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Mines Maths 2 PC 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thierry Limoges (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Florian Metzger (professeur en CPGE) et Gilbert Monna (professeur honoraire
en CPGE).
Ce sujet est constitué de six parties relativement indépendantes. On s'intéresse
aux polynômes à racines toutes réelles et à des opérations qui laissent stable
cet
ensemble.
· La première partie aborde les suites log-concaves, dont la définition est
donnée
dans l'énoncé.
· La partie II étudie les polynômes à racines toutes réelles, notamment leur
stabilité par dérivation et par l'application linéaire P 7- P0 - P.
· Dans la partie suivante, on donne des exemples de polynômes à racines toutes
réelles : polynôme caractéristique de matrice, polynômes orthogonaux pour un
produit scalaire, ou série génératrice d'une variable aléatoire finie.
· La quatrième partie caractérise les polynômes à racines toutes réelles par la
positivité d'une forme quadratique, une application qui s'écrit comme somme
de carrés de formes linéaires. C'est le théorème de Hermite-Sylvester.
· Dans la partie V, on étudie les suites multiplicatives de Pólya-Schur : ce
sont
celles qui conservent le caractère réel des racines d'un polynôme lorsqu'on
multiplie ses coefficients par ceux de la suite terme à terme.
· La dernière partie établit le théorème de Pólya-Schur qui caractérise les
suites
multiplicatives du même nom.
Hormis la troisième partie et les trois dernières questions, ce sujet n'utilise
que
des outils de PCSI. Des questions proches du cours sont intercalées avec
d'autres
qui sont hautement techniques. On utilise de l'algèbre, de l'analyse et un
soupçon de
probabilités. Ce sujet peut être étudié dès la première année ou pour réviser.
Enfin,
on pourra laisser de côté la dernière question car elle est hors programme.
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Indications
Log-concavité des suites
2 Appliquer la définition et utiliser le résultat de la question 1.
3 Montrer que si aj+1 6 aj pour un indice j, c'est encore le cas pour les paires
d'indices consécutifs suivants.
Polynômes réels à racines toutes réelles
4 Invoquer que si est une racine multiple de P, alors c'est aussi une racine
de P0 .
Appliquer le théorème de Rolle entre deux racines de P.
5 Exprimer le degré de Q en fonction de la multiplicité de 0 comme racine de P
lorsque P(0) = 0. Remarquer que les racines de Q sont les inverses des racines
non nulles de P.
6 Calculer explicitement Q et utiliser la positivité de son discriminant
lorsque celuici est de degré 2.
7 Traiter séparément le cas = 0. Appliquer le même raisonnement qu'à la
question 4 puis exprimer la somme des racines du polynôme en fonction des
coefficients.
8 Factoriser Q et remarquer que (X - )(D) = D - id.
Quelques exemples
9 Utiliser le théorème spectral.
10 Diagonaliser A et prendre la racine carrée de ses valeurs propres.
11 Montrer que C2 B (X) = CBC (X) d'abord pour C inversible, puis modifier
légèrement les valeurs propres de C et passer à la limite.
12 Vérifier la convergence en comparant à une intégrale de Riemann. Utiliser
qu'une
fonction continue positive d'intégrale nulle sur un intervalle est nulle.
13 Appliquer l'algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt puis montrer la
propriété sur le degré par récurrence.
