ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2016
FILIÈRE PC
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (XEULC)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Toute affirmation doit être clairement et complètement justifiée.
Les parties I, II et III sont assez largement indépendantes. En particulier la
partie II peut
être traitée indépendamment de la partie I en admettant les trois premières
questions et la partie
III (exceptée la dernière question) indépendamment de la partie II. Il est
cependant vivement
conseillé de suivre la progression naturelle du problème.
Notations
Dans le problème, pour tous entiers positifs non nuls n et k, Mn,k (R)
désignera les matrices
àcoefficients
réels de taille n × k. Un vecteur u Rn sera considéré comme un vecteur colonne
u1
..
. et uT désignera le vecteur ligne obtenu par transposition. De même, pour M
Mn,k (R),
un
désignera la transposée de M .
MT
On note la fonction de [0, +[ dans R définie par
0
si t = 0
(t) =
-t ln(t) sinon.
(1)
P
Soit N > 2 un entier. On note N l'ensemble des vecteurs p RN tels que N
i=1 pi = 1 et pi > 0
pour tout 1 6 i 6 N . On remarquera que p peut être interprété comme une loi de
probabilité
sur {1, . . . , N }. On note également HN la fonction définie sur N par
HN (p) =
N
X
i=1
1
(pi ) .
Partie I
1. Vérifier que est de classe C 0 sur [0, +[ et C sur ]0, +[. Donner la
limite de la
dérivée (t) de lorsque t tend vers 0 dans ]0, +[.
2. Montrer que N est une partie fermée, bornée et convexe de RN .
3. Montrer que HN est positive, continue sur N et calculer la valeur de HN (p)
lorsque
pi = 1/N pour tout i {1, . . . , N } (loi uniforme sur {1, . . . , N }).
4. (a) Soient a et b dans [0, +[ tels que a < b. Montrer qu'il existe ]0, b] tel que (a + t) + (b - t) > (a) + (b) pour tout t > 0 tel que t 6 .
(b) En déduire que HN atteint son maximum sur N en un unique point que l'on
déterminera.
5. On
note l'ensemble des suites de réels p = (pi )i>1 telles que pi >P
0 pour tout i > 1 et
P+
i=1 pi = 1. On note H la fonction sur définie par H (p) =
i=1 (pi ) à valeurs
dans R+ {+}.
(a) On considère a ]0, 1[ et pi = a(1 - a)i-1 pour i > 1. Calculer H (p) et
étudier ses
variations en fonction de a.
(b) Montrer qu'il existe p telle que H (p) = +. (Ind : On pourra utiliser sans
démonstration que la série de terme général n-1 ln(n)- pour n > 2 converge si et
seulement si > 1).
6. Soit n un entier strictement positif. On considère une famille (Xk )16k6n de
n variables
aléatoires à valeurs dans {1, . . . , N }, deux à deux indépendantes et de même
loi, définies sur
un espace probabilisé (, A , P). On suppose de plus que P(X
i) = pi et que pi > 0 pour
! 1 =Q
tout i {1, . . . , N }. Montrer que pour tout > 0, on a P n1 ln ( nk=1 pXk )
+ HN (p) >
tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
Partie II
Soient f RN et Jf : N R définie par Jf (p) = HN (p) +
PN
i=1 pi fi .
On note
Jf, = sup{ Jf (p) | p N }
la borne supérieure de Jf sur N et N (f ) = { p N | Jf (p) = Jf, } l'ensemble
des p de N
pour lesquels la borne supérieure est atteinte.
7. Montrer que N (f ) est non vide.
8. Soit p N .
(a) On suppose que p1 = 0 et p2 > 0. Montrer alors qu'il existe p dans N tel que
Jf (p ) > Jf (p) (on pourra chercher p proche de p).
(b) En déduire que si p N (f ), alors pi > 0 pour tout i {1, . . . , N }.
9. Soit p N . On
maintenant que pi > 0 pour tout i {1, . . . , N }. On note
Psuppose
N
E0 = {a RN |
a
=
0}.
i=1 i
(a) Vérifier que E0 est un sous-espace vectoriel de RN dont on donnera la
dimension.
Identifier l'orthogonal E0 de E0 pour le produit scalaire canonique sur RN .
