X Maths 2 PC 2002

Thème de l'épreuve Coefficients diagonaux de matrices réelles
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, changements de base, groupe orthogonal, compacité
Mots clefs connexité, calcul matriciel

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2002 FILIÈRE PC DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** Ce problème a pour but principal l'étude des coefficients diagonaux des diverses matrices semblables à une matrice donnée. On désigne par n un entier 2 2, par M,,(R) l'espace des matrices à coefficients réels, a n lignes et n colonnes, et par I la matrice identité; on appelle scalaires les matrices de la forme ÀI où /\ est un réel. On rappelle que deux matrices A et B sont dites semblables S'il existe une matrice inversible Q vérifiant B = QAQ"1, c'est-à--dire si A et B représentent un même endomorphisme de R" dans deux bases de R'". Première partie 1. Démontrer les assertions suivantes : a) Si une matrice A est non scalaire, il existe un vecteur X de R'", non nul et non vecteur propre pour A. b) Soit A E M,,(R), z' et j EUR {1,. . . ,n}. Il existe une matrice B semblable a A telle que bm : am , bj)j = a... , bk,k = CI,/EUR,]EUR pour tout [EUR # i,j . Deuxième partie - 2. On se donne une matrice A de M,, (R) de trace nulle et on se propose de démontrer qu'il existe une matrice B semblable à A ayant tous ses coefficients diagonaux nuls. &) Montrer que si A est non nulle, il existe une base (X1,.... ,Xn) de R" telle que AX 1 = X2. b) Conclure en procédant par récurrence sur n. 3. Applications numériques. Dans chacun des cas considérés, on indiquera une matrice B répondant à la question et une base qui lui correspond. a) n = 2, A est diagonale avec coefficients diagonaux 1, --1. b) 77. = 3, A est diagonale avec coefficients diagonaux 1,0, --1. 4. Soit A une matrice de M,,(R) non scalaire. Montrer qu'il existe une matrice B semblable a A avec coefficients diagonaux de la forme (75, O, . . . ,0), et exprimer t en fonction des coefficients diagonaux de A. 5. Soit A une matrice de M,,(R) non nulle. Montrer qu'il existe une matrice B semblable à A avec coefficients diagonaux tous non nuls. Troisième part ie On dira que deux matrices A et B de M,,(R) sont orthosemblables s'il existe une matrice or-- thogonale Q vérifiant B = Q A Q_1, c'est--à--dire si A et B représentent un même endomorphisme de R" dans deux bases orthonormales de R'". Pour toute matrice A on pose f(A) =SUp{lai,i --OEj,jl ïi7j = 17... un}' On se donne une matrice A et on se propose de démontrer qu'il existe une matrice B, orthosemblable à A et ayant tous ses coefficients diagonaux égaux. 6. Démontrer l'assertion dans le cas où n = 2. 7. On suppose maintenant n quelconque et les a...- non tous égaux. a) Montrer qu'on peut supposer f(A) : la... -- a2,2|. b) Construire une matrice A' , orthosemblable à. A et telle que 2,2 ai,1 : a/2,27 a! ' = a...; Vi ? 3 » |"i,1 _ aÊ,il < f(A) Vi ? 3- c) Construire une matrice A" , orthosemblable a A et telle que f (A" ) < f(A). On désigne par On(R) l'ensemble des matrices orthogonales, et par E A celui des matrices orthosemblables à. A. 8.a) Montrer que E A est une partie compacte de Rn2. b) Montrer que la restriction de la fonction f a E A atteint son minimum. c) Conclure. 9. Application numérique. On prend n = 3 et A diagonale avec coefficients diagonaux (1,0,0); on note A..., m = O, 1, . .. les matrices successives obtenues par la méthode précé-- dente, de sorte que 11 111 dl&g (AO) : (17070) 7 dl&g(A1)= (57 570) 7 dl&g (A2) : (57171) 9 etc - Déterminer f (A...) et les coefficients diagonaux de A.... Quatrième partie On munit R" de son produit scalaire usuel noté (..|) et de la norme correspondante || - ||. Pour toute matrice A de MAR) on pose R(A) = {(AX'IX) = I|Xll = 1}- 10. Démontrer les assertions suivantes : &) R(A) contient les valeurs propres réelles de A ainsi que ses coefficients diagonaux. b) R(A) est un intervalle fermé borné de R. C) Si A est symétrique et de trace nulle, le nombre 0 appartient à R(A). 11. Montrer que si la trace t de A appartient a R(A), il existe une matrice B orthosemblable a A avec coefficients diagonaux (t, 0, . . . ,0). Cinquième part ie On note Sp (A) l'ensemble des valeurs propres d'une matrice A. 12. On se donne une matrice non nulle A de Mn(R) et on note B une matrice semblable a A ayant tous ses coefficients diagonaux non nuls. &) Trouver une matrice Y telle que l'on ait Sp (Y) = {1} et Sp (B+Y)ñSp (Y) =®. b) Construire une matrice X non nulle telle que l'on ait Sp (A+X)ñSp (X) =®. 13. On désigne par T une application linéaire de MAR) dans lui--même qui transforme toute matrice inversible en une matrice inversible. &) Vérifier que l'on & sp (T(I)--1T(A)) c Sp (A) . b) Montrer que l'application T est inversible.

