X Maths 2 PC 2000

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2000 FILIÈRE PC DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. *** Le but de ce probléme est l'étude d'approximations discrètes de solutions d'équations différentielles avec conditions aux extrémités de l'intervalle de définition. Première partie Soit n un entier fixé, n 2 1. On note MAR) l'espace vectoriel des matrices carrées réelles à n lignes, et I la matrice identité à n lignes. On note Xij, 1 S 71 5 n, 1 5 j 5 n, les coefficients d'une matrice X EUR MAR). On identifie un vecteur V de R", de composantes vl, . .. ,un dans 111 la base canonique, à la matrice colonne ; . On désigne par || ' || la norme euclidienne de R". 'Un 1. Pour toute matrice X EUR MAR), on pose IIXVII) NX = _-- . ( ) vÎl£n< ||V|l V;£O a) Montrer que N est une norme sur MAR). b) Montrer que, pour toutes matrices X, Y EUR MAR), N (X Y) S N (X ) N (Y) . Cette propriété est-elle vérifiée si l'on remplace la norme N sur MAR) par la norme Noo définie par Noo(X) : sup |Xij| ? 1$iSn 15an 2. Soit (Xp)p=1,2,... une suite de matrices de MAR) et X une matrice de MAR). On suppose que X est inversible et que lim Xp = X. p-->+oo a) Montrer que, pour ]) assez grand, X}) est inversible. 1 b) Soit V E R". Montrer que, si Xp est inversible, "Xp--1 V -- X_1VH S N(X_1)N(X -- Xp)IIX51VH- En déduire qu'il existe un entier po et un nombre C indépendant de p tel que, pour p _>_ pg, IIX51VII £ CI]X"1VH -- c) Montrer que lim N(X;1 -- X"1) = O. p--++oo 3. On dit qu'une matrice X = (Xij) de M,,(R) possède la propriété (P) si les trois conditions suivantes sont satisfaites Xii>0 pour touti=1,.... ,n (P1) X,-j S 0 pour tous i,j = 1, . .. ,n tels que 71 7£j (Fg) EÏ=1XÜ > 0 pour tout i = 1, . .. ,n . (P3) Soit X une matrice qui possède la propriété (P) et soit V EUR R", de composantes v1, . . . ,un. a) Montrer que si XV = 0, alors V = 0. [On considérera % tel que [v...] = . nliax [v,--].] z= ,... ,n b) On suppose que XV a toutes ses composantes positives ou nulles. Montrer que V a toutes ses composantes positives ou nulles. [On considérera il tel que Uz'1 = . min v,.] 1= ,... ,n 4. Soit X EUR M,,(R). On suppose que X est inversible et que X = lim Xp, où chaque p--> 00 X,, est une matrice de M,,(R) qui possède la propriété (P). Montrer que les coefficients de la matrice inverse X _1 sont positifs ou nuls. Deuxième partie Soit f une fonction à valeurs réelles, de classe C2 sur l'intervalle [O, 1]. 5.a) Montrer qu'il existe une unique fonction u de classe C4 sur [O, 1] telle que _ Il : f u(0) = 0 (l) u(1) = 0 . b) Montrer que si f 2 0, alors u 2 O. A 0) On choisit pour f la fonction constante égale à 1. Déterminer la solution u du problème (1) dans ce cas. 1 n + 1 de l'intervalle [O, 1] telle que æg = O, æn+1 = 1 et oei+1 -- a:,- = h pour i = O, 1, . .. ,n Soit 71. un entier, n 2 1. On pose h = et l'on considère la subdivision (OEi)i=0,l,...,n+l 6.a) Soit il. une fonction à valeurs réelles de classe C4 sur [0,1]. Montrer que, pour tout i = 1, . . . , n, 1 h2 IU"(OE)-- --2(u(oe,--_ 1) --2u(æ,) +U(%+1))l < -- sup lu(4'(æ)l , h 12 æ_e[0 1] où il... désigne la dérivée quatrième de u. b) Que devient cette inégalité dans le cas où u est la fonction û trouvée àla question 5.c) ? 7. Soit F EUR R", de composantes f1, . .. , fn. On désigne par U un vecteur de R", de compo-- _ santes u1,. . . ,un et l'on pose ...) = 0, un+1 = 0. a) Écrire sous forme matricielle AU = F le système (2) linéaire en les inconnues ul, . . . , un : 1 . h2(_Ui--1+2ui-- "i+l)=fi, 1515n. (2) b) Montrer que, pour tout vecteur V de R", le produit scalaire canonique (AVIV) peut s'écrire comme une somme de carrés de nombres réels. c) En déduire que la matrice A est inversible. 