X Maths PC 2014

Thème de l'épreuve Comportement asymptotique d'intégrales à paramètre
Principaux outils utilisés analyse, calcul intégral, équations différentielles, séries de Fourier
Mots clefs intégrales à paramètre, convergence dominée, fonctions périodiques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE -- ECOLES NORMALES SUPÉRIEURES ECOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2014 FILIÈRE PC COMPOSITION DE MATHEMATIQUES -- (XEULC) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. * * * Ce sujet est consacré a l'étude de propriétés asymptotiques de certaines intégrales a para-- mètre. NOTATIONS, DÉFINITIONS, RAPPELS. Nombres. On note N = {O, 1, 2, . . .} l'ensemble des entiers naturels, N* l'ensemble des entiers naturels non nuls, Z l'ensemble des entiers relatifs et Z* l'ensemble des entiers relatifs non nuls. Fonctions numériques. Si 1 est un intervalle de R, on note CO(I ) (respectivement CO(I , C)), l'ensemble des fonctions continues sur I a valeurs réelles (respectivement a valeurs complexes). Pour lc E N*, on note C'""(I ) {respectivement C'""(I , (C)), l'ensemble des fonctions de classe C'" sur I a valeurs réelles {respectivement a valeurs complexes). On note C °°(I ) {respectivement C °°(I , C)) l'ensemble des fonctions de classe C °° sur I a valeurs réelles {respectivement a valeurs complexes). Si g est une fonction bornée sur I , on note HgHOO,I (ou simplement HgHOO) la valeur ll9lloo.l = SUP lÿ(âî)l- oeEURI Si 1 est un intervalle ouvert, on dit qu'une fonction f : I --> R est a support compact dans 1 s'il existe oz,fi EUR [, 04 < fi, tels que pout tout a: E [\ [or,fi], f(a3) : 0. Séries indexées par Z. Pour une famille de nombres réels ou complexes (an)nez, on dit que la série 2 an est convergente si les deux séries +OED --Hw E G.,, et E a_n n=0 n=1 sont convergentes, et on pose alors +OED %æm +OED %æm E an=E a...,+E a_n, E an=E a...,+E a_n. n=0 n=1 n=1 n=1 nEURZ nEURZ* Coefficients de Fourier. Si çb EUR CO(R,ÇC) est périodique de période 271", et si n EUR Z, le n--ième coefficient de Fourier de çb est 27r _ cn = à /0 5%(æ>dæ Dans tout le sujet, a et b sont deux nombres réels tels que a < (9. Les trois parties du sujet sont indépendantes. I - INTÉGRALES À PHASE RÉELLE 1. Dear cas particuliers. Soit d > 0. Soit g E CO([O, dl) telle que g(0) # 0. (a) Montrer que d 0 / e_toeg(oe)doe ... _g( ). Indication. Pour t > 0, on pourra construire une fonction gt continue par morceaux sur [D, +oo[, bornée, telle que d 1 +00 / e_toeg(oe)doe : --/ e_oegt(oe)doe. 0 0 t (10) Montrer de même que g(0) c &. Çb| %" NJ & Èî & t +2 8 l°|>1 ®}-- Soit f E C0([a, b]) telle que f(a) # 0 et 90 EUR C1([a, b]). Pour tout paramètre t E R, on note b F(t) = / e--tr f(oe)dgc. 2 Les deux cas étudiés a la question 1) correspondent a g0(a:) : a: et 90(a7) : a: , respectivement, lorsque a = 0 et b = d. 2. Cas Où la phase @ n'a pas de point critique dans [a, b]. On suppose que 90'(a:) > 0 pour tout a: E [a, b]. (a) Montrer que (I) : a: |--> g0(a:) -- ga(a) réalise une bijection de [a, b] sur un intervalle de la forme [O, 6], et qu'elle est de classe C1. (lo) Montrer que e_w<")f(a) t-->--l--oo gp'(a)t ' F(t) Indication. On se ramènera au cas traité a la question la) a l'aide d'un changement de variable. 