) déduire la nouvelle 2 expression de 050 . I.2.12. Comparer ce résultat avec le cas où la masse du ressort n'est pas prise en compte. 2 12.13. Exprimer de nouveau g en fonction de h et 03 0 , avec intervention des masses. I.2.14. Calculer g dans les mêmes conditions que la question 1.2.6. et conclure. Tournez la page S.V.P. PARTIE II -- STRUCTURE DE L'ATMOSPHERE TERRESTRE ET STRUCTURE DU SOLEIL. L'atmosphère est essentiellement constituée d'un mélange gazeux, l'air. Ce mélange comprend surtout de l'azote (78 % en volume) et de l'oxygène (21 %). Pour le reste, soit 1 % on y trouve de l'argon (« 1 %), du gaz carbonique (0,03 %) et des traces infimes d'une multitude d'autres gaz : néon, krypton, hélium, ozone, hydrogène, xénon ainsi que les différents rejets de la biosphère. Cette composition est assez constante jusqu'à 85 kilomètres d'altitude sauf pour certains gaz, par exemple l'ozone, qui est surtout présent entre 30 et 40 kilomètres d'altitude. L'atmosphère est stratifiée en température (et donc également en pression), ainsi qu'on l'observe sur la figure ci-dessous. La remontée en température dans la stratosphère s'explique par l'absorption des rayons solaires due à l'ozone. 1 00 90 i , ionosphère 80 4 70 ? f 60 50 V 40 ' » £ 30 - Ï stratosphère 20 1 0 r 0 mésosphère altitude en km troposphère -70 -60 -50 --40 -30 -20 -10 0 10 20 température en °C Fig.]. Température de l'air en fonction de l'altitude. En plus de ces gaz, on trouve des proportions variables de vapeur d'eau ( rarement plus de 5 % du total de l'air humide). Cette quantité est proportionnelle à la température, ce qui explique le phénomène de condensation (pluie, brouillard, neige) de l'air chaud humide qui a tendance à s'élever donc à se refroidir. On néglige ce phénomène dans les différentes modélisations suivantes, qui ne concerneront donc que l'air sec. II.1.- uestions réliminaires. On considère que l'air suit la loi des gaz parfaits : PV = RT pour une mole II.].1. En faisant appel aux connaissances sur les gaz parfaits, vérifier que : R = 8,32 S.]. II.1.2. Montrer qu'à partir de la composition de l'air, la masse molaire de l'air vaut M = 29 g/mole. La masse molaire de l'argon est 40 g/mole, celles de l'oxygène et de l'azote sont supposées connues. 11.1.3. La loi des gaz parfaits peut s'écrire : Donner la définition de p. II.].4. Justifier que l'équilibre hydrostatique peut s'écrire : dP = - pgdz et définir g. Pour la suite, on supposera g uniforme et on prendra : g = 9,81 SI. II.2.-- Atmosphère isotherme. II.2.1. Etablir l'équation baromètrique : --Mgz P(z) = P(O)-e RT Soit n = n(z) la densité volumique de molécules à l'altitude z. II.2.2. Montrer que l'on peut écrire la loi des gaz parfaits sous la forme : P = nkT où k = R/JV' ./V'est le nombre d'Avogadro II.2.3. Montrer que l'on obtient l'équation du nivellement barométrique suivante : £LZ) n(z) = n(0) e " Quelle est la signification physique de E(z) ? Il est intéressant de noter que cette expression a conduit Boltzmann sur le chemin de la thermodynamique statistique classique et que la constante k porte son nom. II.2.4. Quelle est la signification physique de kT ? II.2.5. Calculer le rapport P(z)/P(0) à 10 000 mètres dans une atmosphère isotherme à T = 288 K. II.2.6. Montrer que 70 % de la masse totale de l'air est située en dessous de 10 000 mètres pour une atmosphère isotherme à T = 288 K. Tournez la page S.V.P. II.3.- Atmosphère adiabatigue et allotropigue. L'air suit toujours la loi des gaz parfaits, mais il est maintenant le siège de phénomènes adiabatiques réversibles suivant la loi : PVY = constante 11.3.1. Sachant que pour un gaz diatomique les capacités thermiques molaires sont telles que : Cp = 5 R et Cv = 5 R, exprimer le coefficient y. 11.3.2. Etablir l'équation des adiabatiques réversibles TX . Py = constante, en fonction de y . dT dP 11.3.3. Etablir la relation donnant î: en fonction de P dT ' II.3.4. Etablir l'expression du gradient de température adiabatique (--d-- , en fonction de y, M, g 2 adia et R ; calculer sa valeur pour l'air. II.3.5. "Mesdames et Messieurs, le commandant est heureux de vous accueillir à bord. Notre montée est maintenant terminée et nous volons actuellement à 10 000 m. La température extérieure est de x°C. Il faisait 15 °C à notre départ etc " dT A partir