X Maths PC 2014

ECOLE POLYTECHNIQUE -- ECOLES NORMALES SUPÉRIEURES

ECOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2014 FILIÈRE PC

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES -- (XEULC)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
* * *

Ce sujet est consacré a l'étude de propriétés asymptotiques de certaines 
intégrales a para--
mètre.

NOTATIONS, DÉFINITIONS, RAPPELS.

Nombres. On note N = {O, 1, 2, . . .} l'ensemble des entiers naturels, N* 
l'ensemble des entiers
naturels non nuls, Z l'ensemble des entiers relatifs et Z* l'ensemble des 
entiers relatifs non nuls.

Fonctions numériques. Si 1 est un intervalle de R, on note CO(I ) 
(respectivement CO(I , C)),
l'ensemble des fonctions continues sur I a valeurs réelles (respectivement a 
valeurs complexes).
Pour lc E N*, on note C'""(I ) {respectivement C'""(I , (C)), l'ensemble des 
fonctions de classe C'" sur I
a valeurs réelles {respectivement a valeurs complexes). On note C °°(I ) 
{respectivement C °°(I , C))
l'ensemble des fonctions de classe C °° sur I a valeurs réelles {respectivement 
a valeurs complexes).

Si g est une fonction bornée sur I , on note HgHOO,I (ou simplement HgHOO) la 
valeur
ll9lloo.l = SUP lÿ(âî)l-
oeEURI
Si 1 est un intervalle ouvert, on dit qu'une fonction f : I --> R est a support 
compact dans 1
s'il existe oz,fi EUR [, 04 < fi, tels que pout tout a: E [\ [or,fi], f(a3) : 0. Séries indexées par Z. Pour une famille de nombres réels ou complexes (an)nez, on dit que la série 2 an est convergente si les deux séries +OED --Hw E G.,, et E a_n n=0 n=1 sont convergentes, et on pose alors +OED %æm +OED %æm E an=E a...,+E a_n, E an=E a...,+E a_n. n=0 n=1 n=1 n=1 nEURZ nEURZ* Coefficients de Fourier. Si çb EUR CO(R,ÇC) est périodique de période 271", et si n EUR Z, le n--ième coefficient de Fourier de çb est 27r _ cn = à /0 5%(æ>dæ

Dans tout le sujet, a et b sont deux nombres réels tels que a < (9. Les trois parties du sujet sont indépendantes. I - INTÉGRALES À PHASE RÉELLE 1. Dear cas particuliers. Soit d > 0. Soit g E CO([O, dl) telle que g(0) # 0.

(a) Montrer que
d
0
/ e_toeg(oe)doe ... _g( ).

Indication. Pour t > 0, on pourra construire une fonction gt continue par 
morceaux
sur [D, +oo[, bornée, telle que

d 1 +00
/ e_toeg(oe)doe : --/ e_oegt(oe)doe.
0 0

t

(10) Montrer de même que
g(0)

cÂ
&.
Çb|
%"
NJ
&
Èî
&
t
+2
8
l°|>1
®}--

Soit f E C0([a, b]) telle que f(a) # 0 et 90 EUR C1([a, b]). Pour tout 
paramètre t E R, on note

b
F(t) = / e--tr f(oe)dgc.

2

Les deux cas étudiés a la question 1) correspondent a g0(a:) : a: et 90(a7) : 
a: , respectivement,

lorsque a = 0 et b = d.

2. Cas Où la phase @ n'a pas de point critique dans [a, b]. On suppose que 
90'(a:) > 0 pour tout
a: E [a, b].

(a) Montrer que (I) : a: |--> g0(a:) -- ga(a) réalise une bijection de [a, b] 
sur un intervalle de la
forme [O, 6], et qu'elle est de classe C1.

(lo) Montrer que
e_w<")f(a) t-->--l--oo gp'(a)t '

F(t)

Indication. On se ramènera au cas traité a la question la) a l'aide d'un 
changement
de variable.

3. Cas ou la phase gc a un point critique en a. On suppose maintenant que gc 
EUR C2([a,b]),
gc'(a) : O, gc"(a) > O, et gc'(a:) > 0 pour tout a: EUR]a, b].
(a) Montrer que la formule 1t(a:) : Vgc(a:) -- gc(a) définit une fonction de 
classe C1 sur
la, [9]. Calculer rt'(a).

(lo) Montrer que 1t réalise une bijection de la, b] sur un intervalle de la 
forme [O, 6].

if e_t°f'(a)f(a)
F(')Hïoevw «% '

Indication. On se ramènera au cas traité a la question Ib) a l'aide d'un 
changement
de variable.

(0) Montrer que

On admettra que le résultat se généralise de la façon suivante :

Résultat 1. Soit f E CO(]O, --l--ooD et go EUR C2(]0, --l--ooD. On suppose 
qu'il eriste un unique
c > 0 tel que gc'(c) : 0. On suppose de plus que f(c) # 0 et g0"(c) > 0. On 
suppose
finalement que fO+OO e_fp(oe)lf(aÿ)ldoe converge. Alors,

+OO 27T e_t°f'(C)f(c)
--t--l--oo

Indication. On re'e'crira d'abord F(n + 1) sous la forme

+oo
F(n --l-- 1) = nn+1/ e_n(oe_lnoe)daÿ.
0

II - FONCTIONS PÉRIODIQUES

5. Séries de Fourier. Soit çb : R --> (C une fonction périodique de période 
27r, de classe C1.

* _ Cn(Çbl)
(a) Montrer que pour tout n EUR Z , cn(çb) _ _--.
in

(10) Montrer que la série z lcn(çb)l converge. Indication. Utiliser la formule 
de Parseval

nEURZ
pour la fonction çb'.

