X/ENS Maths PC 2020

Thème de l'épreuve Interpolation à l'aide de fonctions gaussiennes
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, fonctions intégrables
Mots clefs interpolation, fonctions gaussiennes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI
ÉCOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D ADMISSIO N 2020

LUNDIZ2OAVRIL 2020 - 8h00 - [2h00
FILIERE PC - Epreuven lÎ|

MATHEMATIQUES
(XEULC)

Durée: d'heures

L'utilisation des calculatrices n estpas autorisée pour cette épreuve
NOTATIONS

Dans tout le problème, pour tout (a, b) e N° tel que a & b, on notera [a,b] = 
{ie N | a  0 pour

tout u EUR M,,1(R). L'ensemble des matrices symétriques positives de M,(R) sera 
noté Sym" (p).

DÉPENDANCES DES PARTIES

Les parties IIT et IV sont indépendantes des parties I et II et la partie V 
dépend des parties

précédentes.

PARTIE I

(1) Montrer que pour toutes matrices À et B dans Sym"(p) et tous réels positifs 
a et b, on a
aA + bB EUR Sym"(p)
p -- ...,. fini _ yyT
? à E
(2) Montrer que si v EUR RP alors la matrice À = (A;;)(; j)ep1,p]2 définie par 
À = vu est dans
Sym" (p).
(3) (a) Montrer que pour tous u,v e RP, on a (uu!)O{(vu!) = (uOv)(uOv)!.
b) Soit À e Sym'(p). On note À,-::,X, les valeurs propres (avec multiplicité) 
de À
p
et (u1,--- ,u,) une famille orthonormale de vecteurs propres associés. Montrer 
que
X& > 0 pour tout ke [1,p] et que À = 97, Axuguy.
(c) En déduire que si À, B e Sym'(p) alors AO B EUR Sym"(p).

PARTIE II

Pour f:R--Ret AE M,(R), on note f[A] EUR M,(R) la matrice définie par f[Al;; = 
f(4;;)
pour tout (i,j)e [1,pl]°.
(4) SoientneNet P:R--R défini par P(x) = DL axæ" où ax > 0 pour tout k EUR [0,n]
un polynôme à coefficients positifs.
(a) Vérifier que P[A] = YF, ax A) pour toute matrice À EUR M, (R).
(b) Montrer que si À EUR Sym" (p) alors P[A] e Sym"(p).
1
2

On pose, pour tout n > 0ettoutxeR, P,(x) =D; 0 2 où k! désigne la factorielle 
de k.

(5) Soit À e Sym' (p).
(a) Montrer que pour tout (i,j)e [1,p]°, on a

lim Ph|Ali; -- exp(A;;) :
n--00

(b) Montrer que exp[A] EUR Sym" (p).
(c) Soit u e R?. Montrer que exp[A] © (uu!) e Sym" (p).

(6) Soit de N*. On considère un p-uplet (x;)14;<9 d'éléments de R° et la matrice A = (ri, T5))(i,pel1p]? où  0 et K° EUR M,(R) la matrice définie par K;; = exp(-- ul) pour 
tout
(i,j)e [1,p]°. Montrer que K EUR Sym" (p).

PARTIE III

Soit À > 0 fixé. On considère ici l'espace S(R,R) des fonctions continues de R 
dans R. Dans
toute la suite, on désigne par EUR le sous-espace vectoriel de &(R, R) (on ne 
demande pas de vérifier

ce fait) défini par
& = { FE C(R,R) | Aa, À) EUR (RY)° tel que VyeR |f(y)| < Aexp(--y°/a) }. Pour tout x EUR R, on note 7; : &(R,R) -- &{(R,R) l'application définie pour tout f EUR &(R, R) par Ta(J)(y) = f(y -- x) pour tout y EUR R. Enfin on définit la fonction 7; : R -- R par na (y) = exp(--y*/X). (7) Pour tout (f,g) EUR EUR&*, montrer que fg est intégrable sur R. Pour tous f,ge EUR, on définit + 00 (f| 9) = f(y)g(y)dy . (8) (a) Montrer que pour tout fe &,on a (f| f) > 0 avec égalité si et seulement 
si f = 0.
(b) Montrer que pour tout x ER, 7;(yx) appartient à &.

