X Maths PC 2005

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2005 FILIÈRE PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Polynômes orthogonaux et équations différentielles

Première partie

Dans cette partie on désigne par E un espace préhilbertien réel, par ( | ) son 
produit scalaire
et par || || la norme correspondante. On note F J' le sous--espace vectoriel 
orthogonal d'une partie

Fde E.

1. Dans cette question on suppose E de dimension finie, on se donne un 
sous--espace vectoriel F
de E, un vecteur v de E n'appartenant pas à F, et un nombre réel 04 > 0. On 
note 7I le projecteur

orthogonal E --> F.

Construire un élément u de F et un réel À tels que l'élément u + Àv soit 
orthogonal à F et
satisfasse les deux conditions suivantes :

(u+Àvlv) >0, Hu+Àvll=a.

Démontrer l'unicité du couple (u, À) et comparer u + )«v avec la projection 
orthogonale de 21
sur Fi.

2. Soit n un entier, n 2 1. Soit (v0,v1,.... ,vn) une famille libre de vecteurs 
de E et soit
(ao,a1,. .. ,ozn) une famille de nombres réels strictement positifs. Pour tout 
p, 0 S p 3 n,
on désigne par Ep le sous--espace vectoriel de E engendré par la famille (vo, 
v1, . . . ,vp). Montrer
qu'il existe une unique base (wo, w1, . . . ,wn) de En vérifiant les conditions 
suivantes : wo EUR EO ;

pour tout p, 1 5 p 5 n,wp EUR Ep 0 EË_1 ; pour tout p, 0 S p 5 n, (wplvp) > 0 
et ||wp|| : ap.

Deuxième partie

Dans cette partie on désigne par [a, b] un intervalle fermé borné de R non 
réduit à un point, par
C([a, b]) l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur [a, b], par E 
le sous--espace vectoriel
de C([a, bl) formé des restrictions de fonctions polynomiales, et par En celui 
des restrictions de
fonctions polynomiales de degré 5 n. On se donne une forme linéaire go sur 
C([a,b]) telle que
g0( f ) soit positif ou nul si f est positive ou nulle, et strictement positif 
si de plus f n'est pas
identiquement nulle. On note encore (a0,a1, . . . ) une suite de nombres réels 
strictement positifs.

3. Démontrer les assertions suivantes :
a) La formule ( f | 9) = <,0( fg) définit un produit scalaire sur C ([a, b)]. b) Il existe une unique suite de polynômes (PO,P1, . . .) de E satisfaisant les conditions suivantes : 0 P,, appartient a En et le coefficient de a:" dans P... qu'on notera k... est strictement positif ; . @(PmPn) = 0 sim # n; °%RÔ=QÂ 4.3) Montrer qu'il existe, pour tout n 2 2, des réels A... B... C... tels que l'on ait P,,(æ) = (A..."E + Bn)Pn_1(oe) + CnPn_2(oe) . b) Exprimer A,, en fonction de kn et kn_1, puis C,, en fonction de k... kn_1, kn_2, an_1, an_2. 5. On se propose ici de démontrer que, pour n 2 1, tous les zéros de Pn sont réels, simples et contenus dans l'intervalle ouvert ]a, b[. Pour cela on examinera les deux possibilités suivantes : a) Il n'existe aucun zéro de P... contenu dans ]a, b[, de multiplicité impaire; dans ce cas, on calculera g0(Pn) ; b) Il existe de tels zéros, que l'on note a1, . .. ,a,... (chacun étant compté une seule fois); dans ce cas, on calculera cp(Qn) où Q,,(oe) = P,,(oe)(oe -- al) . . . (oe -- a,). 6. Dans cette question on fixe un entier n 2 1 ; on note 0,1, . . . ,an les zéros de P.,; pour tout G de E2n_1, on écrit G = Q P,, + R la division euclidienne de G par P,,. &) Vérifier que Q et R appartiennent a En_1. b) On définit des polynômes L,,i = 1, . .. ,n, par L,(oe)=H ""'"J' . j#i""""j Vérifier que l'on a c) Déterminer des réels À1, . .. ,)... tels que l'on ait, pour tout G de E2n_1 : (1) Quel est le signe de /\Z- ? Troisième partie 1 Dans cette partie on prend [a, b] : ]--1,1],0... : 1 pour tout n 2 O, et ga(f) = / f(oe)doe ' --1 pour tout f de C([--1,1]). On considère les fonctions Fn définies par F0(æ) = 1 et pour n 2 1, Fn(oe) : %( = d--Î;(%) .

9. Vérifier que T(Fn) est proportionnel à Fn.

10. Déterminer les vecteurs propres et valeurs propres de l'endomorphisme de 
E... restriction de
T a En. '

11. On fixe un nombre réel fy et on s'intéresse aux solutions de l'équation 
différentielle

T (f ) -- 'Yf = 0 (1)
. +oe
qu1 sont développables en séries entières de la forme 2 ckæk.
k=0

&) Ecrire une relation de récurrence entre ck et ck+2.

(:) Décrire l'espace des solutions de (1) dans C2(] ---- 1, 1[).

(1) Que se passe--t-il si l'on remplace l'intervalle ouvert ] ---- 1,1[ par 
l'intervalle fermé
[--1,1]?