X Maths PC 2004

ECOLE POLYTECHNIQUE
ECOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2004 FILIÈRE PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

*fik*

Polynômes unitaires de norme minimale

Pour tout entier d > 0, on désigne par &; l'espace vectoriel complexe des 
polynômes
à coefficients complexes de degré { d et par Md le sous--ensemble des polynômes 
unitaires

de degré d.

Première partie

Soit n E N* et soient 501, . . . ,oen des nombres complexes distincts. On 
considère le polynôme
'F«)():= :[I ()('--:Bk)a
1PI--w

&) Montrer que cette expression définit un polynôme Pj de degré n -- 1.

b) Calculer Pj(æk), pour 1 { k < n, et montrer que, pour tout polynôme F, le 
polynôme
TL

L F = 2 F(oej) Pj prend la même valeur que F en tous les points æ1,. . . ,oen.
j=1

n
c) Montrer que 2 P]- = 1.
j=1

d) Les polynômes Pj, 1 < j < n, forment--ils une base de £n_1 ?

2. Pour 1 < j < 71, on pose P,-(X =;î; b ,j X', où b...-- E C. Soient V et B 
les matrices

complexes n >< 71 dont les éléments à la ie ligne (1 { i < n) et à la je 
colonne (1 { j < n) sont
(oe,)j 1 et bi_1,j, respectivement. Montrer que V est inversible, et que V et B 
sont inverses l'une
de l'autre.

3.a) Montrer que bn_1 - = 1 . Déterminer la valeur de z (oek)j pour 0 < j { n 
-- 1.
,J P'(oej) =1 P'(oek)
n (X -- OEk)n_1
b) En déduire que 2 --ÎÏ(----)-- est un polynôme constant que l'on calculera.

*"*'*

Dans toute la suite du problème, et EUR N* est un entier fixé, et K est une 
partie compacte du

plan complexe, contenant au moins d + 1 éléments. On pose p = Sup |z|. Pour 
tout polynôme
zEK

Q EUR Sd, on pose _
HQIIK = SUP IQ(Z)I -

zEURK

Deuxième partie

Pour tout polynôme Q EUR &, défini par Q( X ) z a, X ' ,on pose

N(Q) = sup laîl--

0 N (Q) et Q r----> ||QHK sont des normes sur &; et 
qu'elles sont équiva--
lentes. '

b) La fonction Q 1--> HQHK est--elle continue sur l'espace vectoriel normé (Ed, 
|| HK) ?
-- HQHK .
5.a Ma30rer sup en fonct1on de .
) QEUR5d N (Q) P
62350
b) On choisit n = d+ 1 points distincts dans K, oe1, . . . ,a:d+1, et l'on 
reprend les notations
de la première partie. On pose 5 = sup |b...--|. En utilisant les résultats de 
la question 2.,

0. |Q(zo)l. [On pourra considérer le 
module et l'argu--
ment de ck et de z -- zo.]

8. Plus généralement, soit Q EUR 801 et soit zo E C. On suppose que Q(zo) = 1 
et que Q n'est
pas constant.

&) Montrer qu'il existe un entier k 2 1, un nombre complexe ck, ck # O, et un 
polynôme
R tels que
Q(X) = 1 + Ck(X -- 743)" + Ck(X -- Zo)k+1R(X) -

b) Montrer que, pour tout réel 7' > 0, il existe 2 E C tel que |z -- 20] = r et

Q = 1 + |Ckl |z -- Zol'° + lc.| |z'-- Zol'"(Z -- ..)R 0, il existe 2 E C tel que |z -- Z()| < r et

IQ(Z)I > |Q(Zo)| -

9.a) Montrer que la propriété démontrée àla question 8.0) est satisfaite pour 
tout polynôme
non constant Q EUR Ed et pour tout point zo EUR C. '

b) En déduire que, pour tout Q EUR Ed,
sup lQ(Z)I = SUP IQ(Z)I -

Iz|<1 |z|=1

c) Montrer que, pour tout Q EUR Ed,

Q(Z)

zd

sup
[2|21

= sup IQ(Z)I -

IZI=1

(1) Dans cette question, on choisit K = {2 EUR Cl |z| { 1}. Montrer que le 
polynôme
QO(X ) = X " satisfait
HQOHK = m -

Cinquième partie

10. Soient zo et 21 deux nombres complexes non nuls. Montrer que |z0 + z1| = 
|z0| + |zl| si
et seulement s'il existe un réel A > 0 tel que 21 = À zo.

Pour Q EUR Sd, on pose

M(Q) = {Z EUR KI IQ(Z)I = llQllxl-

11. On suppose qu'il existe des polynômes distincts QD EUR Hd et Q1 EUR Ud 
vérifiant

||QollK = l|Q1HK = m .

Pour tout t EUR]0, 1[, on pose
Qt =tQ1 + (1 =t)Qo.