3. Cas ou la phase gc a un point critique en a. On suppose maintenant que gc EUR C2([a,b]), gc'(a) : O, gc"(a) > O, et gc'(a:) > 0 pour tout a: EUR]a, b]. (a) Montrer que la formule 1t(a:) : Vgc(a:) -- gc(a) définit une fonction de classe C1 sur la, [9]. Calculer rt'(a). (lo) Montrer que 1t réalise une bijection de la, b] sur un intervalle de la forme [O, 6]. if e_t°f'(a)f(a) F(')Hïoevw «% ' Indication. On se ramènera au cas traité a la question Ib) a l'aide d'un changement de variable. (0) Montrer que On admettra que le résultat se généralise de la façon suivante : Résultat 1. Soit f E CO(]O, --l--ooD et go EUR C2(]0, --l--ooD. On suppose qu'il eriste un unique c > 0 tel que gc'(c) : 0. On suppose de plus que f(c) # 0 et g0"(c) > 0. On suppose finalement que fO+OO e_fp(oe)lf(aÿ)ldoe converge. Alors, +OO 27T e_t°f'(C)f(c) --t--l--oo Indication. On re'e'crira d'abord F(n + 1) sous la forme +oo F(n --l-- 1) = nn+1/ e_n(oe_lnoe)daÿ. 0 II - FONCTIONS PÉRIODIQUES 5. Séries de Fourier. Soit çb : R --> (C une fonction périodique de période 27r, de classe C1. * _ Cn(Çbl) (a) Montrer que pour tout n EUR Z , cn(çb) _ _--. in (10) Montrer que la série z lcn(çb)l converge. Indication. Utiliser la formule de Parseval nEURZ pour la fonction çb'. (c) Montrer que HçbHoe S 2 lcn(çb) nEURZ Soit w : R --> R une fonction continue, périodique de période 27r. Soit f : [a,b] --> R une fonction de classe C1 sur [a, b]. Pour tout paramètre EUR > 0, on pose J. = ] bw (î) f(OE)dæ- 6. Premier cas. Dans cette question, on suppose de plus que (b est de classe C1 sur R et que f est a support compact dans la, b[. (a) Montrer que pour tout 5 > O, J.--codæ)|'>>f>>oeî'%Ï()' nEURZ* 277 Indication. On pourra se ramener au cas où OE(y) dy : O. 0 (b) En déduire la limite de J O. 7. Deuxième cas. On suppose maintenant seulement que w EUR COUR) est périodique de période 27r et f E C1([a bl). Soit 5 > 0. On définit une subdivision de l'intervalle [a, b] de la façon suivante. On note NEUR la partie entière deâ-- .On définit alors a:Ê : a + 2k7re, pour tout entier k tel que 0 £ k £ Ng. (a) Montrer que lim a:ÊV : b. 5-->0 8 (b) En déduire que lim a (£) f(oe)doe = 0. EUR-->Û ÇC8 8 (c) Montrer que pour tout entier k tel que 0 £ k S N.; -- 1, pour tout a: EUR (56%, a:Ê+1], lf(OE) -- f(OEî)l £ 27T8Hf'lloe- (d) Montrer que ÎÏg ]? «> (î) f(wî)doe = (U 0 dy) (Nî(æEURf >.) (EUR) Montrer que Ng--1 2 ];W (f<æ> -- f<æä>>dæ s e>>f'>>oe ( ]0 2" >w>dy) . 71" b (f) En déduire que l1--I>IË> JEUR : (EUR)(à : OE(y)dy) (/ f(oe)doe). 