X Maths PC 2001

Thème de l'épreuve Polynômes de Legendre et harmoniques sphériques
Principaux outils utilisés polynômes à une ou plusieurs indéterminées, endomorphismes en dimension finie, espaces préhilbertiens, intégration par parties, fonctions de plusieurs variables

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2001 FILIÈRE PC PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** Les polynômes de Legendre, fonctions de Legendre et harmoniques sphériques étudiés dans ce problème ont des applications à la détermination des équilibres de température et des distribu-- tions de char es électri ues ainsi u'à la mécani ue uanti ue. 7 *** Les fonctions considérées sont à valeurs dans R. On identifie une fonction polynomiale avec le polynôme associé. Première partie Pour tout n E R, on considère la fonction polynomiale P... définie par pour :D E R. Il résulte des conventions habituelles que P0 (33) = 1 pour a: E R. La) Montrer que le polynôme Pn est de degré n. Quel est le coefficient du terme de degré n dans Pn ? b) Pour quelles valeurs de n la fonction Pn est--elle paire ? impaire ? c) Calculer Pn(1) et Pn(--1). 2. Soit n > 1. Montrer que pour tout m E N tel que 0 < m { n ---- 1, 1 / Pn(oe) oemdæ : 0 .4 --1 3. On désigne par 8 l'espace préhilbertien réel des fonctions continues sur [--1,1] muni du produit scalaire (u | v) = /11u<æ>v<æ>dæ , pour u, ?) EUR 5 . a) La famille (Pn)nEURN est--elle une famille orthogonale dans 8 ? b) Calculer (Pn | Pn) pour chaque n E N. . d 2 4.21) 801t n > 1. Montrer que Æ((æ dPn -- 1 d--(oe)) est orthogonal a :L'm pour tout m E N cc telque0 2, A(ÏN) C ÎN_2. En déduire que dimHN } 2N + l'. b) On pose ,,...2 = 513% + 33% + 33%. Soit [EUR E N, 0 < 21EUR < N, et soit g E ÎN_2k. Calculer A(r2kg) en fonction de g, Ag,r, N, le. 10. Soit f E HN, N > 2. On suppose qu'il existe g E ÎN_2 tel que f = 729. &) Montrer qu'il existe une fonction h de classe 62 sur R3 telle que f = 7°2Kh, où K est N 2 la partie entière de ; . b) Montrer que f = 0. 11.31) Montrer que, si N > 2, dim HN { dimfN -- dim ÎN_2. b) Quelle est la valeur de dim H N ? Quatrième part ie On conserve les notations de la troisième partie. On introduit les coordonnées sphériques (7°, 9, go) sur R3 définies par fil = rsin6'cosgo 5122 = rsin9sincp 5133 = 7° cos 6 pour ,,. EUR]O,+oo[, 9 EUR]0,7r[, @ EUR]0,27r[. On négligera le fait que ces coordonnées ne sont pas définies pour les points d'un demi--plan de R3. On écrira N f(ælaoe27oe3) : f(T797 (70) (expression de f en coordonnées sphériques). Soit S = {(£C1,ZIZ2,OE3) E R3 |oeÎ +:13â +:câ = 1} la sphère de centre 0 et de rayon 1. On pose A 82 + c t 9 8 + 1 82 = ---- 0 an -- -- S 392 39 sin29 8g02 et l'on admettra que N 62 2 a 1 A = -- + ---- + --2AS N A(f) = A(f)- Soit 77. E N et m EUR N. On considère les fonctions sur S définies par 0 { m < n , Y......(9, 90) = cos(mgo)f......(cos @) 0 < m { n , Yn,_m(9, 90) = sin(mgo)f......(cos @) où les fn,... sont les fonctions étudiées dans la deuxième partie. 12. Montrer que pour tout n E N et m EUR Z tel que --n { m < n, AS Y")... : --n(n + 1)Y...... . 13. Soit n EUR N et m EUR Z tel que --n { m < n. Soit H...... la fonction sur R3 telle que N Hn,m(ra 97 90) : Tn Yn,m(97 90) ' &) Montrer que ÂÏ-Ïnm = O. N b) Montrer, en regroupant dans Hmm les termes en rsinâcos go, rsin9sing0 et rcos9, que H...... est un polynôme homogène harmonique sur R3 de degré n.

