© Éditions H&K
X/ENS Maths PC 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par François Lê (ENS Lyon) ; il a été relu par Tristan
Poullaouec (Professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (ENS Cachan).
Le sujet s'intéresse à des propriétés vérifiées par les valeurs propres de
matrices
symétriques réelles. Il est partagé en trois parties dépendantes (ce que ne
signale pas
l'énoncé) et de proportions inégales.
· Un des objectifs de la première partie est d'établir plusieurs formules
faisant le
lien entre les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle M et des bornes
supérieures ou inférieures de produits scalaires du type hx, Mxi. Grâce à ces
formules, on démontre également la continuité de l'application qui associe à
une matrice symétrique réelle son spectre ordonné.
· La deuxième partie considère deux matrices symétriques réelles A et B, dont
les valeurs propres sont notées a1 > · · · > an et b1 > · · · > bn
respectivement.
Si c1 > · · · > cn sont les valeurs propres de la somme C = A + B, le résultat
final de la partie est que c1 + · · · + cj 6 a1 + · · · + aj + b1 + · · · + bj
pour
tout j [[ 1 ; n ]]. On démontre aussi au passage le théorème de Schur, qui
énonce que a1 + · · · + aj > a11 + · · · + ajj pour tout entier 1 6 j 6 n, où
les aii
sont les coefficients diagonaux de A.
· Pour la troisième partie, on se place dans le cas n = 2. Quatre réels a1 , a2
, b1 , b2
étant fixés, on cherche à déterminer les spectres possibles des sommes de deux
matrices symétriques réelles données ayant pour spectres (a1 , a2 ) et (b1 , b2
).
C'est un segment de droite dont on explicite les extrémités.
Ce sujet est fondé sur un thème d'algèbre linéaire, mais d'autres parties du
programme y sont mobilisées. Ainsi, les questions 4d, 5a et 5b se rapportent à
la topologie
et au calcul différentiel, et les questions 9 et 10c nécessitent d'être au
point sur la géométrie élémentaire du plan. En outre, presque l'intégralité des
questions font appel à
des manipulations sur des bornes inférieures ou supérieures. Il faut être
extrêmement
vigilant dans ces calculs et rédiger calmement les solutions.
© Éditions H&K
Indications
1b Trouver une matrice diagonale M et un réel tels que s (M) 6= s (M).
t
2a Utiliser le théorème spectral pour trouver P orthogonale telle que P MP soit
égale à la matrice diagonale diag(m1 , . . . , mn ), puis considérer les
colonnes de P.
2b Commencer par majorer hx, Mxi par une quantité indépendante de x, puis
montrer que cette majoration est atteinte pour un vecteur x particulier.
2c Montrer séparément que les bornes inférieure et supérieure proposées sont
égales
à mj . Pour cela, effectuer des calculs analogues à ceux de la question 2b.
3a Penser à la formule de Grassmann.
4a Remarquer que hx, Mxi = hx, (M - L)xi + hx, Lxi. Montrer ensuite que pour
tout x normé, hx, (M - L)xi > 0, puis utiliser le résultat de la question 3b
pour
lier hx, Lxi et hx, Mxi à j et mj .
4c Appliquer la question 4b à la matrice L - M puis utiliser la question 4a pour
montrer que j 6 kL - Mk + mj .
5a D'après la question 4c, on a |j - mj | < r dès que kL - Mk < r. Sachant que les mi sont tous distincts, utiliser cette remarque pour définir un r > 0 tel
que,
si kL - Mk < r, alors les j sont aussi tous distincts. 5b Pour clarifier la situation, identifier S2 (R) à R3 et montrer que S2 (R) s'identifie alors à (, µ, h) R3 | 6= µ ou h 6= 0 . 6b Utiliser la question 2b et l'égalité hx, Cxi = hx, Axi + hx, Bxi. 6c Se servir de la question 2c ou appliquer la question 6b en remplaçant A et B par -A et -B. 7a Appliquer d'abord la formule de Grassmann aux sous-espaces U V et W. 7b Pour la première partie de la question, trouver, grâce à la question 2c, des sousespaces U, V, W associés respectivement à aj , bk et cj+k-1 , et partir ensuite de l'égalité hx, Cxi = hx, Axi + hx, Bxi. Pour la seconde partie, s'appuyer sur le résultat de la première en remplaçant A et B par -A et -B. 8a Se souvenir que hx, Axi 6 a1 pour tout vecteur x normé. 