X Maths PC 2005

Thème de l'épreuve Polynômes orthogonaux et application à la résolution d'équations différentielles
Principaux outils utilisés procédé d'orthogonalisation, séries entières

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2005 FILIÈRE PC COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** Polynômes orthogonaux et équations différentielles Première partie Dans cette partie on désigne par E un espace préhilbertien réel, par ( | ) son produit scalaire et par || || la norme correspondante. On note F J' le sous--espace vectoriel orthogonal d'une partie Fde E. 1. Dans cette question on suppose E de dimension finie, on se donne un sous--espace vectoriel F de E, un vecteur v de E n'appartenant pas à F, et un nombre réel 04 > 0. On note 7I le projecteur orthogonal E --> F. Construire un élément u de F et un réel À tels que l'élément u + Àv soit orthogonal à F et satisfasse les deux conditions suivantes : (u+Àvlv) >0, Hu+Àvll=a. Démontrer l'unicité du couple (u, À) et comparer u + )«v avec la projection orthogonale de 21 sur Fi. 2. Soit n un entier, n 2 1. Soit (v0,v1,.... ,vn) une famille libre de vecteurs de E et soit (ao,a1,. .. ,ozn) une famille de nombres réels strictement positifs. Pour tout p, 0 S p 3 n, on désigne par Ep le sous--espace vectoriel de E engendré par la famille (vo, v1, . . . ,vp). Montrer qu'il existe une unique base (wo, w1, . . . ,wn) de En vérifiant les conditions suivantes : wo EUR EO ; pour tout p, 1 5 p 5 n,wp EUR Ep 0 EË_1 ; pour tout p, 0 S p 5 n, (wplvp) > 0 et ||wp|| : ap. Deuxième partie Dans cette partie on désigne par [a, b] un intervalle fermé borné de R non réduit à un point, par C([a, b]) l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur [a, b], par E le sous--espace vectoriel de C([a, bl) formé des restrictions de fonctions polynomiales, et par En celui des restrictions de fonctions polynomiales de degré 5 n. On se donne une forme linéaire go sur C([a,b]) telle que g0( f ) soit positif ou nul si f est positive ou nulle, et strictement positif si de plus f n'est pas identiquement nulle. On note encore (a0,a1, . . . ) une suite de nombres réels strictement positifs. 3. Démontrer les assertions suivantes : a) La formule ( f | 9) = <,0( fg) définit un produit scalaire sur C ([a, b)]. b) Il existe une unique suite de polynômes (PO,P1, . . .) de E satisfaisant les conditions suivantes : 0 P,, appartient a En et le coefficient de a:" dans P... qu'on notera k... est strictement positif ; . @(PmPn) = 0 sim # n; °%RÔ=QÂ 4.3) Montrer qu'il existe, pour tout n 2 2, des réels A... B... C... tels que l'on ait P,,(æ) = (A..."E + Bn)Pn_1(oe) + CnPn_2(oe) . b) Exprimer A,, en fonction de kn et kn_1, puis C,, en fonction de k... kn_1, kn_2, an_1, an_2. 5. On se propose ici de démontrer que, pour n 2 1, tous les zéros de Pn sont réels, simples et contenus dans l'intervalle ouvert ]a, b[. Pour cela on examinera les deux possibilités suivantes : a) Il n'existe aucun zéro de P... contenu dans ]a, b[, de multiplicité impaire; dans ce cas, on calculera g0(Pn) ; b) Il existe de tels zéros, que l'on note a1, . .. ,a,... (chacun étant compté une seule fois); dans ce cas, on calculera cp(Qn) où Q,,(oe) = P,,(oe)(oe -- al) . . . (oe -- a,). 6. Dans cette question on fixe un entier n 2 1 ; on note 0,1, . . . ,an les zéros de P.,; pour tout G de E2n_1, on écrit G = Q P,, + R la division euclidienne de G par P,,. &) Vérifier que Q et R appartiennent a En_1. b) On définit des polynômes L,,i = 1, . .. ,n, par L,(oe)=H ""'"J' . j#i""""j Vérifier que l'on a c) Déterminer des réels À1, . .. ,)... tels que l'on ait, pour tout G de E2n_1 : (1) Quel est le signe de /\Z- ? Troisième partie 1 Dans cette partie on prend [a, b] : ]--1,1],0... : 1 pour tout n 2 O, et ga(f) = / f(oe)doe ' --1 pour tout f de C([--1,1]). On considère les fonctions Fn définies par F0(æ) = 1 et pour n 2 1, Fn(oe) : %( = d--Î;(%) . 9. Vérifier que T(Fn) est proportionnel à Fn. 10. Déterminer les vecteurs propres et valeurs propres de l'endomorphisme de E... restriction de T a En. ' 11. On fixe un nombre réel fy et on s'intéresse aux solutions de l'équation différentielle T (f ) -- 'Yf = 0 (1) . +oe qu1 sont développables en séries entières de la forme 2 ckæk. k=0 &) Ecrire une relation de récurrence entre ck et ck+2. (:) Décrire l'espace des solutions de (1) dans C2(] ---- 1, 1[). (1) Que se passe--t-il si l'on remplace l'intervalle ouvert ] ---- 1,1[ par l'intervalle fermé [--1,1]?

