X Maths PC 2009

Thème de l'épreuve Matrices à déterminant positif et matrices orthogonales
Principaux outils utilisés déterminants, algèbre bilinéaire, fonctions de plusieurs variables
Mots clefs Matrices positives

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2009 FILIÈRE PC COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Sur certaines matrices à déterminant positif et sur les matrices orthogonales Pour n un entier > 1, on note Mn l'espace vectoriel des matrices carrées n × n à coefficients dans R. On note t M la matrice transposée d'une matrice M Mn . On note In la matrice identité et Dn l'ensemble des matrices diagonales n × n à coefficients diagonaux dans l'ensemble {-1, 1}. On identifiera un vecteur de Rn avec la matrice colonne à n lignes correspondante, et une matrice M Mn avec l'application linéaire Rn Rn , X 7 M X. Soit M = (mij ) une matrice de Mn . Soit un sous-ensemble de 1, n . On note M () la sous-matrice obtenue en supprimant la i-ème ligne et la i-ème colonne de M pour tout i . Par convention, M () = M . On note M+ n l'ensemble des matrices M dans Mn telles que, pour toutes les parties de 1, n , les déterminants des matrices M () sont strictement positifs. Soient X = t (x1 , . . . , xn ), Y = t (y1 , . . . , yn ) Rn . On note X Y (resp., X Y ) si pour tout i 1, n , xi > yi (resp., xi > yi ). Première partie t + 1.a) Montrer que si M M+ n , alors M Mn . 1.b) Montrer que pour toute matrice M Mn , pour toute matrice diagonale D Dn et pour tout sous-ensemble de 1, n , M () D() = (M D)() . + 1.c) Montrer que pour tout M M+ n et pour toute matrice diagonale D Dn , DM D Mn . 2. Montrer que, pour tout X Rn , il existe D Dn tel que DX 0. 1 Ç 3. Soit M = å a b c d M+ 2. 3.a) Soit X = t (x1 , x2 ) R2 tel que 0 M X. Montrer que si X 0 alors b 6 0 et c 6 0. 3.b) Montrer que X 0 et 0 M X impliquent X = 0. 3.c) Montrer qu'il existe X R2 , X 0, tel que M X 0. [On pourra distinguer les cas b > 0 et b < 0.] Deuxième partie Soit k > 1 un entier. On considère la série de fonctions d'une variable complexe z, X 1 z kn+1 . kn + 1 n=0 4. Montrer que cette série converge pour tout z O, où O est le disque ouvert de centre 0 et de rayon 1 dans C. Soit f (z) sa somme. On identifie C à R2 en posant z = x1 + i x2 et f (z) = u(x1 , x2 ) + i v(x1 , x2 ), où u = Re(f ) et v = Im(f ). On considère l'application F : O R2 , définie par Ç X= x1 x2 å Ç 7 F (X) = å u(x1 , x2 ) . v(x1 , x2 ) 5.a) Montrer que l'application F est de classe C 1 et préciser ses dérivées partielles que l'on pourra exprimer en fonction du nombre complexe = (x1 + i x2 )k . 5.b) Soit JF la matrice jacobienne de F . Montrer que, pour tout X O, JF (X) M+ 2. Troisième partie On se propose de démontrer par récurrence sur l'entier n > 1 la propriété (Qn ) suivante : n Si P M+ n et X R sont tels que X 0 et 0 P X, alors X = 0. On fixe n > 2 et l'on suppose que la propriété (Qn-1 ) est satisfaite. Soit P M+ n et t n X = (x1 , . . . , xn ) R tels que X 0 et 0 P X. à 6.a) On considère l'équation linéaire P u1 u2 .. . í à í = 1 0 .. . 0 un 2 . Montrer que u1 > 0. 6.b) Soit C = t (c1 , . . . , cn ) la première colonne de P -1 . Montrer que c1 > 0 et que ß xi m = inf | ci > 0, i 1, n ci existe et est positif ou nul. On note j un entier tel que m = TM xj . cj 6.c) On pose Y = X - mC. Montrer que Y 0 et que 0 P Y . < = P ({j}) Mn-1 et soit Y < Rn-1 le vecteur obtenu à partir de Y en supprimant 6.d) Soit P < = 0 et en déduire que Y = 0. la j-ème ligne. Montrer que Y 6.e) En déduire que P X 0. 6.f ) Conclure. Quatrième partie On se propose de démontrer par récurrence sur l'entier n > 1 la propriété (Pn ) suivante : Pour toute matrice orthogonale M O(n), il existe X 0 dans Rn et une matrice diagonale D Dn tels que M X = DX. Un tel couple (D, X) sera appelé une solution pour M . 