X/ENS Maths PC 2021

Corrigé

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ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMI SSION 2021

LUNDI 12 AVRIL 2021
08h00 - 12h00

FILIERE PC - Epreuve n° L

MATHEMATIQUES (XEULC)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

PROBLÈME

Dans tout le problème, R désigne l'ensemble des nombres réels et EUR l'ensemble 
des nombres
complexes. Par segment de R, on entend un intervalle de la forme [a, b] avec a 
< b. On note D le disque unité fermé dans C : D={zec||zi<1}. L'intérieur et la frontière de D sont notés D et 0D respectivement. On note C[X] le C-espace vectoriel des polynômes à coeïficients complexes. Pour ñn > 0, on
désigne par C;,[X] le sous-espace vectoriel des polynômes de degré au plus n. 
Un polynôme
est dit unitaire si son coefficient dominant est égal à 1.

Étant donné une partie K de C et un polynôme P e C[X], on pose :
| P |k= sup{|P(2)|1 2EUR K}Ee RU {+oo!.
Le but de ce problème consiste à établir des inégalités de la forme :

IQ IKRIRIrk 1.
Pour ce faire, on pourra se donner deux éléments distincts a et b dans K et 
vérifier que,
pour p ER assez grand, on a || Q,R5 llk 1 et des réels xo,..., x, tels que a = xXo < X1 < ... < xn = b et, pour tout i EUR {0,..,n--1}, la fonction f est bien définie, continue et intégrable sur ]x;,x;,,[. On pose alors : Xi+] b n-1 | fdt= > f(bdt.
a i=0 ® Xi

On admettra que la définition précédente coïncide avec la définition de 
l'intégrabilité au
programme pour les fonctions continues par morceaux. De plus, si besoin, on 
pourra uti-
liser librement, sans preuve, les versions améliorées suivantes de certains 
théorèmes au pro-
gramme :

Théorème 1 (Théorème de convergence dominée). Soient a < b deux réels. Soient j et deux fonctions intégrables sur [a, b] au sens de la Définition 1 et soient D; et D,, leurs do- maines de définition respectifs. Si (f,) est une suite de fonctions continues par morceaux sur [a, b] convergeant simplement vers f sur le domaine D; et telle que |f,(#)| < @(t) pour tout nzlettout f EUR D,,, alors chaque terme de la suite (f,) est intégrable et : b b | fodt-- | f(dt. Théorème 2 (Théorème de dérivation sous le signe intégrale). Soient a < b deux réels et 7 un intervalle de R. Soit @ une fonction intégrable sur [a, b] au sens de la Définition 1 et soit D, Son domaine de définition. Si f est une fonction définie sur 1 x [a, b] telle que : (i) pour tout x EUR 1, la fonction f--- f(x, t) est continue par morceaux et intégrable sur [a, b], (ii) pour tout f e [a, b], la fonction x f(x, t) est de classe EUR! sur 1, Ô (ii) pour tout x EUR 1, la fonction {--- a (x, t) est continue par morceaux sur [a, b|], X (iv) pourtout (x,f)eIxD,,0na < P(t), of ôx (x, 1) alors la fonction g:x- | x f(x, dt est de classe EUR! sur I et, pour tout x e I: bof g= | SL t)dt. Soit Q EUR C[X] un polynôme non nul. 2.8. Vérifier que l'intégrale : 2T | [7 IniQte/'1d0 0 converge absolument au sens de la Définition 1. On pourra utiliser le théorème de d'Alembert-Gauss. On pose : 1 27 | M(Q) = exp | IniQ(ei")1d0) 27 Jo et pour p > 0:

1 27 |
MQ= | 1Qte')1"d0

2.9. Expliquer pourquoi M,(Q) est strictement positif pour tout p > 0.
On définit la fonction :

2.10.
2.11.

2.12.

p: [0,+oo[--R
n(M,(Q)) sip>0
P 0 Si p = 0.
Montrer que @ est continue sur [0, +col.

Montrer soigneusement que @ est dérivable sur ]0, + et calculer sa dérivée sur 
cet
intervalle.

