Mines Maths 2 PC 2021

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A2021 - MATH II PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Polynômes à racines toutes réelles

Notations

Pour tout 0 < k < n, on notera (r) -- HE le coefficient binomial où nl = n(n --1)-..2.1. On note C©(R) les fonctions f : R -- R de classe C®. On dit que a est un zéro d'ordre m > 0 de f EUR C(R) si

f(a)= Pa)=.= fr 0 (a)=0 et (a) #0
Dans la suite du texte quand on liste les zéros d'un polynôme on répètera chaque

racine autant de fois que sa multiplicité : ainsi les racines de XY(X -- 1)* 
sont
0,0,0,1,1.

On note D : CP(R) --> C©(R) l'opérateur de dérivation, i.e. D(f) = f'. Pour
Q=5;_par XF EUR R[|X|, on note Q(D) l'opérateur défini par
Q(D) : C'(R) -- CR)

J-- 5 ax D*(f).

k=0
c'est-à-dire que

Q(D) f(x) = > ax f (x)

où f(* est la fonction dérivée k-ème.

Log-concavité des suites

Soit (&o,:°- ,a,) une suite à valeurs réelles. On dira qu'elle est

unimodulaire s'il existe 0 < 3 < n tel que ao  @j-14j+1 ;

ultra log-concave si ONE est log-concave.
k

Montrer que la suite binomiale (5) k=0,... n est log-concave.
Montrer que si (ax)x-o.....n est ultra log-concave, alors elle est log-concave.

Montrer que si (ag)x-o....n est strictement positive et log-concave, alors elle 
est
unimodulaire.
Polynômes réels à racines toutes réelles

Soit P(X) = ao + aX +--.+a,X" EUR RÎX] avec a, # 0. Il est dit à racines toutes
réelles si toutes ses racines complexes sont en fait réelles, i.e. P(z) = 0 
implique z EUR R.
On suppose dans cette question que P est à racines toutes réelles.

4 > Montrer que P' est à racines toutes réelles.
Indication : on pourra utiliser le théorème de Rolle en veillant aux 
multiplicités des
racines.

5 > Montrer que Q(X) = X"P(1/X) est un polynôme à racines toutes réelles.
Indication : on commencera par préciser le degré de Q(X).

6 > Pour 1 Soit a EUR R. Montrer que e®D(e 7% P{x)) est un polynôme à racines toutes 
réelles.
Indication : on pourra à nouveau utiliser le théorème de Rolle en considérant en
outre le comportement en +oco.

8 > Soient P(X) = > ou X" et Q(X) = 1,0; X7 des polynômes réels à racines
toutes réelles. Montrer que Q(D)P(X) est un polynôme à racines toutes réelles.

Dans la question 27 & , nous utiliserons le théorème de composition de Schur 
suivant,
que nous admettons.

Théorème 1 Soient P(X) = Ya X* et Q(X) = >"250;X7 des polynômes réels à
racines toutes réelles. On suppose en outre que les racines de Q ont toutes le 
même signe.
Alors le polynôme

min(n,m)

k=--0

est à racines toutes réelles.
Quelques exemples

Soit À une matrice symétrique réelle de taille n.

9 > Montrer que son polynôme caractéristique Y4(X) est à racines toutes réelles.

10 > On suppose que toutes les racines de x4(X) sont positives. Montrer 
l'existence
d'une matrice symétrique C' telle que À = C*.

11 > Soit B une matrice symétrique et on suppose comme dans la question 
précédente
que les racines de Y1(X) sont positives. Montrer que les valeurs propres de AB
sont toutes réelles.

On considère

| RIX]XRIX] -- R
7. (P,Q) = n° P(x)Q(x)e "dr.

12 > Montrer que & définit un produit scalaire sur R|[X|.

13 © Justifier (on ne demande pas de les calculer) qu'il existe une famille 
(L,),en de
R|X| vérifiant les propriétés suivantes :

-- les L; sont de degré 1 ;
-- pour tout 0  Montrer que pour tout n > 1, le polynôme /Z,, est à racines toutes réelles.

Soit 2.) une suite de variables aléatoires de Bernouilli B(b;) indépendantes
sl, ,n

de paramètres respectifs b;, ie. P(B; = 1) = b; et P(B; = 0) = 1 -- b;. Soit 
alors
B =; B, et soit

P(X) -- SX"
k=0

où px = P(B = k).

15 > Montrer que P(X) est à racines toutes réelles.

