X Maths PC 2008

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2008 FILIÈRE PC COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Répartition modulo 1 de suites de nombres réels Première partie Ö On considère la matrice M = è 0 0 -1 0 1 1 1 1 -1 . On désigne par I la matrice identité de M3 (R). 1. Montrer que M possède une unique valeur propre réelle , et que est comprise entre 1 et 2. 2. Soit une valeur propre complexe, non réelle, de M . Calculer ||2 et comparer les réels 1 ||, 1 et . 2 3.a) Montrer que I, M et M 2 sont linéairement indépendants dans l'espace vectoriel M3 (R). 3.b) Calculer M 3 et l'exprimer comme combinaison linéaire à coefficients entiers de I et M . 3.c) En déduire qu'il existe deux entiers et tels que, pour tout entier n > 0, M n+3 = M n+1 + M n . (Par convention M 0 = I et M 1 = M .) Pour tout entier n > 0, on pose un = Tr(M n ) et vn = cos(un ). 4.a) Pour 0 6 n 6 10, calculer un et vn . 4.b) Montrer que la suite (vn )nN est périodique, et préciser sa période. 4.c) Montrer que la suite (wk )kN définie par wk = 1 Pk n=0 vn n'est pas bornée. 5.a) Exprimer un en fonction de , et n. 5.b) La suite (yk )kN définie par yk = Pk n n=0 cos( ) est-elle bornée ? Dans la suite du problème, on note la fonction périodique de période 1 qui à tout nombre réel x ] - 12 , 21 ] associe |x|. Deuxième partie 6.Z Soient et deux nombres réels tels que 1 6 < . Pour n > 1, on pose In = cos(2xn ) dx. 6.a) On suppose dans cette seule question 6.a) que, pour tout x de l'intervalle [ , ], on a limn+ ((xn )) = 0. Montrer que limn+ In = - . 6.b) À l'aide d'un changement de variable et d'une intégration par parties, déterminer la limite de la suite (In )nN quand n tend vers l'infini. 6.c) Que peut-on déduire des deux questions précédentes ? Troisième partie 7.a) Calculer les coefficients de Fourier (cq ())qZ de la fonction . 7.b) En déduire que, pour q > 0, on a |cq ()| 6 On note Sp ()(x) = p X 1 . 2q(q + 1) cq ()e2iqx q=-p la somme partielle d'indice p de la série de Fourier de la fonction . 8. Montrer que pour tout réel x et tout entier p > 1, on a |(x) - Sp ()(x)| 6 1 . p 9. Montrer que le réel défini dans la question 1 n'appartient pas à Q. [On pourra utiliser le fait que si u est un nombre rationnel positif non entier, on peut écrire u comme quotient de deux entiers strictement positifs a et b tels qu'aucun facteur premier de b ne divise a.] 10. Soit le réel défini dans la question 1. Montrer que pour tout entier q 6= 0 et tout entier N > 1, on a N X 1 e2iqn | 6 | . | sin(q)| n=1 2 11. Déduire des questions précédentes que, pour tout entier p > 1 et tout entier N > 1, on a N 1 X 1 1 1 1 sup . (n) - 6 + N n=1 4 p N 16q6p | sin(q)| 12. Déduire de ce qui précède que la suite ( N 1 X (n))N N a une limite que l'on précisera. N n=1 13. Le résultat de la question 12 reste-t-il valable si l'on remplace par un nombre irrationnel quelconque ? 3

 X Maths PC 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été relu par Jérôme Gärtner (ENS Cachan) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE). Ce sujet traite de la répartition modulo 1 de suites de nombres réels par le biais de problèmes de sommation et d'intégrabilité, agrémentés d'un zeste d'algèbre linéaire. Il est constitué de trois parties pouvant être abordées indépendamment les unes des autres ; cependant, il est nécessaire d'avoir traité la question 1 avant de pouvoir répondre à la question 9. · Dans la première partie, on étudie une matrice carrée d'ordre trois à coefficients entiers. Elle s'avère diagonalisable et l'on s'intéresse alors à ses valeurs propres, ainsi qu'à la parité de la suite des traces de ses puissances successives. Il n'y a dans cette partie aucune réelle difficulté avant la question 4.c. · Dans la deuxième partie, on fixe d'abord deux réels et tels que 1 6 < , puis on étudie le comportement asymptotique de la suite de terme général Z In = cos(2xn ) dx Ceci permet de prouver par l'absurde que la suite de fonctions n : x 7 (xn ) ne converge pas simplement vers 0 sur l'intervalle [ ; ], où désigne la fonction 1-périodique coïncidant avec la valeur absolue sur l'intervalle ] -1/2 ; 1/2 ]. · Enfin, dans la troisième partie, on étudie la série de Fourier de la fonction P de la partie précédente et l'on établit un équivalent de la série numérique (n) pour tout / Q. Comme toute étude de série de Fourier qui se respecte, cette partie nous gratifie de quelques questions calculatoires, combinant joyeusement divers découpages et autres majorations de sommes. On notera que le lien avec la partie I est tout à fait artificiel et que la question 9 eût été plus à sa place dans cette dernière partie. C'est un sujet plutôt facile et rapide à traiter. Il fait appel à peu de « gros » résultats et nécessite essentiellement des manipulations élémentaires et très classiques. Par contre, l'énoncé ne fournit aucun résultat intermédiaire, ce qui risque de bloquer le candidat qui « sèche » sur une question. Mais, vu le niveau de difficulté, ceci ne devrait pas gêner outre mesure un candidat correctement préparé. Indications Première partie 1 Étudier les variations du polynôme caractéristique de la matrice M. 2 Utiliser les relations entre les coefficients et les racines de ce polynôme. 