&) Montrer que, pour tout t E [O, 1], ||QtHK = m.

b) Soit 15 EUR]O, 1[ et soit 2 EUR M(Qt). Montrer que 2 EUR M(Qg) et z EUR 
M(Q1), puis montrer
que Qo(z) = Q1(z).

c) En déduire que, pour tout t EUR]O, 1[, Card (M(QÜ) < d.
12. On suppose qu'il existe Q EUR Md tel que HQHK= m et tel que Card (M (Q)) { 
d.

&) Montrer qu'il existe un polynôme L E £d_1 tel que, pour tout 2 EUR M(Q), 
L(z) = Q(z).

1
b) Soit Q,, = Q ---- 1--9L, pour 19 E N *. Montrer que, pour chaque 19 E N *, 
il existe zp E K

tel que lQp(zp)l > IIQIIK-

On admettm le résultat suivant : il existe une suite strictement croissante de 
nombres entiers,
p +----> np, telle que la suite p l--> znp converge vers un élément EUR de la 
partie compacte K de C,
quand p tend vers +00.

0) Montrer que |Q(Ê)l = HQ||K. En déduire que Q(Ê) = L(Æ).

d) Montrer que Q(znp) = Q(Ê)(l + sp) et L(znp) = Q(£)(l + ep)(1 + EUR£,), où 
EUR,, et 52

sont des suites de nombres complexes, définies pour p assez grand, telles que 
lir_|n sp = 0 et
p--+ 00

Il + EPI < 1, et lim 82, = 0. En déduire que, pour p assez grand, |an (%,,)l < 
HQHK.
p--> oo ,

13. Y a--t--il unicité du polynôme Qg EUR % tel que ||Qg|lK = m ?

X Maths PC 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Walter Appel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Joseph Salmon (ENSAE) et Sébastien Gadat (Enseignant-chercheur à l'Université).

Ce sujet étudie l'existence et l'unicité d'un polynôme unitaire de norme 
minimale,
pour une norme introduite et étudiée au cours du problème.
Il est composé de cinq parties assez largement indépendantes.
· Dans une première partie, on construit les polynômes élémentaires de Lagrange
associés à une famille (x1 , x2 , . . . , xn ) de complexes distincts. On fait 
le lien
entre ces polynômes et la matrice de Vandermonde associée à (x1 , x2 , . . . , 
xn ).
· La deuxième introduit la norme kQkK = supzK Q(z) , où K est un compact
de C, et fait démontrer constructivement qu'elle est équivalente à une norme
bien connue sur les espaces de polynômes de degré donné.
· Une courte troisième partie montre l'existence d'un polynôme unitaire de norme
minimale.
· Dans une quatrième partie, on étudie le cas particulier où K est la boule 
unité
fermée.
· Enfin, une cinquième partie, un peu plus technique, permet de démontrer
l'unicité du polynôme unitaire de norme minimale.
Les outils mis en oeuvre sont, outre certaines propriétés simples et classiques
concernant les polynômes, quelques théorèmes généraux dans les espaces 
vectoriels
normés : toute fonction continue sur un compact atteint ses bornes supérieure et
inférieure, toutes les normes sont équivalentes en dimension finie.
Au final, ce sujet est équilibré et très progressif. Lorsqu'un résultat d'une 
partie
est utilisé dans une autre, l'énoncé l'indique clairement. Enfin, il ne 
comporte aucune
question « infaisable », même si un certain nombre d'entre elles demande une 
réelle
réflexion. C'est donc un excellent sujet de révision, quittant les sentiers 
battus et
permettant de s'entraîner à manipuler des espaces vectoriels normés dans un 
cadre
agréable.

Indications
Première partie
1.b Commencer par calculer P (xj ), puis séparer les cas j = k et j 6= k.
p
P
1.d Considérer une combinaison linéaire
j Pj et l'évaluer en chacun des xk .
j=1

3.a Calculer le coefficient dominant de Pj . Puis, dans l'expression demandée, 
faire
apparaître un coefficient de BV = In .
Deuxième partie
4.a Que peut-on dire de la dimension de Ed ?

5.b Considérer des vecteurs colonnes formés des coefficients a0 , . . . , an-1 
et des
valeurs Q(x1 ), . . . , Q(xn ), et trouver une relation matricielle entre eux 
et en
déduire une majoration des |aj |.
Troisième partie
6.c Montrer que l'ensemble des polynômes de Ud de norme inférieure ou égale à d
est un compact.
Quatrième partie
8.a Considérer la multiplicité de z0 en tant que racine de Q - 1.
8.b S'inspirer du calcul effectué à la question 7.
8.c Dans l'expression trouvée en 8.b, noter que (z - z0 ) R(z) tend vers 0 quand
z tend vers z0 .
9.b Considérer un complexe z0 pour lequel Q(z0 ) = sup Q(z) ; supposer que
|z|61

|z0 | < 1 et aboutir, à l'aide de la question 9.a, à une contradiction.
9.c Utiliser le résultat précédent avec le polynôme aux inverses
 
1
P(X) = Xd · Q
X
Cinquième partie
11.b Utiliser la question 10.
12.d Commencer par définir les suites (p )p et (p ), puis vérifier qu'elles 
satisfont
aux propriétés demandées.
13 Raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe deux tels polynômes Q0 et 
Q1 ,
et utiliser les questions 11 puis 12 pour aboutir à une contradiction.

