Mines Maths 2 PC 2020

Thème de l'épreuve Approximation par des exponentielles-polynômes
Principaux outils utilisés produit scalaire, séries entières, intégrales à paramètre, polynômes orthogonaux
Mots clefs approximation, polynômes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A2020 --- MATH II PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS. MINES PARISTECH.
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 3 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés les termes de la 
licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Approximation par des exponentielles-polynômes

L'objectif du problème est d'établir, par des méthodes euclidiennes, des 
théorèmes d'approximation
par des polynômes ou des exponentielles-polynômes de certaines fonctions 
définies sur [0, +c{ ou sur R.

Les parties I et II sont indépendantes. La partie IIT utilise les résultats des 
parties I et IL.

Étant donné un intervalle Z de R, on appelle fonction polynomiüale sur I toute 
fonction de la forme
nm

f:l--R,xr- Ù Xx", où n est un entier naturel et Ào..... À, des nombres réels.
k=0

|. Résultats préliminaires

l.1. Étude d'une série entière

Pour tout réel x strictement positif, on pose
+00
l(x) - | le tdi.
0

1) Montrer que la fonction l'est bien définie, et à valeurs strictement 
positives.

2) À l'aide d'une intégration par parties que l'on justifiera avec soin, 
montrer que T(x +1) = xT (x) pour
tout x > (0.

Fin+a+1)
n!

Soit à un réel strictement supérieur à --1. Pour tout n EUR N, on pose an --
3) Déterminer le rayon de convergence À de la série entière Ù Ant".

4) Montrer que

T F(a+1)
ant" = 5 pour tout x EUR] -- À, R].
> (1 -- x)a+t

OO oo
On pourra effectuer une permutation des symboles > et | , que l'on justifiera 
soigneusement.
0

n=0

1.2. Projections orthogonales

Dans cette partie, E désigne un R-espace vectoriel, pas nécessairement de 
dimension finie, muni d'un
produit scalaire (:,-). On note || - || la norme associée à ce produit 
scalaire, définie par |x|| -- (x,x)1/2
pour tout x EUR E.

Soit Fun sous-espace vectoriel différent de {0} et de dimension finie de E.
5) Donner la définition de la projection orthogonale Tr sur F.

On fixe (e1,...,e,) une base orthonormale de F, et x un vecteur de E.

nm

6) Montrer que rr(x) -- d (x, e;)e.
i=1
7) Montrer enfin que

nm

le rex) = fl -- > {x ei).

i=1l
Il. Polynômes de Laguerre

Dans toute cette partie, on fixe un réel & > --1, et on note E,, l'ensemble des 
fonctions continues

+00
f:[0,+æ[- R telles que l'intégrale | ae" f(x)*dx est convergente.
0

a? + b?
8) Montrer que, pour tout (a,b) EUR R°, [ab] < 5 -- +00 9) En déduire que, si f et g sont deux éléments de Æ,,, l'intégrale | x°e * f(x)g(x)dx est convergente. 0 10) En déduire que Æ,, est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel C'([0,+],R) des fonctions continues de [0, +! vers R. 11) Montrer que toute fonction polynomiale sur [0, +] est élément de £,,. Pour tout entier naturel n, on définit les fonctions --T On :]0, +o[- R,zrr re et Un 10, +o0[- Rx x er pl (x) où la notation pi) désigne la dérivée d'ordre n de w, (avec la convention pU) = Do). 12) Calculer 0, 1 et Ye. 13) Pour tout n EUR N, montrer que la fonction #, est polynomiale. Préciser son degré et son coefficient dominant. Dans la suite, on identifie #, à son unique prolongement continu à |[0,+c|, qui est une fonction polynomiale sur [0,+æ[. Cela permet de considérer , comme un élément de F,,, ce qu'on fera désormais. Pour tout (f,g) EUR EZ, on pose +00 PER 07 0 0 14) Montrer que (-,-) est un produit scalaire sur E,,. Dans la suite, on note || - |, la norme associée à ce produit scalaire, définie par 1/2 +00 lle = (| ea" (ad) pour tout f EUR E,. 15) Soit n un entier > 1. Pour tout entier k EUR [0,n -- 1], établir que
ER) (x) -- 0 quand x tend vers 0 par valeurs strictement positives,

et que
EU) (x) = 0 (e7?) quand x --+ +00.

