X Maths PC 2002

Thème de l'épreuve Étude de systèmes régis par une équation différentielle dépendant d'une fonction appelée « commande » et recherche des commandes optimales
Principaux outils utilisés équations différentielles linéaires, théorème de Cauchy-Lipschitz, séries dans un e.v.n., calcul différentiel, espaces euclidiens
Mots clefs fonction commande

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2002 FILIÈRE PC ' PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** L'objet de ce problème est l'étude de systèmes régis par une équation différentielle dépendant d'une donnée appelée << commande >> et la recherche de << commandes optimales >>. Pour tout p E N*, on note ]] - ]] la norme euclidienne sur Rp et (|) le produit scalaire euclidien. La transposée d'une matrice réelle M est notée M *. On identifie un élément de Rp avec une matrice à. p lignes et une colonne. Dans ce problème, on appelle fonction bien continue par morceauæ sur un intervalle [O, T] de R toute fonction cp continue par morceaux, continue a gauche sur [O, T] et continue a droite en 0, c'est--à--dire telle qu'il existe un nombre fini de points, to : 0 < 751 < . . . < tk_1 < tk : T tels que 90 est continue sur [O,t1],]t1,t2], . .. ,]tk_2,tk_1],]tk_1, T] et que tlim te Préliminaires Soit Mp l'espace vectoriel des matrices carrées réelles à p lignes. Pour M EUR Mp, on pose ]]MXH M = sup . ... ... XeRP ]]X]| X7£0 La) Vérifier que M EUR Mp |__} ]]]M]]] E R est une norme sur Mp. b) Montrer que, pour toutes matrices M, N E Mp, ]]IMNIII < IHM... Ill--Wl- n 1 . 2.3) Pour 77. E N, on pose Sn(M) = z ÜMk° Montrer que la suite (S,,(M))nEURN est k=0 ' convergente dans l'espace vectoriel Mp muni de la norme ]]] . ]]]. On pose 1 b Montrer que la fonction t E R l----> etM E M est continue, dérivable et que 19 d --etM=MeËM. dt d d c) Calculer Æ(etM e_tM ) et, pour 8 E R, Æ(e(s+t)M e"tM ) En déduire que EUR(s+t)M : EURSM etM _ Première partie Soit T un réel > 0 et soit A E Mp. Soit B une fonction bien continue par morceaux sur [O, T] à valeurs dans Rp , et soit XO EUR RiD . On pose, pour tout t E [O, T], t X(t) =etAxo+ / eAB(s)d3. 0 3.a) On suppose que B est continue. Montrer que t v--+ X (t) est l'unique fonction de classe C1 sur [O,T] à valeurs dans Rp telle que X(O) = X0 et, pour tout t E [O,T], d EÊUÜ=AXOE+BOE. @) On suppose maintenant et dans toute la Suite du problème que B est seulement bien continue par morceauoe. b) Montrer que t l--> X (t) est l'unique fonction continue, dérivable en tout point où B est continue, et de classe Cl par morceaux sur [O, T] telle que X (0) : X0 et que la condition (1) soit satisfaite en tout point où X est dérivable. Par convention, on dira encore que X est solution de l'équation différentielle (l) sur [0,T ] Soit q E N* tel que q < p et soit K une matrice réelle à ]) lignes et q colonnes. On désigne par M l'espace vectoriel des fonctions bien continues par morceaux sur [O, T] à valeurs dans Rq. A toute fonction U E M , on associe l'équation différentielle sur [O, T] d ÆX@=AXOE+KUOE, @ et l'on dit que U est la commande du système décrit par l'équation (2). On fixe XO E R10 . On désigne par XU l'unique solution de (2) telle que XU(O) = X0. 4. Montrer que, pour tout V E U , il existe YV tel que, pour tout U E U et tout A E R, on ait XU+AV -- XU : ÀYV. Préciser l'équation différentielle et la condition initiale satisfaites par YV. Soient &, fi, 'y des réels ; 0. On considère la fonction C : M --> R définie par T c = /0 (aHXUH2 +5llU(t)ll2)dt + +||XUH2, modélisant un coût que l'on cherche a rendre minimal. Soient U, V E M et À E R. 5( Montrer que C (U + ÀV) ---- C (U ) est un polynôme du second degré en A et donner des expressions des coefficients de ce polynôme. Que peut-on dire du signe du coefficient de /\2 ? 