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X/ENS Maths PC 2016 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thierry Limoges (ENS Cachan) ; il a été relu par
Walter
Appel (Professeur en CPGE) et Antoine Sihrener (Professeur en CPGE).
Cette épreuve d'analyse et probabilités comporte trois parties. Dans chacune,
on cherche des lois de probabilités maximisant une fonction donnée. Ces
fonctions
représentent des entropies avec ou sans contraintes. Les maximiser revient à
chercher
une distribution de probabilité correspondant à un état stable.
· Dans la première partie, on fait une étude topologique d'une partie N de RN ,
puis on s'intéresse au maximum d'une fonction HN définie sur celle-ci. La
fonction HN est appelée entropie de Shannon et mesure l'opposé de la quantité
d'information disponible sur un système pouvant être dans un des N états
possibles avec une loi de probabilité donnée. En particulier, elle représente,
à un
facteur près, la quantité d'information contenue dans un message utilisant un
alphabet à N lettres, chacune apparaissant avec une certaine probabilité.
L'utilisation des probabilités se fait essentiellement sur des ensembles finis,
puis on
fait une brève étude pour des probabilités sur N .
· Dans la deuxième partie, on maximise une autre fonction en utilisant cette
fois
du calcul différentiel. Cette fonction est obtenue à partir de HN en y ajoutant
une contrainte fixée f RN pondérée par la loi de probabilité.
· Enfin, on cherche le minimum d'une fonction L dans la troisième partie, en
faisant beaucoup de calcul différentiel, afin de le relier au maximum de HN sur
une partie de N . On dispose d'une variable aléatoire X, de loi inconnue,
et de mesures des espérances de gk (X) pour une famille (gk )k[[ 1 ; d ]] de
fonctions, pouvant représenter des simulations. Parmi toutes les probabilités
de N ,
certaines sont candidates à être la loi de X, car cohérentes avec ces
espérances.
Le minimum de L est cherché parmi celles-ci. On utilise les propriétés
élémentaires de l'espérance (linéarité, positivité) ainsi que les idées du
cours sur la
variance et la covariance pour obtenir les résultats.
Ce sujet de 27 questions est de difficulté progressive. Il faut du temps pour le
prendre en main, ce qui n'est pas facile le jour du concours, mais constitue un
bon entraînement pendant l'année. Les outils employés sont très variés :
topologie dans RN ,
développements limités, calcul différentiel, probabilités et un peu d'algèbre
linéaire.
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Indications
I.2 Utiliser l'image réciproque par une application continue pour le caractère
fermé. Revenir à la définition pour les autres propriétés.
I.4a Effectuer un développement limité en t de (a + t) et (b - t). Distinguer
les
cas a > 0 et a = 0.
I.4b Montrer que le maximum est atteint pour la loi uniforme en raisonnant par
l'absurde et en utilisant la question 4a.
I.5b Calculer H (p) pour la suite p de terme général suggéré par l'énoncé,
décalé
de 1 pour commencer à i = 1. Choisir pour obtenir le résultat voulu.
I.6 Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à une variable aléatoire bien
choisie.
II.7 Montrer que la borne supérieure est un maximum en invoquant la topologie
de N .
II.8a Remplacer p1 par t, p2 par p2 - t, et faire un développement limité de la
différence Jf (p(t) ) - Jf (p) lorsque t tend vers 0.
II.9b Montrer que pour t suffisamment petit, les coefficients de pe sont
positifs.
II.9c Expliciter la formule de (Jf pe) (t) pour t suffisamment petit, puis
dériver et
montrer que (Jf pe) (0) = 0.
II.10 Montrer que N (f ) contient un unique élément, calculable avec la
question 9c.
II.11 Calculer F (), puis séparément HN (p()), pour p() l'unique élément de
l'ensemble N (f ) avec sa formule de la question 10.
II.12 Utiliser les relations de comparaison.
III.13 Écrire la formule de l'espérance en utilisant la formule du transfert.
Pour la
positivité, écrire ce nombre comme une somme et utiliser la linéarité puis la
positivité de l'espérance.
III.14a Écrire la formule de l'espérance trouvée à la question 13.
e du vecteur augmenté du terme -c.
III.14b Regarder l'image par M
III.15 Calculer les dérivées partielles avec les fonctions composées.
III.16 Utiliser le résultat de la question 15 et vérifier la condition
d'appartenance
à N (g, g) pour p().
III.17 Calculer les dérivées partielles secondes avec les fonctions composées.
III.18a Calculer la dérivée et la dérivée seconde par rapport à t. Utiliser la
question 14b pour montrer que la dérivée seconde ne s'annule pas.
