X Maths PC 2011

Thème de l'épreuve Matrices infiniment divisibles
Principaux outils utilisés calcul intégral, réduction des endomorphismes, algèbre bilinéaire
Mots clefs fonction gamma, diagonalisation, spectre, matrices positives

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES FILIÈRE CONCOURS D'ADMISSION 2011 PC COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ (XEULC) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Matrices infiniment divisibles Notations : On désigne par R le corps des nombres réels et par R+ l'ensemble des réels positifs ou nuls. Soit n un entier > 1. On désigne par Mn (R) l'espace vectoriel réel des matrices carrées à n lignes et n colonnes. Si M Mn (R), on note det(M ) son déterminant. On désigne par SMn (R) le sous-espace vectoriel de Mn (R) des matrices symétriques. On note In Mn (R) la matrice identité. On identifie Rn et l'espace des matrices à n lignes et 1 colonne. Première partie : la fonction 1a. Montrer que pour réel s > 0, la fonction x 7 e-x xs-1 est intégrable sur [ 0, + [. On Z + pose alors (s) = e-x xs-1 dx. 0 1b. Calculer (m) pour m entier strictement positif. 1c. Montrer que est continue sur ]0, +[. Å 2a. Montrer que pour tout entier strictement positif m et pour x [ 0, m ], 1 - Montrer que lim m+ 1- x m Z m (1 - Å ãm x m ãm 6 e-x . = e-x . x m s-1 m! ms ) x dx = , pour tout réel s > 0 et pour m s(s + 1) · · · (s + m) 0 tout entier m. (On pourra procéder par intégrations par parties successives). 2b. Montrer que 2c. Montrer que pour tout réel s > 0, (s) = 1 m! ms . m+ s(s + 1) · · · (s + m) lim Deuxième partie : matrices positives et produit de Hadamard Soit A = (aij ) Mn (R). On dit que A est positive si A est symétrique et X = t (x1 , · · · , xn ) Rn , hX, AXi = t XAX = X aij xi xj > 0 16i,j6n où h., .i désigne le produit scalaire euclidien standard sur Rn . 3. Soit A = Ç å a b b d SM2 (R). Montrer que A est positive si et seulement si a > 0, d > 0, det(A) > 0. 4. Soit A = (aij ) SMn (R). Montrer que A est positive si et seulement si ses valeurs propres sont des réels positifs ou nuls. 5. Soit A = (aij ) SMn (R) une matrice positive, et 1 , · · · , n des réels. Montrer que, posant bij = i j aij , la matrice B = (bij ) est positive. 6. Soit H un espace vectoriel préhilbertien réel, pour lequel le produit scalaire de deux éléments x, y H est noté hx, yi. Soient u1 , · · · , un H. On pose aij = hui , uj i. Montrer que la matrice A = (aij ) est positive. Soient A = (aij ), B = (bij ) Mn (R). Leur produit de Hadamard est la matrice C = (cij ) Mn (R) donné par : cij = aij bij . On désignera cette opération par le signe : C = A B. 7. Montrer que si A SMn (R) est une matrice positive et si B est une matrice diagonale à coefficients diagonaux positifs ou nuls, alors A B est une matrice positive. 8a. Montrer que si A SMn (R) est une matrice positive, elle peut s'écrire comme somme de matrices de la forme Y t Y = t (y1 , · · · , yn )(y1 , · · · , yn ), où Y = t (y1 , · · · , yn ) Rn . On pourra commencer par le cas où A est diagonale. 8b. Montrer que si A, B SMn (R) sont des matrices positives, alors A B est une matrice positive. Troisième partie : matrices infiniment divisibles On considère maintenant des matrices A = (aij ) SMn (R) dont les coefficients sont des réels positifs ou nuls. Il résulte de la question 8b. que si A est positive, alors pour tout entier r > 0, la matrice Ar = (arij ) est positive. On dit qu'une matrice symétrique A à coefficients aij positifs ou nuls est infiniment divisible si pour tout réel r > 0, la matrice (arij ) est positive. On désignera encore, lorsque r est un réel strictement positif, par Ar la matrice (arij ). 