7. Étudier (Pn ) pour n = 1 et pour n = 2. [Pour n = 2, on pourra supposer d'abord que 2 M est laÇmatrice å d'une rotation d'angle , 0 6 < 2, et chercher un vecteur X R de cos la forme .] sin 8. Soient X1 et X2 Rn tels que X1 0 et X2 0. Montrer que si D Dn satisfait t X DX = t X X , alors D = I . En déduire que si (D , X ) et (D , X ) sont deux solutions 1 2 1 2 n 1 1 2 2 pour M O(n), alors D1 = D2 . On fixe n > 2 et l'on suppose que laÇpropriété å (Pn-1 ) est satisfaite. On fixe une matrice W U où W Mn-1 , U, V Rn-1 et R. orthogonale M Mn que l'on écrit M = t V 9.a) Écrire les relations entre W , U , V et qui expriment que M est une matrice orthogonale. Montrer que || 6 1. 9.b) Lorsque || = 1, montrer que W est orthogonale et construire une solution pour M à partir d'une solution pour W . On suppose désormais que || < 1 et l'on pose M1 = W + 10. Démontrer que M1 et M2 sont orthogonales. 3 1 1- U t V et M2 = W - 1 1+ U tV . 11. Soit (D1 , X1 ) (resp., (D2 , X2 )) une solution pour M1 (resp., M2 ). 11.a) Montrer que t X2 D2 D1 X1 = t X2 X1 - (t V X1 )(t V X2 ) , où est une constante positive que l'on déterminera en fonction de . 11.b) On suppose que D1 6= D2 . Montrer que les réels t V X1 et t V X2 sont non nuls et de même signe. Montrer que l'on Ç å peut Ç construire å une solution (D, X) pour M telle que X est l'un des X2 X1 ou . vecteurs 1 t 1 t - V X 1 1- 1+ V X2 11.c) On suppose que D1 = D2 . Montrer que l'un des réels t V X1 ou t V X2 est nul. En déduire qu'il existe une matrice D Dn et un vecteur X 0 tel que xi > 0 pour i 1, n-1 satisfaisant M X = DX. 11.d) On suppose encore que D1 = D2 . Montrer qu'il existe une matrice D Dn et un vecteur X 0 tel que xi > 0 pour i 2, n satisfaisant M X = D X . 12.a) Construire une solution pour M . [On pourra considérer l'égalité M (X + X ) = DX + D X et utiliser le fait que M est orthogonale pour montrer que l'on peut se ramener au cas où D = D .] 12.b) Conclure. 13. Soit N Mn (R) une matrice antisymétrique. 13.a) Montrer que 0 est la seule valeur propre réelle de N parmi toutes les valeur propres complexes. En déduire que In + N est inversible. 13.b) On pose M = (In + N )-1 (In - N ). Montrer que M est orthogonale. 13.c) Soit (D, X) une solution pour M . Montrer que Y = X + DX satisfait Y 0, N Y 0 et Y + N Y 0. 14. Soit P une matrice de Mn . En considérant une matrice antisymétrique de M2n adaptée, montrer qu'une des propriétés suivantes est vraie : - soit les inégalités larges 0 t P Y et Y 0 ont une solution non nulle dans Rn , - soit les inégalités strictes P X 0 et X 0 ont une solution dans Rn . 15. Soit P une matrice de M+ n . Montrer que les inégalités strictes P X 0 et X 0 ont une solution dans Rn . 4

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 X Maths PC 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Nicolas Weiss (Docteur en mathématiques) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE). Ce sujet traite de l'ensemble Mn+ des matrices inversibles de Mn (R) dont tous les déterminants extraits en position symétrique sont strictement positifs. En particulier, on établit le théorème suivant : Pour toute matrice P Mn+ , il existe un vecteur X, dont tous les coefficients sont strictement positifs, tel que les coefficients de PX soient eux aussi tous strictement positifs. Le sujet est constitué de quatre parties, qui sont indépendantes à l'exception de la dernière question du sujet. Les questions étant très liées les unes aux autres au sein de chaque partie, il faut les traiter dans l'ordre. · La première partie établit quelques résultats simples sur Mn+ ; en particulier, on démontre le théorème ci-dessus dans le cas n = 