de la figure, donner la valeur de x et du gradient de température réel (d--) et le 2 réel comparer au gradient adiabatique. Les transformations réelles au sein de l'atmosphère ne sont ni isothermes (PV = constante), ni strictement adiabatiques (PVy = constante), mais se situent entre les deux. On les dit allotr0piques : PVq = constante, 1 < q  _ dZ adia dZ réel Schwarzchild a établi ce critère en vue de comprendre la structure interne du soleil. Soit donc un fluide en équilibre hydrostatique, sous l'action de la pesanteur, tel que : dP = -- pgdz On notera P, T et p les pression, température et masse volumique du fluide. Un petit élément de volume dV, de section horizontale dS et d'épaisseur dz, initialement à l'altitude 2, se déplace verticalement de la quantité 62. Il se met immédiatement en équilibre de pression avec le milieu ambiant à l'altitude z+ 82. Il subit donc une détente ou une compression adiabatiques. Sa masse volumique et sa température notées respectivement p] et T1 , sont différentes du fluide ambiant qui n'est plus en équilibre adiabatique. Il.4.l. Montrer que l'équation du mouvement est : .. ôp .. 62 6 =--- ' 6 =---- t 6 = -- Z p} g ou 2 ôt2 @ p p pl Il.4.2. Montrer que l'on peut écrire au premier ordre : 8 °z°=ag[T, --T(z+ôz )] où a=----(_JP 11.43. En déduire le critère de Schwarzchild. L'étude du mouvement des planètes autour du soleil permet d'assigner à ce dernier une masse M5 = 2.1030 kg, ainsi que de déterminer la distance terre--soleil a = 150 millions de kilomètres. Le disque solaire ou photosphère possède une température de 5 800 K en accord avec la loi du maximum d'émission du corps noir, qui correspond à une longueur d'onde 7»... située au centre du spectre visible (chlorophylle), conformément à : Tournez la page S.V.P. À --T = 2898 avec À...en um etTen K. m 11.4.4. Calculer X... De la terre, le disque solaire est vu sous un angle de 32' (c 'est-à--dire 32 minutes d 'arc). 11.4.5. Donner la valeur du rayon solaire R5 et calculer la masse volumique moyenne pS du soleil. Soit M(r) la masse contenue dans une sphère de centre O et de rayon r et soit p(r) la masse volumique en r. dP M - II.4.6. Etablir la relation: a = --G---(ËQ où G = 6,67.10'11 SI est la constante de r gravitation universelle. 11.4.7. Calculer la pression au coeur du soleil PCS en identifiant : P dP CS ...-- R dr 5 On considère que la matière qui constitue le soleil est un gaz parfait d'hydrogène ionisé composé de protons H et d'électrons e. Il y a donc deux particules et la masse molaire moyenne est u= 5 10"4 kg/mole; [' équation d' état du soleil s 'e'crit P(r) = ü.R.T(r) u 11.4.8. Calculer la température au coeur du soleil TCS. Il est à noter que c'est à cause des valeurs très élevées de TCS et de PCS que les atomes légers d'hydrogène entrent en collision avec une telle violence qu'ils parviennent à surmonter la répulsion coulombienne pour fusionner en un noyau plus lourd : l'hélium, synonyme de soleil. Calculer le gradient réel de température. II.4.9. Exprimer le gradient de température adiabatique à la distance r du centre du soleil en fonction de M(r ). 11.4.10. En supposant que pratiquement toute la masse du soleil est concentrée à l'origine, trouver à quelle distance rc du centre doit apparaître la convection naturelle. On prendra y = 5 , valeur du gaz monoatomique. Fin de l'énoncé

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 CCP Physique 1 PC 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Yannick Alméras (ENS Ulm) ; il a été relu par Olivier Arcizet (ENS Ulm), Étienne Reyssat (ENS Ulm) et Franck Stauffer (ENS Lyon). Le sujet se divise en deux parties indépendantes. Dans la première partie, on étudie deux dispositifs de mesure du champ de pesanteur. Tout d'abord, le pendule de Holweck-Lejay est analysé rapidement. Ensuite, on s'intéresse à un système masse-ressort qui permet de mesurer - g de façon statique ou dynamique. Dans ce dernier cas, la méthode de l'énergie, dite de Rayleigh, est utilisée pour tenir compte de la masse du ressort. La seconde partie s'intéresse, en premier lieu, à la structure de l'atmosphère terrestre. Elle demande de résoudre les modèles de l'atmosphère d'abord isotherme, ensuite adiabatique et, enfin, allotropique. Dans un second temps, on étudie la structure du Soleil en