6.a) Montrer qu'il existe une unique fonction ZU : [O,T] --> Rp, de classe Cl, telle que ZU(T) = 2"y XU(T) et %ZU(Û) = --A* ZU(t) -- 204 XU(t) - T b) Exprimer (Zy(T)|YV(T)) + 204 / (XU(t)IYV(t))dt par une intégrale de 0 à T fai- 0 sant intervenir K, V et ZU. [On rappelle que pour des fonctions Z et Y à valeurs vectorielles, %(Z(t) Y(t)) = (%(t)iY(ü) + (Z OE)l%(vfi))-l 7.a) Déduire des questions précédentes que C(U+ÀV)=/ÛT i dÀ (K*ZU(t) + 25U(t)lV(t))dt . À=O b) Montrer que U0 E U vérifie la condition C(Uo) = infUEu C(U ), si et seulement si, Vt & [O, T], K* ZUO (t) + 23 Uo(t) = 0. Deuxième part ie On conserve les notations de la première partie. Soit J un intervalle fermé et borné de R, non réduit à un point, et soit J q le cube qu'il définit dans Rq. On considère l'ensemble L! des commandes U EUR U telles que Vt E [O, T ] , U(t) E J q. 8.a) L'ensemble Ü est-il un sous--espace vectoriel de U ? A b) Montrer que si U,V EUR Ü, A E [0,1], alors U+ À(V ---- U) E U. 9. Montrer que U0 EUR Ü vérifie la condition C(Ug) : inf C(U) A UEU si et seulement si, Vt EUR [O,T], VV EUR Ü, (K* ZUo(t) + 25 Ug(t)|V(t) -- U0(t)) ; 0 . Dans l'application qui suit, on prend ]) = 2 et q = 1. On choisit J = [--a, a], où a > 0. Soit le une constante réelle, le > 0. Si t +--> oe(t) est une fonction deux fois dérivable, on pose ,_dæ oe _ ___d2a: _ dt , oe------. dt2 Pour toute fonction U E Ü , on étudie les fonctions t F--> :c(t) de [O, T ] dans R, de classe Cl, et de classe 02 par morceaux telles que :É(t) = --ku(t) en tout point 15 E [O, T] où à': est définie. 10.a) Écrire ce problème sous la forme (2) avec des matrices A et K que l'on déterminera. Soient 350 et vo des nombres réels. Montrer qu'il existe une unique fonction æu solution de ce problème telle que oeu(0) = % et oe°u(0) = vo. 2 2 b) Trouver oz,fl,*y pour que C(u) = (oeu(T)) + (ÇÈU(T)) . Ces valeurs de a,fi,v sont choisies dans toute la suite du problème. c) Montrer que Z, est une fonction affine de t à valeurs dans R2. 11.a) Soit u0 EUR Ü tel que OEu0 (T) = 0 et Îuo (T) = 0. Montrer que C(u0) = infÀ C(u). uEURU b) Soit 11.0 EUR Ü tel que (i} æuO (T) et 553...) (T) ne sont pas tous deux nuls; (zi) C(u0) = ian C(u). uEURU Montrer que la fonction W est constante par morceaux. T2 ka T 12. On suppose que % = 1 + ---2----(1 + ?), 710 = --5. a) On considère ?... (t) telle que : T T u0(t)=asi0 

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 X Maths 1 PC 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Walter Appel (professeur en CPGE) ; il a été relu par Alexis Devulder (ENS Ulm) et David Lecomte (ENS Cachan). Ce problème, constitué de deux parties dépendant l'une de l'autre et d'une courte partie préliminaire, traite d'un problème d'optimisation, c'est-à-dire de minimisation d'une quantité dépendant d'un paramètre. On y trouve donc, comme on peut s'y attendre, quelques techniques de calcul différentiel. La quantité à optimiser dépend en fait de la solution d'une équation différentielle linéaire, dont le second membre est justement le paramètre susdit. Des techniques provenant des équations différentielles (et notamment un usage intensif du théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire) sont donc également mises en jeu. Enfin, une application à un cas simple est proposée. · La partie préliminaire sert essentiellement à rappeler quelques propriétés de l'exponentielle d'une matrice. · Dans la première partie, on étudie l'application qui, à une fonction U définie sur un intervalle [ 0 ; T ] et à valeurs dans Rq , associe la solution XU à valeurs dans Rp de l'équation différentielle dX (t) = A · X(t) + K · U(t) dt (où K est une matrice p×q constante) satisfaisant une condition initiale donnée. Notamment, on dégage une condition nécessaire et suffisante pour que le coût de cette solution (qui est une quantité quadratique) soit minimal par rapport à l'ensemble des fonctions U continues par morceaux. · Dans la seconde partie, on étend la condition précédente au cas où l'on astreint q la fonction U à prendre ses valeurs dans un compact de la forme [ a ; b ] . Le candidat est bien guidé tout au long de cette épreuve ; les difficultés sont bien réparties : il n'y a pas de question vraiment difficile, mais beaucoup de questions demandent un peu de réflexion avant de se lancer dans les calculs. On y rencontre un peu d'algèbre linéaire, peu de topologie, un peu d'algèbre bilinéaire, une série à valeurs dans un espace vectoriel normé, bref, de quoi revoir une bonne partie du programme de l'année. Indications Partie préliminaire 1.a Montrer que |||M||| 6 || |||M||| pour tout C puis en déduire |||M||| = || |||M||| 2.a Montrer, en utilisant une inégalité triangulaire, que la suite Sn (M) nN est de Cauchy dans un espace vectoriel normé complet. 2.b Utiliser la convergence normale de la série dérivée pour dériver terme à terme. 