r
14 Utiliser l'orthogonalité de Ln avec
(X - i ) lorsque r < n et 1 , . . . , r sont les i=1 racines réelles de Ln . 15 Utiliser que la série génératrice d'une somme de variables aléatoires mutuellement indépendantes est le produit de leur séries génératrices. 16 Utiliser les calculs de la question 15 pour trouver les paramètres bi des Bi . Théorème de Hermite-Sylvester 17 Montrer que la famille (e1 , . . . , en ) définie par ei (x1 , . . . , xn ) = xi . est une base de L (Cn , C), Exprimer la matrice de la famille considérée dans cette base. 18 Dans le développement des carrés des formes linéaires, calculer explicitement les coefficients devant xi xj et remarquer qu'ils ne dépendent que de i + j. 20 Supposer qu'une combinaison linéaire de ces formes R-linéaires est nulle et montrer que celle-ci est aussi nulle sur Cn , puis utiliser le résultat de la question 17. 21 Utiliser la définition de q et l'indication de l'énoncé. © Éditions H&K Suite multiplicative de Pólya-Schur 22 Montrer que (P) = XP0 . 23 Considérer le polynôme Xk P. 24 Décaler la suite à l'aide de la question 23 puis utiliser les polynômes (1 + X)2 et X2 - 1. Raisonner par l'absurde et considérer le plus petit indice m > k tel
que m 6= 0.
25 Même indication que pour la question 24.
Théorème de Pólya-Schur
26 Utiliser le polynôme (1 + X)n .
27 Appliquer le théorème 1 à un polynôme P puis faire tendre n vers +. Montrer
qu'un z0 C r R n'est pas racine de (P) en minorant la distance entre z0 et les
racines de P Pn .
28 Utiliser le polynôme (X - 1)2 .
29 Montrer que la suite (n+1 /n )nN est décroissante, puis appliquer le critère
de
d'Alembert.
30 Majorer le terme général de la série et utiliser le résultat de la question
29.
31 Supposer la convergence d'une suite de polynômes vers la somme de la série
entière uniforme sur un voisinage complexe de 0, ce qui implique la convergence
uniforme de ses dérivées successives au voisinage de 0 d'après un théorème
d'analyse complexe de niveau L3. Ensuite, utiliser le théorème 1 et le
raisonnement de
la question 27.
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Log-concavité des suites
1 Soit n N. Pour tout k [[ 0 ; n ]], posons ak =
n
et remarquons que ak > 0.
k
Soit k [[ 1 ; n - 1 ]]. Calculons
2
-1
-1
ak 2
n
n
n
=
k
k-1
k+1
ak-1 ak+1
=
=
(n!)2 (k - 1)! (n - k + 1)! (k + 1)! (n - k - 1)!
2
(k!)2 [(n - k)!] (n!)2
k+1 n-k+1
k } n-k
| {z
| {z }
>1
ak 2
>1
ak-1 ak+1
>1
Comme ak-1 ak+1 > 0, on a ak 2 > ak-1 ak+1 . Ceci étant vrai pour tout k [[ 1
; n-1 ]],
n
est log-concave.
Pour tout n N, la suite
k
06k6n
2 Soient n N et k [[ 1 ; n - 1 ]]. Comme (ak )06k6n est ultra log-concave,
soit
ak 2
ak 2
ak-1 ak+1
2 >
n
n
n
k-1
k+1
k
2
-1
-1
n
n
n
> ak-1 ak+1
> ak-1 ak+1
k
k-1
k+1
n
est log-concave d'après le résultat de la question 1.
car
k
06k6n
Si (ak )06k6n est ultra log-concave, alors elle est log-concave.
3 Soit (ak )06k6n une suite strictement positive et log-concave. Posons
j = max {k [[ 0 ; n ]] | a0 6 a1 6 · · · 6 ak }
Si k = n, on pose j = n et la suite est unimodulaire. Sinon, montrons par
récurrence
que le prédicat
P(`) :
aj+` > aj+`+1
est vraie pour tout ` [[ 0 ; n - j - 1 ]].
· P(0) est vraie car par définition de j, on a aj > aj+1 .
· P(`) = P(` + 1) : soit ` [[ 0 ; n - j - 1 ]] tel que P(`) est vraie. Par
logconcavité de la suite on a
aj+` aj+`+2
aj+`+1 >
> aj+`+2
aj+`+1
car aj+` > aj+`+1 par hypothèse de récurrence et aj+`+1 > 0. Donc P(` + 1)
est vraie.
