X/ENS Maths PC 2017

Thème de l'épreuve Rayon spectral de matrices carrées
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction des endomorphismes
Mots clefs spectre, rayon spectral

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE ­ ECOLES NORMALES SUPERIEURES
ECOLE SUPERIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

FILIERE PC

CONCOURS D'ADMISSION 2017

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (XEULC)
(Duree : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve.
  
Dans le probleme, n est un nombre entier naturel superieur ou egal a 2 et [[1, 
n]] designe l'ensemble
des nombres entiers compris entre 1 et n.
C designe le corps des nombres complexes. Le module d'un nombre complexe z est 
note |z|.
Mn,m (C) (resp. Mn,m (R) ) designe l'espace des matrices a n lignes et m 
colonnes, a coefficients
dans C (resp. dans R). La matrice transposee d'une matrice M  Mn,m (C) est 
notee tM .
Cn est identifie a l'espace Mn,1 (C) des matrices colonnes a n lignes et a 
coefficients dans C. Les
coefficients d'un vecteur x  Cn sont notes x1 , . . . , xn . Dans tout le 
probleme, Cn est muni de la
norme || ||1 definie par
n
X
||x||1 =
|xi | .
i=1

Pour tous x  Cn et y  Cn , la matrice txy  M1 (C) est identifiee au nombre 
complexe

n
X

x i yi .

i=1

Le sous-espace vectoriel de Cn engendre par un vecteur v  Cn \{0} est note Cv.
Une matrice M  Mn,m (R) est dite positive (resp. strictement positive) lorsque 
tous ses coefficients
sont des reels positifs (resp. strictement positifs). Cette propriete est notee 
M > 0 (resp. M > 0).
Si A et B sont deux matrices de Mn,m (R), on notera A > B (resp. A > B) la 
propriete A - B > 0
(resp. A - B > 0). Ainsi, pour x et y dans Rn ,
x > y  i  [[1, n]] , xi > yi .
Lorsque m = n, on utilisera la notation
La matrice diagonale

1

0

 ..
.
0

Mn (C) (resp. Mn (R)) pour Mn,m (C) (resp. Mn,m (R)).

0 ... 0

.. ..
.
. 0

..   Mn (C)
.. ..
. . 
.
. . . 0 n

sera notee diag(1 , . . . , n ). On note In = diag(1, . . . , 1) la matrice 
identite d'ordre n.
Pour M  Mn (C), on pose
||M || =

sup

||M x||1 =

xCn ,||x||1 =1

||M x||1
·
xCn \{0} ||x||1
sup

(1)

Une matrice M  Mn (C) sera en general identifiee a l'endomorphisme M de Cn 
represente par
M dans la base canonique de Cn : pour x  Cn , M (x) = M x. On appelle spectre 
d'une matrice

1

M  Mn (C), et on note Sp(M ), l'ensemble des valeurs propres de M . Le rayon 
spectral de M ,
note (M ), est defini comme le maximum des modules des valeurs propres de M :
(M ) = max{||;   Sp(M )} .

Premiere partie
1. a) Pour toute matrice M  Mn (C) et tout nombre reel C > 0, montrer 
l'equivalence
kM k 6 C  x  Cn : kM xk1 6 Ckxk1 .
b) Montrer que l'application M 7- kM k est une norme sur Mn (C).
2. Montrer que pour A, B  Mn (C), ||AB|| 6 ||A|| ||B||.
3. Soit A  Mn (C). On note ai,j le coefficient de A d'indice de ligne i et 
d'indice de colonne j.
Montrer que
n

X
|ai,j | .
||A|| = max
16j6n

i=1

4. On dit qu'une suite (A(k) )kN de matrices de Mn (C) converge vers une 
matrice B  Mn (C)
lorsque
i  [[1, n]] , j  [[1, n]] , lim (ai,j )(k) = bi,j .
k+

Montrer que la suite (A(k) ) converge vers B si et seulement si

lim ||A(k) - B|| = 0.

k+

5. On considere dans cette question une matrice A  Mn (C) triangulaire 
superieure,

a1,1 a1,2 . . . . . . a1,n
 0 a2,2 . . . . . . a2,n 

 ..

.
.
.
.
.
.
.
.
. 
A=
 .
.
 ..
.
.
.
.. ..
.. 
 .

0
. . . . . . 0 an,n
On suppose que
i  [[1, n]] , |ai,i | < 1 .
Pour tout reel b > 0, on pose Pb = diag(1, b, b2 , . . . , bn-1 )  Mn (R).
a) Calculer Pb-1 APb . Que se passe-t-il lorsqu'on fait tendre b vers 0 ?
b) Montrer qu'il existe b > 0 tel que
||Pb-1 APb || < 1 .
c) En deduire que la suite (Ak )kN converge vers 0.
Deuxieme partie
6. Determiner le rayon spectral des matrices suivantes

0 0
0 0
1 0
0 -1
,
,
,
0 1
1 0
0 0
2 0

,

3 2
.
1 2

7.
Dire, en justifiant brievement la reponse, si les assertions suivantes sont 
exactes quels que
soient A, B  Mn (C), µ  C.