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 X Maths 1 PC 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par David Lecomte (ENS Cachan) ; il a été relu par Thomas Chomette (ENS Ulm) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan). Ce sujet porte sur les polynômes à une ou plusieurs indéterminées et se compose de quatre parties. · Les deux premières parties sont consacrées à l'étude de deux familles de polynômes orthogonaux pour le produit scalaire Z (f |g) = fg [-1,1] sur l'espace des fonctions continues sur [-1, 1]. Mis à part quelques calculs d'intégrales, on utilise des méthodes essentiellement algébriques pour obtenir des équations différentielles dont ces polynômes sont solutions. · Dans la troisième partie, on étudie l'action de l'opérateur laplacien sur l'ensemble des polynômes à trois indéterminées, homogènes de degré n : plus précisément, on donne la dimension de l'espace vectoriel des polynômes homogènes de degré n de laplacien nul. Cette partie est plutôt orientée vers l'algèbre linéaire, même si l'on y utilise quelques résultats d'analyse. · Enfin, la dernière partie introduit des fonctions appelées harmoniques sphériques et s'attache à montrer, à l'aide des résultats obtenus dans les deux premières parties, qu'elles sont de laplacien nul. Il s'agit d'un problème résolument algébrique. On est bien forcé de faire appel à de l'analyse dans les calculs d'intégrales et dans la seconde partie, lorsqu'on travaille sur les polynômes à trois indéterminées et sur lesquels on n'a aucun résultat structurel en classe de PC, puisque leur étude est hors programme. Ce sujet est difficile, notamment à cause des calculs qu'il exige parfois. Enfin, la question 10.a a été légèrement modifiée dans ce corrigé. Sa nouvelle formulation est donnée en indication et les raisons de ce changement sont exposées en détail au début de la correction de cette question. Indications Première partie n 1.c Écrire la formule de Taylor pour x2 - 1 en 1 pour trouver Pn (1). 2 Intégrer successivement n par parties, en utilisant le fait que 1 et -1 sont racines d'ordre n de x2 - 1 . 3.a Traduire la propriété montrée à la question 2 en termes d'orthogonalité. 3.b Utiliser la question précédente pour montrer que (Pn |Pn ) vaut an ( xn | Pn ), où an est le coefficient dominant de Pn calculé à la question 1.a. Trouver une relation entre Z 1 (xn |Pn ) et In = (t2 - 1)n dt -1 4.a Calculer le produit scalaire en intégrant deux fois par parties. 4.b Montrer, à l'aide de la question précédente et par des considérations d'orthogodPn d 2 (x - 1) est proportionnel à Pn . nalité, que dx dx Deuxième partie 5.b Intégrer judicieusement par parties. Troisième partie f qui est homogène de degré N, trouver une expression de f x1 comme somme d'un polynôme homogène de degré N + 1 et d'une fonction g des deux variables x2 et x3 . Recommencer avec g. . . 6.a En considérant 6.b Montrer le résultat par récurrence sur N, en utilisant la question 6.a. 7 Montrer le résultat pour les monômes homogènes de degré N et utiliser le fait que tout polynôme homogène est combinaison linéaire de monômes homogènes pour conclure. 8 Trouver une base naturelle de FN et compter ses éléments. 9.b Un conseil : calculer petit à petit, il est facile de faire des erreurs. 10.a Montrer par récurrence et à l'aide de la formule obtenue à la question 9.b, que la propriété : h FN-2k f = r2k h N N+2 est vraie jusqu'au rang K = (et non pas ). 2 2 P(k) : 10.b Utiliser la propriété P(K) obtenue à la question 10.a ; puis appliquer la formule obtenue à la question 9.b et montrer, en raisonnant sur le degré, que h est de laplacien nul. Conclure. 11.a Montrer que l'application : FN-2 FN g 7 r2 g est injective. En déduire la dimension de son image et montrer qu'elle est en somme directe avec HN . Conclure. Quatrième partie 12 Il est conseillé de poser Y n,m = Yn,m + iYn,-m de manière à traiter en même temps les cas de Yn,m et de Yn,-m . 13.b De même, poser e e e H n,m = Hn,m + iHn,-m permettra de traiter deux cas à la fois. Ensuite, il faut se lancer dans les calculs et procéder comme le conseille l'énoncé. Première partie L'énoncé comporte une légère erreur, dans l'introduction : il considère un réel n et le polynôme Pn est défini comme dérivée ne d'un autre polynôme. Il est possible de donner un sens à la notion de dérivée ne avec n réel, mais cela dépasse largement le cadre du programme de classes préparatoires. Il faut donc comprendre que n est entier. 1.a Soit n un entier. On sait que lorsqu'on dérive un polynôme, on fait baisser son n degré d'une unité. Comme Pn est le polynôme dérivé ne de x2 - 1 qui est de degré 2n, il vient que : Pn est de degré n. En outre, le terme de degré n de Pn est donné par le polynôme dérivé ne du terme n 2 de degré 2n de x - 1 , qui est x2n . Compte tenu de dn x2n (2n)! n = (2n) × (2n - 1) × · · · × (n + 1) × xn = x dxn n! on obtient, après calcul, que le coefficient du terme de degré n de Pn est (2n)! 1 1 × = n Cn2n 2n n! n! 2 1.b On sait que lorsqu'on dérive une fonction paire (resp. impaire), on obtient une fonction impaire (resp. paire). Dès lors, pour tout entier k et pour toute fonction f d2k+1 f d2k f paire et suffisamment régulière, sera paire et sera impaire. dx2k dx2k+1 n Puisque le polynôme x2 - 1 est pair et qu'on le dérive n fois pour obtenir Pn , ce qui précède montre que Pn est pair (resp. impair) si et seulement si n est pair (resp. impair). Pn a la même parité que n. Rappelons rapidement la démonstration du résultat énoncé en début de question à propos des dérivées des fonctions paires et impaires. Donnons-nous f une fonction définie, continue et dérivable sur R, telle que : x R f (-x) = f (x) avec valant -1 ou 1 suivant la parité qu'on souhaite donner à f . Alors, en utilisant le théorème de dérivation des fonctions composées, on obtient : ou encore x R - f (-x) = f (x) x R f (-x) = -f (x) ce qui établit le résultat : f est de parité opposée à celle de f . 1.c Étant donné un polynôme P et une racine de P, on sait que si l'ordre de est k, alors est racine également de