Mines Maths 2 PC 2025

A2025 ­ MATH II PC

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).
CONCOURS 2025
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

.
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la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
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Mines Ponts.

Étude des séries congruo-harmoniques alternées
L'objectif de ce problème est d'étudier une famille de séries particulières. 
Quelques premiers résultats sont établis dans les préliminaires. La partie 1 
propose d'établir une
expression des séries congruo-harmoniques alternées sous la forme d'une 
intégrale. La
partie 2 propose de calculer la valeur de la somme de la série dans certains 
cas particuliers. La partie 3 s'intéresse à des calculs de probabilités 
relatifs aux choix des paramètres
de la série. Enfin, la partie 4 se propose d'étudier la vitesse de convergence 
de ces séries.

Notations
-- N désigne l'ensemble des nombres entiers naturels. Nú désigne l'ensemble des
nombres entiers naturels non nuls.
-- R désigne l'ensemble des nombres réels. R+ désigne l'ensemble des nombres 
réels
positifs ou nuls.
-- C désigne l'ensemble des nombres complexes. Si z oe C, on notera z le 
conjugué
de z.
-- Pour tout (a, b) oe N2 avec a < b, on pose Ja, bK := [a, b] fl N. -- Pour tout x oe R, ÂxÊ désigne la partie entière de x. -- Pour tout couple (p, q) oe (Nú )2 , on dit que p divise q et on note p|q, s'il existe un entier k tel que q = kp. Définition 1 Soit (p, q) oe (Nú )2 . On appelle série congruo-harmonique de paramètres p et q, la série de terme général uk défini pour tout k Ø 0 par uk := up,q;k = (1)k , pk + q et l'on note, sous réserve de convergence, Sp,q la somme de cette série. Nous ferons référence aux sommes partielles de cette série par la fonction ,,p,q : Y _ _ ]N æ R n ÿ (1)k . _ _ [n `æ k=0 pk + q 1 Préliminaires 1 Û Justifier que, pour tout (p, q) oe (Nú )2 , la série ÿ uk converge. 2 Û Dans cette question, on pose p = q = 1. Montrer que ,,1,1 (n) = / 1 / 1 1 (t)n+1 dt dt. 1+t 0 1+t 0 3 Û En déduire la valeur de S1,1 . 4 Û Montrer alors que, pour tout q Ø 2, S1,q = (1)q (,,1,1 (q  2)  ln 2) . 1 Expression de Sp,q sous la forme d'une intégrale Dans cette partie, on fixe (p, q) oe (Nú )2 et on pose ­p,q := pq . On définit alors, pour tout t oe R+ , l'application Ip,q : R+ æ R par Ip,q (t) := / 1 x(t+1)­p,q dx. 0 1 + x­p,q 5 Û Démontrer que l'application Ip,q est bien définie et continue sur R+ . 6 Û Déterminer lim Ip,q (n) = 0. næ+OE 7 Û Pour tout x oe [0, 1], calculer n ÿ (x­p,q )k puis en déduire que k=0 1 ,,p,q (n) = q 3/ 1 4 1 dx + (1)n Ip,q (n) . 0 1 + x­p,q 8 Û Montrer alors que, pour tout (p, q) oe (Nú )2 , Sp,q = / 1 2 tq1 dt. 0 1 + tp 2 Calcul des Sp,q dans trois cas particuliers L'objectif de cette partie est de déterminer une formulation explicite de la somme de la série congruo-harmonique de paramètres p et q dans trois cas particuliers. On définit pour cela les trois ensembles suivants : E1 := {(p, q) oe (Nú )2 : p = q}, E2 := {(p, q) oe (Nú )2 : p < q, p|q}, E3 := {(p, q) oe (Nú )2 : p > q}.
Enfin, pour tout couple (p, q) oe (Nú )2 fixé, on définit la fraction 
rationnelle F (X) par
F (X) :=

X q1
.
1 + Xp

9 Û Montrer que, pour tout (p, q) oe E1 ,
Sp,q =

ln 2
.
p

(F1)

10 Û Pour tout couple (p, q) oe E2 , montrer qu'il existe une constante / := 
/(p, q) que
l'on déterminera, telle que
A

B

/1
ÿ (1)k1
(1)/1
Sp,q =
ln(2) 
.
p
k
k=1

(F2)

Dans le reste de la partie 2, on fixe un couple (p, q) oe E3 .