2

i) (µA) = |µ|(A) .
ii) (A + B) 6 (A) + (B).
iii) (AB) 6 (A)(B).
iv) Pour P  Mn (C) inversible, (P -1 AP ) = (A).
v) (tA) = (A).
8. Montrer que pour toute matrice A  Mn (C),
(A) 6 ||A|| .
Dans les questions 9 a 11, on considere une matrice A  Mn (C).
9. Montrer que si (A) < 1, alors la suite (Ak )kN converge vers 0.
10. a) Montrer que, pour tout k  N , ||Ak || > (A)k .
b) On definit la partie de R+
EA = { > 0 |

lim

k+

 A k

= 0} .

Montrer que EA = ](A), +[.
11. Montrer la formule
lim ||Ak ||1/k = (A) .

k+

12.
Pour A  Mn (C) de coefficients ai,j , on pose A+ = (bi,j )16i,j6n , ou bi,j = 
|ai,j |. Montrer l'inegalite
(A) 6 (A+ ) .
Troisieme partie
Dans toute cette partie, A est une matrice strictement positive de Mn (R).
On se propose de demontrer les proprietes suivantes.
(i) (A) > 0, (A) est une valeur propre de A et toute autre valeur propre   C de 
A verifie
|| < (A).
(ii) (A) est une racine simple du polynome caracteristique de A et ker(A - 
(A)In ) est engendre
par un vecteur v0 dont toutes les composantes sont strictement positives.
(iii) Si v est un vecteur propre de A dont toutes les composantes sont 
positives, alors v  ker(A -
(A)In ).
(iv) Pour tout vecteur positif non nul x, il existe c  R+ tel que limk+
13. Soient z1 , . . . , zn des nombres complexes. Montrer que si
|z1 + · · · + zn | = |z1 | + · · · + |zn | ,

3

Ak x
(A)k

= cv0 .

z1
|z1 |

alors le vecteur  ...  est colineaire au vecteur  ... .
|zn |
zn
14. Soient x, y  Cn , , µ  C. Montrer que si  6= µ, alors on a l'implication 
suivante
(Ax = x

et

t

Ay = µy) = tx y = 0 .

15. On suppose qu'il existe un reel positif µ et un vecteur positif non nul w 
tels que Aw > µw.
a) Montrer que pour tout entier naturel k, Ak w > µk w. En deduire que (A) > µ.
b) Montrer que si Aw > µw, alors (A) > µ.
c) On suppose a present que dans le systeme d'inegalites Aw > µw, la k-ieme 
inegalite est stricte,
c'est-a-dire
n
X
akj wj > µwk .
j=1

Montrer qu'il existe  > 0 tel que, en posant wj = wj si j 6= k et wk = wk + , 
on a Aw > µw . En
deduire que (A) > µ.
16. Soit  une valeur propre de A de module (A) et soit x  Cn \{0} un vecteur 
propre de A
associe a . On definit le vecteur positif non nul v0 par (v0 )i = |xi | pour 1 
6 i 6 n.
a) Montrer que Av0 > (A)v0 , puis que
Av0 = (A)v0 .
b) En deduire que (A) > 0 et
i  [[1, n]] , (v0 )i > 0 .
c) Montrer que x est colineaire a v0 . En deduire que  = (A).
La propriete (i) est demontree.
17. En appliquant les resultats precedents a la matrice tA, on obtient 
l'existence de w0  Rn ,
dont toutes les composantes sont strictement positives, tel que tAw0 = (A)w0 . 
On pose
F = {x  Cn | txw0 = 0} .
a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de Cn stable par A , et que
Cn = F  Cv0 .
b) Montrer que si v est un vecteur propre de A associe a une valeur propre µ 6= 
(A), alors v  F .
En deduire la propriete (iii).
18. a) On note  l'endomorphisme de F defini comme la restriction de A a F . 
Montrer que
toutes les valeurs propres de  sont de module strictement inferieur a (A). En 
deduire que (A)
est une racine simple du polynome caracteristique de A et que
ker(A - (A)In ) = Cv0 .
La propriete (ii) est demontree.
b) Montrer que si x  F ,

Ak x
= 0.
k+ (A)k
lim

c) Soit x un vecteur positif non-nul. Determiner la limite de
La propriete (iv) est demontree.