4 8. Application. Soit 5 > 0. Soit oz E R. Soit g : R --> R une fonction continue. On considère l'équation différentielle suivante u"(t) + u(t) : g (£) , ( 1) u(O) : oz, u'(0) : 0. (a) Justifier l'existence et l'unicité d'une solution de (1), définie pour t E R. (lo) Calculer cette solution au moyen de la méthode de variation des constantes. On notera cette solution ne. (c) On suppose que g est 2n--périodique. Montrer que pour tout t E R, u5(t) admet une limite quand 6 --> 0+7 limite que l'on calculera. III - INTÉGRALES OSCILLANTES Dans cette partie) 90 : [a,b] --> R et f : [a,b] --> R sont deux fonctions de classe COO. On s'intéresse maintenant a des intégrales de la forme b [(A) = / eWf(oe)doe a où À est un paramètre réel strictement positif. Dans toute la suite) on fixe À > O. 9. Cas d'une phase non stationnaire. On suppose dans cette question que 90' (a:) # 0 pour tout a: E [a, b]. (a) On définit L : Coe([a,b],C) --> Coe([a,b],C) et M : Coe([a,b],C) --> Coe([a,b],C) par: pour tout g E Coe([a, b],CC), tout a: E [a, b], 1 g / L = _ / M = _ _ - g<æ> W<æ)g (oe). g<æ> (w) (sc) i. Déterminer les fonctions g E Coe([a, [9], (C) telles que Lg : g. ii. Soit g,h EUR Coe([a,b],C). On suppose que n est a support compact dans ]a,b[. Montrer que 19 b / h(oe)Lg(oe)doe= %] g(oe)Mh(oe)doe. (lo) Montrer que si f est a support compact dans la, b[, alors pour tout N E N*, il existe une constante WN indépendante de À telle que lÏ(À)l £ 'YNÀ_N- 10. (a) On suppose que \g0'(oe)\ 2 1 pour tout a: E [a,b] et que 90' est monotone sur [a,b]. Montrer qu'il existe une constante c1 > O, indépendante de À, 90 et de a, b, telle que b / eZÀfi(oe)doe a Indication. On pourra écrire b b . . 1 / eZÀfi(oe)doe=/ iÀga'(oe)eMfi(oe) 'À ,( )da: @ a Z 90 $ $ C1À_l. et intégrer par parties. (10) Soit 5 > 0. On suppose que \g0'(oe)\ 2 5 pour tout a: E [a,b] et que 90' est monotone sur [a, [9]. Montrer que I) / eiÀfi(oe)doe 11. Cas où la phase peut être stationnaire. Dans toute cette question, on suppose que \g0"(oe)\ 2 1 pour tout a: E [a,b]. S C1 (À5)_1. (a) Montrer que 90' est strictement monotone sur [a,b] et qu'il existe un unique point C E [a,b] tel que \ga'(c)\ : inf \ga'(oe)\. oeEUR[a,b] (b) Si a: E [a,b], montrer que \g0'(oe)\ Z \a: -- c\. (c) Montrer que pour tout 5 > 0, b / eWÛ(OE) da: (d) En déduire qu'il existe une constante c2, indépendante de À, 90, a et b telle que b / eWÛ(OE) da: S 201(À5)_1 --|-- 25. S CQÀ_1/2. (e) Montrer que 19 / eiÀfi(oe)f(oe)doe a S 02À_1/2 (1f(b)i +/ab1f'(OE)idOE) -

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 X Maths PC 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Simon Billouet (ENS Cachan) ; il a été relu par Pauline Tan (ENS Cachan) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE). Ce sujet d'analyse est consacré à des propriétés asymptotiques d'intégrales à paramètre. Il est composé de trois parties indépendantes. · La première partie s'intéresse au comportement quand t tend vers + d'intégrales du type Z b e -t(x) f (x) dx a à l'aide d'une technique appelée méthode de Laplace, et présente en application une démonstration de la formule de Stirling. · La deuxième partie établit l'égalité ! Z 2 Z b Z b x 1 lim f (x) dx = (y) dy f (x) dx 0 a 2 0 a lorsque est une fonction continue 2-périodique, et f de classe C 1 . Une application est proposée dans le cadre des équations différentielles. · La troisième partie étudie le comportement quand tend vers + d'intégrales du type Z b e i(x) f (x) dx a selon une méthode dite de la phase stationnaire. Les parties sont de difficulté croissante, les dernières