X Maths PC 2009

Thème de l'épreuve Matrices à déterminant positif et matrices orthogonales
Principaux outils utilisés déterminants, algèbre bilinéaire, fonctions de plusieurs variables
Mots clefs Matrices positives

Corrigé

 : 👈 gratuite pour tous les corrigés si tu crées un compte
👈 l'accès aux indications de tous les corrigés ne coûte que 1 € ⬅ clique ici
👈 gratuite pour tous les corrigés si tu crées un compte
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
           

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2009

FILIÈRE

PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Sur certaines matrices à déterminant positif et sur les matrices orthogonales
Pour n un entier > 1, on note Mn l'espace vectoriel des matrices carrées n × n 
à coefficients
dans R. On note t M la matrice transposée d'une matrice M  Mn . On note In la 
matrice
identité et Dn l'ensemble des matrices diagonales n × n à coefficients 
diagonaux dans l'ensemble
{-1, 1}. On identifiera un vecteur de Rn avec la matrice colonne à n lignes 
correspondante, et
une matrice M  Mn avec l'application linéaire Rn  Rn , X 7 M X.
Soit M = (mij ) une matrice de Mn . Soit  un sous-ensemble de 1, n . On note M 
() la
sous-matrice obtenue en supprimant la i-ème ligne et la i-ème colonne de M pour 
tout i  .
Par convention, M () = M . On note M+
n l'ensemble des matrices M dans Mn telles que, pour
toutes les parties  de 1, n , les déterminants des matrices M () sont 
strictement positifs.

Soient X = t (x1 , . . . , xn ), Y = t (y1 , . . . , yn )  Rn . On note X  Y 
(resp., X  Y ) si pour
tout i  1, n , xi > yi (resp., xi > yi ).

Première partie
t
+
1.a) Montrer que si M  M+
n , alors M  Mn .

1.b) Montrer que pour toute matrice M  Mn , pour toute matrice diagonale D  Dn 
et pour
tout sous-ensemble  de 1, n , M () D() = (M D)() .

+
1.c) Montrer que pour tout M  M+
n et pour toute matrice diagonale D  Dn , DM D  Mn .

2. Montrer que, pour tout X  Rn , il existe D  Dn tel que DX  0.

1

Ç

3. Soit M =

å

a b
c d

 M+
2.

3.a) Soit X = t (x1 , x2 )  R2 tel que 0  M X. Montrer que si X  0 alors b 6 0 
et c 6 0.
3.b) Montrer que X  0 et 0  M X impliquent X = 0.
3.c) Montrer qu'il existe X  R2 , X  0, tel que M X  0. [On pourra distinguer 
les cas b > 0
et b < 0.] Deuxième partie Soit k > 1 un entier. On considère la série de fonctions d'une variable 
complexe z,

X

1
z kn+1 .
kn
+
1
n=0
4. Montrer que cette série converge pour tout z  O, où O est le disque ouvert 
de centre 0 et de
rayon 1 dans C. Soit f (z) sa somme.
On identifie C à R2 en posant z = x1 + i x2 et f (z) = u(x1 , x2 ) + i v(x1 , 
x2 ), où u = Re(f )
et v = Im(f ). On considère l'application F : O  R2 , définie par
Ç

X=

x1
x2

å

Ç

7 F (X) =

å

u(x1 , x2 )
.
v(x1 , x2 )

5.a) Montrer que l'application F est de classe C 1 et préciser ses dérivées 
partielles que l'on pourra
exprimer en fonction du nombre complexe  = (x1 + i x2 )k .
5.b) Soit JF la matrice jacobienne de F . Montrer que, pour tout X  O, JF (X)  
M+
2.

Troisième partie
On se propose de démontrer par récurrence sur l'entier n > 1 la propriété (Qn ) 
suivante :
n
Si P  M+
n et X  R sont tels que X  0 et 0  P X, alors X = 0.

On fixe n > 2 et l'on suppose que la propriété (Qn-1 ) est satisfaite. Soit P  
M+
n et
t
n
X = (x1 , . . . , xn )  R tels que X  0 et 0  P X.
à

6.a) On considère l'équation linéaire P

u1
u2
..
.

í

à í

=

1
0
..
.
0

un
2

. Montrer que u1 > 0.