Calculer la limite de @' en 0* puis déduire que :

1/p
Mp(Q°? ee M(Q)

La quantité M(Q) est appelée la mesure de Mahler de Q. Le reste de cette partie 
vise à calculer
la mesure de Mahler de Q en fonction des racines de Q. On rappelle que D 
désigne le disque

unité fermé dans C et que l'on note D et 0D l'intérieur et la frontière de D 
respectivement.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

Pour chaque nombre complexe w, on note Re(w) la partie réelle de w. Montrer que,

pour tout z EUR D:
© z'l
nie) +)
n=1

0

Pour ce faire, on pourra écrire z = re" avec0  
|sin(0-w)|.
Soit À le coefficient dominant de Q et soient &1,...,a, les racines de Q 
comptées avec

multiplicité. Déduire des questions précédentes que :

n

M(Q) = AI [ | max{1,la;l}.
1=]
PARTIE III

Pour que cette partie puisse être traitée indépendamment des précédentes, on 
commence
par rappeler la Définition 1 qui a été introduite au début de la partie IT :

Définition 1 (rappel). Étant donné deux réels a < b et une application f allant d'une partie de [a, b] dans, on dit que l'intégrale /f x { (8) dt converge absolument ou que f est intégrable sur [a, b] s'il existe un entier ñn > 1 et des réels xo,...., x, tels que a = 
xp < X1 < .... < Xxn = b'et, pour tout i EUR {0,..., n -- 1}, la fonction j est bien définie, continue et intégrable sur ]x;,x;411[. On pose alors : Xi+1 b n-1 | f@dt= > f@dt.
a i=0 Xi

On fournit également l'encadré suivant, qui résume les résultats obtenus dans 
la partie IT et
qui sont utiles dans la suite :

D'après la question 2.8, étant donné un polynôme non nul Q EUR CIX], l'intégrale
[7 In|Q(eY)|d0 converge absolument au sens de la Définition 1. On peut donc 
définir la
mesure de Mahler de Q par:

1 2T |
M(Q) -exp(s InlQei*)d6)

D'après la question 2.16, si À est le coefficient dominant de Q et &1,...,«,\ 
sont les racines de
Q comptées avec multiplicité, alors :

M(Q) = lAI | [max{1,la;l}.
i=]

On rappelle que D désigne le disque unité fermé dans C et que l'on note D et OD 
l'intérieur et
la frontière de D respectivement. On se donne un polynôme P e C[X] et on note d 
son degré.

3.17. Montrer que, pour tout ze CettoutreR,ona:
1 2T |
P(z2) = | P(z+re°)d0.
27 Jo

8.18. En déduire que :
IP In = || P Ion
On pourra appliquer la question 3.17 à un élément z EUR D tel que |P(2)| ={ P |.

3.19. Montrer que, pour tout z EC:
PC < | P Ilop max{1,12%. On pourra appliquer la question 3.18 aux polynômes P(X) et Q(X) = X4P(X" 1). On fixe jusqu à la fin de cette troisième partie deux entiers naturels non nuls ñn et m ainsi que deux polynômes Q EUR C[X] et R e C[X] de degrés respectifs ñn et m. On introduit le poly- nôme P = QR et on note À son coefficient dominant et &1,..., 4n:m Ses racines comptées avec multiplicité. 3.20. Montrer qu'il existe u et v dans OD tels que : n+m IQ Il À In <1A1- [] maxflu- a;l,|v--a;l}. i=1 8.21. En déduire que : IQ In R In < M(S) où S est le polynôme défini par : S(X) = (X prpf Et). X--1 V 3.22. On pose w = --. Montrer que : u + 27 | | M(S) < |? lo exp{ "| In {max {je -- 111619 - w}) ae) I 3.23. On pose C = exp = avec : TT 2T | | I = I In [max {1e'° --]|,[e 0 + 11}) de. 0 En utilisant les questions précédentes, montrer que : Q lol RD < C1 P ln. Les deux questions qui suivent portent sur le calcul de la constante C. 3.24. Montrer que : L OO (--1)EUR 1-42 (2k+1)2° On pourra utiliser le résultat de la question 2.13. 3.25. La calculatrice donne : 2 & (-Df exp|-- d ------ |+1,78774486868, 7 { (2k+1)° É 6 (--1)È Xp NN | = 1,79449196958. x À, (2k+1)2 Peut-on en déduire l'arrondi de C à 10° près? Si oui, donner la valeur de cet arrondi. Dans tous les cas, justifier proprement la réponse. Dans la dernière question de cette troisième partie, on cherche à montrer que, dans l'inégalité de la question 3.23, la constante C est optimale. 3.26. Pour chaque entier naturel k > 2, on pose :
Qe(X) = [[(X-0à,

EU
Re(X) = [[(X-0),

{eV

où U désigne l'ensemble des racines k-ièmes de l'unité EUR telles que ( ---1| 
<|£ +1] et V l'ensemble des racines k-ièmes de l'unité qui ne sont pas dans U. En minorant le quotient : Il Q+ Ilni Rk In I QkRk In montrer que : C=intfa en VOQECI[IX]\{0;, VRE C[XT\{0}, | IQ lol RD < ASECP | QR In où deg(QR) désigne le degré de QR. PARTIE IV Soit 1 = [a, b] un segment de R, et soient ñ et m deux entiers naturels non nuls. On rappelle que, dans la partie I, on a introduit la constante : U Q Ir AR |fr I QR Ir 4.27. On se donne deux réels distincts c et d et on pose: Cm = sup QECNIXI VO), RE CnIXI VO! ERU +00]. _ JIcdisic
1 (question 1.5). On peut donc fixer dans la suite une paire extrémale (Qo, Ro).