8.a) Soit B = A"1 l'inverse de A. Montrer que les coefficients Bij de B sont positifs ou nuls. b) Soit F le vecteur de composantes toutes égales à 1. Déterminer les composantes de BF à l'aide des valeurs de la fonction u trouvée à la question 5. c). En déduire que, pour tout i-- -- 1,. n, O<ÊIBÜ <_1 j1= <8 9. On suppose que (ul, . .. ,un) est la solution du système (2) avec fi = f (x.), 1 5 i S n, et l'on désigne par u(oe1),.... ,u(oen) les valeurs prises en cm,... ,æn par la solution u du problème (1). a) Donner une majoration de luz -- u(æ,--)|, valable pour tout i = 1,...,n, en fonction de h et de la fonction f" . b) En quel sens peut-on dire que la solution du problème linéaire (2) avec f,- = f (x,) approxime la solution du problème (1) ? 25 c On choisit la fonction définie ar a; = ---- . Trouver une valeur de l'entier n qui assure lui -- u(æ.)l < 10_4 , pour tout i = 1, . . . ,n . Troisième part ie Soit f une fonction de classe C'2 sur [O, 1] comme dans la deuxième partie. Pour tout entier p 2 1, on considère le problème 1 _ull + ?"! = f u(O) = 0 (3) u(1) : 0 . 10.a) Montrer que, pour tout entier p 2 1, il existe une unique fonction ulp] de classe C4 sur [O, 1] qui est solution du problème (3). b) Montrer que la suite de fonctions (ulPl ),,21 tend simplement, quand p tend vers +00, vers une fonction u de classe C4 sur [O, 1], et que u est solution du problème (1) de la deuxième partie. 11. On choisit pour f la fonction constante égale à 1 et l'on note û[Pl la solution du problème (3) dans ce cas. 3) Déterminer ûlP]. b) Pour tout entier p 2 1, étudier les variations de la fonction oe EUR [O, 1] l--> ûlp](æ) E R. c) Montrer que, pour tout entier p 2 1 et pour tout a: E [0,1], 0 S ûlpl(æ) < % . 12. On reprend les notations de la deuxième partie. a) Montrer que pour chaque entier 19 Z 1, le système linéaire 1 (A + --21)U : F (4) p a une solution unique, notée U [P]. Que peut-on dire de lirJn U [P] ? p--> 00 b) Soit (u[p], . .. ,uTLÎI) la solution du système (4) avec f, = f ($,), 1 S i 5 n. Donner une majoration de [u]" -- ulpl(æi)[, valable pour tout i = 1, . .. ,n, en fonction de h, p, f et f". * * *

 X Maths 2 PC 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par David Hernandez (ENS Ulm) ; il a été relu par Mathieu Dutour (ENS Ulm) et Cédric Peschard (ENS Ulm). L'épreuve se compose de trois parties qui ne sont pas indépendantes. Elle fait appel à plusieurs domaines et outils de l'analyse : l'étude de suites de matrices, les équations différentielles, les formules de Taylor et en particulier le théorème de Rolle. L'enjeu du sujet est la résolution approchée d'une équation différentielle par la résolution de systèmes linéaires, et en particulier l'étude de la convergence des solutions approchées. Dans la première partie, on montre la continuité de l'inversion sur GLn (R), puis on étudie les limites de matrices de Mn (R) vérifiant une propriété concernant le signe des coefficients. Dans la deuxième partie on étudie une équation différentielle (1) : ( u C4 ([0, 1]) -u = f avec u(0) = u(1) = 0 où f C2 ([0, 1]) est fixée. Après avoir montré l'existence et l'unicité de la solution u, on étudie la convergence vers u de la solution Un d'un système linéaire (2) en utilisant les résultats de la première partie. On donne explicitement un rang pour une approximation à 10-4 près dans un cas particulier. Dans la troisième partie, on étudie une famille d'équations différentielles (3) : ( u C4 ([0, 1]) 1 -u + 2 u = f avec p u(0) = u(1) = 0 Après avoir montré l'existence et l'unicité de la solution u[p] , on étudie en quel sens u[p] converge vers u solution de l'équation différentielle (1). On étudie ensuite la convergence des solutions d'un système linéaire (4) vers u[p] . Notons que l'étude de l'équation différentielle (1) fait aussi l'objet de la première épreuve de mathématiques de Centrale, filière PC (année 2000), corrigée dans ce même ouvrage, mais avec une approche différente (utilisant les séries de Fourier). Ces équations avec conditions aux limites de type Dirichlet sont issues de la mécanique quantique, et en particulier de l'équation de Schrödinger stationnaire. Indications Première partie 1.a Utiliser les propriétés de la norme sur Rn . 