X/ENS Maths PC 2017

Thème de l'épreuve Rayon spectral de matrices carrées
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction des endomorphismes
Mots clefs spectre, rayon spectral

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE ­ ECOLES NORMALES SUPERIEURES ECOLE SUPERIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES FILIERE PC CONCOURS D'ADMISSION 2017 COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (XEULC) (Duree : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve. Dans le probleme, n est un nombre entier naturel superieur ou egal a 2 et [[1, n]] designe l'ensemble des nombres entiers compris entre 1 et n. C designe le corps des nombres complexes. Le module d'un nombre complexe z est note |z|. Mn,m (C) (resp. Mn,m (R) ) designe l'espace des matrices a n lignes et m colonnes, a coefficients dans C (resp. dans R). La matrice transposee d'une matrice M Mn,m (C) est notee tM . Cn est identifie a l'espace Mn,1 (C) des matrices colonnes a n lignes et a coefficients dans C. Les coefficients d'un vecteur x Cn sont notes x1 , . . . , xn . Dans tout le probleme, Cn est muni de la norme || ||1 definie par n X ||x||1 = |xi | . i=1 Pour tous x Cn et y Cn , la matrice txy M1 (C) est identifiee au nombre complexe n X x i yi . i=1 Le sous-espace vectoriel de Cn engendre par un vecteur v Cn \{0} est note Cv. Une matrice M Mn,m (R) est dite positive (resp. strictement positive) lorsque tous ses coefficients sont des reels positifs (resp. strictement positifs). Cette propriete est notee M > 0 (resp. M > 0). Si A et B sont deux matrices de Mn,m (R), on notera A > B (resp. A > B) la propriete A - B > 0 (resp. A - B > 0). Ainsi, pour x et y dans Rn , x > y i [[1, n]] , xi > yi . Lorsque m = n, on utilisera la notation La matrice diagonale 1 0 .. . 0 Mn (C) (resp. Mn (R)) pour Mn,m (C) (resp. Mn,m (R)). 0 ... 0 .. .. . . 0 .. Mn (C) .. .. . . . . . . 0 n sera notee diag(1 , . . . , n ). On note In = diag(1, . . . , 1) la matrice identite d'ordre n. Pour M Mn (C), on pose ||M || = sup ||M x||1 = xCn ,||x||1 =1 ||M x||1 · xCn \{0} ||x||1 sup (1) Une matrice M Mn (C) sera en general identifiee a l'endomorphisme M de Cn represente par M dans la base canonique de Cn : pour x Cn , M (x) = M x. On appelle spectre d'une matrice 1 M Mn (C), et on note Sp(M ), l'ensemble des valeurs propres de M . Le rayon spectral de M , note (M ), est defini comme le maximum des modules des valeurs propres de M : (M ) = max{||; Sp(M )} . Premiere partie 1. a) Pour toute matrice M Mn (C) et tout nombre reel C > 0, montrer l'equivalence kM k 6 C x Cn : kM xk1 6 Ckxk1 . b) Montrer que l'application M 7- kM k est une norme sur Mn (C). 2. Montrer que pour A, B Mn (C), ||AB|| 6 ||A|| ||B||. 3. Soit A Mn (C). On note ai,j le coefficient de A d'indice de ligne i et d'indice de colonne j. Montrer que n X |ai,j | . ||A|| = max 16j6n i=1 4. On dit qu'une suite (A(k) )kN de matrices de Mn (C) converge vers une matrice B Mn (C) lorsque i [[1, n]] , j [[1, n]] , lim (ai,j )(k) = bi,j . k+ Montrer que la suite (A(k) ) converge vers B si et seulement si lim ||A(k) - B|| = 0. k+ 5. On considere dans cette question une matrice A Mn (C) triangulaire superieure, a1,1 a1,2 . . . . . . a1,n 0 a2,2 . . . . . . a2,n .. . . . . . . . . . A= . . .. . . . .. .. .. . 0 . . . . . . 0 an,n On suppose que i [[1, n]] , |ai,i | < 1 . Pour tout reel b > 0, on pose Pb = diag(1, b, b2 , . . . , bn-1 ) Mn (R). a) Calculer Pb-1 APb . Que se passe-t-il lorsqu'on fait tendre b vers 0 ? b) Montrer qu'il existe b > 0 tel que ||Pb-1 APb || < 1 . c) En deduire que la suite (Ak )kN converge vers 0. Deuxieme partie 6. Determiner le rayon spectral des matrices suivantes 0 0 0 0 1 0 0 -1 , , , 0 1 1 0 0 0 2 0 , 3 2 . 