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 X Maths PC 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Fabrice Mathurin (ENS Cachan) et Walter Appel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Arnaud Durand (ENS Cachan) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE). Voici un sujet bien conçu dans sa progression, mais qui exige de bien maîtriser le cours sur les projections orthogonales sous peine de sécher dès les premières questions. Il se compose de trois parties, balayant un champ très large du programme de classe préparatoire : algèbre linéaire, algèbre des polynômes, orthogonalité, intégration, équations différentielles, séries entières, ce qui en fait un excellent problème de révision en fin d'année. Il est nécessaire, pour pouvoir l'aborder dans de bonnes conditions, de prendre beaucoup de recul par rapport aux questions, et de toujours se demander quelle est l'interprétation géométrique des résultats demandés. Sans cet effort, de nombreuses questions sont infaisables. · La première partie traite de résultats généraux dans des espaces vectoriels euclidiens, concernant l'existence et l'unicité de bases orthogonales soumises à des conditions données par l'énoncé. On redémontre ainsi quelques propriétés certainement vues en cours à propos de la méthode d'orthogonalisation de Gram-Schmidt. · La deuxième partie particularise l'étude de la première au cas d'espaces vectoriels de polynômes. Les questions ne font que très peu appel au programme : seule la division euclidienne est véritablement nécessaire pour l'aborder. Néanmoins, de bonnes capacités de synthèse et un certain recul seront nécessaires pour avancer. · La dernière partie, plus orientée vers l'analyse, plus technique et plus calculatoire, ne requiert que peu de résultats des parties précédentes. Elle utilise des raisonnements géométriques fondés sur du calcul différentiel et intégral, permettant de caractériser les vecteurs et les valeurs propres d'un endomorphisme en dimension infinie. On en déduit les solutions sur ] -1 ; 1 [ d'une équation différentielle. Les questions les plus difficiles du sujet se trouvent dans cette dernière partie ; notamment, la toute dernière question est manifestement là pour départager les meilleurs candidats. Indications Partie I 1 Raisonner par analyse-synthèse. Introduire , projecteur orthogonal sur F , puis utiliser l'égalité (après l'avoir justifiée) u + v = (u + v). 2 Construire chaque vecteur en notant qu'il appartient à une droite vectorielle, que l'on impose sa norme, et que sa direction est déterminée par la positivité du produit scalaire (wk | vk ). Partie II 3.a Rappeler la définition d'un produit scalaire. 3.b Appliquer le résultat de la question 3.a. 4.a Effectuer la division euclidienne de Pn par Pn-1 . Exploiter le fait que les Pi forment une base orthogonale échelonnée en degrés, adaptée à (En )nN . 4.b Regarder les coefficients dominants de chaque polynôme dans l'égalité de la question 4.a puis effectuer le produit scalaire avec Pn-2 . 5.a Étudier le signe d'un polynôme ne possédant pas de racine de multiplicité impaire sur un intervalle. Utiliser judicieusement le fait que Pn est orthogonal à En-1 . 5.b Déterminer le signe de Qn . 6.a Énoncer le théorème de division euclidienne pour deux polynômes de R[X]. 6.b Calculer Li (aj ) pour 1 6 i, j 6 n et comparer les racines des polynômes du membre de gauche et du membre de droite. 