9a. Soit A M2 (R) une matrice symétrique positive à coefficients positifs ou nuls. Montrer qu'elle est infiniment divisible. 2 Ö è 1 1 0 9b. Soit A = 1 2 1 0 1 1 lesquelles Ar est positive. . Montrer que A est positive. Déterminer les valeurs de r > 0 pour 10. Montrer que si A = (aij ) est infiniment divisible et si 1 , · · · , n sont des réels strictement positifs, alors posant bij = i j aij , la matrice B = (bij ) est infiniment divisible. 11. Soit A une matrice symétrique à coefficients positifs ou nuls. Montrer que si pour tout 1 entier m > 1, A m est positive, alors A est infiniment divisible. 12. Soient 1 , . . . , n des réels strictement positifs. On forme la matrice C = (cij ) avec 1 et on se propose de montrer qu'elle est infiniment divisible. cij = i + j Soit H l'espace vectoriel des fonctions continues sur R+ à valeursZ réelles, dont le carré est + intégrable. On munit H du produit scalaire : pour f, g H, hf, gi = f (t)g(t)dt. On pose, 0 pour tout t > 0, ui (t) = e-i t . 12a. Calculer hui , uj i et en déduire que C est positive. 1 1 12b. Montrer que pour r > 0 et > 0, r = (r) Z + e-t tr-1 dt. 0 12c. Soit, pour r > 0, Hr l'ensemble des fonctions continues u sur R+ à valeurs réelles telles que la fonction t 7 u(t)2 tr-1 est intégrable Zsur R+ . On admet que c'est un espace vectoriel. + Montrer que si on pose, pour u, v Hr , hu, vi = u(t)v(t)tr-1 dt, on munit Hr d'un produit 0 scalaire. 12d. Montrer que C est infiniment divisible. 13. Soient 1 , · · · , n des réels strictement positifs. Pour 1 6 i, j 6 n on pose kij = (i + j + 1) . On se propose de montrer que la matrice K = (kij ) est infiniment (i + 1)(j + 1) divisible. 13a. Montrer que kij = Y (i + p)(j + p) 1 m+1 . m+ m.m! (i + j + p) p=1 lim Ç 13b. Montrer que pour tout entier p > 1, la matrice divisible. Conclure. 3 (i + p)(j + p) (i + j + p) å est infiniment 16i,j6n Quatrième partie : matrices conditionnellement positives On dit qu'une matrice A = (aij ) de Mn (R) est conditionnellement positive si elle est symétrique et si pour tout X = t (x1 , · · · , xn ) Rn tel que n P xi = 0, on a i=1 t XAX = X aij xi xj > 0 . 16i,j6n 14. Soient 1 , · · · , n des réels strictements positifs. Posons aij = - ln(i + j ). Montrer que A = (aij ) est conditionnellement positive. (Pour X = t (x1 , · · · , xn ) Rn tel que f (r) = xi xj 16i,j6n xi = 0, on i=1 pourra introduire la fonction définie sur R+ par : X n P Ç 1 i + j år et utiliser les résultats de la question 12.). 15. Notons J la matrice de Mn (R) dont tous les coefficients sont égaux à 1. Soit B SMn (R). Considérons les deux conditions suivantes : ( i) B est conditionnellement positive. ( ii) > 0, > 0 tel que la matrice B + In + J est positive. Montrer que ( ii) implique ( i). On admettra dans la suite que ces deux conditions sont en fait équivalentes. 16a. On suppose que A = (aij ) est infiniment divisible et que tous les coefficients de A sont strictement positifs. Montrer que la matrice (ln aij ) est conditionnellement positive. 16b. Réciproquement, supposons que la matrice B = (bij ) est conditionnellement positive. En considérant pour tout > 0 une matrice C = (cij ) = B + In + J comme au 15., montrer que pour tout r > 0, la matrice (exp(rcij )) est positive. En déduire que la matrice (exp(rbij )) est positive. 2 17a. Soient z1 , · · · , zn des nombres complexes. Montrer que la matrice (e-|zi -zj | ) est infiniment divisible. 17b. Soient z1 , · · · , zn des nombres complexes. Montrer que pour tout t > 0, la matrice de coZ + 2 1 - 12 |zi - zj | efficients est positive, puis que la matrice de coefficients - t dt t + |zi - zj |2 t + |zi - zj |2 0 est conditionnellement positive. 17c. Montrer que la matrice (e-|zi -zj | ) est infiniment divisible. 4

