X Maths PC 2012

Thème de l'épreuve Systèmes différentiels autonomes
Principaux outils utilisés équations différentielles, espaces vectoriels normés, réduction
Mots clefs linéarisation, lemme de Gronwall

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES FILIÈRE CONCOURS D'ADMISSION 2012 PC COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ (XEULC) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Ce sujet porte sur l'étude qualitative des solutions des systèmes d'équations différentielles autonomes y = f (y) avec f : Rn Rn de classe C 1 . On s'intéressera en particulier au comportement asymptotique de ces solutions. Notations, définition, rappel Dans tout le sujet, Rn est muni de son produit scalaire canonique noté h , i et de la norme euclidienne associée, notée k k, c'est-à-dire que pour Ö x= x1 .. . xn è Ö et y = y1 .. . è Rn , hx, yi = n X xi yi et kxk = » hx, xi . i=1 yn L'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans R est noté Mn (R). L'ensemble des matrices inversibles de taille n à coefficients dans R est noté GLn (R). L'ensemble des matrices orthogonales de taille n à coefficients dans R est noté On (R). La matrice identité de taille n est notée In . L'ensemble des fonctions de classe C 1 de Rn dans Rn sera noté C 1 (Rn ). Soient f : R R et : R ]0, +[ deux fonctions. On note f = o+ () si > 0 M > 0 x [M, +[ |f (x)| (x). Les lettres I et J désigneront toujours un intervalle de R. Définition (Solution maximale). Soit I 6= . Une solution y : I Rn de (E) y = f (y) 1 est une solution maximale si y est une fonction de classe C 1 et si pour toute autre fonction de classe C 1 z : J Rn solution de (E) avec z = y sur I J 6= on a J I. On pourra utiliser le résultat suivant que l'on ne demande pas de démontrer : Théorème 1. Soit f : Rn Rn de classe C 1 . Pour tout t0 R et pour tout y0 Rn , il existe une unique solution maximale du problème de Cauchy ( y = f (y) y(t0 ) = y0 et cette solution maximale est définie sur un intervalle ouvert de R qui contient t0 . Si f (y) est linéaire en y, alors la solution maximale est définie sur R. Préliminaire Pour une matrice A Mn (R), on note |||A||| = sup kAxk. xRn ,kxk1 1. Montrer que ||| ||| définit une norme sur Mn (R). 2. Montrer que pour tous A et B dans Mn (R), on a |||AB||| |||A||| |||B|||. Première partie : un exemple en dimension 1 On considère le problème de Cauchy suivant ã Å y = ay 1 - y b (P ) y(0) = y 0 où a > 0, b > 0 et y0 R. 3. Montrer que (P ) admet une unique solution maximale y : I R. 4. Soit y0 ]0, b[. a) Montrer que pour tout t I, y(t) ]0, b[. b) Montrer que pour tout t I, on a Z y(t) y0 du = at . u 1 - ub c) En déduire que I = R et donner y(t) pour t R en fonction de y0 , a et b. d) Donner les limites de y(t) pour t + et pourt -. 2 Deuxième partie : le cas linéaire Dans cette partie, on étudie le problème Y = AY (L) où A Mn (R) et Y0 Rn . Y (0) = Y0 On définit A : R × Rn Rn par A (t; Y0 ) = Y (t) où Y est la solution maximale de (L). 5. Montrer que pour tout t R, Y0 7 A (t; Y0 ) est linéaire injective. En déduire qu'il existe eA : R GLn (R) tel que pour tout (t, Y0 ) R × Rn , A (t; Y0 ) = eA (t)Y0 . 6.a) Montrer que eA est de classe C 1 sur R et que pour tout t R, eA (t) = AeA (t). b) Montrer que eA (0) = In et que pour tout (t, s) R2 , eA (t+s) = eA (t)eA (s) = eA (s)eA (t). c) Montrer que pour tout t R, eA (-t) = eA (t)-1 . 7.a) Soit P GLn (R). Montrer que eP -1 AP (t) = P -1 eA (t)P . b) Montrer que si A est une matrice diagonale dont les coefficients sont notés 1 , . . . , n alors eA (t) est une matrice diagonale dont les coefficients sont et1 , . . . , etn . c)Dans le cas où A = Ç å 4 -2 , calculer eA (t) pour tout t R. 1 1 8.a) Soit et des constantes positives dans R. Soit : [0, +[ R une fonction continue qui vérifie Z t t [0, +[ (t) + (s)ds . 0 Montrer que pour tout t [0, +[, on a (t) et . R Indication : On pourra étudier la fonction F (t) = ( + 0t (s)ds)e-t . b) Montrer que pour tout t R, |||eA (t)||| e|||A||||t| . 