2. Elle permet de se familiariser avec les matrices de Mn+ et avec la manipulation des vecteurs à coefficients positifs ou strictement positifs. · La deuxième partie est totalement déconnectée du reste du sujet et permet de tester ses connaissances sur les séries entières et les fonctions à plusieurs variables. · La troisième partie démontre que pour toute matrice P de Mn+ , il n'existe aucun vecteur X non nul à coefficients positifs tel que les coefficients de PX soient négatifs. · Enfin, dans la dernière partie, on démontre le théorème annoncé en étudiant les équations du type MX = DX d'inconnues D et X, où D est une matrice diagonale à coefficients diagonaux dans {-1, 1} et X un vecteur ; M est une matrice orthogonale donnée. En particulier, on montre que ces équations admettent toujours une solution pour laquelle le vecteur X est à coefficients strictement positifs. C'est un sujet de difficulté moyenne pour l'École Polytechnique. Comme souvent, il ne fait appel qu'à très peu de théorèmes du cours. Cependant, il nécessite d'être à l'aise en algèbre linéaire et dans la manipulation des matrices, tout particulièrement dans l'usage des matrices par bloc. Toutes les questions sont faisables ; la difficulté est essentiellement de toutes les traiter, ou du moins le plus possible, dans le temps imparti. Indications t t 1.a Comparer (M() ) et ( M)() . 1.c Utiliser les résultats des questions 1.a et 1.b. 2 Exprimer les coefficients de DX en fonction de ceux de X et des éléments diagonaux de D. Choisir ensuite convenablement les coefficients de la matrice D. 3.a Exprimer les conditions M Mn+ , X 0 et 0 < MX sous forme d'inégalités sur des réels. 3.b Raisonner par l'absurde et reprendre les calculs de la question 3.a pour obtenir M 6 Mn+ . t 3.c Chercher X sous la forme ( 1, y). Dans le cas b < 0, utiliser le fait que M appartient à Mn+ . 4 Utiliser la règle de d'Alembert. 5.a Montrer que u et v admettent des dérivées partielles en déterminant les limites des taux d'accroissement. 5.b Comparer Re et ||. 6.a Quel est le rapport entre les solutions d'un système linéaire et les déterminants ? 6.b Que vaut PC ? 6.c Utiliser la question 6.b. 6.d Que vaut le j-ième coefficient de Y ? 6.e Utiliser la question 6.d. 6.f Utiliser les questions 6.d et 6.e. 7 Interpréter géométriquement la propriété (Pn ). 8 Calculer explicitement t X2 X1 - t X2 DX1 . Pour la deuxième question, commencer par montrer que D1 D2 = In . t 9.a Que peut-on dire du signe de U U ? 9.b Utiliser les relations obtenues à la question précédente pour montrer que U et V sont nuls. En déduire que W est orthogonale. Que vaut alors M ? 10 Calculer t M1 M1 et t M -2M - 2 avec les relations obtenues à la question 9.a. t t t 11.a Calculer M2 M1 . Quelle est la taille de la matrice X2 V ? et de V X1 ? 11.b Utiliser la question précédente. 11.c Que vaut D1 D2 ? 11.d Quelle autre décomposition de M aurait-on pu considérer ? 12.a Calculer de deux façons différentes le produit t X t M MX. t 13.a Calculer de deux façons différentes X NX, où X est un vecteur propre. Que sait-on de si N - In n'est pas inversible ? et réciproquement ? 13.b Il existe plusieurs caractérisations des matrices orthogonales. 13.c Calculer la matrice NY en faisant apparaître la matrice M. 14 Se servir du résultat de la question 13.c et « découper » le vecteur obtenu de taille 2n en deux vecteurs de taille n. Que vérifient ces deux vecteurs ? 