4,29. Soit J un segment contenu dans J tel que || Qo [= Qo fr et | Ro Ir = Ro 
Ir. Montrer
que :
I QoRo = 1 QoRo |r .

4,30. Déduire des questions 4.27 et 4.29 qu il existe une paire extrémale (Q:, 
R;) telle que :

Il Q1 Ir=1Qt-1) et | Rillr= RO).

4.81. Soient n, et m, les degrés respectifs de Q: et R. On pose Q2 = X"7"1Q; et 
R = X7 7 R1.
Montrer que (Q2, R) est une bonne paire extrémale.

4,32. Soit w une racine de Q, et soit S e C[X] tel que :
Q2(X) = (X -- w)S(X).

En posant :
S2(X) = (X +1--{w +1) S(X),

montrer que (S2, R) est une bonne paire extrémale.

4,33. Déduire de la question précédente qu'il existe un polynôme Q; dont toutes 
les racines
sont dans [--1,+col et tel que le couple (Q3, R) forme une bonne paire 
extrémale.

4,34. Montrer qu'il existe un polynôme Q, dont toutes les racines sont dans I 
et tel que le
couple (Q4, R) forme une bonne paire extrémale.
Pour ce faire, étant donné une racine w de Q3 qui n'est pas dans 1, on pourra 
introduire
le polynôme :

l
Q3(X),
-- w

puis on pourra s'inspirer de la méthode utilisée dans les deux questions 
précédentes.

X
S3(X) = x

4,35. Expliquer brièvement pourquoi il existe un polynôme À, tel que le couple 
(Q4, R:)
forme une très bonne paire extrémale.

Dans la suite de cette partie, on fixe une très bonne paire extrémale 
quelconque (Q, R). Une
telle paire existe bien d'après la question 4.35. On pose P = QR et on note x] 
<=... = Xyim les racines de P comptées avec multiplicité. 4,36. Montrer que : n+m m Q= [[ (X-xy) et R=[[(X-xy). k=m+1 k=1 4.37. Vérifier que, pour tout x EUR] -co,-1{, on a [Q(x)| > [Q(-1)|.

4,38. En procédant par l'absurde, montrer que |P(---1)|={ P ||r.
Pour ce faire, on pourra choisir un réel EUR > 0, introduire le segment I: = 
[-1 ---Ee,1] et
encadrer la quantité :

UQ Ir. R Ur,
Pr

grâce à la question 4.37.
On admet dans la suite que la méthode mise en place dans la question précédente 
permet éga-
lement de montrer que |P(1)| =| P |7.

4,39. On se donneun entier ke {m+1,m+2,..,m+n---1}eton pose:
SX) = (X -- XE)(X -- Xk+1).

Montrer que, pour tout EUR > O, il existe un polynôme T e RIX] tel que S -- 
Test de degré
let:

IS--TII 

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Maths PC 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Rémi Pellerin (ENS Lyon) ; il a été relu par Julie 
Gauthier (professeur agrégé), Vincent Puyhaubert (professeur en CPGE) et 
Benjamin
Monmege (enseignant-chercheur à l'université).