9. Soit g : R Rn une fonction C 1 . Soit Z0 Rn . On considère le problème de Cauchy (U ) ( Z (t) = AZ(t) + g(t), Z(0) = Z0 . a) Montrer que pour tout t R, Ç Z(t) = eA (t) Z0 + Z 0 est bien défini et solution du problème (U ). 3 t eA (-s)g(s)ds å b) Montrer que si Z : I Rn est une solution de classe C 1 de (U ) sur un intervalle ouvert contenant 0, alors Z(t) = Z(t) pour tout t I. 10.a) Soit a > 0. Soit ] - , -a[. Soit g : R R une fonction de classe C 1 telle que g(t) = o+ (e-at ). Soit y : R R une fonction de classe C 1 qui vérifie y = y + g. Montrer que y(t) = o+ (e-at ). b) On suppose dans cette question que A est une matrice triangulaire supérieure de coefficients diagonaux 1 , . . . , n . On suppose qu'il existe a > 0 tel que pour tout i {1, . . . , n}, i < -a. Montrer que kY (t)k = o+ (e-at ) où Y est la solution maximale du problème (L). c) On suppose ici que le polynôme caractéristique de A est scindé sur R. On suppose de plus que toutes les valeurs propres de A sont strictement négatives. Montrer qu'il existe a > 0 tel que |||eA (t)||| = o+ (e-at ). 11. On suppose que A est dans On (R) et que A2 + In = 0. a) Donner les valeurs propres de A dans C et montrer que n est pair. b) Montrer que pour tout t R, |||eA (t)||| = 1. Troisième partie : linéarisation Soit f C 1 (R2 , R2 ). Dans cette partie, on s'intéresse à la solution de (S) ( Y = f (Y ) Y (0) = Y0 pour Y0 R2 . 12. Soit Y : [0, +[ R2 une solution de (S). On suppose que lim Y (t) = l R2 existe. t+ On souhaite montrer que f (l) = 0. On suppose donc par l'absurde f (l) 6= 0. a) Montrer qu'il existe M > 0 tel que 1 t [M, +[ hY (t), f (l)i kf (l)k2 . 2 b) Montrer que t [M, +[ hY (t), f (l)i (t - M ) kf (l)k2 + hY (M ), f (l)i . 2 c) En conclure que f (l) = 0. 13. Dans cette question, on suppose que 2 f : Ç Rå2 R Ç å y z + y(y 2 + z 2 ) 7 z -y + z(y 2 + z 2 ) 4 où R. Soit Y : I R2 la solution maximale de (S). a) Si = 0, montrer que I = R et identifier la solution maximale. Quelle est la nature de la courbe t 7 Y (t) ? b) On admet dans cette question que [0, +[ I lorsque < 0. Montrer que pour < 0, on a lim Y (t) = 0. t+ Indication : On pourra étudier la fonction t 7 kY (t)k2 . c) On suppose Y0 6= 0, > 0 et on pose T = 2kY1 0 k2 . Montrer que, si Y est définie sur [0, T [, alors lim kY (t)k = +. En déduire I ] - , T [. tT 14. Dans cette question, on suppose qu'il existe une matrice A M2 (R) dont le polynôme caractéristique est scindé sur R, dont toutes les valeurs propres sont strictement négatives et telle que kf (x) - Axk = o(kxk) quand x 0. a) Montrer que A est la matrice jacobienne de f en 0. b) Soit Y : I R2 la solution maximale de (S). On supposera que [0, +[ I. Montrer qu'il existe a > 0 et K 0 tels que pour tout > 0 et tout t > 0 on a -ta kY (t)k Ke Ç kY0 k + Z t sa e kY (s)kds 0 å dès que s [0, t] kf (Y (s)) - AY (s)k kY (s)k . c) En déduire qu'il existe b > 0, > 0 et C > 0 tels que pour Y0 R2 avec kY0 k , on a t [0, +[ kY (t)k Ce-bt . d) Soit y : [0, +[ R et z : [0, +[ R des fonctions de classe C 1 qui vérifient y = zy (1 - y) z = y - z où y0 R et z0 R. y(0) = y , 0 z(0) = z0 Montrer qu'il existe > 0 tel que si |y0 - 1|2 + |z0 - 1|2 2 , alors y(t) et z(t) tendent vers 1 lorsque t tend vers +. 5

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 X Maths PC 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Jules Svartz (ENS Cachan) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE). Le problème de l'École Polytechnique porte cette année sur les équations différentielles autonomes dans Rn , c'est-à-dire les équations différentielles de la forme Y = f (Y) avec f de classe C 1 Le traitement est progressif avec un exemple en dimension 1, puis le cas des applications linéaires, et enfin le cas général avec notamment l'utilisation des méthodes de linéarisation, qui permettent d'établir le comportement des solutions au voisinage de points d'équilibre Y0 Rn (définis par f (Y0 ) = 0). · Le