3.a Considérer les images du premier vecteur de la base canonique de R3 par ces matrices. 4.a Déduire du résultat de la question précédente la relation de récurrence vérifiée par la suite (un )nN . 4.b Deviner la période en observant les premiers termes de la suite (un )nN . 4.c Pour tout N N, calculer w7N+6 en regroupant les termes sept par sept. 5.a Justifier d'abord que la matrice M est diagonalisable dans C. 5.b Utiliser l'inégalité des accroissements finis, puis l'inégalité triangulaire, afin de majorer |cos(n ) - cos(un )| pour n N puis |yk - wk | pour k N. Deuxième partie 6.a Commencer par montrer que cos(2x) = cos(2(x)) pour tout réel x. Ensuite, faire usage du théorème de convergence dominée. 6.b Poser u = xn . Abaisser, à l'aide de l'intégration par parties, le degré de la puissance de u sous le signe intégral. Conclure avec le théorème des gendarmes. Troisième partie 8 Pour tout réel x et pour tout entier n > p, majorer |Sn ()(x) - Sp ()(x)| à l'aide du résultat de la question 7.b. Passer ensuite à la limite pour conclure. 9 À l'aide de la définition de (cf. question 1), prouver que b2 divise a3 , où a et b sont les nombres introduits par l'énoncé. 1 1 11 Écrire (n) - = (n) - Sp ()(n) + Sp ()(n) - 4 4 Utiliser la question 8 pour majorer la première partie des termes, et les questions 7.b et 10 pour le reste des termes. 12 Appliquer le résultat de la question 11 et la définition de la limite ; on choisira d'abord p suffisamment grand, puis N. I. Première partie 1 Le polynôme caractéristique de la matrice M est P = det(XI - M) = X 0 0 X-1 -1 -1 1 -1 X+1 En développant ce déterminant selon la première ligne, on obtient alors P=X X-1 -1 0 X-1 + -1 X+1 -1 -1 = X [(X - 1)(X + 1) - 1] + X - 1 P = X3 - X - 1 3 Étudions maintenant les variations sur R de la fonction polynomiale P: x 7 x -x-1. Elle admet pour dérivée la fonction P : x 7 3x2 - 1 = x 3 + 1 x 3 - 1 , qui est négative sur -1/ 3; 1/ 3 et positive en dehors. Enfin, elle a les mêmes limites que la fonction x 7 x3 en - et +, si bien que lim P(x) = - et lim P(x) = +. x- Voici son tableau de variations : x P (x) - P(x) - + -1/ 3 0 P -1/ 3 - x+ 1/ 3 0 + + + P 1/ 3 1 1 1 2 P - =- + -1= -1<0 3 3 3 3 3 3 On peut donc déjà affirmer que P(x) < 0 pour tout x - ; 1/ 3 . Par ailleurs, sur l'intervalle 1/ 3 ; + : De plus · la fonction P est dérivable donc continue ; · la fonction P est strictement croissante ; · P 1/ 3 < 0 et lim P(x) = +. x+ D'après le théorème de la bijection, il existe un unique que P() = 0. C'est donc la seule racine réelle de P, si bien que 1/ 3 ; + tel La matrice M possède une unique valeur propre réelle . Enfin, P(1) = 1 - 1 - 1 = -1 et P(2) = 8 - 2 - 1 = 5, soit P(1) < P() < P(2). Comme 1/ 3 < 1, on en déduit que 1 < < 2 par stricte croissance de P sur [ 1 ; 2 ]. En conséquence, 1<<2 2 Le polynôme à coefficients réels P admet une seule racine réelle : comme il est de degré 3, il possède deux autres racines complexes conjuguées et . De ce fait, P = X3 - X - 1 = (X - )(X - )(X - ) et l'on obtient en identifiant les coefficients constants 2 || = 1 Or, on sait que 1 < < 2 d'où ||2 < ||2 < 2 ||2 , soit ||2 < 1 < 2 ||2 et donc 1 < || < 1 2 3.a Considérons un triplet de réels (, , ) tel que I + M + M2 = 0 (1) Notons i, j et k les vecteurs colonnes de la base canonique de R . Par définition de la matrice M, on a M · i = k et M2 · i = M · k = -i + j - k. De ce fait, la multiplication à droite de chaque membre de la relation (1) par le vecteur i nous conduit à 3 i + k + (-i + j - k) = 0 soit ( - ) i + j + ( - ) k = 0 d'où - =0 =0 - =0 comme la famille (i, j, k) est libre. Ainsi = = = 0, ce qui montre que Les matrices I, M et M2 sont linéairement indépendantes dans M3 (R). 2 0 0 -1 -1 -1 1 2 0 M2 = 0 1 1 = 1 1 1 -1 -1 0 1 0 0 -1 -1 -1 1 M3 = 0 1 1 1 2 0 1 1 -1 -1 0 1 3.b On a puis 1 3 M = 0 1 soit On observe alors que 0 -1 2 1 1 0 M3 = M + I Ce résultat est en fait une conséquence du théorème de Cayley-Hamilton, qui stipule que P(M) = 0 pour toute matrice carrée M de polynôme caractéristique P. 3.c Soit n N : alors Mn+3 = Mn · M3 = Mn (M + I) = Mn+1 + Mn . Ainsi Pour tout n N, on a Mn+3 = Mn+1 + Mn .