faisant appel au critère de Schwarzchild. Ce problème, de longueur raisonnable pour le temps imparti, fait appel aux connaissances de mécanique du point, de thermodynamique et aux raisonnements énergétiques. Indications Partie I I.1.2 Dériver l'équation énergétique obtenue à la question I.1.1. I.1.3 Reconnaître l'équation d'un oscillateur harmonique. I.1.5 Utiliser la technique de différentiation logarithmique. I.2.1 Remarquer que l0 est la longueur du ressort à vide. I.2.3 Penser à utiliser le résultat de la question I.2.1. I.2.7 Encore une fois, utiliser le résultat de la question I.2.1. I.2.9 Avant tout calcul, il est conseillé de réécrire clairement, en prenant le point A pour origine de l'axe des x, l'équation du mouvement de l'élément de ressort. I.2.13 Utiliser le résultat de la question I.2.1. Partie II II.1.1 Utiliser la définition des conditions normales de température et de pression. II.2.6 Passer par l'intermédiaire du calcul de la masse d'air se trouvant en dessous d'une altitude Z, dans une colonne verticale de section S. II.3.4 Utiliser la question II.1.4. II.3.6 Il y a analogie formelle avec la question II.3.4. II.3.8 Penser à appliquer une formule analogue à celle de la question II.3.2. II.4.3 Reconnaître l'équation d'un oscillateur. II.4.5 Une minute d'arc est égale à la soixantième partie d'un degré. II.4.7 Attention à l'erreur de signe qui s'est glissée dans l'énoncé. II.4.8 Penser à l'équation d'état du soleil. II.4.9 Partir du résultat de la question II.3.3 et utiliser l'équation d'état du soleil ainsi que la question II.4.6. Partie I Dispositifs de mesure du champ de pesanteur I.1 Pendule de Holweck-Lejay I.1.1 L'expression de l'énergie totale du système s'obtient en sommant l'énergie cinétique de la masse m avec l'énergie potentielle de pesanteur et celle du couple de rappel : E = Ec + Ep, pesanteur + Ep, couple Par conséquent, E= 1 1 m l2 2 + mgl cos + C 2 + Cte 2 2 Il est particulièrement intéressant de calculer l'énergie du système puisqu'il n'a qu'un seul degré de liberté et qu'il est conservatif (énergie mécanique constante). Cette seule équation suffit pour connaître la dynamique du système. I.1.2 L'équation différentielle du mouvement s'obtient en dérivant l'expression de l'énergie E précédente par rapport au temps. Celle-ci étant une constante, on trouve d'abord 0 = ml2 - mgl sin + C Ensuite, il reste à arranger cette expression en supposant que 6= 0. Cette hypothèse est raisonnable dans la mesure où l'on s'intéresse dans la suite aux solutions oscillantes. Ainsi, on parvient à + C g - sin = 0 ml2 l I.1.3 Pour des angles petits, on peut écrire dans l'équation précédente que sin . On en déduit que C - mgl =0 ml2 On trouve l'équation d'un oscillateur harmonique, dont la position d'équilibre = 0 est stable, si + C > mgl Le couple de rappel doit être suffisamment important pour pouvoir compenser le moment du poids de la masse m. Dans le cas contraire, on n'a plus affaire à un oscillateur harmonique et l'angle = 0 est instable. 2 I.1.4 On sait que l'équation d'un oscillateur harmonique de période T0 = est 0 de la forme x + 02 x = 0 À partir de l'équation différentielle obtenue à la question I.1.3, on trouve la période T des petites oscillations T = 2 r l A-g avec A = C ml Le radical a un sens dans la mesure où on a A > g avec la condition de la question I.1.3. T I.1.5 Le calcul de la variation relative de la période s'effectue par différentiation T logarithmique de l'expression précédente de T. Celle-ci donne dT 1 dg = T 2 A-g T 1 g = T 2 A-g Par conséquent, Dans le cas d'un pendule simple, la période est T0 = 2 tiation logarithmique, on a r l , donc, par différeng T0 1 g = T0 2 g Il n'y a pas le signe négatif de la différentiation logarithmique car les variations relatives s'expriment en valeur absolue lorsqu'elles représentent une précision de mesure. Le pendule de Holweck-Lejay est donc plus sensible qu'un pendule simple si T T0 < T T0 C'est le cas si soit 1 g 1 g < 2 A-g 2 g A > 2g Cette condition est effectivement réalisable, d'où l'intérêt du pendule de HolweckLejay par rapport au pendule simple pour la mesure du champ de pesanteur. On remarque, à partir de la formule de la période T obtenue à la question I.1.4, que celle-ci sera plus faible que la période T0 du pendule simple équivalent.