préliminaire introduit la notion de norme matricielle subordonnée et conduit à démontrer qu'il s'agit de normes d'algèbres, c'est-à-dire de normes sur Mn (R) vérifiant A, B Mn (R) |||AB||| 6 |||A||| · |||B||| · La première partie est consacrée à l'étude d'un exemple d'équation différentielle autonome non linéaire, mais à variables séparables, ce qui permet un calcul explicite de la solution. · La deuxième partie fait manipuler sans le dire la notion d'exponentielle de matrices, qui est hors-programme en PC. Il faut par conséquent commencer par établir toutes ses propriétés classiques. On démontre ensuite des propriétés des solutions des systèmes linéaires Y = AY suivant certaines conditions satisfaites par la matrice A. · La dernière partie commence par justifier qu'une solution d'une équation autonome ne peut avoir pour limite en + qu'un point d'équilibre de f . On traite ensuite un nouvel exemple de système autonome. Enfin, on utilise la technique de linéarisation pour établir que lorsque f présente en 0 un point d'équilibre et une jacobienne dont le spectre est inclus dans R- , les solutions convergent toutes vers 0, lorsque les conditions initiales sont proches de ce point. Le sujet s'achève sur un dernier exemple. Le sujet est long et sa difficulté n'est pas progressive. Il est en effet parsemé de questions relativement simples, que l'on peut parfaitement résoudre en admettant certains résultats. L'intervention régulière d'exemples est notamment appréciée pour se reposer les méninges. On ne peut cependant que regretter le fait que ce sujet ne soit pas particulièrement adapté à la filière PC. L'exponentielle de matrices par exemple, qui n'est pas au programme de PC, est manipulée tout au long du sujet, sans que son nom soit mentionné un instant. Là où un élève de MP aurait sûrement reconnu et utilisé facilement cet outil, il y a fort à parier que bon nombre de candidats de PC cette année ont dû s'arracher les cheveux devant la mystérieuse quantité eA (t). Indications Préliminaire 1 Ne pas oublier de justifier que ||| · ||| est bien définie. 2 Commencer par justifier que kAXk 6 |||A||| · kXk pour tout X Rn . Partie I 3 Utiliser simplement le théorème 1 admis. 4.a Raisonner par l'absurde en supposant l'existence d'un réel t tel que y(t) / ] 0 ; b [. Démontrer qu'alors, y prend soit la valeur 0, soit la valeur b. En déduire que y est constante à l'aide d'un problème de Cauchy bien choisi. 4.b Utiliser la question précédente pour séparer les variables dans l'équation différentielle, puis intégrer. 4.c Calculer l'intégrale de la question 4.c à l'aide d'une décomposition en éléments simples. Pour démontrer que I = R, justifier que si ce n'est pas le cas, on peut prolonger y et contredire sa maximalité. 4.d Immédiat si vos calculs du 4.c sont corrects. Partie II 5 User et abuser du théorème 1. 6.a Exprimer les vecteurs colonnes de eA (t) comme des solutions de (L) pour des conditions initiales bien choisies. 6.b On pourra considérer le problème de Cauchy ( Z = AZ Z(0) = Y(s) où Y est l'unique solution maximale de (L). 6.c Utiliser la question précédente avec s = -t. 7.a Introduire le problème de Cauchy ( Z = P-1 APZ Z(0) = P-1 Y0 7.b Remarquer que lorsque A est diagonale, le système (L) se résout immédiatement. 7.c La matrice A est diagonalisable. Combiner les résultats des question 7.a et 7.b. 8.a Vérifier que la fonction suggérée par l'énoncé est décroissante. 8.b Pour la majoration sur R+ , intégrer l'égalité eA = AeA entre 0 et t puis appliquer le lemme précédent. Pour la majoration sur R- , considérer t 7- eA (-t). 9.a Calculer Z et Z(0). 9.b Utiliser le théorème 1. 10.a Exprimer y en fonction de g. On pourra travailler avec > 0 et se placer sur un intervalle sur lequel |g(t)| 6 e-at . 10.b Pour A triangulaire supérieure, écrire le système sous la forme de n-1 équations différentielles de la forme de celle de la question précédente, et d'une dernière équation de résolution immédiate. 