Première partie
1.a Soit j  [[ 1 ; n ]]. Le complexe xj étant racine simple de P, ce polynôme 
est
divisible par (X - xj ) et
P(X)
=  (X - x )
(X - xj ) 166n

(1)

6=j

ce qui est l'expression d'un polynôme de degré n - 1. De plus, xj étant une 
racine de
multiplicité égale à 1 de P, on en déduit que P (xj ) 6= 0. Par conséquent,
L'expression de Pj définit effectivement un polynôme de degré n - 1.
1.b Pour commencer, on peut établir l'expression du polynôme dérivé P . Lorsque
l'on dérive un produit de n facteurs, on obtient une somme où l'on dérive 
successivement un et un seul des facteurs, c'est-à-dire :
P (X) =

n
P

Q

(X - x )

m=1 166n
6=m

Notamment, pour tout j  [[ 1 ; n ]], on a
P (xj ) =

(xj - x )

166n
6=j

puisque tous les autres termes sont des produits contenant un facteur nul.
Enfin, si l'on évalue l'expression (1) en xk , on obtient deux résultat 
différents
selon que j est égal à k ou non.
· Si j = k, alors l'expression (1) vaut
égale à P (xk ).

(xk - x ), c'est-à-dire qu'elle est

166n
6=k

· Si j 6= k, alors l'expression (1) contient un facteur nul.

Conclusion :

Pour tout k,   N

Pj (xk ) = jk =

(

1
0

si j = k
sinon.

Les polynômes (Pj )16j6n sont appelés polynômes élémentaires de Lagrange
associés à la famille (x1 , . . . , xn ). Ils ont pour expression, équivalente 
à celle
donnée dans l'énoncé,

 (X - x )

Pj (X) =

6=j

 (xj - x )

6=j

En posant

LF =

n
P

F(xj ) Pj

j=1

on obtient, pour tout k  [[ 1 ; n ]] :
n
n
P
P
LF (xk ) =
F(xj ) Pj (xk ) =
F(xj ) j,k
j=1

j=1

= F(xk ).

Les polynômes F et LF prennent les mêmes valeurs en x1 , . . . , xn .
Le polynôme LF est appelé polynôme interpolateur de Lagrange associé à F
et (x1 , . . . , xn ).
n
P
1.c Notons C =
Pj - 1. Alors, d'après la question 1.b, en utilisant le polynôme
j=1
F = 1, on a

C(x1 ) = C(x2 ) = · · · = C(xn ) = 0

ce qui prouve que C a n racines distinctes. Or C est un polynôme de degré au 
plus
n - 1, par suite C est le polynôme nul. Conclusion :
n
P

Pj = 1

j=1

1.d La famille (P1 , . . . , Pn ) est de cardinal n = dim En-1 . Montrons 
qu'elle est de
plus génératrice.
Soit F  En-1 . Construisons le polynôme LF comme dans la question 1.b : alors LF
est combinaison linéaire de P1 , . . . , Pn et prend les mêmes valeurs que F en 
x1 , . . . , xn .
En d'autre termes, le polynôme F - LF possède n racines distinctes ; or il est 
de
degré au plus n + 1 : il est donc nul. Ceci montre que F est combinaison 
linéaire
de P1 , . . . , Pn . Conclusion :
La famille (Pj )16j6n est une base de En-1 .
On aurait pu tout aussi bien montrer la liberté de la famille (P1 , . . . , Pn 
),
selon une technique usuelle lorsque l'on utilise la dualité.
n
P
Soit (1 , . . . , n ) une famille de complexes telle que
j Pj = 0. Pour
j=1

tout k  [[ 1 ; n ]], évaluons le polynôme nul en xk :
0 = 0(xk ) =

n
P

j Pj (xk ) =

j=1

Ainsi,

n
P

j j,k = k

j=1

(1 , . . . , n ) = (0, . . . , 0)

On a établi la liberté de la famille (P1 , . . . , Pn ).
2 Pour des questions de commodité, notons Vij et Bij les coefficients d'indice 
(i, j)
des matrices V et B, c'est-à-dire que
(i, j)  [[ 1 ; n ]]2

Vij = (xi )j-1

et Bij = bi-1,j