III.18b Raisonner par l'absurde et supposer qu'il existe deux points critiques
distincts.
III.19a Montrer que HN (p ) 6 L() pour tout p N (g, g) et Rd , en utilisant
la
question 10.
III.19b Montrer que l'égalité HN (p ) = HN (p( )) n'est vérifiée que pour p =
p( ),
car c'est l'unique élément de N (f ( )).
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Partie I
1 La fonction est de classe C sur ] 0 ; + [ comme produit de fonctions de
classe C sur cet intervalle. De plus, pour t > 0, (t) = -t ln t --- 0 = (0).
Ainsi,
t0
La fonction est continue sur [ 0 ; + [ et de classe C sur ] 0 ; + [.
Pour t > 0, (t) = - ln t - t
1
= - ln t - 1 --- +. D'où
t0
t
lim (t) = +
t0+
(x)
1/e
0
1
1/e
x
2 Notons la fonction
:
RN
- R
N
P
pi
p = (p1 , p2 , . . . , pN ) 7-
i=1
C'est une application continue car linéaire sur un espace vectoriel de
dimension finie.
L'ensemble -1 ({1}) est l'image réciproque d'un fermé par une application
continue,
donc est fermé. De plus, pour tout 1 6 i 6 N, les ensembles {(p1 , p2 , . . . ,
pN ) ; pi > 0}
sont fermés, car ce sont les images réciproques du fermé [ 0 ; + [ par la ie
projection,
continue. Comme l'ensemble
N = -1 ({1})
N
\
{(p1 , p2 , . . . , pN ) ; pi > 0}
i=1
est une intersection de fermés, il est fermé.
On pourrait également utiliser la caractérisation séquentielle d'un fermé :
si (p(n) )nN est une suite de N telle que
p(n) ---- p RN
n
N
ce qui revient à dire, puisque R est de dimension finie, que
p(n) 1 , p(n) 2 , . . . , p(n) N ---- (p1 , p2 , . . . , pN ) RN
n
alors, par passage à la limite,
et ainsi p N .
Par définition,
N
N
P
pi = 1 et pi > 0 pour tout 1 6 i 6 N,
i=1
(p1 , p2 , . . . , pN ) ;
N
P
i=1
|pi | = 1
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C'est la sphère de centre 0 et de rayon 1 pour la norme 1 de RN , ce qui prouve
l'inclusion de N dans une boule de RN , c'est-à-dire que N est une partie bornée
de RN .
Le résultat est également valable pour la norme infinie. Dans RN , toutes les
normes sont équivalentes, on peut donc choisir la norme 1 pour le démontrer.
Soient (p, p ) N 2 et [ 0 ; 1 ]. Montrons que p + (1 - )p N . Tout
d'abord,
N
P
i=1
(pi + (1 - )pi ) =
N
P
pi + (1 - )
i=1
N
P
i=1
pi = + (1 - ) = 1
De plus, tous les coefficients pi + (1 - )pi sont positifs, car somme et
produits
de réels positifs. Ainsi, p + (1 - )p est un élément de N . Ceci étant vrai pour
tout [ 0 ; 1 ] et tout (p, p ) N 2 , la partie N est convexe. Finalement,
La partie N est fermée, bornée et convexe dans RN .
Géométriquement, soit PN le polyèdre de RN dont les (N + 1) sommets
sont (0, 0, . . . , 0), (1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0). . ., (0, . . .
, 0, 1), c'est-à-dire l'enveloppe convexe de ces points soit le plus petit
ensemble convexe qui les
contient. Alors, N est la face de PN qui n'est pas incluse dans un hyperplan
{xi = 0} pour 1 6 i 6 N donc c'est l'enveloppe convexe des N
derniers points qui définissent PN ci-dessus. Dans R2 , c'est le segment
entre (1, 0) et (0, 1) ; dans R3 , c'est le triangle, et son intérieur, de
sommets (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1).
y
y
z
x
3 Pour tout 1 6 i 6 N, la projection
(
µi :
x
RN - R
p 7- pi
est linéaire donc continue. Comme est continue, la composée µi est continue.
La fonction HN est la somme de ces fonctions pour 1 6 i 6 N, c'est donc une
fonction
continue.
Soit i [[ 1 ; N ]]. Si pi = 0, alors (pi ) = 0. Sinon, on a 0 < pi 6 1, donc ln(pi ) 6 0 et ainsi (pi ) = -pi ln(pi ) > 0. Dans les deux cas, (pi ) > 0. La fonction HN
est une
somme de fonctions positives sur N , donc est positive sur N . Finalement,
La fonction HN est continue et positive sur N .