X/ENS Maths PC 2025

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI
ECOLES NORMALES SUPERIEURES
CONCOURS D'ADMISSION 2025

LUNDI 14 AVRIL 2025
08h00 - 12h00
FILIERE PC

-

Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES

(XEULS)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Le but de ce sujet est d'étudier les perturbations de rang 1 de matrices.
Notations
Dans l'ensemble du sujet, m, n désignent des entiers strictement positifs. On 
note Mm,n (R)
l'ensemble des matrices à m lignes et n colonnes à coefficients dans R, et Mn 
(R) = Mn,n (R)
l'ensemble des matrices réelles carrées de taille n × n. On note Sn (R) 
l'ensemble des matrices
symétriques de Mn (R) et GLn (R) l'ensemble des matrices inversibles de Mn (R). 
On note In
la matrice identité de Mn (R). La matrice transposée d'une matrice A  Mm,n (R) 
est notée
AT .
Les coefficients d'un vecteur x  Rn sont notés x1 , · · · , xn . Dans ce sujet, 
les vecteurs sont
notés en gras, et sont identifiés à des matrices colonnes x  Mn,1 (R), par 
exemple
 
x1
 x2 

x =  ..  de transposée xT = x1 x2 · · · xn .
 . 
xn
P
Pour tous x, y  Rn , la matrice xT y  M1 (R) est identifiée au nombre réel ni=1 
xi yi ; l'espace
euclidien Rn est muni de son produit scalaire et de sa norme usuels, notés 
respectivement
v
u n
n
X
p
uX
T
hx, yi = x y =
x i yi ,
et kxk = hx, xi = t
x2i .
i=1

i=1

Les deux premières parties peuvent être traitées indépendamment l'une de 
l'autre. Les
parties 4 et 5 sont indépendantes entre elles, et s'appuient sur des résultats 
des parties précédentes.
À tout moment il est possible d'admettre le résultat d'une question et de 
l'utiliser ultérieurement, à condition de l'indiquer clairement.

Première partie
1. Soient u, v  Rn \ {0}. On pose M = uvT . Monter que M est une matrice carrée 
de taille
n × n, de rang 1.
2. Calculer avec justification le rang de la matrice J  Mn (R) suivante :

1 1 ··· 1
1 1 · · · 1

J =  .. .. . .
. .
. .
. .. 
1 1 ···

1

3. Réciproquement, soit K  Mn (R) une matrice carrée de rang 1. Montrer qu'il 
existe
u, v  Rn \ {0} tels que K = uvT .

2

4. Soient u, v, x, y  Rn \ {0}. Montrer que uvT = xyT si et seulement si il 
existe   R \ {0}
tel que
1
u = x, et v = y.

5. Soit K  Mn (R) une matrice de rang 1, et soient u, v  Rn tels que K = uvT .
(a) Montrer que Tr(K) = hv, ui.
(b) Montrer que K 2 = Tr(K)K.
(c) En déduire que K est diagonalisable si et seulement si Tr(K) 6= 0.
6. Soit P  Mn (R). Montrer que P est un projecteur orthogonal de rang 1 si et 
seulement si
il existe y  Rn avec kyk = 1 tels que P = yyT .
Deuxième partie
Soit A  GLn (R) une matrice inversible, et soient u, v  Rn .
7. Calculer le produit matriciel par blocs

In 0
In + uvT
T
v
1
0

In
u
1
-vT

0
.
1

8. Montrer que

det In + uvT = 1 + hv, ui.
9. Montrer plus généralement que

det A + uvT = det(A) 1 + hv, A-1 ui .
10. Montrer que A + uvT est inversible si et seulement si hv, A-1 ui 6= -1.
11. On suppose que A + uvT est inversible. Montrer que
-1
A-1 uvT A-1
A + uvT
= A-1 -
.
1 + hv, A-1 ui

12. Soit C  Mn (R) une matrice telle que det(C) = 0. A-t-on toujours det(C + 
uvT ) = 0 ?
Justifiez votre réponse.
Troisième partie

On s'intéresse maintenant au cas où A  Sn (R) est symétrique. Soit u  Rn tel 
que kuk = 1.
On pose
B = A + uuT .
13. Montrer que B  Sn (R).
Soient M, N  Mn (R), et soit (v1 , . . . , vn ) une base orthonormale 
quelconque de Rn . On
rappelle que M = N si et seulement si M vk = N vk pour tout 1  k  n.
14. Soit (v1 , . . . , vn ) une base orthonormale quelconque de Rn . Montrer que
In =

n
X
k=1

vk vkT .