(c) Montrer que HçbHoe S 2 lcn(çb)
nEURZ

Soit w : R --> R une fonction continue, périodique de période 27r. Soit f : 
[a,b] --> R une
fonction de classe C1 sur [a, b]. Pour tout paramètre EUR > 0, on pose

J. = ] bw (î) f(OE)dæ-

6. Premier cas. Dans cette question, on suppose de plus que (b est de classe C1 
sur R et que
f est a support compact dans la, b[.

(a) Montrer que pour tout 5 > O,

J.--codæ)|'>>f>>oeî'%Ï()'

nEURZ*

277

Indication. On pourra se ramener au cas où OE(y) dy : O.
0

(b) En déduire la limite de J O.

7. Deuxième cas. On suppose maintenant seulement que w EUR COUR) est périodique 
de période
27r et f E C1([a bl). Soit 5 > 0. On définit une subdivision de l'intervalle 
[a, b] de la façon
suivante. On note NEUR la partie entière deâ-- .On définit alors

a:Ê : a + 2k7re, pour tout entier k tel que 0 £ k £ Ng.
(a) Montrer que lim a:ÊV : b.
5-->0 8
(b) En déduire que
lim a (£) f(oe)doe = 0.

EUR-->Û ÇC8 8

(c) Montrer que pour tout entier k tel que 0 £ k S N.; -- 1, pour tout a: EUR 
(56%, a:Ê+1],

lf(OE) -- f(OEî)l £ 27T8Hf'lloe-

(d) Montrer que

ÎÏg ]? «> (î) f(wî)doe = (U 0 dy) (Nî(æEURf >.)

(EUR) Montrer que

Ng--1

2 ];W (f<æ> -- f<æä>>dæ s e>>f'>>oe ( ]0 2" >w>dy) .

71" b
(f) En déduire que l1--I>IË> JEUR : (EUR)(à : OE(y)dy) (/ f(oe)doe).

4

8. Application. Soit 5 > 0. Soit oz E R. Soit g : R --> R une fonction 
continue. On considère
l'équation différentielle suivante

u"(t) + u(t) : g (£) , ( 1)
u(O) : oz, u'(0) : 0.

(a) Justifier l'existence et l'unicité d'une solution de (1), définie pour t E 
R.

(lo) Calculer cette solution au moyen de la méthode de variation des 
constantes. On notera
cette solution ne.

(c) On suppose que g est 2n--périodique. Montrer que pour tout t E R, u5(t) 
admet une
limite quand 6 --> 0+7 limite que l'on calculera.

III - INTÉGRALES OSCILLANTES

Dans cette partie) 90 : [a,b] --> R et f : [a,b] --> R sont deux fonctions de 
classe COO. On
s'intéresse maintenant a des intégrales de la forme

b
[(A) = / eWf(oe)doe
a
où À est un paramètre réel strictement positif.

Dans toute la suite) on fixe À > O.

9. Cas d'une phase non stationnaire. On suppose dans cette question que 90' 
(a:) # 0 pour tout
a: E [a, b].

(a) On définit L : Coe([a,b],C) --> Coe([a,b],C) et M : Coe([a,b],C) --> 
Coe([a,b],C) par:
pour tout g E Coe([a, b],CC), tout a: E [a, b],

1 g /
L = _ / M = _ _ -
g<æ> W<æ)g (oe). g<æ> (w) (sc)
i. Déterminer les fonctions g E Coe([a, [9], (C) telles que Lg : g.

ii. Soit g,h EUR Coe([a,b],C). On suppose que n est a support compact dans 
]a,b[.
Montrer que

19 b
/ h(oe)Lg(oe)doe= %] g(oe)Mh(oe)doe.

(lo) Montrer que si f est a support compact dans la, b[, alors pour tout N E 
N*, il existe
une constante WN indépendante de À telle que

lÏ(À)l £ 'YNÀ_N-

10. (a) On suppose que \g0'(oe)\ 2 1 pour tout a: E [a,b] et que 90' est 
monotone sur [a,b].
Montrer qu'il existe une constante c1 > O, indépendante de À, 90 et de a, b, 
telle que

b
/ eZÀfi(oe)doe
a
Indication. On pourra écrire

b b
. . 1
/ eZÀfi(oe)doe=/ iÀga'(oe)eMfi(oe) 'À ,( )da:
@ a Z 90 $

$ C1À_l.

et intégrer par parties.

(10) Soit 5 > 0. On suppose que \g0'(oe)\ 2 5 pour tout a: E [a,b] et que 90' 
est monotone

sur [a, [9]. Montrer que
I)
/ eiÀfi(oe)doe

11. Cas où la phase peut être stationnaire. Dans toute cette question, on 
suppose que
\g0"(oe)\ 2 1 pour tout a: E [a,b].

S C1 (À5)_1.

(a) Montrer que 90' est strictement monotone sur [a,b] et qu'il existe un 
unique point
C E [a,b] tel que \ga'(c)\ : inf \ga'(oe)\.
oeEUR[a,b]

(b) Si a: E [a,b], montrer que \g0'(oe)\ Z \a: -- c\.
(c) Montrer que pour tout 5 > 0,

b
/ eWÛ(OE) da:

(d) En déduire qu'il existe une constante c2, indépendante de À, 90, a et b 
telle que

b
/ eWÛ(OE) da:

S 201(À5)_1 --|-- 25.

S CQÀ_1/2.

(e) Montrer que

19
/ eiÀfi(oe)f(oe)doe

a

S 02À_1/2 (1f(b)i +/ab1f'(OE)idOE) -