(b) Soient a E0 et p : R RN définie par p(t) = p + ta. Montrer qu'il existe
> 0 tel
que p(t) N pour tout t ] - , [. Calculer la dérivée de p en 0.
2
P
(c) On suppose de plus que p N (f ). Montrer que pour tout a E0 , on a N
i=1 ai (fi -
ln(pi )) = 0. En déduire qu'il existe c R, tel que ln(pi ) = fi + c pour tout
i
{1, . . . , N }.
P
fi
10. Identifier N (f ). Montrer que Jf, = ln( N
i=1 e ).
P
fi )
On considère maintenant F :]0, +[ R la fonction définie par F () = 1 ln( N
i=1 e
11. Montrer que F est dérivable et calculer sa dérivée F . Montrer de plus que
pour tout
]0, +[, il existe p() N (f ) tel que F () = - 12 HN (p()).
12. Etudier les limites de F en 0 et en +.
Partie III
Soient (, A , P) un espace probabilisé et X : {1, . . . , N } une variable
aléatoire de loi
q N . On suppose que l'on dispose d'une famille finie g = (gk )1kd de
fonctions sur {1, . . . , N }
à valeurs dans R et de la valeur g k = E(gk (X)) de l'espérance de gk (X) pour
tout k {1, . . . , d}.
On note
N (g, g) = { p N |
N
X
pi gk (i) = gk , 1 6 k 6 d } ,
i=1
et on remarque que q N (g, g) et que si p N (g, g) alors pour toute variable
aléatoire
Y : {1, . . . , N } de loi p, on a E(gk (X)) = E(gk (Y )).
On cherche dans cette partie à déterminer les probabilités p de N (g, g) sur
lesquelles HN
atteint son maximum.
Soient M MN,d (R) définie par Mi,j = gj (i) pour (i, j) = {1, . . . , N }× {1,
. . . , d}, p N et
m Rd . On note A Md (R) la matrice carrée de taille d×d définie pour tous (k,
l) {1, . . . , d}2
par
N
X
Alk =
pi (Mil - ml )(Mik - mk ) .
i=1
f = (M |1) MN,d+1 (R) la matrice augmentée obtenue en ajoutant une colonne
On note M
de 1 à droite de M .
13. Vérifier que si Y : {1, . . . , N } est une variable aléatoire de loi p,
alors Alk = E((gl (Y )-
ml )(gk (Y ) - mk )) puis que A est une matrice symétrique telle que T A > 0
pour tout
Rd .
14. Soit Rd tel que T A = 0. On suppose que pi 6= 0 pour tout 1 6 i 6 N .
(a) P
Montrer qu'il existe c R, que l'on précisera, tel que pour tout i {1, . . . ,
N }, on a
d
l=1 Mil l = c.
f = {0} alors = 0.
(b) Montrer que si KerM
3
On note pour tout Rd , f () = M RN , Z() =
p() = (
PN
fi ()
i=1 e
et
efN ()
ef1 ()
,...,
) N
Z()
Z()
où f () = (f1 (), . . . , fN ()). Enfin, on considère la fonction L : Rd R
définie par
L() = ln(Z()) - q T M .
15. Montrer que L est de classe C 1 et calculer son gradient.
16. Montrer que si est un point critique de L (c'est-à-dire en lequel le
gradient de L s'annule)
alors M T p() = M T q et p() N (g, g).
17. Montrer que L est de clase C 2 et que pour tous entiers 1 6 l, k 6 d on a
N
X
2L
pi ()(Mil - ml ())(Mik - mk ())
() =
l k
i=1
où m() = M T p().
f = {0}.
On suppose dorénavant que KerM
18. On s'intéresse dans cette question au nombre de points en lesquels la
fonction L atteint
son minimum.
(a) Montrer que si et sont deux points distincts de RN tels que L admet un
point
critique en , alors la dérivée de t L(t + (1 - t) ) est strictement
croissante sur
[0, 1] et s'annulle en t = 1.
(b) En déduire qu'il existe au plus un point critique pour L et conclure sur le
nombre de
points en lesquels L atteint son minimum.
19. On suppose que la fonction L a un minimum global atteint en .
(a) Montrer que HN (p( )) > HN (q) puis que HN (p( )) est la valeur maximale de
HN
sur N (g, g).
(b) Montrer que p( ) est l'unique point de N (g, g) en lequel HN atteint son
maximum.
4