(9) (a) Soit a > 0. Montrer qu'il existe c > 0 tel que pour tout xERona

[ep AUEOR EXP _ dy = cexp | -- r°
_o À a & + À

Indication : On pourra montrer l'égalité

y--ax) y _atA ax

: 2
X max Ua ann

(b) Soit ge EUR. On considère C{(g) : R -- R définie pour tout æ ER par

C(g)(x) = (9x) | 9):

Montrer que C(g) EUR EUR.
(c) Montrer que C : & -- EUR définit un endomorphisme de &#.

PARTIE IV

Soit À > 0 fixé. On considère maintenant l'ensemble G des fonctions g 
s'écrivant sous la
forme g = D; OEiTr, (9x) où n est un entier strictement positif et 
((x;,a;))1 0 telle que pour tout (x,x')eRxRona

(rx (a) | Ta (9) = Ex (x -- x).

Indication : On pourra remarquer que +((y -- x)? +(y--x/)?) = £(y-- (x +x/)/2)? 
+
(x --x)?.
(b) En déduire que pour tout x e R

C(Tx(91)) = CATx (922)

et que
H = { Y QiTx, (2x1) |nEN*, Vieli,n] (x,@«)eRxR }.
i=1
(12) (a) Soient n EUR N* et (xi)isien une famille de réels telle que pour tous 
à, EUR [1,n] on
a x; Æ x; lorsque à Æ 7. Montrer que la fonction D QiTx, (2x) est nulle si et
seulement si a; = 0 pour tout 1 < à < n {Indication : On pourra procéder par récurrence sur n). (b) En déduire qu'il existe une unique application linéaire D de # dans G telle que D o C(g) = g pour tout ge G et C'o D(h) = h pour tout h EUR H. (c) Montrer que pour tout h EUR H, on à pour tout x e R que h(x) = (r:(71) | D(h)). (13) Pour tout (h1,h2) EUR H x H, on note (h1| h2)y = cx(D(h:1)| D(h2)) où EUR est introduit dans la question (11a). (a) Vérifier que ( | )4 définit un produit scalaire sur #. (b) Montrer que pour tous xeRet he on a (x) = (r:(%21) | h)#. (c) Montrer que pour tout h EUR H on a Il < A|# où on a posé |A] = super lk(x)| et |hly = (h| h}ae. PARTIE V On fixe dans cette partie deux p-uplets (t;);en,p] EURt (@i)iepi,p] de réels. On suppose que les x; sont deux à deux distincts. On note S ={ he H | h(x;i) = à; } l'ensemble des h EUR H qui valent a; en x; pour tout à EUR |1,p] (on dira qu'une telle fonction est une interpolante). On note J:H --R défini par J(h) = 5hl?, et J, = inf{ J(R)|RES }. 2 On veut montrer dans cette partie qu'il existe une unique interpolante h+; EUR S qui atteint le minimum de J c'est-à-dire telle que J(h4) = J,4. On notera S; ={heS | J(h) = J,4 }: (14) (15) (16) (17) Montrer S, a au plus un élément. Soient Ho = {he H|h(x;) =0Viel1,p] } et h EUR S4 (on suppose ici S+ non vide). Montrer que (| ho)x = 0 pour tout ho EUR Ho. On note H5 = {heH]|Vho e Ho (h| ho)x = 0 } le sous-espace orthogonal à Ho dans H. (a) Montrer que S4 = S n Hg. (b) Montrer que Hà contient le sous-espace vectoriel de # engendré par les fonctions Tx,(92x) pour 4 EUR [1,p]. Soient à EUR R? (resp. a EUR R?) le vecteur de coordonnées (@;)iepi1,p] (resp. (@i)ieqi,pq) et ha = D iTx: (V2). (a) Montrer que h, est une interpolante si et seulement si Ka = a où K est la matrice introduite dans la question (6) (ici dans le cas d = 1). (b) Montrer que K est inversible. En déduire qu'il existe a. EUR IR? tel que S+ = {h4, } et calculer la valeur de J, en fonction de K et a.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Maths PC 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Quentin Guilmant (ENS de Lyon) ; il a été relu par
Angèle Niclas (ENS de Lyon) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à 
l'université).