8b Développer les facteurs du membre de droite de l'inégalité proposée et faire apparaître f (t1 , . . . , tk ). t 8c Grâce à une écriture A = PD P avec P orthogonale, montrer qu'il existe un j P n-uplet (t1 , . . . , tn ) Dj,n tel que aii = f (t1 , . . . , tk ). Conclure à l'aide de la i=1 8d 9 10b 10c question 8b. Étant donnée une famille (x1 , . . . , xj ) Rj , la compléter en une base orthonormée de Rn . Considérer alors la matrice de passage de la base canonique à cette base pour trouver une relation de la forme hxi , Axi i = hei , A ei i. Dans le cas où A et B sont diagonales, chercher les possibilités pour s (A + B) et mettre ainsi en évidence deux points distants de 2(b1 - b2 ). Dans le cas général, utiliser les relations données par les questions 6a, 6b, 6c et 7b. Montrer qu'une matrice B S(b1 , b2 ) peut être diagonalisée avec une matrice de passage orthogonale directe et paramétrer alors de telles matrices par t [-, ]. Écrire comme l'image directe de [ - ; ] par une application continue. En paramétrant le segment L par [ 0 ; 1 ], trouver ensuite une application continue [ - ; ] - [ 0 ; 1 ]. Pour conclure, utiliser le fait que l'image d'un intervalle de R par une application continue est un intervalle de R. © Éditions H&K I. Première partie 1a L'ensemble Sn (R) est un sous-espace vectoriel de Mn (R). En effet, · Sn (R) 6= car la matrice nulle est symétrique. t t t · Soient R et M, N Sn (R). Alors (M + N) = M + N = M + N, ce qui montre que M + N Sn (R). En tant que sous-espace vectoriel de Mn (R), l'ensemble Sn (R) hérite d'une structure d'espace vectoriel (sur R). Ainsi, Sn (R) est un espace vectoriel. Dans la plupart des sujets de concours, pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel, on montre qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel connu. On sait par ailleurs, grâce au cours, que la dimension de Sn (R) est égale à dim Sn (R) = n(n + 1) 2 Enfin, d'après le théorème spectral, toute matrice symétrique réelle M (de taille n) est diagonalisable donc possède en particulier n valeurs propres (éventuellement confondues). Il est ainsi possible de parler du n-uplet s (M) de ses valeurs propres ordonnées par ordre décroissant. L'application s est bien définie sur Sn (R). Le théorème spectral énonce que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable et que la diagonalisabilité peut s'effectuer à l'aide d'une matrice de passage orthogonale. Dans cette première question, il suffit d'invoquer la diagonalisabilité, sans parler de matrices orthogonales. 1b Considérons la matrice diagonale M Sn (R) dont les éléments diagonaux sont 1, 2, . . . , n. Puisque les valeurs propres de M sont ses éléments diagonaux, on en déduit que s (M) = (n, n - 1, . . . , 2, 1). Par ailleurs, la matrice -M est également diagonale. Comme ses éléments diagonaux sont -1, -2, . . . , -n, son spectre ordonné est égal à s (-M) = (-1, -2, . . . , -n). Cela montre que s (-M) 6= -s (M) donc que L'application s n'est pas linéaire. Il est aussi possible de trouver deux matrices symétriques A et B telles que s (A + B) 6= s (A) + s (B). On vérifie par exemple que si 0 1 0 -1 A= et B = 1 1 -1 0 alors s (A) = ! 1- 5 1+ 5 , 2 2 et s (B) = (-1, 1) d'une part, tandis que s (A + B) = (0, 1) 6= s (A) + s (B) d'autre part. © Éditions H&K 1c Soit M Sn (R). Comme rappelé dans la question 1a, M est diagonalisable : il existe une matrice P GLn (R) telle que P-1 MP soit une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres m1 , . . . , mn de M. De plus, il est toujours possible de supposer que P vérifie m1 0 · · · 0 0 m2 0 P-1 MP = . .. .. .. . . 0 On a alors 0 -m1 0 P-1 (-M)P = . .. · · · mn 0 -m2 0 0 ··· .. 0 0 .. . . · · · -mn ce qui prouve que le spectre de -M est {-m1 , -m2 , . . . , -mn }. Compte tenu des relations m1 > m2 > . . . > mn , on en déduit que -m1 6 -m2 6 . . . 6 -mn .
Ainsi,
s (-M) = (-mn , -mn-1 , . . . , -m1 )
1d Soit M =
h
h
µ
la matrice proposée. Son polynôme caractéristique vaut
M (X) = X2 - Tr (M)X + det(M)
= X2 - ( + µ)X + µ - h2
Le discriminant de ce polynôme caractéristique est
= ( + µ)2 - 4(µ - h2 )
= 2 + 2µ + µ2 - 4µ + 4h2
= 2 - 2µ + µ2 + 4h2
= ( - µ)2 + 4h2
Cette dernière expression montre bien que est positif donc que M possède
deux valeurs propres (éventuellement confondues) : cela est cohérent avec le
théorème spectral.
Les valeurs propres de M sont les racines de M , c'est-à-dire
p
p
+ µ + ( - µ)2 + 4h2
+ µ - ( - µ)2 + 4h2
=
et =
2
2
Puisque > , on en déduit que
!
p
p
+ µ + ( - µ)2 + 4h2 + µ - ( - µ)2 + 4h2
s (M) =
,
2
2
2a D'après le théorème spectral, il existe une matrice orthogonale P telle que
m1 0 · · · 0
0 m2
0
t
M = P .
.. P
..
..
.
.
0
0
· · · mn