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 X Maths PC 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été relu par Florian Metzger (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). Le but de ce sujet est de caractériser et étudier les matrices infiniment divisibles, c'est-à-dire les matrices réelles symétriques à coefficients positifs ou nuls dont les puissances positives (au sens du produit de Hadamard) sont des matrices positives. Le problème s'articule en quatre parties dépendantes les unes des autres, mais qui peuvent malgré tout être abordées séparément puisque les résultats utiles sont explicitement donnés dans l'énoncé. · La première partie propose de retrouver les propriétés fondamentales de la fonction , comme la relation classique (m) = (m - 1)! pour tout m N , que la plupart des candidats avaient sûrement déjà croisée en cours d'année, ou la moins classique s > 0 m! ms m+ s(s + 1) · · · (s + m) (s) = lim · La deuxième partie est consacrée à la caractérisation des matrices positives et à la stabilité de cet ensemble de matrices par le produit de Hadamard. · Dans la troisième partie, on étudie les matrices infiniment divisibles et l'on en profite pour examiner quelques exemples au passage. · Dans la quatrième et dernière partie, on se sert de la notion plus faible de matrice conditionnellement positive pour dégager des familles plus générales de matrices infiniment divisibles. Les deux premières parties présentent peu de difficultés et doivent être traitées soigneusement, mais rapidement, par un candidat correctement préparé. Cela se complique dans la partie III, mais les questions, progressives et bien détaillées, guident fermement la démarche. Les dernières questions de la partie IV sont délicates. Au final, cela donne un problème intéressant et varié, qui mélange calcul intégral, réduction des endomorphismes et algèbre bilinéaire, sans toutefois requérir une connaissance pointue de ces différentes parties du programme. Indications Première partie 1.a Étudier séparément l'intégrabilité sur ] 0 ; 1 ] et sur [ 1 ; + [. 1.b Une intégration par parties conduit à une relation de récurrence permettant de conclure sans trop d'efforts. 1.c Il suffit de montrer que est continue sur tout segment de ] 0 ; + [. 2.a Commencer par démontrer que ln(1 - x) 6 -x pour tout x [ 0 ; 1 [. 2.b Effectuer une récurrence portant sur m, en utilisant un changement de variable et une intégration par parties pour établir l'hérédité. 2.c Invoquer le théorème de convergence dominée et les deux questions précédentes. Deuxième partie 4 Utiliser une base de vecteurs propres de la matrice A. 5 Pour cette question et les suivantes, ne pas oublier de montrer que les matrices étudiées sont symétriques. 7 Afin de montrer que les termes diagonaux de A sont positifs, penser à utiliser les vecteurs de la base canonique de Rn . 8.a Utiliser la question 4 et la diagonalisabilité de A. 8.b Se servir des résultats des questions 8.a et 5. Troisième partie 9.a Ne pas oublier d'utiliser les résultats de la question 3. 