questions étant même particulièrement ardues. Toutes les connaissances en calcul intégral sont sollicitées : convergence dominée, intégration par parties, changement de variable. Les première et troisième parties forment un excellent sujet d'entraînement ; à l'exception de la dernière question, la dernière partie ne fait appel qu'au programme de sup. La disparition des séries de Fourier et de l'intégrale double du programme des classes préparatoires scientifiques rend la deuxième partie hors-programme, ainsi que la dernière question du sujet. Les indications sur ces questions doivent permettre de les traiter en admettant les résultats sortis du programme. Indications Partie I 1.a Utiliser la caractérisation séquentielle de la limite et le théorème de convergence dominée. 1.b Reprendre le même raisonnement qu'à la question 1.a après avoir effectué le changement de variable u = tx. 3.a Pour montrer que est de classe C 1 en a, écrire des formules de Taylor au voisinage de a pour et . 3.b Utiliser le théorème de la bijection. 4.a Montrer que (n) = (n + 1)/n à l'aide d'une intégration par parties. Partie II P 2 5.b [HP] Admettre le théorème de Parseval, qui assure que la série |cn ( )| nZ converge. Utiliser ensuite l'inégalité x y 6 x2 + y 2 /2. P 5.c [HP] Admettre que est égale à la somme de la série un sur R, où un est nZ 6.a 7.c 7.e 7.f définie par un : x 7- cn ()e inx . [HP] Admettre que la convergence de la série de la question précédente est normale sur R, afin d'intervertir la somme et l'intégrale. Utiliser l'inégalité des accroissements finis. Appliquer l'inégalité triangulaire et utiliser la question 7.c. Utiliser la variante du résultat sur les sommes de Riemann pour des subdivisions Z b NP -1 non régulières. Précisément : (xk+1 - xk )f (xk ) --- f (x) dx. 0 k=0 a 8.b [HP] La méthode de variation des constantes fait l'objet d'une remarque en introduction de la réponse de ce corrigé. 8.c Appliquer le résultat de la question 7.f avec = g et f = sin(t - ·). Partie III ! Z b 1 N 9.b Montrer par récurrence que I() = N g(x)M f (x) dx pour tout N N. a 10.a La fonction étant monotone, est de signe constant sur [ a ; b ] : par suite, Z b Z b | (x)| (x) dx = dx 2 2 (x) a a (x) 11.a Discuter suivant les signes possibles de et sur [ a ; b ]. 11.b Utiliser l'égalité des accroissements finis et traiter les 5 cas de la question 11.a. 11.c Découper l'intervalle de sorte à pouvoir appliquer le résultat de la question 10.b sur certains des morceaux. 11.d Minimiser la fonction 7- 2c1 ()-1 + 2 sur R+ . 11.e [HP] Utiliser le théorème fondamental de l'analyse pour f . Utiliser ensuite le résultat suivant (théorème de Fubini sur un triangle) : si h est une fonction à valeurs réelles continue sur le carré [ a ; b ] × [ a ; b ], ! Z b Z b Z b Z t h(x, t) dt dx = h(x, t) dx dt a x a a I. Intégrales à phase réelle 1.a Soit t > 0. Effectuons le changement de variable linéaire u = tx : Z d Z 1 td -u u -tx e g(x) dx = e g du t 0 t 0 [ 0 ; + [ - R u Définissons la fonction gt : u 7- g 1[ 0 ;td ] t où 1[ 0 ;td ] désigne la fonction indicatrice de l'intervalle [ 0 ; td ]. La fonction gt