16 > Soit P(X) = Y}_,pX" EUR RIX] à coefficients positifs, Le. px > 0 pour tout
k -- 0,--: ,n. On suppose en outre que P est à racines toutes réelles et que
P(1) = 1. Montrer alors qu'il existe des variables de Bernouilli indépendantes 
B;
telles que pour tout & = 0,-:- ,n,ona pm = POS, B; =k).
Théorème de Hermite-Sylvester

Soit P EUR RÎX) de degré n. On note a1,--:,a, les racines réelles distinctes de 
P et
Bi, B1°°:,0, 0, Ses racines complexes non réelles, où 5; désigne le conjugué de 
B;. On

note m; la multiplicité de a; et n; celle de b; et 5;.
Pour tout k& > 0, on introduit

T S _+
se = D moi + D on;(8; + B;).
i=1 j=1
On introduit les applications linéaires (x : C" --=> C définies par
PR(ti, te" En) = Diag
i=1

ainsi que

n
DACAE °°  Tn) -- Y ab
i=1

-- il
On notera aussi d,(21,:-- ,2n) = D mi

17 > Montrer que (@1,:::,4,,%1,%,,::: ,%,, 0.) est une famille libre.
Indication : on pourra utiliser les matrices de Vandermonde.

18 > Montrer que

q(æ,: "° ,Tn) -- D Mrpr(ti. "T° Tr) +

k=1
5 --
> TE (ua, T° Tn)" + DACAE _- En) );
k=1
s'écrit sous la forme q(t1,::+ ,%n) = 35,21 Sir -otits.

19 > Montrer que si P est à racines toutes réelles, alors g : R? ---- R définie 
par
Qt," ,Tn) = Yi; Sir5-2tit;, est à valeurs positives.

On suppose à présent 7 < n et on écrit pour tout 4 = 1,---,s V2 + = 2Re(y) -- 21m(u;)°. 20 > Montrer que les applications linéaires R° -- R suivantes sont 
R-linéairement
indépendantes :

Pi: >: Pr; Re(:), Im(x:), TT , Res), Im(x.).
21 > Conclure que P est à racines toutes réelles si et seulement si q est à 
valeurs positives

sur R7.
Indication : on pourra utiliser, sans justification, l'existence d'un vecteur
(t1,--- ,4n) EUR R' qui annule toutes les formes linéaires de la question 
précédente

sauf une au Choïx.

Suite multiplicative de Polya-Schur

Étant donnée une suite réelle (jy)reN, on considère l'opérateur F : R[X] --+ 
R|X]
défini par la formule
k=0 k=0
Une suite (Jh)nen est dite multiplicative au sens de Polya-Schur si l'opérateur 
l préserve

l'ensemble des polynômes à racines toutes réelles, 1.e. si P a toutes ses 
racines réelles alors
l'(P) aussi.

22 > Montrer que la suite définie par 7, = n est multiplicative au sens de 
Polya-Schur.

23 > Montrer que si (}»)h>0 est multiplicative au sens de Polya-Schur alors 
pour tout
k > 0, la suite (y )n>r = (9%, Yk21,°-*) l'est aussi.

Soit P(X) = ag + a X +... +a, XX" avec a, % 0. On suppose que P a toutes ses
racines réelles : on les note æ1 < %2 < --- < x,. On rappelle que -- = D}, ty; et on An-2 __ admet que 2 = D'iéicjen tit; de sorte que nm 2 2 2 A _1 -- ZAnAn-2 = y ) T3. k=1 24 & Soit (y»}n>0 une suite non nulle, multiplicative au sens de Polya-Schur et 
on suppose
qu'il existe k > 0 tel que 7; = 0 avec 5-1 Æ 0. Montrer que 411 = O0 puis que
Ym = 0 pour tout m > K.
Indication : on pourra utiliser les expressions de T((14+X)*T1) et EXT XFN),
puis, pour m > k +2, raisonner sur les racines de T'((1+X)").

25 > On suppose que la suite multiplicative (y,),>0 ne s'annule jamais. Montrer 
alors
quelle est soit de signe constant, soit alternée.
Indication : on pourra utiliser encore l'expression de TXT -- XE1.
Théorème de Polya-Schur

On considère à présent une suite (/»)1>0 strictement positive, i.e. 7, > 0 pour 
tout
n > (0.
On suppose que (y»)1>0 est multiplicative au sens de Polya-Schur.

26 > Montrer que Q,(X) = 59% ()X * a toutes ses racines réelles et négatives.

Réciproquement supposons que Q,(X) = 30% (x * a toutes ses racines réelles
négatives. On fait le changement de variable x = z/n, de sorte que

P()= DES) (1

k
e 2:

a toutes ses racines réelles et négatives.