6.c Démontrer que G(ai ) = R(ai ) pour 1 6 i 6 n. 6.d Considérer G = L2i et conclure. Partie III 8 Montrer que (Fn | P) = 0 pour tout P En-1 en effectuant n intégrations par parties ; en déduire le résultat voulu. 9 Montrer que (T(Fn ) | P) = 0 pour tout P En-1 . 10 Calculer T(Fn ) en développant son expression au moyen de la formule de Leibniz. 11.a Injecter la série formelle puis égaliser terme à terme. 11.c Effectuer une synthèse des résultats de la question 11.b. P P 11.d Dans le cas des solutions non polynomiales, montrer que c2n et c2n+1 divergent. Montrer que les séries paires et impaires divergent en -1 et en +1. En considérant la parité de ces fonctions, en déduire qu'aucune combinaison linéaire de ces deux séries n'admet de prolongement sur [ -1 ; 1 ]. I. Procédé d'orthogonalisation 1 Comme c'est souvent le cas face à ce genre de questions qui demande de construire des objets puis de déterminer leur unicité, il est astucieux de commencer par démontrer l'unicité : c'est souvent plus facile et cela permet d'avoir une idée des éléments en jeu avant de se lancer dans la construction des objets demandés. On utilise donc un raisonnement du type « analyse-synthèse ». On notera désormais : E F le projecteur orthogonal de E sur F , c'est-à-dire que = Id E - Analyse. Supposons qu'il existe un couple (u, ) vérifiant (u + v | v) > 0 et ku + vk = , et tel que u + v soit orthogonal à F. Alors u + v = (u + v) = (u) + (v) car u + v F car est linéaire Mais u F donc (u) = 0. Ainsi, u + v = (v), où est le projecteur sur F . En prenant la norme de chaque membre de cette égalité, et en notant que (v) 6= 0 puisque v 6 F, on obtient immédiatement || = k (v)k Il reste encore une incertitude sur le signe de , que l'on va lever dès maintenant. En décomposant v sous la forme v = (v) + (v), on obtient : (u + v | v) = ( (v) | v) = k (v)k2 + ( (v) | (v)) c'est-à-dire, en utilisant l'orthogonalité entre (v) et (v) : (u + v | v) = k (v)k2 Par hypothèse, (u + v | v) > 0 et > 0, ce qui prouve que est strictement positif, et par conséquent : = Finalement k (v)k u = (v) - v = - (v) Les deux dernières égalités montrent l'unicité du couple (u, ). Synthèse. En utilisant les équations que doivent vérifier et u de la précédente analyse, on construit le couple (u, ) : = et u = -v + (v) k (v)k Par construction, on a bien ku + vk = ; u + v est le projeté orthogonal de v sur F , donc ce vecteur est bien orthogonal à F ; enfin, (u + v | v) = ( (v) | v) = k (v)k2 > 0 Faire une figure ne saurait nuire à la compréhension de la question ! (v) v v u (v) 2 Montrons d'abord l'existence et l'unicité de w0 . On cherche un vecteur w0 tel que w0 appartienne à la droite vectorielle engendrée par v0 , et on impose la norme de w0 : cela ne laisse donc que deux possibilités, qui sont respectivement 0 v0 kv0 k et - 0 v0 kv0 k La condition (w0 | v0 ) implique que seul le premier choix convient. Ainsi, w0 existe, est unique et vaut w0 = 0 v0 kv0 k On peut étendre ce principe à la construction de tous les autres vecteurs. Soit k [[ 1 ; n ]]. La remarque essentielle est la suivante : l'espace Ek E k-1 est une droite vectorielle ; elle est engendrée par k (vk ), où k : Ek E est le projecteur k-1 orthogonal sur Ek-1 . Le cas k = 3 est représenté ci-dessous : (v3 ) v3 v2 v1 E2 E3 E 2 Puisque la norme de wk est imposée, on sait donc que wk ne peut être qu'un seul des vecteurs k /kk (vk )k k (vk ) et -k /kk (vk )k k (vk ). Enfin, la condition de positivité du produit scalaire (wk | vk ) implique que wk = k (vk ) k (vk )k Réciproquement, ce vecteur convient.