Ce sujet propose l'étude d'une méthode d'interpolation, différente de celle 
habituellement rencontrée en classe préparatoire utilisant les polynômes de 
Lagrange.
La construction est nettement plus technique et fait l'objet de cinq parties. 
L'énoncé
prend (gentiment) la peine de préciser que les parties I et II sont 
indépendantes des
parties III et IV, tandis que la partie V utilise tout ce qui précède.
· Dans la partie I, on commence par étudier l'espace Sym+ (p) des matrice 
symétriques réelles positives de taille p. Le but de cette partie est 
principalement de
montrer que l'ensemble de ces matrices est stable par le produit de Hadamard
qui consiste, contrairement au produit matriciel usuel, à effectuer un produit
coefficient par coefficient.
· La partie II poursuit sur cette lancée en démontrant que l'exponentielle d'une
matrice symétrique positive reste symétrique positive. On en déduit en toute fin
2
de partie qu'une matrice de la forme (e-(xi -xj ) /2 )i,j[[ 1 ; p ]] où les (xi 
)i[[ 1 ; p ]]
sont des réels quelconques et  > 0, est un élément de Sym+ (p), ce qui est en
fait l'objectif visé par ces deux premières parties.
· La partie III introduit l'espace vectoriel E des fonctions à décroissance 
rapide
en +
- . On étudie notamment sa structure euclidienne et un endomorphisme C,
à base de convolution, dont l'utilité est encore à ce stade un peu obscure.
· En partie IV, on s'intéresse au sous-espace vectoriel G de E engendré par les
translations et les dilatations de la fonction gaussienne x 7- exp(-x2 ). On en
profite pour définir un produit scalaire spécifique sur l'image H de G par 
l'endomorphisme C de la partie précédente.
· C'est dans la partie V que la notion d'interpolation fait surface. Les 
éléments de
l'ensemble H de la partie précédente prennent maintenant le nom de fonctions
interpolantes. C'est parmi ces fonctions que l'on cherche, pour deux p-uplets
fixés (xi )i[[ 1 ; p ]] et (ai )i[[ 1 ; p ]] , un élément h de norme minimale 
qui prend la
valeur i en xi pour tout i (les (xi )i[[ 1 ; p ]] étant bien entendu supposés 
deux à
deux distincts). On montre notamment qu'un tel élément existe et est unique.
Le sujet permettait de vérifier que les candidats maîtrisaient l'algèbre 
linéaire, en
particulier l'inégalité de Cauchy-Schwarz afin d'établir des majorations. Les 
questions
portant sur l'intégrabilité des fonctions sur R sont également omniprésentes.

Indications
Partie I
3.c On pensera à utiliser le théorème spectral sur A et sur B.
Partie II
4.b Montrer par récurrence que pour tout k  N, on a A(k)  Sym+ (p).
6.c Trouver une matrice B et un vecteur v tels que K = exp[B]
appliquer la question 5.c.

vv T pour

Partie III
7 Utiliser la définition de E pour majorer |f g| par une fonction intégrable 
sur R.
8.b Fixer  > 0 et trouver µ > 0 tel que pour tout
 y  R r ] x -  ; x +  [ on ait la
majoration exp -(y - x)2 / 6 exp -y 2 /µ . Pour y  [ x -  ; x + ], on peut
se rendre compte qu'au voisinage de x, la fonction y 7 exp -y 2 /µ admet un
minimum strictement positif.
Partie IV
11.a Utiliser l'indication puis le changement de variable z = y - (x + x0 )/2.
12.a Pour l'hérédité, penser à dériver la fonction et remarquer que l'on peut 
simplifier
l'écriture.
12.b Ne surtout pas conclure trop vite en affirmant que C envoie une base sur 
une
base. Les espaces sont de dimensions infinies.
13.c Remarquer que khk est atteinte en un certain x. Utiliser la question 13.b 
sur
ce x, puis appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Enfin, calculer kx (2 )kH .
Partie V
14 Pour h1 et h2 deux éléments de S , poser h3 = (h1 + h2 )/2. Majorer J(h3 ) à
l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
15 Faire un raisonnement par l'absurde en supposant qu'il existe h0  H0 tel
que (h0 | e
h)H > 0. Ensuite, étudier le polynôme P(a) = J(e
h - ah0 ).
16.a Étudier la différence entre un élément de S  H0  et un élément de S.
17.b Prendre u  Ker K et étudier uT Ku.