4

Ak x
lorsque k tend vers +.
(A)k

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Maths PC 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (professeur en CPGE) ; il a été 
relu
par Loïc Devilliers (ENS Cachan) et Benoit Chevalier (ENS Ulm).

Ce problème d'algèbre linéaire traite du rayon spectral des matrices de Mn (C) 
et
a pour objet la démonstration d'une version d'un théorème dit de 
Perron-Frobenius,
qui est notamment utilisé en probabilités. Il est composé de trois parties qui 
peuvent
être abordées indépendamment les unes des autres car tous les résultats utiles 
sont
mentionnés dans l'énoncé.
· Dans une première partie, on munit l'espace Mn (C) d'une norme dont on établit
quelques propriétés algébriques et topologiques.
· On s'attaque ensuite au rayon spectral proprement dit dans la deuxième partie.
Après avoir étudié quelques exemples simples et des propriétés basiques, on fait
le lien avec la norme définie dans la première partie.
· La troisième partie, enfin, permet de démontrer quatre propriétés du rayon
spectral d'une matrice à coefficients strictement positifs (c'est en particulier
une de ses valeurs propres) et de l'espace propre associé.
Ce sujet ne présente pas de grosse difficulté et utilise peu de résultats du 
cours :
si l'on connaît les définitions d'une norme, d'une borne supérieure, du produit 
matriciel, d'une valeur propre et d'un vecteur propre, on dispose d'à peu près 
tous les
outils permettant de traiter les questions proposées. Sa longueur permet de 
plus de
le traiter dans le temps imparti. Il permet de vérifier que l'on a bien compris 
les
outils fondamentaux et donne l'occasion de les manipuler sans intervention des 
gros
théorèmes. C'est donc un bon sujet de révision d'algèbre et de topologie, 
abordable
tôt dans l'année et de difficulté mesurée, surtout pour le concours X/ENS.

Indications
Première partie
1.a La borne supérieure d'un ensemble est le plus petit de ses majorants.
1.b Utiliser l'équivalence établie à la question 1.a.
3 Montrer, en appliquant la question 1.a, que  = Max

16j6n

n
X

|aij | majore kAk,

i=1

puis exhiber un vecteur x  Cn tel que kxk1 = 1 et kAxk1 = .
5.a Quel est l'effet, sur les lignes et les colonnes d'une matrice, de la 
multiplication
à gauche ou à droite par une matrice diagonale ?
5.b Penser à la continuité de la norme dans un espace vectoriel normé.
5.c Utiliser les résultats des questions 5.a et 2.
Deuxième partie
7 Pour montrer que les assertions ii) et iii) sont fausses, on pourra prendre 
des
matrices A et B de rayon spectral nul, en s'inspirant de la question 6.
9 Se servir du résultat de la question 5.c.
10.b Raisonner par double inclusion et utiliser les résultats des questions 
10.a et 9.
11 On pourra encadrer kAk k1/k entre (A) et (A)+ pour tout  > 0, en utilisant
les propriétés établies aux questions 10.a et 10.b.
12 Prouver d'abord, grâce au résultat de la question 3, que kABk 6 kA+ B+ k
pour toutes matrices A et B  Mn (C). Appliquer ensuite la question 11.
Troisième partie
13 Utiliser le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire, en notant que la 
colinéarité
des vecteurs équivaut à l'existence d'un réel  tel que zj = e i  |zj | pour 
tout j.
t

t

14 Calculer x A y de deux manières différentes.
15.a Penser à utiliser le résultat de la question 11.
15.b Trouver µ > µ tel que Aw > µ w, puis utiliser le résultat de la question 
15.a.
16.a On se servira du résultat de la question 15.c pour montrer que Av0 6 (A)v0 
.
16.b Un calcul direct permet d'établir que Av0 > 0.
16.c Calculer |(Ax)1 | et (Av0 )1 , puis utiliser la propriété établie à la 
question 13.
17.b Penser au résultat de la question 14.
18.a S'inspirer de ce qui a été fait à la question 16, en utilisant les 
résultats des
questions 13, 15.b, 16.a et 17.a.
18.b On pourra utiliser une base de F pour écrire matriciellement Ak x, puis 
utiliser
les résultats des questions 18.a et 10.b.
18.c Se servir des propriétés démontrées aux questions 17.a et 18.b.

