X/ENS Maths PC 2021

X/ENS Maths PC 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Rémi Pellerin (ENS Lyon) ; il a été relu par Julie 
Gauthier (professeur agrégé), Vincent Puyhaubert (professeur en CPGE) et 
Benjamin
Monmege (enseignant-chercheur à l'université).

Ce sujet propose l'étude d'une borne supérieure définie à partir d'une norme sur
les polynômes à coefficients complexes. Pour K une partie bornée, fermée et 
infinie
de C, on munit C[X] de la norme infinie sur K. Il s'agit d'une norme d'algèbre,
c'est-à-dire que pour tout couple de polynômes (Q, R)  C[X]2 , on a
kQkK kRkK > kQRkK
Le but du problème est de calculer la valeur maximale CK
n,m pour Q  Cn [X] r {0}
et R  Cm [X] r {0} du quotient
kQkK kRkK
kQRkK
dans deux cas particuliers : lorsque K est égal au disque unité fermé de C 
(partie III)
et lorsque K est un intervalle non trivial de R.
· Dans la partie I, on montre des résultats généraux sur k · kK lorsque K est 
une
partie fermée et bornée quelconque de C. C'est la seule partie dont la 
difficulté
globale est raisonnable.
· Dans la partie II, on travaille avec une théorie de l'intégration légèrement 
plus
puissante que celle au programme afin d'étudier la mesure de Mahler d'un
polynôme de C[X]. Cette mesure sera utilisée dans la partie III. Le niveau est
assez soutenu car sont abordés, sans les mentionner explicitement, des résultats
d'analyse complexe, un domaine des mathématiques qui n'est pas non plus au
programme.
· La partie III propose d'établir une majoration optimale de CD
n,m , où D désigne
le disque unité fermé de C. L'ensemble de la partie est à la fois très technique
et astucieux. Une grande partie des questions nécessite une compréhension 
profonde des objets manipulés.
· La dernière partie vise à calculer CIn,m pour I un intervalle non trivial de 
R.
La moitié des questions sont d'un niveau déraisonnable, même pour un sujet 
X/ENS.
La difficulté de ce sujet a manifestement été très mal évaluée. Si les 
questions 1.5,
2.13, 3.18, 3.26 et 4.44 sont ardues, les questions 3.23, 4.39 et 4.40 sont 
presque introuvables ! Pourtant, se frotter à ce problème est un bon 
entraînement. En effet,
d'une part cela permet de se préparer à la gestion du temps lors d'une épreuve 
trop
longue et trop difficile, et d'autre part le problème en lui-même permet de 
bien revoir une grande partie du programme : séries entières, séries 
numériques, intégration,
équations différentielles, espace vectoriels normés. Que les élèves de la 
filière MP ne
s'imaginent pas que ce sujet est facile puisqu'il est tombé en PC : il s'agit 
sûrement,
pour eux aussi, d'un véritable défi !

Indications
1.1 Utiliser le fait que pour tout P  C[X], l'application z 7 P(z) est continue.
1.5 Considérer M > 0 qui vérifie M > |z| pour tout z  K et montrer que,
pour  > 0,
4M2
1
(Q R )(z)
6
2 + 1- 
2
Q (a)R (b)
 |a - b|

z  K

1.6 Vérifier que E est non vide et établir que k · k est une norme sur V. 
Montrer
que f est continue.
1.7 Utiliser la question précédente pour montrer que
kQ0 kK kR0 kK
CK
n,m =
kQ0 R0 kK
2.8 Découper l'intervalle d'intégration avec une subdivision composée des 
racines
de Q.
2.10 Utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale pour montrer la 
continuité de  sur ] 0 ; + [ et le théorème de convergence dominée pour la 
continuité
en 0.
Z 2
p
2.11 Utiliser la question 2.9 pour justifier que
Q(e i  ) d > 0.
0

(p) - (0)
(p)
=
2.12 Remarquer que
p > 0
p
p-0
2.13 Contrairement à ce que propose l'énoncé, on pourra étudier la fonction
(
] -1 ; 1 [ - C
f:
r
7- e i  /(1 - re i  )
où  est un réel quelconque. Cette fonction est développable en série entière.
On pourra intégrer sa partie réelle sur [ 0 ; r ].
2.14 Utiliser la formule établie à la question précédente.
2.15 On pourra considérer z = e i   D et (rn )nN  [ 0 ; 1 [ N telle que rn ---- 
1
n
et montrer, grâce au théorème de convergence dominée que
M(X - rn z) ---- M(X - z)
n

Pour ce faire, on pourra utiliser que
(a, b, c)  (R+ )3

a 6 b 6 c = |ln(b)| 6 max (|ln(a)| , |ln(c)|)

après avoir justifié l'encadrement
|sin( - )| 6 e i  - rn z 6 2
2.16 Utiliser la question 2.14.
3.17 On pourra commencer par établir le résultat pour les polynômes de la base
canonique (Xn )nN de C[X].
3.18 Pour montrer que kPkD > kPkD , on pourra considérer un élément z  D tel
que kPkD = |P(z)|, utiliser la question précédente avec r = 1-|z| et commencer
par montrer que
Z 2
kPkD - P(z + re i  ) d = 0
0