est continue par morceaux (comme produit de deux fonctions continues par morceaux) sur [ 0 ; + [ et Z d Z 1 + -u -tx e g(x) dx = e gt (u) du t 0 0 Z + Déterminons lim e -u gt (u) du en utilisant la caractérisation séquentielle de la t+ 0 limite. Soit (tn )nN une suite à valeurs dans [ 0 ; + [ tendant vers +. Montrons Z + que lim e -u gtn (u) du existe en utilisant le théorème de convergence dominée. n+ 0 Soient n N et ( fn : [ 0 ; + [ - R u 7- e -u gtn (u) · La fonction fn est continue par morceaux sur R+ . · Soit u [ 0 ; + [. Par hypothèse, il existe un entier N tel que u 6 tn d dès que n > N. Pour n > N, on a donc fn (u) = e -u g (u/tn ). Par continuité de g en 0, lim fn (u) = e -u g(0) : ainsi, la suite (fn )nN converge simplement vers n+ la fonction u 7- e -u g(0) sur [ 0 ; + [. · L'inégalité |fn (u)| 6 e -u kgk est valable pour u [ 0 ; + [, et la fonction de domination u 7- e -u kgk est intégrable sur R+ . D'après le théorème de convergence dominée, Z + Z -u lim e gtn (u) du = n+ 0 + e -u g(0) du = g(0) 0 Cette égalité étant vraie pour toute suite (tn )nN tendant vers +, on en déduit que Z + lim e -u gt (u) du = g(0) t+ 0 La quantité g(0) étant non nulle, on peut affirmer que ! Z + Z d t 1 -tx -u lim e g(x) dx × = lim e gt (u) du × =1 + t+ t g(0) g(0) 0 0 Ainsi, on a bien montré que Z 0 d e -tx g(x) dx t+ g(0) t 1.b Soit t > 0. Le changement de variable linéaire u = tx donne l'égalité Z d Z td 1 u 2 -tx2 -u e g(x) dx = e g du t 0 t 0 [ 0 ; + [ - R On pose gt : u 7- g u/ t 1[ 0 ;td ] 2 (t, u) R2+ 2 e -u gt (u) ---- e -u g(0) 2 t+ et 2 2 e -u gt (u) 6 e -u kgk avec u 7- e -u kgk intégrable sur R+ . En utilisant la caractérisation séquentielle de la limite combinée au théorème de convergence dominée, on montre comme à la question 1.a que Z + Z td u 2 2 du = g(0) e -u du = g(0) e -u g lim t+ 0 2 t 0 Z d -tx2 On en déduit que lim t e g(x) dx = g(0) t+ 2 0 Z d g(0) 2 Par conséquent, e -tx g(x) dx + t 2 t 0 2.a La fonction , en tant que somme d'une fonction de classe C 1 et d'une fonction constante, est de classe C 1 , et = est une fonction strictement positive sur [ a ; b ]. La fonction est donc strictement croissante sur [ a ; b ] ; comme elle y est de plus continue, elle réalise une bijection de [ a ; b ] sur [ (a) ; (b) ]. Or, (a) = 0. En notant = (b), on obtient que réalise une bijection de [ a ; b ] sur [ 0 ; ], de classe C 1 . 2.b La question précédente montre que est une bijection de classe C 1 . Puisque sa dérivée ne s'annule pas sur [ a ; b ], sa réciproque -1 est également de classe C 1 . Le changement de variable x = -1 (u) est donc admissible : 1 dx = -1 (u) du = -1 du ( (u)) Z 1 On a donc F(t) = e -t(a) e -tu f (-1 (u)) -1 du ( (u)) 0 [ 0 ; ] - R Soit g: 1 u 7- f (-1 (u)) -1 ( (u)) En tant que quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas, la fonction g est continue sur [ 0 ; ]. De plus, g(0) = f (a)/ (a) = f (a)/ (a) 6= 0 puisque f (a) 6= 0. D'après le résultat de la question 1.a, Z 1 f (a) e -tu f (-1 (u)) -1 du + (a)t t ( (u)) 0 Puisque t 7- e -t(a) ne s'annule pas sur un voisinage de +, on en déduit enfin que e -t(a) f (a) t+ (a)t F(t)