X/ENS Maths PC 2022

Thème de l'épreuve Méthodes itératives de recherche de points fixes et de zéros
Principaux outils utilisés réduction des endomorphismes, analyse réelle, intégration, fonctions de plusieurs variables
Mots clefs point fixe, méthode de la sécante

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ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2022

LUNDI 25 AVRIL 2022
08h00 - 12h00

FILIERE PC - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES (XEULS)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Notations

Si z est un nombre complexe on note |z| son module.

Si {est un entier strictement positif, on munit l'espace vectoriel C' de la 
norme définie
par

pour æ -- (%1,...,%%).
On note M,(C) l'ensemble des matrices de taille £ x £ à coefficients complexes.

Si À EUR MC), on désigne par o(A) (le spectre de À) l'ensemble des valeurs 
propres
complexes de À, et

p(A) = max{|A| ; À EUR 0(4)}
le rayon spectral de À.

Étant donné un ensemble E , un point fire d'une application © : E -- E est un 
élément x
de E tel que d(x) = x.

Les trois premières parties sont mutuellement indépendantes. La quatrième 
partie utilise
des résultats établis dans la troisième.
Première Partie. Points fixes

. Soit |a, b] un intervalle fermé borné de R. Si © : |a,b] -- [a, b] est 
continue, montrer que
p possède au moins un point fixe.

. Sid:R-- Rest de classe C! et vérifie

(1) sup{[g'(x)|: x EUR R} <1, montrer que & possède au moins un point fixe (on pourra étudier le signe de x -- @(x) pour |x| assez grand). Montrer que ce point fixe est unique. . Au moyen de la fonction Y(x) -- V1+x2, montrer que dans la question précédente l'hypothèse (1) ne peut pas être remplacée par Vx ER, ld'(x)| <1. . Soit { un entier strictement positif. On se donne une suite (v,):>0 de 
vecteurs dans R'
telle que la série D, [[us41 -- v,|| converge.

(a) Montrer que la suite (v,)1>0 est convergente.

(b) Notons v* la limite de cette suite. Majorer [v, -- v*|| au moyen d'un reste 
de la

somme de la série à, [Uunz1 -- va]:

. Soit { un entier strictement positif. Soit F une partie fermée de R° et soit 
9 : F -- F une
application. On suppose qu'il existe k EUR [0, 1] tel que

VrEF,VyEeF, ]o(y) -- é(x)] < Ally -- x (a) On choisit un point x0 EUR F. Montrer que la formule 7,11 = @(x,) définit une suite (Xn)n>o d'éléments de F, et que cette suite est convergente dans F.

(b) En déduire que ® possède un unique point fixe dans F.
(c) Ce point fixe étant noté x*, majorer |x, -- x*|| en fonction de [70 -- x*||.
(d) Dans ce qui précède, on suppose que

p=@o...006,
es,

m fois

où 0 : F -- Fest une application et m > 2 est un entier. Montrer que Ô possède 
un
point fixe, et un seul, dans F°.
6. Soit g : [0,1] -- [0,1] une fonction croissante (mais pas nécessairement 
continue). Montrer
que g possède au moins un point fixe. {ndication: on pourra considérer 
l'ensemble

E = {xEURe [0,1]; x < g(x)}. Deuxième Partie. Matrices contractantes à 1) EUR MAC), calculer explicitement les puis- sances successives 71" pour n entier strictement positif. 1. Pour une matrice triangulaire T -- 2. Soit À EUR M2(C) une matrice et soit EUR > 0 un nombre réel.
(a) Montrer l'existence d'un nombre réel & > 0 tel que pour tout entier positif 
n les
valeurs absolues des coefficients de 4" soient majorées par a(p(A) + EUR)".

(b) En déduire l'existence d'un nombre réel 5 > 0 tel que pour tout entier 
positif n et
tout x EUR C° on ait

A xl < B(p(A) + EUR) fx 3. Soit À EUR M:(C) une matrice et soit 7 un nombre réel strictement positif. (a) Pour x EUR C?, montrer que la série > ((A) +7) "|A" |

n

est convergente.

On note n

N(æ) = D (o(A) +n) "| A"x|

n--=0
la somme de cette série.

(b) Montrer que x > N(x) est une norme sur C?, qui satisfait l'inégalité 
suivante
Vx EC", N(Ax) < (p(A) +n)N(x). (c) Montrer qu'il existe un réel EUR > 0 tel que pour tout x EUR C° on ait

cl < N(x) < Cri. À. (a) Si B EUR M/(C) est diagonalisable, montrer qu'il existe une norme || -||3 sur C telle que ||Bxr||g < p(B)\fx|lz pour tout x EUR C'. Indication: on pourra vérifier que si P EUR GL/(C), alors x + ||Px|| est une norme sur Cf. (b) Montrer qu'il existe une matrice C EUR M:(C) telle que, pour toute norme N sur C? il existe y EUR C*° tel que N(Cy) > p(C)N(y).