Publié dans les Annales des Concours

3.20 Écrire

Q=µ

k
Q

0

(X - ri )

et

R=

i=1

k
Q

(X - ri 0 )

i=1

et utiliser la question 3.18 pour montrer l'existence de (u, v)  D2 tel que
kQkD = |Q(u)|

kRkD = |R(v)|

et

3.21 A partir d'une expression de P comme un polynôme scindé, obtenir une 
expression scindée de S puis utiliser les résultats des questions 2.15 et 2.16 
pour
montrer que
M(S) = ||

m+n
Q

max (|u - i | , |v - i |)

i=1

3.22 Utiliser les questions 3.18 et 3.19 pour montrer que

n+m
 i
ue i  - v
ue - v
6 kPkD max 1, i 
P
ei - 1
e -1
et en déduire que
S(e i  ) 6 kPkD max

  ] 0 ; 2 [

ei - 1 , ei - w

n+m

3.23 Montrer que
2

Z
I() =

ln max

ei - 1 , ei - ei

d

0

3.24
3.26
4.27

4.30

4.32

est maximale
pour  = . Pour ce faire, il sera utile de remarquer que la quantité

max e i  - 1 , e i  - e i  correspond à distance entre le point e i  et le point
qui lui est le plus éloigné parmi 1 et e i  . En remarquant que l'intégrande est
2-périodique, utiliser la relation de Chasles pour faire disparaitre le max dans
l'argument du logarithme.
On pourra se servir du découpage de l'intégrale fait à la question précédente,
utiliser la question 3.23 et effectuer une permutation série-intégrale.
Montrer que kQk Rk kD = 2. Penser aux sommes de Riemann.
Remarquer que, si c < d, la fonction [ c ; d ] - [ a ; b ] f: x 7- b - a (x - c) + a d-c est une bijection. Considérer (x, y)  I2 tel que kQ0 kI = |Q0 | et kR0 kI = |R0 |. Si x 6= y, utiliser le résultat de la question 4.27. Sinon, poser Q1 = Q0 (-xX) et R1 = R0 (xX). Dans tous les cas, justifier que l'on peut toujours supposer Q1 et R1 unitaires. Montrer que kS2 kI = kQ2 kI . On pourra remarquer que x  [ -1 ; 1 ] |x + 1 - |w + 1|| 6 |x - w| 4.34 En étudiant la fonction g: [ -1 ; 1 ] - R Montrer que kS3 kI = x 7- 1-w (w - x)2 2 kQ3 kI . 1+w 4.35 Considérer w  C une racine de R2 et T  C[X] tel que R2 = (X - w)T. Poser T2 = (X - 1 + |w - 1|)T et raisonner comme à la question précédente en observant que x  [ -1 ; 1 ] |x - 1 + |w - 1|| 6 |w - x| 4.36 Procéder par l'absurde et supposer que R 6= m Q (X - xk ). Justifier qu'il existe k=1 alors j  [[ m + 1 ; n + m ]] et i  [[ 1 ; n ]] tels que xi 6= xj puis poser Q1 = R(xj ) 6= 0 X - xj Q X - xi et et Q(xi ) = 0 R1 = X - xi R X - xj Comparer les quantités |1 + xi | |1 - xj | et |1 - xi | |1 + xj |. 4.37 Étudier le signe de Q0 sur ] - ; -1 [ en discutant selon la parité de n. 4.38 Remarquer que, si |P(-1)| < kPkI , pour  suffisamment petit, kPkI = kPkI . 4.39 Poser T = S - (X + 1) avec  = min (, )/2 et = inf {S(x) | x  [ -1 ; 1 ] r ] xk -  ; xk+1 +  [} Montrer ensuite que kTUkI > kSUkI et que kTURkI 6 kSURkI . Pour établir ce
second point, on pourra prendre  = (kPkI - kPk[ xk ; xk+1 ] )/kURkI Un tel  est
strictement positif si l'on suppose
y  ] xk ; xk+1 [

|P(y)| 6 kPkI

Bien que l'énoncé ne le précise pas explicitement, on pourra supposer que les
racines xm 6 · · · 6 xm+n sont distinctes deux à deux. On pourra également
supposer  assez petit de sorte que ] -1 ; 1 ] r ] xk -  ; xk+1 -  [ 6= .
2

4.41 Introduire U = (n + m)2 (kPkI - P2 ) et montrer qu'il a les mêmes racines 
que
2
le polynôme (1 - X2 )P0 en utilisant les résultats démontrés ou admis dans les
questions 4.39 et 4.40. De même qu'à la question 4.39, on pourra supposer que
les racines de P sont deux à deux distinctes.
4.43 Montrer que f est solution de l'équation différentielle
y 00 + (n + m)2 y = 0
Remarquer que P(1) > 0 et utiliser le résultat admis par l'énoncé à la fin de la
question 4.38 pour conclure.
4.44 Montrer que |P(-1)| = 2-n-m+1 en utilisant l'expression de P sur [ -1 ; 1 ]
obtenue à la question précédente. On pourra remarquer que
  R

1 - cos() =

1
1 - ei
2

2

et utiliser la question 2.13.