1 2 7. Dire, en justifiant brievement la reponse, si les assertions suivantes sont exactes quels que soient A, B Mn (C), µ C. 2 i) (µA) = |µ|(A) . ii) (A + B) 6 (A) + (B). iii) (AB) 6 (A)(B). iv) Pour P Mn (C) inversible, (P -1 AP ) = (A). v) (tA) = (A). 8. Montrer que pour toute matrice A Mn (C), (A) 6 ||A|| . Dans les questions 9 a 11, on considere une matrice A Mn (C). 9. Montrer que si (A) < 1, alors la suite (Ak )kN converge vers 0. 10. a) Montrer que, pour tout k N , ||Ak || > (A)k . b) On definit la partie de R+ EA = { > 0 | lim k+ A k = 0} . Montrer que EA = ](A), +[. 11. Montrer la formule lim ||Ak ||1/k = (A) . k+ 12. Pour A Mn (C) de coefficients ai,j , on pose A+ = (bi,j )16i,j6n , ou bi,j = |ai,j |. Montrer l'inegalite (A) 6 (A+ ) . Troisieme partie Dans toute cette partie, A est une matrice strictement positive de Mn (R). On se propose de demontrer les proprietes suivantes. (i) (A) > 0, (A) est une valeur propre de A et toute autre valeur propre C de A verifie || < (A). (ii) (A) est une racine simple du polynome caracteristique de A et ker(A - (A)In ) est engendre par un vecteur v0 dont toutes les composantes sont strictement positives. (iii) Si v est un vecteur propre de A dont toutes les composantes sont positives, alors v ker(A - (A)In ). (iv) Pour tout vecteur positif non nul x, il existe c R+ tel que limk+ 13. Soient z1 , . . . , zn des nombres complexes. Montrer que si |z1 + · · · + zn | = |z1 | + · · · + |zn | , 3 Ak x (A)k = cv0 . z1 |z1 | alors le vecteur ... est colineaire au vecteur ... . |zn | zn 14. Soient x, y Cn , , µ C. Montrer que si 6= µ, alors on a l'implication suivante (Ax = x et t Ay = µy) = tx y = 0 . 15. On suppose qu'il existe un reel positif µ et un vecteur positif non nul w tels que Aw > µw. a) Montrer que pour tout entier naturel k, Ak w > µk w. En deduire que (A) > µ. b) Montrer que si Aw > µw, alors (A) > µ. c) On suppose a present que dans le systeme d'inegalites Aw > µw, la k-ieme inegalite est stricte, c'est-a-dire n X akj wj > µwk . j=1 Montrer qu'il existe > 0 tel que, en posant wj = wj si j 6= k et wk = wk + , on a Aw > µw . En deduire que (A) > µ. 16. Soit une valeur propre de A de module (A) et soit x Cn \{0} un vecteur propre de A associe a . On definit le vecteur positif non nul v0 par (v0 )i = |xi | pour 1 6 i 6 n. a) Montrer que Av0 > (A)v0 , puis que Av0 = (A)v0 . b) En deduire que (A) > 0 et i [[1, n]] , (v0 )i > 0 . c) Montrer que x est colineaire a v0 . En deduire que = (A). La propriete (i) est demontree. 17. En appliquant les resultats precedents a la matrice tA, on obtient l'existence de w0 Rn , dont toutes les composantes sont strictement positives, tel que tAw0 = (A)w0 . On pose F = {x Cn | txw0 = 0} . a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de Cn stable par A , et que Cn = F Cv0 . b) Montrer que si v est un vecteur propre de A associe a une valeur propre µ 6= (A), alors v F . En deduire la propriete (iii). 18. a) On note l'endomorphisme de F defini comme la restriction de A a F . Montrer que toutes les valeurs propres de sont de module strictement inferieur a (A). En deduire que (A) est une racine simple du polynome caracteristique de A et que ker(A - (A)In ) = Cv0 . La propriete (ii) est demontree. b) Montrer que si x F , Ak x = 0. k+ (A)k lim c) Soit x un vecteur positif non-nul. Determiner la limite de La propriete (iv) est demontree. 4 Ak x lorsque k tend vers +. (A)k