10.c Se ramener au cas où A est triangulaire supérieure à l'aide des question 2 et 7.a. Utiliser ensuite la question précédente. On pourra démontrer que pour toute matrice M de vecteurs colonnes C1 , . . . , Cn |||M||| 6 n P kCi k i=1 11.a Appliquer le cours sur les polynômes d'endomorphismes (ne pas oublier que A est réelle !). 11.b Commencer par démontrer que A est antisymétrique, puis que X et AX sont orthogonaux pour tout X Rn . Démontrer ensuite que la norme de eA (t)X0 est indépendante de t, quel que soit le vecteur X0 choisi. Partie III 12.a Utiliser la composition des limites. 12.b Intégrer la minoration précédente. 12.c Vérifier que hY (t) | f ()i est à la fois bornée et de limite + en +. 13.a Étudier q = y + iz. 13.b Remarquer que kYk2 = 2hY | Yi et calculer cette quantité pour obtenir une équation à variables séparables satisfaite par kY2 k. Pour résoudre cette équation, justifier que est identiquement nulle ou ne s'annule jamais à l'aide d'un problème de Cauchy. 13.c Reprendre les calculs précédents et constater cette fois une divergence de kYk en T. 14.a Revenir à la définition de Jf (0) à l'aide des dérivées suivant un vecteur. 14.b Écrire (S) sous la forme ( Y = AY(t) + g(t) Y(0) = Y0 puis appliquer 9.a et 10.c. 14.c C'est la question la plus délicate du sujet. Fixer > 0 pour lequel X Rn , kXk 6 = kf (X) - AXk 6 kXk Prendre ensuite kY0 k inférieure à /2 et utiliser la continuité de Y pour appliquer la question 14.b. Utiliser ensuite 8.a pour aboutir à une majoration de la forme souhaitée au voisinage de 0. Il ne reste plus qu'à vous débrouiller pour choisir et de façon à ce que la majoration reste valable sur R+ tout entier. 14.d Faire un changement de variable pour se ramener en (0, 0) puis appliquer 14.c. Préliminaire 1 Pour toute matrice A, l'application A : X 7- kAXk est la composée de ( n ( n R - Rn R - R+ A: et k · k: X 7- AX Z 7- kZk La première fonction (notée A par abus de notation) est linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie, la seconde est une norme donc une application 1-lipschitzienne. Il s'agit ainsi de deux applications continues, et leur composée A l'est également. Par ailleurs, la boule unité fermée est un ensemble fermé et borné de Rn , donc un compact. Il s'ensuit que A est bornée sur cette boule, et que l'image A (B(0, 1)), partie non vide majorée de R, a une borne supérieure. L'application ||| · ||| : A 7- |||A||| est donc bien définie (et clairement à valeurs dans R+ ). Vérifions les trois propriétés qui interviennent dans la définition d'une norme. · Pour toute matrice A et tout réel , on a {k(A)Xk, kXk 6 1} = || {kAXk, kXk 6 1} En particulier, en passant aux bornes supérieures, il vient |||A||| = || |||A|||. L'application ||| · ||| vérifie donc la propriété de positive homogénéité. · Si A est une matrice telle que |||A||| = 0, alors notamment kAXk = 0 pour tout vecteur de Rn de norme inférieure ou égale à 1. Par linéarité, cette égalité s'étend à Rn tout entier et Ker A = Rn donc A est la matrice nulle. Ainsi, ||| · ||| vérifie la propriété de séparation. · Soient A et B deux éléments de Mn (R). Pour tout vecteur X de norme inférieure ou égale à 1, on a par inégalité triangulaire pour k · k k(A + B)Xk 6 kAXk + kBXk 6 |||A||| + |||B||| En passant à la borne supérieure sur X, il vient |||A + B||| 6 |||A||| + |||B||| Par conséquent, ||| · ||| vérifie l'inégalité triangulaire. L'application ||| · ||| est une norme sur Mn (R). Une norme définie de cette manière s'appelle une norme matricielle subordonnée. Elle dépend bien entendu du choix de la norme choisie sur Rn . Pour les trois exemples usuels suivants n n P P 2 1/2 kxk1 = |xi | kxk2 = xi et kxk = max |xi | i=1 16i6n i=1 on obtient par cette définition les trois normes suivantes sur Mn (R) |||A|||1 = max n P 16j6ni=1 |Ai,j | |||A||| = max n P 16i6nj=1 |Ai,j | et enfin pour la norme euclidienne (norme k · k2 ), c'est-à-dire celle de l'énoncé, |||A|||2 = max Sp(t AA) ||