6.b) Soit C = t (c1 , . . . , cn ) la première colonne de P -1 . Montrer que c1 
> 0 et que
ß

xi
m = inf
| ci > 0, i  1, n
ci
existe et est positif ou nul. On note j un entier tel que m =

TM

xj
.
cj

6.c) On pose Y = X - mC. Montrer que Y  0 et que 0  P Y .
< = P ({j})  Mn-1 et soit Y <  Rn-1 le vecteur obtenu à partir de Y en supprimant 6.d) Soit P < = 0 et en déduire que Y = 0. la j-ème ligne. Montrer que Y 6.e) En déduire que P X  0. 6.f ) Conclure. Quatrième partie On se propose de démontrer par récurrence sur l'entier n > 1 la propriété (Pn ) 
suivante :
Pour toute matrice orthogonale M  O(n), il existe X  0 dans Rn et une matrice 
diagonale
D  Dn tels que M X = DX.
Un tel couple (D, X) sera appelé une solution pour M .
7. Étudier (Pn ) pour n = 1 et pour n = 2. [Pour n = 2, on pourra supposer 
d'abord que
2
M est laÇmatrice
å d'une rotation d'angle , 0 6  < 2, et chercher un vecteur X  R de cos la forme .] sin 8. Soient X1 et X2  Rn tels que X1  0 et X2  0. Montrer que si D  Dn satisfait t X DX = t X X , alors D = I . En déduire que si (D , X ) et (D , X ) sont deux solutions 1 2 1 2 n 1 1 2 2 pour M  O(n), alors D1 = D2 . On fixe n > 2 et l'on suppose que laÇpropriété
å (Pn-1 ) est satisfaite. On fixe une matrice
W U
où W  Mn-1 , U, V  Rn-1 et   R.
orthogonale M  Mn que l'on écrit M = t
V 
9.a) Écrire les relations entre W , U , V et  qui expriment que M est une 
matrice orthogonale.
Montrer que || 6 1.
9.b) Lorsque || = 1, montrer que W est orthogonale et construire une solution 
pour M à partir
d'une solution pour W .
On suppose désormais que || < 1 et l'on pose M1 = W + 10. Démontrer que M1 et M2 sont orthogonales. 3 1 1- U t V et M2 = W - 1 1+ U tV . 11. Soit (D1 , X1 ) (resp., (D2 , X2 )) une solution pour M1 (resp., M2 ). 11.a) Montrer que t X2 D2 D1 X1 = t X2 X1 -  (t V X1 )(t V X2 ) , où  est une constante positive que l'on déterminera en fonction de . 11.b) On suppose que D1 6= D2 . Montrer que les réels t V X1 et t V X2 sont non nuls et de même signe. Montrer que l'on Ç å peut Ç construire å une solution (D, X) pour M telle que X est l'un des X2 X1 ou . vecteurs 1 t 1 t - V X 1 1- 1+ V X2 11.c) On suppose que D1 = D2 . Montrer que l'un des réels t V X1 ou t V X2 est nul. En déduire qu'il existe une matrice D  Dn et un vecteur X  0 tel que xi > 0 pour i  1, n-1 
satisfaisant
M X = DX.

11.d) On suppose encore que D1 = D2 . Montrer qu'il existe une matrice D   Dn 
et un vecteur
X   0 tel que xi > 0 pour i  2, n satisfaisant M X  = D X  .

12.a) Construire une solution pour M . [On pourra considérer l'égalité M (X + X 
 ) = DX + D X 
et utiliser le fait que M est orthogonale pour montrer que l'on peut se ramener 
au cas où D = D  .]
12.b) Conclure.
13. Soit N  Mn (R) une matrice antisymétrique.
13.a) Montrer que 0 est la seule valeur propre réelle de N parmi toutes les 
valeur propres
complexes. En déduire que In + N est inversible.
13.b) On pose M = (In + N )-1 (In - N ). Montrer que M est orthogonale.
13.c) Soit (D, X) une solution pour M . Montrer que Y = X + DX satisfait Y  0, 
N Y  0 et
Y + N Y  0.
14. Soit P une matrice de Mn . En considérant une matrice antisymétrique de M2n 
adaptée,
montrer qu'une des propriétés suivantes est vraie :
- soit les inégalités larges 0  t P Y et Y  0 ont une solution non nulle dans 
Rn ,
- soit les inégalités strictes P X  0 et X  0 ont une solution dans Rn .
15. Soit P une matrice de M+
n . Montrer que les inégalités strictes P X  0 et X  0 ont une
solution dans Rn .

4