Ce sujet propose l'étude d'une borne supérieure définie à partir d'une norme sur
les polynômes à coefficients complexes. Pour K une partie bornée, fermée et 
infinie
de C, on munit C[X] de la norme infinie sur K. Il s'agit d'une norme d'algèbre,
c'est-à-dire que pour tout couple de polynômes (Q, R)  C[X]2 , on a
kQkK kRkK > kQRkK
Le but du problème est de calculer la valeur maximale CK
n,m pour Q  Cn [X] r {0}
et R  Cm [X] r {0} du quotient
kQkK kRkK
kQRkK
dans deux cas particuliers : lorsque K est égal au disque unité fermé de C 
(partie III)
et lorsque K est un intervalle non trivial de R.
· Dans la partie I, on montre des résultats généraux sur k · kK lorsque K est 
une
partie fermée et bornée quelconque de C. C'est la seule partie dont la 
difficulté
globale est raisonnable.
· Dans la partie II, on travaille avec une théorie de l'intégration légèrement 
plus
puissante que celle au programme afin d'étudier la mesure de Mahler d'un
polynôme de C[X]. Cette mesure sera utilisée dans la partie III. Le niveau est
assez soutenu car sont abordés, sans les mentionner explicitement, des résultats
d'analyse complexe, un domaine des mathématiques qui n'est pas non plus au
programme.
· La partie III propose d'établir une majoration optimale de CD
n,m , où D désigne
le disque unité fermé de C. L'ensemble de la partie est à la fois très technique
et astucieux. Une grande partie des questions nécessite une compréhension 
profonde des objets manipulés.
· La dernière partie vise à calculer CIn,m pour I un intervalle non trivial de 
R.
La moitié des questions sont d'un niveau déraisonnable, même pour un sujet 
X/ENS.
La difficulté de ce sujet a manifestement été très mal évaluée. Si les 
questions 1.5,
2.13, 3.18, 3.26 et 4.44 sont ardues, les questions 3.23, 4.39 et 4.40 sont 
presque introuvables ! Pourtant, se frotter à ce problème est un bon 
entraînement. En effet,
d'une part cela permet de se préparer à la gestion du temps lors d'une épreuve 
trop
longue et trop difficile, et d'autre part le problème en lui-même permet de 
bien revoir une grande partie du programme : séries entières, séries 
numériques, intégration,
équations différentielles, espace vectoriels normés. Que les élèves de la 
filière MP ne
s'imaginent pas que ce sujet est facile puisqu'il est tombé en PC : il s'agit 
sûrement,
pour eux aussi, d'un véritable défi !

Indications
1.1 Utiliser le fait que pour tout P  C[X], l'application z 7 P(z) est continue.
1.5 Considérer M > 0 qui vérifie M > |z| pour tout z  K et montrer que,
pour  > 0,
4M2
1
(Q R )(z)
6
2 + 1- 
2
Q (a)R (b)
 |a - b|

z  K

1.6 Vérifier que E est non vide et établir que k · k est une norme sur V. 
Montrer
que f est continue.
1.7 Utiliser la question précédente pour montrer que
kQ0 kK kR0 kK
CK
n,m =
kQ0 R0 kK
2.8 Découper l'intervalle d'intégration avec une subdivision composée des 
racines
de Q.
2.10 Utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale pour montrer la 
continuité de  sur ] 0 ; + [ et le théorème de convergence dominée pour la 
continuité
en 0.
Z 2
p
2.11 Utiliser la question 2.9 pour justifier que
Q(e i  ) d > 0.
0

(p) - (0)
(p)
=
2.12 Remarquer que
p > 0
p
p-0
2.13 Contrairement à ce que propose l'énoncé, on pourra étudier la fonction
(
] -1 ; 1 [ - C
f:
r
7- e i  /(1 - re i  )
où  est un réel quelconque. Cette fonction est développable en série entière.
On pourra intégrer sa partie réelle sur [ 0 ; r ].
2.14 Utiliser la formule établie à la question précédente.
2.15 On pourra considérer z = e i   D et (rn )nN  [ 0 ; 1 [ N telle que rn ---- 
1
n
et montrer, grâce au théorème de convergence dominée que
M(X - rn z) ---- M(X - z)
n

Pour ce faire, on pourra utiliser que
(a, b, c)  (R+ )3

a 6 b 6 c = |ln(b)| 6 max (|ln(a)| , |ln(c)|)

après avoir justifié l'encadrement
|sin( - )| 6 e i  - rn z 6 2
2.16 Utiliser la question 2.14.
3.17 On pourra commencer par établir le résultat pour les polynômes de la base
canonique (Xn )nN de C[X].
3.18 Pour montrer que kPkD > kPkD , on pourra considérer un élément z  D tel
que kPkD = |P(z)|, utiliser la question précédente avec r = 1-|z| et commencer
par montrer que
Z 2
kPkD - P(z + re i  ) d = 0
0

Publié dans les Annales des Concours

3.20 Écrire

Q=µ

k
Q

0

(X - ri )

et

R=

i=1

k
Q

(X - ri 0 )

i=1

et utiliser la question 3.18 pour montrer l'existence de (u, v)  D2 tel que
kQkD = |Q(u)|

kRkD = |R(v)|

et

3.21 A partir d'une expression de P comme un polynôme scindé, obtenir une 
expression scindée de S puis utiliser les résultats des questions 2.15 et 2.16 
pour
montrer que
M(S) = ||

m+n
Q

max (|u - i | , |v - i |)

i=1

3.22 Utiliser les questions 3.18 et 3.19 pour montrer que

n+m
 i
ue i  - v
ue - v
6 kPkD max 1, i 
P
ei - 1
e -1
et en déduire que
S(e i  ) 6 kPkD max

