ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2002 FILIÈRE PC
DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
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Ce problème a pour but principal l'étude des coefficients diagonaux des
diverses matrices
semblables à une matrice donnée.
On désigne par n un entier 2 2, par M,,(R) l'espace des matrices à coefficients
réels, a n
lignes et n colonnes, et par I la matrice identité; on appelle scalaires les
matrices de la forme
ÀI où /\ est un réel. On rappelle que deux matrices A et B sont dites
semblables S'il existe
une matrice inversible Q vérifiant B = QAQ"1, c'est-à--dire si A et B
représentent un même
endomorphisme de R" dans deux bases de R'".
Première partie
1. Démontrer les assertions suivantes :
a) Si une matrice A est non scalaire, il existe un vecteur X de R'", non nul et
non vecteur
propre pour A.
b) Soit A E M,,(R), z' et j EUR {1,. . . ,n}. Il existe une matrice B semblable
a A telle que
bm : am , bj)j = a... , bk,k = CI,/EUR,]EUR pour tout [EUR # i,j .
Deuxième partie -
2. On se donne une matrice A de M,, (R) de trace nulle et on se propose de
démontrer qu'il
existe une matrice B semblable à A ayant tous ses coefficients diagonaux nuls.
&) Montrer que si A est non nulle, il existe une base (X1,.... ,Xn) de R" telle
que
AX 1 = X2.
b) Conclure en procédant par récurrence sur n.
3. Applications numériques. Dans chacun des cas considérés, on indiquera une
matrice B
répondant à la question et une base qui lui correspond.
a) n = 2, A est diagonale avec coefficients diagonaux 1, --1.
b) 77. = 3, A est diagonale avec coefficients diagonaux 1,0, --1.
4. Soit A une matrice de M,,(R) non scalaire. Montrer qu'il existe une matrice
B semblable
a A avec coefficients diagonaux de la forme (75, O, . . . ,0), et exprimer t en
fonction des coefficients
diagonaux de A.
5. Soit A une matrice de M,,(R) non nulle. Montrer qu'il existe une matrice B
semblable à
A avec coefficients diagonaux tous non nuls.
Troisième part ie
On dira que deux matrices A et B de M,,(R) sont orthosemblables s'il existe une
matrice or--
thogonale Q vérifiant B = Q A Q_1, c'est--à--dire si A et B représentent un
même endomorphisme
de R" dans deux bases orthonormales de R'". Pour toute matrice A on pose
f(A) =SUp{lai,i --OEj,jl ïi7j = 17... un}'
On se donne une matrice A et on se propose de démontrer qu'il existe une
matrice B,
orthosemblable à A et ayant tous ses coefficients diagonaux égaux.
6. Démontrer l'assertion dans le cas où n = 2.
7. On suppose maintenant n quelconque et les a...- non tous égaux.
a) Montrer qu'on peut supposer f(A) : la... -- a2,2|.
b) Construire une matrice A' , orthosemblable à. A et telle que
2,2
ai,1 : a/2,27 a! ' = a...; Vi ? 3 » |"i,1 _ aÊ,il < f(A) Vi ? 3- c) Construire une matrice A" , orthosemblable a A et telle que f (A" ) < f(A). On désigne par On(R) l'ensemble des matrices orthogonales, et par E A celui des matrices orthosemblables à. A. 8.a) Montrer que E A est une partie compacte de Rn2. b) Montrer que la restriction de la fonction f a E A atteint son minimum. c) Conclure. 9. Application numérique. On prend n = 3 et A diagonale avec coefficients diagonaux (1,0,0); on note A..., m = O, 1, . .. les matrices successives obtenues par la méthode précé-- dente, de sorte que 11 111 dl&g (AO) : (17070) 7 dl&g(A1)= (57 570) 7 dl&g (A2) : (57171) 9 etc - Déterminer f (A...) et les coefficients diagonaux de A.... Quatrième partie On munit R" de son produit scalaire usuel noté (..|) et de la norme correspondante || - ||. Pour toute matrice A de MAR) on pose R(A) = {(AX'IX) = I|Xll = 1}- 10. Démontrer les assertions suivantes : &) R(A) contient les valeurs propres réelles de A ainsi que ses coefficients diagonaux. b) R(A) est un intervalle fermé borné de R. C) Si A est symétrique et de trace nulle, le nombre 0 appartient à R(A). 11. Montrer que si la trace t de A appartient a R(A), il existe une matrice B orthosemblable a A avec coefficients diagonaux (t, 0, . . . ,0). Cinquième part ie On note Sp (A) l'ensemble des valeurs propres d'une matrice A. 12. On se donne une matrice non nulle A de Mn(R) et on note B une matrice semblable a A ayant tous ses coefficients diagonaux non nuls. &) Trouver une matrice Y telle que l'on ait Sp (Y) = {1} et Sp (B+Y)ñSp (Y) =®. b) Construire une matrice X non nulle telle que l'on ait Sp (A+X)ñSp (X) =®. 13. On désigne par T une application linéaire de MAR) dans lui--même qui transforme toute matrice inversible en une matrice inversible. &) Vérifier que l'on & sp (T(I)--1T(A)) c Sp (A) . b) Montrer que l'application T est inversible.