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 X Maths 2 PC 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (ENS Cachan) ; il a été relu par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet traite essentiellement d'algèbre linéaire, même s'il utilise parfois quelques résultats d'analyse pour arriver à ses fins. On cherche à construire, à partir d'une matrice de départ A, des matrices semblables à A et ayant des diagonales « sympathiques ». · La première partie introduit deux lemmes très faciles et utiles par la suite. La deuxième partie est beaucoup plus technique (pour ainsi dire, on a plus tendance à bidouiller qu'à réfléchir). La troisième partie est plus intéressante : on y établit qu'une matrice est semblable dans le groupe orthogonal à une matrice dont les éléments diagonaux sont égaux. L'intérêt majeur de cette partie est qu'elle manie à la fois des notions d'analyse et de l'algèbre linéaire pure. · La quatrième partie établit un résultat similaire à celui de la seconde, mais plus puissant. Enfin, la dernière partie cherche à utiliser tous les résultats précédents pour montrer qu'une application de Mn (R) dans Mn (R) qui laisse stable le groupe linéaire est un automorphisme. Cependant, ce résultat est faux si n est pair. Par conséquent, si les trois premières questions de cette partie peuvent être résolues, en revanche le résultat de la toute dernière nécessite des hypothèses supplémentaires. On peut néanmoins chercher à la résoudre dans le cas où n est impair. Indications Première partie 1.a Raisonner par contraposition en supposant que tout vecteur est vecteur propre. Montrer que la valeur propre associée pour chacun est indépendante du choix du vecteur. 1.b Considérer l'endomorphisme f de Rn dont A est la matrice dans la base canonique et chercher la matrice de f dans la base obtenue en permutant les vecteurs ei et ej de . Deuxième partie 2.a Utiliser la question 1.a pour trouver deux vecteurs X1 et X2 tels que (X1 , X2 ) soit libre et AX1 = X2 . 2.b Utiliser la question précédente pour montrer que A est semblable à une matrice de la forme : 0 ··· 1 0 B .. . 0 et appliquer l'hypothèse de récurrence à B. 3.a Commencer par chercher un vecteur non propre pour A selon la technique de la question 1.a. 3.b Remarquer que l'image du second vecteur de la base canonique est nulle et utiliser les vecteurs de la question précédente. 4 Commencer par montrer qu'il existe B semblable à A telle qu'un de ses éléments diagonaux soit égal à la trace de A. Pour cela, vérifier que l'on peut appliquer le résultat de la question 2.a à une matrice non scalaire et l'appliquer alors à un élément de la forme A - I. 5 Décomposer A sous la forme A = I + B et appliquer la question précédente à B en choisissant convenablement . Troisième partie 6 Poser A= a c b d et O= cos - sin sin cos Calculer ensuite t O AO et en déduire un choix convenable de . 7.a Utiliser la question 1.b pour trouver une matrice B orthosemblable à A et telle que f (B) = |b1,1 - b2,2 |. 7.b Décomposer A sous la forme : a1,1 a2,1 A= a1,2 a2,2 C B D Appliquer ensuite la question précédente à la matrice 2 × 2 ainsi introduite. 7.c Remarquer que s'il n'existe qu'un couple (i, j) tel que f (A) = |ai,i - aj,j | alors en appliquant la question précédente, la matrice A obtenue vérifie : f (A ) < f (A) En déduire qu'en appliquant plusieurs fois cette transformation, on finit par avoir une matrice satisfaisante. 