Publié dans les Annales des Concours

Partie I
+

1 Prenons A, B  Sym (p). Alors pour a et b des réels positifs, et pour tout
couple (i, j)  [[ 1 ; p ]]2 ,
(aA + bB)ij =
=
=
(aA + bB)ij =

aAij + bBij

a AT ij + b BT ij (matrices symétriques)
aAji + bBji
(aA + bB)ji

Autrement dit,
(aA + bB)T = aA + bB
c'est-à-dire que la matrice est symétrique. De plus, pour u  Rp ,
T
uT (aA + bB)u = |{z}
a u
Au} + |{z}
b |uT{zBu} > 0
| {z
>0

Finalement,

a, b  R+

>0

A, B  Sym+ (p)

>0

>0

aA + bB  Sym+ (p)

2 Utilisons l'identité sur la transposée d'un produit matriciel :
M  Mp,q (R) N  Mq,r (R)
(MN)T = NT MT
où p, q, r sont des entiers naturels. Pour v  Rp et A = vv T ,
T
T
AT = vv T = v T v T = vv T = A
De plus, pour u  Rp ,

Puis,

uT Au =
=
=
=
T
u Au >
v  Rp

uT vv T u
(v T u)T (v T u)
(v T u)(v T u)
(v T u)2
0

(car v T u  R)

vv T  Sym+ (p)

3.a Soient u, v deux vecteurs de Rp et (i, j)  [[ 1 ; p ]]2 . Alors

uuT
vv T ij = ui uj vi vj
= (ui vi )(uj vj )
[1mm]
 = (u v)i (u v)j 

vv T ij = (u v)(u v)T ij
uuT
d'où

uuT

vv T = (u

v)(u

v)T

3.b La matrice A est symétrique réelle. Le théorème spectral assure que A est
diagonalisable en base orthonormée. Soit (u1 , . . . , up ) le p-uplet de 
vecteurs propres
de A formant une famille orthonormale. Soit P la matrice de changement de base 
de
la base canonique dans cette nouvelle base. On a alors
A = PDPT
où D est la matrice diagonale dont les coefficients sont les 1 , . . . , p , 
les valeurs
propres associées. La matrice P a pour colonnes les vecteurs u1 , . . . , up et 
PT a pour
lignes leurs transposés, les vecteurs u1 T , . . . , up T . Par suite,
A=

p
P

k uk uk T

i=1

Publié dans les Annales des Concours

0 6 uk T Auk = k uk T uk = k kuk k2

k  [[ 1 ; p ]]

De plus,

k  [[ 1 ; p ]]

Puis,

2

k > 0

3.c Soient A, B  Sym+ (p). En appliquant le théorème spectral, A et B sont 
diagonalisables en base orthonormée. Soient donc (1 , . . . , p ) et (µ1 , . . 
. , µp ) les valeurs propres respectivement de A et B. D'après la question 3.b, 
elles sont positives
(ou nulles). Soient aussi (u1 , . . . , up ) et (v1 , . . . , vp ) des bases 
orthonormées de vecteurs propres associées. Alors, d'après la question 3.b,
p
p
P
P
A=
k uk uk T
et
B=
µ` v` v` T
k=1

`=1

L'opération étant la multiplication coefficient à coefficient, elle hérite des 
propriétés
algébriques de la multiplication usuelle sur les réels. En particulier, elle 
est bilinéaire.
En utilisant cette propriété, on a
 p
  p

P
P
T
T
A B=
k uk uk
µ` v` v`
k=1

A

=

p
P

=

k=1
p P
p
P

B=

k=1`=1
p P
p
P

`=1

k uk uk

T

p
P

µ` v` v` T

`=1

k µ` uk uk
k µ` (uk

T

v` v` T

v` )(uk

v` )T

(question 3.a)

k=1`=1

D'après la question 2, pour tout (k, `)  [[ 1 ; p ]]2 , on a (uk v` )(uk v` )T  
Sym+ (p).
De plus, les valeurs propres étant positives, on a aussi k µ` > 0. Or, en 
utilisant la
question 1, on obtient par récurrence immédiate que toute combinaison linéaire, 
avec
coefficients positifs, de matrices de Sym+ (p) est encore dans Sym+ (p). 
Formellement,
p
P
n  N a1 , . . . , an  R+ A1 , . . . , An  Sym+ (p)
ak Ak  Sym+ (p)
k=1
+

B  Sym (p)

A

Par suite, on en déduit que

Partie II
2

4.a Soit (i, j)  [[ 1 ; p ]] . Remarquons d'abord que pour tout entier k,
(0)

Aij = 1

(k+1)

Aij

(k)

= Aij Aij

On identifie une suite géométrique. On connaît donc son terme général :
k  N
Puis,

P[A]ij = P(Aij ) =

n
P

(k)

Aij = (Aij )
k

ak (Aij ) =

k=0

Autrement dit,

n
P

(k)
ak Aij

k=0

P[A] =

n
P

k

=

n
P

k=0

ak A(k)

k=0

ak A

(k)

ij