X Maths PC 2007

ECOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2007 FILIÈRE PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Étude de quelques courbes planes

Première partie

On note F l'espace vectoriel des fonctions continues de R dans R, périodiques 
de période 27I, et
E le sous--espace vectoriel de F constitué des fonctions de R dans R, 
périodiques de période 27I
et de classe C2. Pour f et g dans F on définit le produit scalaire

1 277
(f \ 9) = 2-- f(OE)9(OE)dOE-
77-- 0
Si H est un sous--espace vectoriel de F, on note
Hl={feF/(flh)=o,VheH} .
1. Exprimer, pour f E E, la série de Fourier de f" en fonction de celle de f. 
En quel sens la

série de Fourier de f converge--telle ?

Soit P : E --> F l'application linéaire définie par
P(f) = f + f" .

2. Déterminer le noyau de P, que l'on note Ker P.
3.a) Déterminer E*.

3.b) Pour f et g dans E, montrer l'égalité

(P(f) \ 9) = (f \ P(ÿ))-
3.0) En déduire que KerP : (Im P)L M E, où Im P désigne l'image de P.

4. On considère le sous--espace vectoriel de F,

G= {fEF/f(OE+W)+f(--fi) =f(Î)+f(0)7VOEER}'
Montrer que f appartient a G si et seulement si les coefficients de Fourier de 
f satisfont certaines
conditions que l'on explicitera.

Deuxième partie

Dans cette partie) on étudie certaines courbes du plan euclidien R2. On note 0 
l'origine et
(51, 52) la base canonique. Soit 15 E R. On note

ü} : cos t 51 + sin t 52 et "} : "'t+

wl>l

Soit f E E vérifiant les deux conditions suivantes :

i) f(t)>0,VteR,
ii) f(t)+f"(t) > 0, We R.

Pour toute fonction f de E satisfaisant i) et ii) et pour tout t E R, on pose
âÜ@=f®@+fææ.
et l'on considère la courbe décrite par le point M (15))
rf = {M(t) e R2/t e [0,27r]} .
5.3) Quelle est la courbe Ff si f est la fonction constante égale a 1 ?

5.b) Montrer que la courbe Ff admet en tout point M (15) une tangente dont on 
déterminera
l'équation cartésienne.

5.0) Quelle est la distance de cette tangente a l'origine ?

6. Soient & et b des nombres réels non nuls. On pose f (15) = \/0.2 cos2 t + 
(92 sin2 15.
On admettra que f satisfait i) et ii). Montrer que la courbe Ff est une ellipse 
centrée a l'origine.

On revient au cas général.

7.3) Montrer que

_ 2 / 2 f/(t) _. . f'(t) _,
OW(t) -- \/f(t) + f (15) {cos (t + Arctan f(t) )e1 + s1n (t + Arctan f(t) )e2] .

7 .b) En déduire que toute demi--droite d'origine 0 contient un point et un 
seul de la
courbe Ff.

8. Exprimer la longueur L( f) de la courbe Ff en fonction de la valeur moyenne 
de f
sur [O, 27r].

On note Q(f) la réunion des segments OM(t), t E [O, 27r].
9.a) Montrer que l'aire A(f) du domaine Q(f) est égale a 7T(P(f) \ f).

9.b) Exprimer cette aire en fonction des coefficients de Fourier de f.

10. Pour 0 > 0, on note EC le sous--ensemble de E constitué des fonctions f qui 
satisfont

27r
f(oe)doe : c .
0

Montrer que la fonction f l--> (P( f ) \ f) de EC dans R admet un unique 
maximum que l'on
déterminera.

Pour quelles fonctions de EC ce maximum est--il atteint ?

11. En déduire, pour f E E satisfaisant les conditions i) et ii)) l'inégalité

47T

Quelles sont les fonctions f qui réalisent l'égalité et les courbes Ff 
correspondantes ?

12. Soient f E E et h EUR Ker P. On suppose que les fonctions f et f +h 
vérifient les conditions
i) et ii).

12.21) Comparer L(f) et L(f + h), puis A(f) et A(f + h).
12.b) Comparer les courbes Ff et Ff+h.

13. Soit 7" un réel positif.

13.21) Comparer L(f) et L(f + 7").

13.b) Montrer la formule
A(f + r) = A(f) + L(f) r + wr'-

14. Soient 9 E R et D9 la droite engendrée par le vecteur %.

14.21) Montrer que la projection orthogonale de Ff sur D9 est un intervalle 
dont on déter--

minera la longueur EUR(9). C'est le diamètre apparent de la courbe dans la 
direction normale a
D9.

14.b) Caractériser les fonctions f pour lesquelles le diamètre apparent de la 
courbe Ff est
indépendant de @.

14.c) Exprimer alors L( f ) en fonction de EUR. Donner un exemple qui ne soit 
pas un cercle.

15. On revient au cas général. Soient M1 et M2 deux points de la courbe Ff. 
Montrer que le
segment M1M2 est inclus dans Q( f )