1.b Appliquer la définition de N(X) à X(YV). 2.a Montrer que GLn (R) est ouvert. -1 -1 2.b Remarquer que X-1 (X - Xp )X-1 , puis utiliser l'inégalité triangup = Xp - X n laire sur R : |kAk - kBk| 6 kA - Bk. 2.c Combiner les deux inégalités obtenues à la question 2.b, et se rappeler que la dimension est finie. 3.a Ecrire XV = 0 pour la i0 ème coordonnée, puis séparer Xi0 ,i0 vi0 de la somme. 3.b S'inspirer de la question 3.a. 4 Appliquer le résultat de la question 3.b aux Ap et passer à la limite. Deuxième partie 5.a Utiliser une solution particulière de l'équation sans conditions au bord, et utiliser des solutions de l'équation homogène associée. 5.b Remarquer que si f > 0, u est croissante. 5.c Reproduire la démarche de la question 5.a dans le cas particulier. 6.a Choisir R tel que : u (xi )h2 - [u(xi - h) - 2u(xi ) + u(xi + h)] - h4 =0 12 puis appliquer successivement le théorème de Rolle à : A(t) = u (xi )t2 - [u(xi - t) - 2u(xi ) + u(xi + t)] - t4 12 puis à ses dérivées. (4) 6.b Calculer u . 7.b Faire apparaître des Vi 2 - 2Vi Vi+1 + Vi+1 2 et utiliser une identité remarquable. 7.c Se rappeler qu'une somme nulle de réels positifs a tous ses termes nuls. 8.a Utiliser la question 3. x(1 - x) sur [0, 1]. 8.b Étudier x 7 2 9.a Utiliser la question 6.a, puis le fait que U est une solution de (2). Utiliser les résultats établis sur les coefficients de B. 9.b Remarquer qu'une solution de (2) donne une fonction affine par morceaux, et étudier la convergence uniforme vers u. 9.c Dériver f et majorer |f |. Troisième partie 10.a S'inspirer de la question 5.a. 10.b Considérer vp = u[p] - u, calculer vp et majorer vp . 11.a S'inspirer de la question 5.b. 11.b Dériver u[p] . 11.c Utiliser la question 11.b et remarquer que pour t > 0 on a ch (t) < 1 + 1 ch (t)t. 2 12.a Utiliser la question 3. 12.b S'inspirer de la deuxième partie en utilisant les résultats de cette troisième partie. Pour majorer |u[p] |, remarquer que : [p] u[p] 6 u |f | Première partie 1.a Soit X Mn (R). Elle représente une application linéaire continue de Rn dans Rn , donc : M > 0 , V Rn Ainsi, N(X) = kXVk 6 MkVk kXVk est fini. VRn -{0} kVk Sup Rappelons qu'une norme n sur un R-espace vectoriel E est une application de E dans R+ vérifiant : ­ la séparation : x E n(x) = 0 x = 0 ­ l'inégalité triangulaire : x, y E n(x + y) 6 n(x) + n(y) ­ l'homogénéïté : x E , R n(x) = ||n(x) Rappelons aussi que u L(E, F), alors u continue u uniformément continue u lipschitzienne u est bornée sur la sphère unitée Enfin, en dimension finie, toute application linéaire est continue. Vérifions les trois axiomes qui définissent une norme. ­ Comme pour tout X Mn (R), R et V Rn on a kXVk = || kXVk, on obtient : R, X Mn (R) N(X) = ||N(X) ­ De même, pour tout X Mn (R), Y Mn (R) et V Rn - {0}, on a : k(X + Y)Vk kXVk kYVk 6 + kVk kVk kVk d'où N(X + Y) 6 N(X) + N(Y) ­ Enfin, si N(X) = 0, alors kXVk = 0 pour tout V Rn , soit XV = 0, et donc X = 0. Si X = 0, on a bien sûr N(X) = 0. 1.b Soient X, Y Mn (R). Pour V Rn , on a : kXYVk 6 N(X)kYVk 6 N(X)N(Y)kVk donc N(XY) 6 N(X)N(Y) Cette propriété n'est plus vérifiée pour la norme N . Pour A Mn (R) et B Mn (R) telles que A1,1 = A2,2 = A1,2 = 1, B1,1 = B2,2 = B2,1 = 1 et des zéros pour tous les autres coefficients, soit par exemple en dimension 2 : 1 1 1 0 A= et B = 0 1 1 1 on a N (AB) = 2 > 1 = N (A)N (B) 2.a L'application déterminant det : Mn (R) R est continue, donc