2.c Montrer que M et etM commutent. Première partie 3.a Utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire relatif à un système d'équations différentielles de la forme X(t) = AX(t) pour montrer l'unicité de la solution. 3.b Pour montrer l'unicité, la continuité de X permet d'imposer une condition initiale (originellement en t0 = 0) en t1 , t2 ,. . . jusqu'à tk . 4 En utilisant la question 3, établir une expression de XU et de XU+V . En déduire une définition de YV . 6.a Penser encore à Cauchy-Lipschitz ! 6.b Calculer la dérivée du produit (Z|Y) et se souvenir que la transposée d'une matrice est l'équivalent matriciel de l'adjoint. 7.b Poser V = K ZU + 2U pour montrer le sens direct. Pour la réciproque, utiliser le résultat de la question 5. Deuxième partie 9 Montrer que, pour tout choix de V Ub, le coefficient de dans le polynôme de la question 5 doit être positif. Puis procéder par l'absurde en supposant l'existence de V Ub et t [ 0 ; T ] tels que K ZU0 (t) + 2U0 (t) V(t) - U0 (t) < 0 Construire une application W égaleà U0 sauf dans un voisinage de t sur lequel K ZU0 (s) + 2U0 (s) V(s) - U0 (s) < 0. 10.c Expliciter Zu et montrer que t 7- e-tA est affine par rapport à t. 11.b Montrer que K Zu0 est une fonction affine (à valeurs dans R) non identiquement nulle. En déduire, en utilisant la question 9, que u0 est constante sur chaque intervalle où cette fonction est de signe constant. 12.b Utiliser la caractérisation de la question 9. 12.c Calculer le coût d'une autre fonction constante par morceaux égale successivement à a et à -a ; minimiser ce coût. Partie préliminaire 1.a Pour que l'application ||| · ||| soit une norme, suivantes, que nous allons démontrer : Positivité M Mp Séparation M Mp Homogénéité M Mp R Inégalité triangulaire (M, N) Mp 2 elle doit vérifier les propriétés |||M||| R+ |||M||| = 0 = M = 0 |||M||| = || · |||M||| |||M + N||| 6 |||M||| + |||N||| Positivité. Elle se démontre de façon immédiate puisque kMXk et kXk sont tous deux positifs pour tout X Rp . Séparation. Soit M Mp tel que |||M||| = 0. Alors, pour tout X C r {0}, on a kMXk = 0 et donc MX = 0. Ceci implique que M = 0. Homogénéité. Soit M Mp (R). Pour tout R et pour tout Y Rp r {0}, on a k(MY)k kMYk kMXk k(M)Yk = = || 6 || sup kYk kYk kYk XRn kXk X6=0 donc, en passant à la borne supérieure sur Y, on obtient R |||M||| 6 || |||M||| Montrons l'inégalité inverse. Si = 0, la propriété est évidemment vérifiée. On suppose donc 6= 0 et on applique le résultat précédent à 1/ et A : |||-1 (A)||| 6 ||-1 |||A||| soit || |||A||| 6 |||A||| On a donc bien |||A||| = || |||A||| Inégalité triangulaire. Pour tout X Rp , on a k(M + N)Xk 6 kMXk + kNXk On en déduit kMXk + kNXk k(M + N)Xk kMXk kMXk sup 6 sup 6 sup + sup kXk kXk X6=0 X6=0 X6=0 kXk X6=0 kXk ce qui établit la dernière propriété. En résumé ||| · ||| est bien une norme. 1.b Soient M et N deux matrices carrées d'ordre p. Remarquons la relation fondamentale X Rp kMXk 6 |||M||| · kXk () Cette inégalité découle directement de la définition de |||M||| si X 6= 0 et elle est immédiate si X = 0. Soit X Rp un vecteur non nul. La relation () nous permet d'écrire k(MN)Xk = kM(NX)k 6 |||M||| · kNXk 6 |||M||| · |||N||| · kXk Cette relation étant valable pour tout X Rp non nul, on en déduit, en la divisant par kXk et en prenant la borne supérieure, que |||MN||| 6 |||M||| · |||N|||. M, N Mp |||MN||| 6 |||M||| · |||N||| P 1 k M , montrons qu'elle de Cauchy. k! Tout d'abord, en utilisant le résultat de la question précédente, on a 2.a Pour montrer la convergence de la série k N 1 k M k! = 1 |||M|||k |||Mk ||| 6 k! k! (3) P 1 k M satisfait au critère de Cauchy. k! P |||M|||k étant convergente, elle est de Soit un réel strictement positif. La série k! Cauchy ; il existe donc un entier N tel que Montrons maintenant que la série p, q N p > q > N = q X |||M|||k 6 k! k=p L'inégalité triangulaire et l'inégalité (3) nous permettent alors d'écrire p, q N p > q > N = q X 1 k M k! k=p 6 q X k=p 1 k M k! 6 P 1 k M est donc bien de Cauchy. Or, cette série est à valeurs dans Mp k! qui, muni de ||| · |||, est un espace vectoriel normé de dimension finie et, à ce titre, est complet. Par conséquent : La série La série P 1 k M converge dans Mp . k! Nous sommes dans un cas particulier du théorème général : dans un espace vectoriel normé complet, toute série normalement convergente est convergente. Cette propriété est d'ailleurs caractéristique des espaces complets.