27 © En utilisant le théorème 1, montrer que (,)1>0 est multiplicative au sens 
de Polya-
Schur.

On suppose que (y»)1>0 est multiplicative au sens de Polya-Schur.

28 > Montrer que (y)}nen est log-concave, ie. 42 > 119% 1 pour tout # > 1.

29 > En déduire que la série entière > ,-0/n2" à un rayon de convergence 
strictement
positif.

30 © En déduire que »},:9 2" à un rayon de convergence infini et peut s'obtenir 
comme
la limite uniforme sur tout intervalle fermé borné de R, de polynômes à racines
toutes réelles et négatives.

31 > Réciproquement montrer que si »,>0 x" a un rayon de convergence infini et
peut s'obtenir comme la limite uniforme, sur tout intervalle fermé borné de R,, 
de
polynômes à racines toutes réelles et négatives, alors (4,)1>0 est 
multiplicative au
sens de Polya-Schur.

Indication : pour cette question, toute tentative de réponse, partielle ou 
purement
qualitative, sera considérée par le Jury.

FIN DU PROBLÈME

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


© Éditions H&K

Mines Maths 2 PC 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thierry Limoges (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Florian Metzger (professeur en CPGE) et Gilbert Monna (professeur honoraire
en CPGE).

Ce sujet est constitué de six parties relativement indépendantes. On s'intéresse
aux polynômes à racines toutes réelles et à des opérations qui laissent stable 
cet
ensemble.
· La première partie aborde les suites log-concaves, dont la définition est 
donnée
dans l'énoncé.
· La partie II étudie les polynômes à racines toutes réelles, notamment leur 
stabilité par dérivation et par l'application linéaire P 7- P0 - P.
· Dans la partie suivante, on donne des exemples de polynômes à racines toutes
réelles : polynôme caractéristique de matrice, polynômes orthogonaux pour un
produit scalaire, ou série génératrice d'une variable aléatoire finie.
· La quatrième partie caractérise les polynômes à racines toutes réelles par la
positivité d'une forme quadratique, une application qui s'écrit comme somme
de carrés de formes linéaires. C'est le théorème de Hermite-Sylvester.
· Dans la partie V, on étudie les suites multiplicatives de Pólya-Schur : ce 
sont
celles qui conservent le caractère réel des racines d'un polynôme lorsqu'on 
multiplie ses coefficients par ceux de la suite terme à terme.
· La dernière partie établit le théorème de Pólya-Schur qui caractérise les 
suites
multiplicatives du même nom.
Hormis la troisième partie et les trois dernières questions, ce sujet n'utilise 
que
des outils de PCSI. Des questions proches du cours sont intercalées avec 
d'autres
qui sont hautement techniques. On utilise de l'algèbre, de l'analyse et un 
soupçon de
probabilités. Ce sujet peut être étudié dès la première année ou pour réviser. 
Enfin,
on pourra laisser de côté la dernière question car elle est hors programme.

© Éditions H&K

Indications
Log-concavité des suites
2 Appliquer la définition et utiliser le résultat de la question 1.
3 Montrer que si aj+1 6 aj pour un indice j, c'est encore le cas pour les paires
d'indices consécutifs suivants.
Polynômes réels à racines toutes réelles
4 Invoquer que si  est une racine multiple de P, alors c'est aussi une racine 
de P0 .
Appliquer le théorème de Rolle entre deux racines de P.
5 Exprimer le degré de Q en fonction de la multiplicité de 0 comme racine de P
lorsque P(0) = 0. Remarquer que les racines de Q sont les inverses des racines
non nulles de P.
6 Calculer explicitement Q et utiliser la positivité de son discriminant 
lorsque celuici est de degré 2.
7 Traiter séparément le cas  = 0. Appliquer le même raisonnement qu'à la 
question 4 puis exprimer la somme des racines du polynôme en fonction des 
coefficients.
8 Factoriser Q et remarquer que (X - )(D) = D -  id.
Quelques exemples
9 Utiliser le théorème spectral.
10 Diagonaliser A et prendre la racine carrée de ses valeurs propres.
11 Montrer que C2 B (X) = CBC (X) d'abord pour C inversible, puis modifier 
légèrement les valeurs propres de C et passer à la limite.
12 Vérifier la convergence en comparant à une intégrale de Riemann. Utiliser 
qu'une
fonction continue positive d'intégrale nulle sur un intervalle est nulle.
13 Appliquer l'algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt puis montrer la
propriété sur le degré par récurrence.
r