Première partie
1.a Soient C  R+ et M  Mn (C). Notons

kMxk1 .
x  Cn r {0}
E=
kxk1
L'énoncé demande d'établir la propriété pour C > 0, mais elle est aussi vraie
pour C = 0. Cela s'avérera utile au cours de la question 1.b.
Le réel kMk = sup(E) est le plus petit des majorants de E, de sorte que
kMk 6 C  C est un majorant de E
  x  Cn r {0} ,

kMxk1
6C
kxk1

  x  Cn r {0} , kMxk1 6 Ckxk1
kMk 6 C   x  Cn , kMxk1 6 Ckxk1
car kMxk1 et Ckxk1 sont nuls lorsque x = 0. Ceci prouve que
 M  Mn (C)  C > 0

kMk 6 C   x  Cn , kMxk1 6 Ckxk1

En particulier avec C = kMk, il vient
 M  Mn (C)  x  Cn

kMxk1 6 kMk kxk1

On peut aussi démontrer l'équivalence recherchée par double implication.
· Supposons que kMk 6 C. Soit x  Cn : si x = 0, alors kMxk1 = 0 et
Ckxk1 = 0 d'où kMxk1 6 Ckxk1 . Sinon, il vient par définition de kMk
kMxk1
6 kMk 6 C
kxk1
ce qui mène une fois de plus à kMxk1 6 Ckxk1 .
· Réciproquement, supposons que kMxk1 6 Ckxk1 pour tout x  Cn .
Alors kMxk1 6 C pour kxk1 = 1 si bien que kMk 6 C puisque la borne
supérieure d'un ensemble est le plus petit de ses majorants.
1.b Pour être une norme, une application doit vérifier trois propriétés : la 
séparation,
l'homogénéité et l'inégalité triangulaire.
L'application x 7- kxk1 étant une norme sur Cn , elle vérifie ces propriétés.
On va pouvoir les utiliser dans ce qui suit.
· Séparation
Soit M  Mn (C) une matrice telle que kMk = 0. Pour tout x  Cn , on a
kMxk1 = 0 d'après le résultat ci-dessus, si bien que Mx = 0. Ainsi, la matrice
M représente l'endomorphisme nul de Cn et M = 0. Ceci montre que
 M  Mn (C)

kMk = 0 = M = 0

· Homogénéité
Soient   C et M  Mn (C). D'après le résultat de la question 1.a, on a
 x  Cn

kMxk1 = || kMxk1 6 || kMk kxk1

soit kMk 6 || kMk. Si  = 0, cette inégalité est évidemment une égalité car
les deux membres sont nuls. Si  6= 0, on établit de la même façon que
w
w
w1
w
1
w
kMk = w (M)w
6
kMk
w

||
ce qui conduit à || kMk 6 kMk. On en déduit que
  C

 M  Mn (C)

kMk = || kMk

· Inégalité triangulaire
Soient M  Mn (C) et N  Mn (C). En utilisant une nouvelle fois le résultat de
la question 1.a et l'inégalité triangulaire pour la norme k k1 , on obtient
k(M + N)xk1 = kMx + Nxk1 6 kMxk1 + kNxk1 6 (kMk + kNk) kxk1
pour tout x  Cn , d'où kM + Nk 6 kMk + kNk. De ce fait,
 (M, N)  Mn (C)2

kM + Nk 6 kMk + kNk

Les trois propriétés requises étant vérifiées, on peut affirmer que
L'application M 7- kMk est une norme sur Mn (C).
2 Soient A et B  Mn (C). D'après le résultat de la question 1.a,
 x  Cn

kABxk1 = kA(Bx)k1 6 kAk kBxk1 6 kAk kBk kxk1

si bien que kABk 6 kAk kBk. Par conséquent,
 (A, B)  Mn (C)2

kABk 6 kAk kBk

n
X

|aij |. Soit x  Cn un vecteur de coordonnées (x1 , . . . , xn ) :
n
X
celles de Ax sont alors (Ax)i =
aij xj pour i  [[ 1 ; n ]]. De ce fait,
3 Posons  = Max

16j6n

i=1

j=1

kAxk1 =

n X
n
X

aij xj 6

i=1 j=1

d'où

kAxk1 6

|aij xj | =

i=1 j=1

n X
n
X
j=1

n X
n
X

|aij |

i=1

n X
n
X
j=1

n
X

|xj | 6 

|aij | |xj |

i=1

|xj | = kxk1

j=1

Ainsi, kAxk1 6 kxk1 pour tout x  Cn , d'où kAk 6  en vertu de l'équivalence
établie à la question 1.a.
n
X
Soit maintenant un entier j  [[ 1 ; n ]] tel que  =
|aij |. Considérons le vecteur
i=1

x  Cn défini par xj = 1 et xi = 0 si i 6= j (c'est en fait le j e vecteur de la 
base
canonique). Alors kxk1 = 1 et
n
X
 i  [[ 1 ; n ]]
(Ax)i =
aik xk = aij
d'où

kAxk1 =

n
X

k=1

|aij | = 

i=1

ce qui prouve que kAk > . Il en découle que kAk =  soit
 A  Mn (C)

kAk = Max

16j6n

n
X

|aij |

i=1