8.a Utiliser le fait que l'image d'un compact par une application continue est compact. 8.b Montrer que la fonction f est continue. 8.c Introduire l'élément minimal A pour f sur EA et appliquer la question 7.c en supposant f (A) > 0. 9 Essayer d'établir une récurrence d'ordre 2 sur les coefficients diagonaux des matrices (Am )mN . Quatrième partie 10.b Pour montrer que R(A) est un intervalle, utiliser le fait que l'application suivante est continue : Rn - Rn X 7- (A X | X) 10.c Utiliser le fait que R(A) est un intervalle (l'hypothèse A symétrique est inutile). 11 À partir d'un vecteur tel que (A X | X) = t, construire une base orthonormée dont X est le premier vecteur. Exprimer dans cette nouvelle base l'endomorphisme dont A est la matrice dans la base canonique, puis utiliser le résultat de la question 8.c sur une matrice extraite de taille n - 1. Cinquième partie 12.a Chercher Y de forme triangulaire supérieure. 13.a Utiliser la propriété : Sp(A) A - I non inversible 13.b Ce que l'on nous demande de montrer est faux dans le cas général. On peut cependant le démontrer si n est impair. Raisonner alors par l'absurde en prenant A non nulle dans le noyau de T et utiliser la question 12.b. Première partie 1.a C'est un résultat très classique d'algèbre linéaire. On raisonne par contraposition en supposant que tout vecteur non nul de Rn est vecteur propre pour A. Soit (e1 , . . . , en ) la base canonique de Rn . En vertu de notre hypothèse de départ, chaque élément de cette base est vecteur propre pour A. Il existe donc des réels (i )i[[ 1 ; n ]] tels que : i [[ 1 ; n ]] A ei = i ei Considérons maintenant le vecteur e1 + e2 (non nul car e1 et e2 ne sont pas colinéaires). D'après notre première hypothèse, c'est également un vecteur propre pour A. Il existe donc un autre réel 1,2 tel que : A (e1 + e2 ) = 1,2 (e1 + e2 ) Mais par linéarité, on a également : A (e1 + e2 ) = A e1 + A e2 = 1 e1 + 2 e2 soit 1,2 (e1 + e2 ) = 1 e1 + 2 e2 Les vecteurs e1 et e2 sont des éléments d'une base donc (e1 , e2 ) est une famille libre. L'égalité précédente entraîne alors 1,2 = 1 = 2 De la même manière, on montre que pour tous indices i, j, on a i = j . Par conséquent, il existe un réel tel que : i [[ 1 ; n ]] A ei = ei Par suite, on a bien A = I et A est scalaire. Par contraposée, on en déduit donc que si A est une matrice non scalaire, alors il existe un vecteur non nul qui n'est pas un vecteur propre pour A. 1.b Soient A un élément de Mn (R) et i et j deux éléments de {1, . . . , n} (on peut supposer i < j). Soient = (e1 , . . . , en ) la base canonique de Rn et f l'endomorphisme dont A est la matrice dans la base . On considère la nouvelle base de Rn donnée par la famille = (e 1 , . . . , e n ) telle que : k 6= i, j e i = ej e j = ei e k = ek On a dans cette nouvelle base : f (e i ) = f (ej ) = a1,j e1 + · · · + ai,j ei + · · · + aj,j ej + · · · + an,j en (1) = a1,j e 1 + · · · + ai,j e j + · · · + aj,j e i + · · · + an,j e n De même, en ce qui concerne l'image de e j , on a : f (e j ) = f (ei ) = a1,i e1 + · · · + ai,i ei + · · · + aj,i ej + · · · + an,i en = a1,i e 1 + · · · + ai,i e j + · · · + aj,i e i + · · · + an,j e n (2)