Soit © : R° -- R° une application et soit x* un point fixe de @. Soit À EUR 
M2(R) une
matrice vérifiant p(A) < 1, et soit M > 0 un nombre réel. On suppose que 9 
satisfait

VT ER", |ld(x) -- (x) -- A(x --a)]| < Mr | Montrer qu'il existe £ > 0 tel que pour tout z9 EUR R° satisfaisant |[x9 -- 
x*|| < EUR, la suite Ln)n>0 ACIMIE PAT Ln+i1 -- Un pour n Z CONVETBE VETS T  QUANC 7 -- +0.
= défini 1 = 6 >0 * quand

Troisième Partie. Fonctions de deux variables réelles

. Soient à.b.c.d quatre nombres réels tels que a < b et c < d. Soit U un ouvert de R° contenant [a, b] x [c, d]. Soit À : U -- R une fonction de classe C?. (a) Montrer l'identité b h(b, d) -- h(a,d) -- h(b,c) + h(a,c) -- | h(s1) ds1, où h est définie par d à oh h(s1) = | Da0 (51, 52) ds. (b) En déduire qu'il existe un point (51, #) de [a, b] x [c, d] tel qu'on ait les deux égalités a SR ,_ R(b, d) = h(a, d) = R(b, c) + h(a, c) -- (D = a)h(s1) -- (D = a)(d = Ce (51, 52). 081089 Soit Î un intervalle ouvert de R. On se donne une fonction f : 1 -- R de classe C*, telle que f'(x) > 0 pour tout x EUR 1. Montrer que f est bijective de 7 sur 
l'intervalle ouvert
(1).

On note g : f(1) -- I sa fonction réciproque. Rappeler la valeur de g'(f(x)). 
Exprimer
g"(f(x)) en fonction des dérivées successives de f en x.

. On conserve, jusqu'à la fin de cette troisième partie, les hypothèses et la 
notation de la

question précédente. Pour x,y EUR I tels que y £ x, on pose

x f(y) -- yf(x)
f(y) -- f(x)

H};(x,y) =
(a) Montrer que pour tous x,y EUR I tels quueyfxona

Hjlesu) = 2 -- 10) | 9 F( + (1 XX

(b) En déduire que 4}; admet un unique prolongement par continuité à 7 x 1 tout 
entier.
On note encore ce prolongement À}; : 1 X 1 -- KR.

(ce) Montrer que H}, est de classe C? sur I x I.
(d) Calculer H}(x,x).

4. On suppose maintenant 0 EUR f(1) et on note x* = g(0). Pour x EUR 1 on note 
J, l'intervalle
fermé d'extrémités x et x*.

(a) Soient x,y EUR 1. Montrer qu'il existe (x, ÿy) EUR I, x L,,, tel que

| | AdHÿ,
(b) Calculer
PH,

en fonction des dérivées de f.

Quatrième Partie. Méthode de la sécante

Soit Î un intervalle ouvert, borné ou non, de R. Soit f : 1 -- R une fonction 
de classe C*.
On désire calculer une approximation d'une solution de l'équation f(x) -- 0. 
Pour cela on met
en oeuvre un procédé itératif appelé méthode de la sécante. En voici le 
principe :

Initialisation. On choisit deux nombres réels xo,x1 EUR .

Itération. Soit n > 1. On suppose que les valeurs x; sont bien définies pour 1 
 0 
sur Z, exprimer
Tn+1 en fonction de %,_1,7, au moyen de la fonction 4}; définie dans la 
question 3 de la
troisième partie.
2. Dans cette question, on examine le cas particulier d'une fonction 
polynomiale du second
degré f définie par la formule f(x) = (x -- a)(x -- B) où a et 5 sont réels et 
à > 6. On
prend 1 =|(a + 5)/2, +oæl.

Pour x EUR R on définit h(x) = #3, avec la convention A(5) = co.

(a) Pour x EUR R montrer qu'on a |h(x)| < 1 si et seulement si x EUR J. (b) Expliciter la relation de récurrence satisfaite par la suite u, := h(x,) et en déduire que la suite (x, )1>0 est bien définie quels que soient x9 et x dans J.

(c) Montrer que la suite (u,)1>0 tend vers 0 et en déduire que (x,),>0 tend 
vers a.

d) Soit © -- 1V5, Montrer qu'il existe un nombre réel strictement négatif s tel 
que
2 8
tn -- a = O(e® ).

3. On revient au cas général, f étant une fonction quelconque de classe C*. On 
suppose que
f s'annule en un point x* EUR 1, pour lequel f'(x*) > 0.

(a) Montrer qu'il existe EUR > 0 tel que [x* -- e,x* + EUR EUR T'et f" > 0 sur 
l'intervalle
1* -- EUR, x* + EUR]. On fixe un tel EUR pour la suite et on définit

0°H
L (a, y) |

Ox0y

M = sup
(x,y)EÏx* --EUR,2* +]?

(b) On suppose que z»_1,%n EUR [x* -- EUR, x* + EUR). Montrer que

1

Mn -- ET LM xp 1 -- 2" -|xn -- x

(c) On fixe EUR EUR]0, EUR] tel que Me < 1. Montrer que si %0, æ1 appartiennent à |x*--e/, x*+eEUR| alors la suite (7,)1>0 est bien définie et converge vers x*.