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 X/ENS Maths PC 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (professeur en CPGE) ; il a été relu par Loïc Devilliers (ENS Cachan) et Benoit Chevalier (ENS Ulm). Ce problème d'algèbre linéaire traite du rayon spectral des matrices de Mn (C) et a pour objet la démonstration d'une version d'un théorème dit de Perron-Frobenius, qui est notamment utilisé en probabilités. Il est composé de trois parties qui peuvent être abordées indépendamment les unes des autres car tous les résultats utiles sont mentionnés dans l'énoncé. · Dans une première partie, on munit l'espace Mn (C) d'une norme dont on établit quelques propriétés algébriques et topologiques. · On s'attaque ensuite au rayon spectral proprement dit dans la deuxième partie. Après avoir étudié quelques exemples simples et des propriétés basiques, on fait le lien avec la norme définie dans la première partie. · La troisième partie, enfin, permet de démontrer quatre propriétés du rayon spectral d'une matrice à coefficients strictement positifs (c'est en particulier une de ses valeurs propres) et de l'espace propre associé. Ce sujet ne présente pas de grosse difficulté et utilise peu de résultats du cours : si l'on connaît les définitions d'une norme, d'une borne supérieure, du produit matriciel, d'une valeur propre et d'un vecteur propre, on dispose d'à peu près tous les outils permettant de traiter les questions proposées. Sa longueur permet de plus de le traiter dans le temps imparti. Il permet de vérifier que l'on a bien compris les outils fondamentaux et donne l'occasion de les manipuler sans intervention des gros théorèmes. C'est donc un bon sujet de révision d'algèbre et de topologie, abordable tôt dans l'année et de difficulté mesurée, surtout pour le concours X/ENS. Indications Première partie 1.a La borne supérieure d'un ensemble est le plus petit de ses majorants. 1.b Utiliser l'équivalence établie à la question 1.a. 3 Montrer, en appliquant la question 1.a, que = Max 16j6n n X |aij | majore kAk, i=1 puis exhiber un vecteur x Cn tel que kxk1 = 1 et kAxk1 = . 5.a Quel est l'effet, sur les lignes et les colonnes d'une matrice, de la multiplication à gauche ou à droite par une matrice diagonale ? 5.b Penser à la continuité de la norme dans un espace vectoriel normé. 5.c Utiliser les résultats des questions 5.a et 2. Deuxième partie 7 Pour montrer que les assertions ii) et iii) sont fausses, on pourra prendre des matrices A et B de rayon spectral nul, en s'inspirant de la question 6. 9 Se servir du résultat de la question 5.c. 10.b Raisonner par double inclusion et utiliser les résultats des questions 10.a et 9. 11 On pourra encadrer kAk k1/k entre (A) et (A)+ pour tout > 0, en utilisant les propriétés établies aux questions 10.a et 10.b. 12 Prouver d'abord, grâce au résultat de la question 3, que kABk 6 kA+ B+ k pour toutes matrices A et B Mn (C). Appliquer ensuite la question 11. Troisième partie 13 Utiliser le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire, en notant que la colinéarité des vecteurs équivaut à l'existence d'un réel tel que zj = e i |zj | pour tout j. t t 14 Calculer x A y de deux manières différentes. 15.a Penser à utiliser le résultat de la question 11. 15.b Trouver µ > µ tel que Aw > µ w, puis utiliser le résultat de la question 15.a. 16.a On se servira du résultat de la question 15.c pour montrer que Av0 6 (A)v0 . 16.b Un calcul direct permet d'établir que Av0 > 0. 16.c Calculer |(Ax)1 | et (Av0 )1 , puis utiliser la propriété établie à la question 13. 17.b Penser au résultat de la question 14. 