11 Û Montrer qu'il existe des constantes (a0 , b0 , . . . , bÂp/2Ê1 ) oe 
CÂp/2Ê+1 telles que
A

B

Âp/2Ê1
ÿ
1  (1)p
a0
bk
bk
F (X) =
·
+
+
,
2
X +1
X  Êp,k X  Êp,k
k=0

où les Êp,k sont des constantes que l'on précisera et F (X) la fraction 
rationnelle
définie au début de cette partie.
Dans le cas où p est pair, on posera a0 = 0.
12 Û Calculer alors a0 dans le cas où p est impair puis montrer que, pour tout 
entier
k oe J0, Âp/2Ê  1K, bk peut s'écrire sous la forme
1
bk =  eiqk ,
p

où l'on a posé k := (2k + 1) fip .

3

13 Û En déduire la décomposition en éléments simples de F (X) dans R(X) :
ÿ
1  (1)p (1)q1
1
2 Âp/2Ê1
F (X) =
·
·

Fk (X),
2
p
X + 1 p k=0

où, pour tout 0 Æ k Æ Âp/2Ê  1,
Fk (X) :=

cos(qk )X  cos((q  1)k )
.
X 2  2 cos(k )X + 1

On admet que les Fk sont continues sur [0, 1] et que pour tout 0 Æ k Æ Âp/2Ê  1,
/ 1

A

A

cos(qk ) =

Y
]0

k
Fk (t)dt = cos(qk ) ln 2 sin
2
0

14 Û Montrer que
Âp/2Ê1

ÿ

k=0

BB

[ (1)

fi
(p  1  2k) sin(qk ).
2p

q+1

2

si p est pair
.
si p est impair

15 Û Déduire des questions précédentes que, pour tout (p, q) oe E3 ,
Q

A

A

Âp/2Ê1
ÿ
ÿ
1 fi Âp/2Ê1
k
Sp,q = a
(p  1  2k) sin(qk )  2
cos(qk ) ln sin
p p k=0
2
k=0

BBR

b.

(F3)

16 Û En déduire les valeurs exactes de S2,1 et S3,1 .

3 Quelques calculs de probabilités
L'objectif de cette partie est d'évaluer la probabilité qu'un couple d'entier 
(p, q) oe (Nú )2
pris au hasard appartienne au domaine d'application d'au moins l'une des 
formules (F1),
(F2) et (F3) obtenues dans la partie 2.
On fixe pour cela n oe Nú et on décide de tirer successivement et avec remise 
deux
entiers p et q selon une loi uniforme sur l'intervalle J1, nK. On définit alors 
les événements
suivants, où E1 , E2 et E3 sont les trois ensembles définis dans la partie 2 :
En : " On obtient (p, q) oe E1 fi E2 fi E3 ".
An : " On obtient p = q ".
Bn : " On obtient q > p et q est divisible par p ".
Cn : " On obtient p > q ".

17 Û Justifier que l'ensemble {An , Bn , Cn } forme une partition de En .
4

18 Û Calculer P(An ) puis P(Cn ).
19 Û Montrer que

E F

et en déduire P(An fi Bn ).
20 Û En notant Hn :=

n
ÿ
1

k=1 k

n
1 ÿ
n
1
P(Bn ) = 2
 ,
n p=1 p
n

la série harmonique, montrer que
Hn  ln n

21 Û Montrer alors que
P(An fi Bn ) 
22 Û En déduire

(n æ +OE).
ln n
n

(n æ +OE).

lim P(En ).

næ+OE

4 Vitesse de convergence des Sp,q
Dans cette dernière partie, on s'intéresse à la vitesse de convergence des 
séries congruoharmoniques. On introduit pour cela la définition suivante.
Définition 2 Soit (un )noeN une suite convergente vers une limite réelle l 
telle que un "= l
à partir d'un certain rang. On définit alors, sous réserve de convergence, la 
vitesse de
convergence V de (un )noeN par
-u
- n+1  l V = lim --.
næ+OE un  l -

On qualifie alors la vitesse de convergence de la suite (un )noeN selon la 
valeur de V :
-- Si V = 0 : la convergence sera qualifiée de supra-linéaire.
-- Si V oe ]0, 1[ : la convergence sera qualifiée de linéaire.
-- Si V = 1 : la convergence sera qualifiée d'infra-linéaire.
On définit alors la vitesse de convergence d'une série comme étant celle de la 
suite de
ses sommes partielles.
On définit enfin, pour tout (p, q) oe (Nú )2 , l'application Rp,q := 1q Ip,q où 
Ip,q est l'application définie dans la partie 1.

5

23 Û À l'aide du changement de variables s = xn+1 dans Ip,q (n), démontrer que
Rp,q (n) 

1
2pn

(n æ +OE).

24 Û En déduire la vitesse de convergence de la série congruo-harmonique 
alternée
c'est-à-dire celle de la suite des sommes partielles (,,p,q (n))noeN .

Fin du problème

6

q

uk ,