14 Utiliser l'orthogonalité de Ln avec

 (X - i ) lorsque r < n et 1 , . . . , r sont les i=1 racines réelles de Ln . 15 Utiliser que la série génératrice d'une somme de variables aléatoires mutuellement indépendantes est le produit de leur séries génératrices. 16 Utiliser les calculs de la question 15 pour trouver les paramètres bi des Bi . Théorème de Hermite-Sylvester 17 Montrer que la famille (e1  , . . . , en  ) définie par ei  (x1 , . . . , xn ) = xi . est une base de L (Cn , C), Exprimer la matrice de la famille considérée dans cette base. 18 Dans le développement des carrés des formes linéaires, calculer explicitement les coefficients devant xi xj et remarquer qu'ils ne dépendent que de i + j. 20 Supposer qu'une combinaison linéaire de ces formes R-linéaires est nulle et montrer que celle-ci est aussi nulle sur Cn , puis utiliser le résultat de la question 17. 21 Utiliser la définition de q et l'indication de l'énoncé. © Éditions H&K Suite multiplicative de Pólya-Schur 22 Montrer que (P) = XP0 . 23 Considérer le polynôme Xk P. 24 Décaler la suite à l'aide de la question 23 puis utiliser les polynômes (1 + X)2 et X2 - 1. Raisonner par l'absurde et considérer le plus petit indice m > k tel
que m 6= 0.
25 Même indication que pour la question 24.
Théorème de Pólya-Schur
26 Utiliser le polynôme (1 + X)n .
27 Appliquer le théorème 1 à un polynôme P puis faire tendre n vers +. Montrer
qu'un z0  C r R n'est pas racine de (P) en minorant la distance entre z0 et les
racines de P  Pn .
28 Utiliser le polynôme (X - 1)2 .
29 Montrer que la suite (n+1 /n )nN est décroissante, puis appliquer le critère 
de
d'Alembert.
30 Majorer le terme général de la série et utiliser le résultat de la question 
29.
31 Supposer la convergence d'une suite de polynômes vers la somme de la série 
entière uniforme sur un voisinage complexe de 0, ce qui implique la convergence
uniforme de ses dérivées successives au voisinage de 0 d'après un théorème 
d'analyse complexe de niveau L3. Ensuite, utiliser le théorème 1 et le 
raisonnement de
la question 27.

© Éditions H&K

Log-concavité des suites
1 Soit n  N. Pour tout k  [[ 0 ; n ]], posons ak =

n
et remarquons que ak > 0.
k

Soit k  [[ 1 ; n - 1 ]]. Calculons
 2 
-1 
-1
ak 2
n
n
n
=
k
k-1
k+1
ak-1 ak+1
=
=

(n!)2 (k - 1)! (n - k + 1)! (k + 1)! (n - k - 1)!
2

(k!)2 [(n - k)!] (n!)2
k+1 n-k+1
k } n-k
| {z
| {z }
>1

ak 2
>1
ak-1 ak+1

>1

Comme ak-1 ak+1 > 0, on a ak 2 > ak-1 ak+1 . Ceci étant vrai pour tout k  [[ 1 
; n-1 ]],
 
n
est log-concave.
Pour tout n  N, la suite
k
06k6n
2 Soient n  N et k  [[ 1 ; n - 1 ]]. Comme (ak )06k6n est ultra log-concave,

soit

ak 2

ak 2
ak-1 ak+1

 2 > 
n
n
n
k-1
k+1
k
 2 
-1 
-1
n
n
n
> ak-1 ak+1
> ak-1 ak+1
k
k-1
k+1

n
est log-concave d'après le résultat de la question 1.
car
k
06k6n
Si (ak )06k6n est ultra log-concave, alors elle est log-concave.
3 Soit (ak )06k6n une suite strictement positive et log-concave. Posons
j = max {k  [[ 0 ; n ]] | a0 6 a1 6 · · · 6 ak }
Si k = n, on pose j = n et la suite est unimodulaire. Sinon, montrons par 
récurrence
que le prédicat
P(`) :

aj+` > aj+`+1

est vraie pour tout `  [[ 0 ; n - j - 1 ]].
· P(0) est vraie car par définition de j, on a aj > aj+1 .
· P(`) = P(` + 1) : soit `  [[ 0 ; n - j - 1 ]] tel que P(`) est vraie. Par 
logconcavité de la suite on a
aj+` aj+`+2
aj+`+1 >
> aj+`+2
aj+`+1
car aj+` > aj+`+1 par hypothèse de récurrence et aj+`+1 > 0. Donc P(` + 1)
est vraie.