18.a S'inspirer de ce qui a été fait à la question 16, en utilisant les résultats des questions 13, 15.b, 16.a et 17.a. 18.b On pourra utiliser une base de F pour écrire matriciellement Ak x, puis utiliser les résultats des questions 18.a et 10.b. 18.c Se servir des propriétés démontrées aux questions 17.a et 18.b. Première partie 1.a Soient C R+ et M Mn (C). Notons kMxk1 . x Cn r {0} E= kxk1 L'énoncé demande d'établir la propriété pour C > 0, mais elle est aussi vraie pour C = 0. Cela s'avérera utile au cours de la question 1.b. Le réel kMk = sup(E) est le plus petit des majorants de E, de sorte que kMk 6 C C est un majorant de E x Cn r {0} , kMxk1 6C kxk1 x Cn r {0} , kMxk1 6 Ckxk1 kMk 6 C x Cn , kMxk1 6 Ckxk1 car kMxk1 et Ckxk1 sont nuls lorsque x = 0. Ceci prouve que M Mn (C) C > 0 kMk 6 C x Cn , kMxk1 6 Ckxk1 En particulier avec C = kMk, il vient M Mn (C) x Cn kMxk1 6 kMk kxk1 On peut aussi démontrer l'équivalence recherchée par double implication. · Supposons que kMk 6 C. Soit x Cn : si x = 0, alors kMxk1 = 0 et Ckxk1 = 0 d'où kMxk1 6 Ckxk1 . Sinon, il vient par définition de kMk kMxk1 6 kMk 6 C kxk1 ce qui mène une fois de plus à kMxk1 6 Ckxk1 . · Réciproquement, supposons que kMxk1 6 Ckxk1 pour tout x Cn . Alors kMxk1 6 C pour kxk1 = 1 si bien que kMk 6 C puisque la borne supérieure d'un ensemble est le plus petit de ses majorants. 1.b Pour être une norme, une application doit vérifier trois propriétés : la séparation, l'homogénéité et l'inégalité triangulaire. L'application x 7- kxk1 étant une norme sur Cn , elle vérifie ces propriétés. On va pouvoir les utiliser dans ce qui suit. · Séparation Soit M Mn (C) une matrice telle que kMk = 0. Pour tout x Cn , on a kMxk1 = 0 d'après le résultat ci-dessus, si bien que Mx = 0. Ainsi, la matrice M représente l'endomorphisme nul de Cn et M = 0. Ceci montre que M Mn (C) kMk = 0 = M = 0 · Homogénéité Soient C et M Mn (C). D'après le résultat de la question 1.a, on a x Cn kMxk1 = || kMxk1 6 || kMk kxk1 soit kMk 6 || kMk. Si = 0, cette inégalité est évidemment une égalité car les deux membres sont nuls. Si 6= 0, on établit de la même façon que w w w1 w 1 w kMk = w (M)w 6 kMk w || ce qui conduit à || kMk 6 kMk. On en déduit que C M Mn (C) kMk = || kMk · Inégalité triangulaire Soient M Mn (C) et N Mn (C). En utilisant une nouvelle fois le résultat de la question 1.a et l'inégalité triangulaire pour la norme k k1 , on obtient k(M + N)xk1 = kMx + Nxk1 6 kMxk1 + kNxk1 6 (kMk + kNk) kxk1 pour tout x Cn , d'où kM + Nk 6 kMk + kNk. De ce fait, (M, N) Mn (C)2 kM + Nk 6 kMk + kNk Les trois propriétés requises étant vérifiées, on peut affirmer que L'application M 7- kMk est une norme sur Mn (C). 2 Soient A et B Mn (C). D'après le résultat de la question 1.a, x Cn kABxk1 = kA(Bx)k1 6 kAk kBxk1 6 kAk kBk kxk1 si bien que kABk 6 kAk kBk. Par conséquent, (A, B) Mn (C)2 kABk 6 kAk kBk n X |aij |. Soit x Cn un vecteur de coordonnées (x1 , . . . , xn ) : n X celles de Ax sont alors (Ax)i = aij xj pour i [[ 1 ; n ]]. De ce fait, 3 Posons = Max 16j6n i=1 j=1 kAxk1 = n X n X aij xj 6 i=1 j=1 d'où kAxk1 6 |aij xj | = i=1 j=1 n X n X j=1 n X n X |aij | i=1 n X n X j=1 n X |xj | 6 |aij | |xj | i=1 |xj | = kxk1 j=1 Ainsi, kAxk1 6 kxk1 pour tout x Cn , d'où kAk 6 en vertu de l'équivalence établie à la question 1.a. n X Soit maintenant un entier j [[ 1 ; n ]] tel que = |aij |. Considérons le vecteur i=1 x Cn défini par xj = 1 et xi = 0 si i 6= j (c'est en fait le j e vecteur de la base canonique). Alors kxk1 = 1 et n X i [[ 1 ; n ]] (Ax)i = aik xk = aij d'où kAxk1 = n X k=1 |aij | = i=1 ce qui prouve que kAk > . Il en découle que kAk = soit A Mn (C) kAk = Max 16j6n n X |aij | i=1