15 Utiliser la question précédente et le résultat de la troisième partie. Première partie 1.a Commençons par remarquer que pour toute matrice A Mn et pour toute partie [[ 1 ; n ]], on a t t ( A)() = ( A() ) t En effet, si A Mn et [[ 1 ; n ]], la matrice ( A)() est la sous-matrice obtenue en t supprimant la i-ème ligne et la i-ème colonne de A pour tout i , ie la transposée de la sous-matrice obtenue en supprimant la i-ème colonne et la i-ème ligne de A pour tout i . On en déduit l'égalité ( t A)() = t ( A() ). t Soit M Mn+ . Montrons que M Mn+ . Fixons donc [[ 1 ; n ]] et mont trons que le déterminant de ( M)() est strictement positif. On vient de voir que ( t M)() = t ( M() ). Comme le déterminant d'une matrice est égal au déterminant t de la transposée et que M est dans Mn+ , on obtient det( M)() > 0. Ceci étant vrai pour tout sous-ensemble de [[ 1 ; n ]], on conclut que t M Mn+ L'énoncé n'est pas parfaitement clair sur la définition des matrices de Mn+ . En effet, s'il précise que dans le cas = , on pose M() = M, que se passet-il si = [[ 1 ; n ]] ? La matrice M([[ 1 ; n ]]) est la matrice sans ligne ni colonne. Que vaut son déterminant ? Nous passerons donc sur ce détail dans tout ce corrigé. 1.b Soient M Mn , D Dn et [[ 1 ; n ]]. Les matrices M() , D() et (MD)() sont des matrices carrées de taille n - Card . e 1, . . . , C e n ) les colonnes obtenues en Notons (C1 , . . . , Cn ) les colonnes de M et (C supprimant les coefficients d'indice i de toutes les colonnes de M pour tout i . e k pour k [[ 1 ; n ]] et k 6 . Les colonnes de M() sont alors les C Notons maintenant (d1 , . . . , dn ) les coefficients diagonaux de D. La matrice D() est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les dk pour k [[ 1 ; n ]] et k 6 . Calculons le produit MD avec ces notations : d 0 1 .. MD = C1 · · · Cn × = d1 C1 · · · dn Cn . 0 dn En effectuant le produit M() D() de la même manière, on constate que les coe k pour k [[ 1 ; n ]] et k 6 . Ce sont les mêmes colonnes de M() D() sont les dk C lonnes que si l'on supprime les i-ème lignes et i-ème colonnes de MD pour tout i . Conclusion : M() D() = (MD)() Il est important de savoir interpréter le produit de deux matrices carrées en fonction des lignes et colonnes de celles-ci. En particulier, étant donné deux matrices carrées A et B de taille n, si on note (C1 , . . . , Cn ) les colonnes de B, alors le produit AB vaut AB = A × C1 · · · Cn = AC1 · · · ACn De plus, si on note (E1 , . . . , En ) la base canonique de Rn , on obtient pour tout i [[ 1 ; n ]] BEi = C1 · · · Cn × E i = Ci Ce sont ces deux résultats qui permettent d'obtenir l'égalité précédente. 1.c Soient M Mn+ et D Dn . Fixons [[ 1 ; n ]] et montrons que le déterminant de (DMD)() est strictement positif. En appliquant le résultat de la question 1.b aux matrices DM Mn et D Dn , on obtient l'égalité ((DM)D)() = (DM)() D() Montrons maintenant que (DM)() = D() M() en utilisant la transposée pour se ramener au résultat de la question 1.b. On a établi à la question 1.a l'identité t t ( A() ) = ( A)() pour toute matrice A Mn . On en déduit t t t t t ((DM)() ) = ( ( DM))() = ( M D)() = ( M D)() Le résultat de la question 1.b donne alors t ((DM)() ) = ( t M)() D() t t t (DM)() = ( D() ) (( M)() ) soit t Comme D est diagonale, D() l'est aussi et ( D() ) = D() . De plus, d'après le t t résultat de la question 1.a, (( M)() ) = M() . Il vient (DM)() = D() M() et finalement (DMD)() = D() M() D() Comme le déterminant d'un produit de matrices carrées est égal au produit de leurs déterminants, det((DMD)() ) = det(D() M() D() ) = det D() det M() det D() det((DMD)() ) = det M() (det D() )2 Comme D() est une matrice diagonale à coefficients diagonaux dans l'ensemble {-1; 1}, son déterminant est non nul. De plus, comme M Mn+ , le déterminant de M() est strictement positif. On en déduit l'inégalité det((DMD)() ) > 0 Conclusion : DMD Mn+ Pour montrer que det((DMD)() ) > 0, on peut aussi dire que le déterminant de D() vaut 1 ou -1, ce qui entraîne det((DMD)() ) = det M() (det D() )2 = det M() > 0