  ] 0 ; 2 [

ei - 1 , ei - w

n+m

3.23 Montrer que
2

Z
I() =

ln max

ei - 1 , ei - ei

d

0

3.24
3.26
4.27

4.30

4.32

est maximale
pour  = . Pour ce faire, il sera utile de remarquer que la quantité

max e i  - 1 , e i  - e i  correspond à distance entre le point e i  et le point
qui lui est le plus éloigné parmi 1 et e i  . En remarquant que l'intégrande est
2-périodique, utiliser la relation de Chasles pour faire disparaitre le max dans
l'argument du logarithme.
On pourra se servir du découpage de l'intégrale fait à la question précédente,
utiliser la question 3.23 et effectuer une permutation série-intégrale.
Montrer que kQk Rk kD = 2. Penser aux sommes de Riemann.
Remarquer que, si c < d, la fonction [ c ; d ] - [ a ; b ] f: x 7- b - a (x - c) + a d-c est une bijection. Considérer (x, y)  I2 tel que kQ0 kI = |Q0 | et kR0 kI = |R0 |. Si x 6= y, utiliser le résultat de la question 4.27. Sinon, poser Q1 = Q0 (-xX) et R1 = R0 (xX). Dans tous les cas, justifier que l'on peut toujours supposer Q1 et R1 unitaires. Montrer que kS2 kI = kQ2 kI . On pourra remarquer que x  [ -1 ; 1 ] |x + 1 - |w + 1|| 6 |x - w| 4.34 En étudiant la fonction g: [ -1 ; 1 ] - R Montrer que kS3 kI = x 7- 1-w (w - x)2 2 kQ3 kI . 1+w 4.35 Considérer w  C une racine de R2 et T  C[X] tel que R2 = (X - w)T. Poser T2 = (X - 1 + |w - 1|)T et raisonner comme à la question précédente en observant que x  [ -1 ; 1 ] |x - 1 + |w - 1|| 6 |w - x| 4.36 Procéder par l'absurde et supposer que R 6= m Q (X - xk ). Justifier qu'il existe k=1 alors j  [[ m + 1 ; n + m ]] et i  [[ 1 ; n ]] tels que xi 6= xj puis poser Q1 = R(xj ) 6= 0 X - xj Q X - xi et et Q(xi ) = 0 R1 = X - xi R X - xj Comparer les quantités |1 + xi | |1 - xj | et |1 - xi | |1 + xj |. 4.37 Étudier le signe de Q0 sur ] - ; -1 [ en discutant selon la parité de n. 4.38 Remarquer que, si |P(-1)| < kPkI , pour  suffisamment petit, kPkI = kPkI . 4.39 Poser T = S - (X + 1) avec  = min (, )/2 et = inf {S(x) | x  [ -1 ; 1 ] r ] xk -  ; xk+1 +  [} Montrer ensuite que kTUkI > kSUkI et que kTURkI 6 kSURkI . Pour établir ce
second point, on pourra prendre  = (kPkI - kPk[ xk ; xk+1 ] )/kURkI Un tel  est
strictement positif si l'on suppose
y  ] xk ; xk+1 [

|P(y)| 6 kPkI

Bien que l'énoncé ne le précise pas explicitement, on pourra supposer que les
racines xm 6 · · · 6 xm+n sont distinctes deux à deux. On pourra également
supposer  assez petit de sorte que ] -1 ; 1 ] r ] xk -  ; xk+1 -  [ 6= .
2

4.41 Introduire U = (n + m)2 (kPkI - P2 ) et montrer qu'il a les mêmes racines 
que
2
le polynôme (1 - X2 )P0 en utilisant les résultats démontrés ou admis dans les
questions 4.39 et 4.40. De même qu'à la question 4.39, on pourra supposer que
les racines de P sont deux à deux distinctes.
4.43 Montrer que f est solution de l'équation différentielle
y 00 + (n + m)2 y = 0
Remarquer que P(1) > 0 et utiliser le résultat admis par l'énoncé à la fin de la
question 4.38 pour conclure.
4.44 Montrer que |P(-1)| = 2-n-m+1 en utilisant l'expression de P sur [ -1 ; 1 ]
obtenue à la question précédente. On pourra remarquer que
  R

1 - cos() =

1
1 - ei
2

2

et utiliser la question 2.13.