9.b Déterminer les signes des valeurs propres des matrices A et Ar et conclure à l'aide de la question 4. 10 Montrer, à l'aide de la question 5, que la matrice B est symétrique et que toutes les matrices Br sont positives. 11 Se servir de la question 8.b et de la densité de Q dans R. 12.a Après le calcul de hui , uj i, utiliser le résultat de la question 6. 12.d Calculer hui , uj i pour le produit scalaire défini à la question 12.c. Montrer alors que Cr est positive à l'aide de la question 6. 13.a Utiliser le résultat de la question 2.c. 13.b Appliquer d'abord la question 12 aux réels 1 + p/2, . . . , n + p/2, puis celui de la question 10 aux réels 1 + p, . . . , n + p. Montrer à l'aide de la question 13.a que K est la limite d'une suite de matrices infiniment divisibles et conclure. Quatrième partie 14 Montrer, à l'aide de la question 12, que la fonction f proposée est positive sur R+ , puis s'intéresser au signe de sa dérivée en 0. n P t 15 Pour un vecteur X = (x1 , . . . , xn ) tel que xi = 0, utiliser la propriété (ii) i=1 afin de minorer t X BX. 16.a S'inspirer de la question 14. 16.b Se servir du développement en série entière de la fonction exponentielle et de passages à la limite. 2 17.a Commencer par montrer que la matrice B de coefficients bij = - |zi - zj | est conditionnellement positive. Z + 1 2 17.b Observer que e -(t+|zi -zj | )r dr 2 = t + |zi - zj | 0 puis utiliser la définition d'une matrice positive. Noter ensuite que 1 2 t- 2 |zi - zj | t 1 - 2 = 2 - t t + |zi - zj | t + |zi - zj | puis utiliser la définition d'une matrice conditionnellement positive. 17.c Calculer l'intégrale proposée dans la question 17.b et appliquer le résultat de la question 16.b à la matrice obtenue. I. La fonction 2 1.a Définissons sur ] 0 ; + [ la fonction f : (s, x) 7 e -x xs-1 . Elle est de classe C en tant que composée et produit de fonctions usuelles de classe C . Soit un réel s > 0. La fonction f (s, ·) : x 7 e -x xs-1 est alors positive et continue sur ] 0 ; + [. · Notons que lim e -x = 1 par continuité de l'exponentielle, d'où f (s, x) xs-1 . x0 x0 Comme s - 1 > -1, le critère de Riemann assure que la fonction x 7 xs-1 est intégrable sur ] 0 ; 1 ]. Par comparaison de fonctions positives, il en découle que la fonction f (s, ·) est également intégrable sur ] 0 ; 1 ]. · Pour tout x > 1, on a f (s, x) = e -x xs+1 × x-2 . D'après les croissances comparées, lim e -x xs+1 = 0 donc f (s, x) = o x-2 . D'après le critère de x+ x+ Riemann, la fonction x 7 x-2 est intégrable sur [ 1 ; + [. Il s'ensuit par comparaison de fonctions positives que f (s, ·) est également intégrable sur [ 1 ; + [. On a ainsi établi que Pour tout s > 0, la fonction f (s, ·) : x 7 e -x xs-1 est intégrable sur ] 0 ; + [. 1.b Examinons déjà le cas m = 1 : on calcule directement Z + h i+ (1) = e -x dx = - e -x =1 0 0 Soit maintenant m N . D'après la question précédente, les fonctions f (m, ·) et f (m + 1, ·) sont intégrables sur ] 0 ; + [ et admettent des limites finies en 0 et en +, ce qui permet de procéder à l'intégration par parties suivante. Comme d - e -x xm = e -x xm - m e -x xm-1 dx alors, pour tout X > 0, on a h -e -x m x iX 0 = Z X e -x m 0 x dx - m X Z e -x xm-1 dx 0 et, passant à la limite quand X tend vers +, h soit d'où - e -x xm i+ 0 = Z + 0 e -x xm dx - m Z + e -x xm-1 dx 0 -0 + 0 = (m + 1) - m (m) (m + 1) = m (m) Ainsi, (1) = 1 et (m + 1) = m (m) pour tout m N . On en déduit, à l'aide d'une récurrence immédiate, que m N (m) = (m - 1)!