3

15. On s'intéresse maintenant à la matrice symétrique A. En vertu du théorème 
spectral,
on note 1  · · ·  n les valeurs propres de A, et (w1 , . . . , wn ) une base 
orthonormée de
vecteurs propres correspondante.
(a) Montrer que
A=

n
X

k wk wkT .

k=1

(b) Montrer que pour tout x  R \ {1 , . . . , n }, on a
n
X
1
-1
(xIn - A) =
wk wkT .
x - k
k=1

16. Soit  une valeur propre de A de multiplicité m  2. On pose E = Ker(A - In ).

(a) Montrer que dim E  {u}  m - 1.
(b) En déduire que  est une valeur propre de B de multiplicité au moins m - 1.

17. On note A (x) = det(xIn - A) le polynôme caractéristique de A, et B (x) = 
det(xIn - B)
celui de B. Montrer que, pour tout x  R \ {1 , . . . , n }, on a
!
n
X
hwk , ui2
B (x) = A (x) 1 -
.
x - k
k=1

18. Soit J = {k  {1, 2, . . . , n}, hwk , ui 6= 0} l'ensemble des indices k 
tels que hwk , ui 6= 0.
(a) Montrer que J 6= .
(b) Soit ` 
/ J. Montrer que ` est une valeur propre de B.
(c) On suppose que J = {j} pour un j  {1, 2, . . . , n}. Montrer que les 
valeurs propres
de B sont
(1 , 2 , . . . , j-1 , j + 1, j+1 , . . . , n ).

19. On suppose dans cette question que 1 < 2 < · · · < n , et que J = {1, 2, . . . , n}. Pour x  R \ {1 , . . . , n } on pose n X hwk , ui2 f (x) = . x - k k=1 (a) Montrer que f est de classe C sur R \ {1 , . . . , n }, et calculer sa dérivée f 0 (x). (b) Montrer que l'équation f (x) = 1 admet une unique solution dans chaque intervalle ]` , `+1 [ pour tout `  {1, 2, . . . , n - 1}, et dans ]n , +[. (c) On note µ1  µ2  · · ·  µn les valeurs propres de B. Montrer que 1 < µ1 < 2 < µ2 < · · · < n < µn . Quatrième partie Dans cette quatrième partie, A  Sn (R) est une matrice symétrique dont les valeurs propres sont notées 1  2  · · ·  n . Pour x  R on note A (x) = det(xIn - A). On considère une base orthonormée (u1 , . . . , un ) quelconque. Soit U une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (, A, P) à valeurs dans l'ensemble fini {u1 , . . . , un }, et qui suit la loi uniforme sur cet ensemble. On note P(A) la probabilité d'un événement A  A et E[X] l'espérance d'une variable aléatoire X sur (, A, P) à valeurs réelles. 4 On considère la variable aléatoire B, à valeurs dans Sn (R), définie par B = A + UUT . Pour tout x  R, on note B (x) = det(xIn - B), qui est une variable aléatoire à valeurs réelles. 20. Montrer que pour tout w  Rn , on a E hU, wi2 = n1 kwk2 . 21. Soit x  R \ {1 , . . . , n }. Montrer que la variable aléatoire B (x) a une espérance finie, et que, en notant 0A la dérivée du polynôme A , on a 1 E [B (x)] = A (x) - 0A (x). n 22. Montrer que pour tout k  {1, 2, . . . , n}, on a 1 E [B (k )] = - 0A (k ). n 23. Démontrer qu'il existe x  R tel que E [B (x)] 6= 0. Cinquième partie Comme dans la troisième partie, on suppose que B = A + uuT avec A  Sn (R) une matrice symétrique, et u  Rn un vecteur tel que kuk = 1. On note 1  2  · · ·  n les valeurs propres de A et µ1  µ2  · · ·  µn celles de B. On admet que 1  µ1  2  µ2  · · ·  n  µn . On suppose de plus qu'il existe un entier m  {1, 2, . . . , n - 1} tel que les valeurs propres de A vérifient 0 = 1 = 2 = · · · = m < m+1  · · ·  n . Soit  ]0, m+1 [. 24. Justifier que (A - In ) est inversible. On suppose dans la suite que hu, (A - In )-1 ui < -1. 25. Montrer que (B - In ) est inversible. 26. Montrer que Tr (B - In )-1 > Tr (A - In )-1 .
27. Montrer que µm > .