16) Soit m et n deux entiers naturels. Montrer que
+00
(msn) = (D [VE (men (dr
0

En déduire que la famille (#,),eN est orthogonale pour le produit scalaire (:, 
-).

17) Montrer que, pour tout n EUR N, [#2 = n!T(n+a+1) (la fonction la été 
définie dans la partie I).
IT. Approximation
On conserve les hypothèses et notations de la partie IT. Pour tout entier 
naturel k, on définit la fonction
fr :[0,+o0[- R,rr er,

qui est élément de FE, (on ne demande pas de le vérifier).

Pour tout N EUR N, on note Vx le sous-espace vectoriel de Æ,, engendré par la 
famille finie (d,)0:,2n: EURt
on note mn la projection orthogonale de E,, sur Vx.

co 2
18) Soit k EUR N. Montrer l'existence de la somme > he Un} , et calculer sa 
valeur.

4 lé
19) En déduire que, pour tout kE N, | fx -- mn(fx)lla -- 0 quand N -- +co.
Dans la suite, on note P le sous-espace vectoriel de E,, constitué des 
fonctions polynomiales.

20) Montrer que, pour tout k EUR N et tout EUR > 0, il existe p EUR P telle que 
|| fr -- plla < EUR. Soit f : [0,+oo[-- R une fonction continue tendant vers 0 en +ce. Il est facile de vérifier (ce n'est pas demandé) que f EUR E,. 21) Montrer que, pour tout EUR > O, il existe un entier naturel n ainsi que des 
réels 10,..., À, tels que
nm
L D Xl]  0, il existe
une fonction polynomiale p : [0,1] -- R telle que [p(t) -- p(t)| < EUR pour tout t EUR [0,1]. 22) Montrer que, pour tout EUR > 0, il existe p EUR P telle que | f -- pl, < EUR. 23) Soit h : R -- R une fonction continue, paire et nulle en dehors d'un segment [--A, À] (A > O).
Montrer que, pour tout EUR > O, il existe une fonction polynomiale p : R -- R 
telle que

[7 (n(x) pe). dx < EUR. -- OO On pourra appliquer le résultat de la question 22) à la fonction f : [0,+oo[-- Rx h(/x)e? et à un a bien choisi. On peut montrer que le résultat de la question 23) est en réalité valable pour toute fonction h:R = R continue et de carré intégrable sur R. FIN DU PROBLÈME

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PC 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Philippe Bouafia (professeur agrégé en école 
d'ingénieurs) ; il a été relu par Thierry Limoges (professeur en CPGE) et 
Florian Metzger
(professeur en CPGE).

Le sujet porte sur l'approximation de fonctions continues par des fonctions 
poly2
nomiales ou par des produits de fonctions polynomiales avec la fonction x 7 e 
-x /2 .
· La partie I réunit quelques résultats nécessaires aux développements des 
parties
suivantes. On y introduit la fonction  d'Euler, dont on prouve les propriétés
élémentaires. La partie se termine par plusieurs questions de cours faciles sur
la notion de projection sur un sous-espace de dimension finie d'un espace 
préhilbertien.
· La partie II est consacrée à l'étude de l'espace vectoriel E (pour  > -1) des
fonctions continues f : [ 0 ; + [  R telles que l'intégrale
Z +
x e -x f (x)2 dx
0

soit convergente. Cet espace est le cadre d'étude pour les théorèmes 
d'approximation qui seront étudiés dans la dernière partie. Il est suffisamment 
général
pour inclure toutes les fonctions polynomiales, qui jouent un rôle primordial en
analyse. Il est muni d'un produit scalaire naturel h·, ·i défini par
Z +
2
(f, g)  E
hf, gi =
x e -x f (x)g(x) dx
0

Ce produit scalaire induit la norme k · k . Son importance vient du fait que
les fonctions de E peuvent être approchées par des fonctions polynomiales en
norme k · k . On construit une famille orthogonale (pour ce produit scalaire)
de fonctions polynomiales, les polynômes de Laguerre.
· La dernière partie constitue le coeur thématique de l'épreuve, même si le 
traitement intégral des deux premières a déjà permis au candidat de prouver sa
valeur. Elle contient les questions les plus délicates. Les deux dernières, 
notamment, établissent des théorèmes d'approximation qui justifient le titre de
l'épreuve.
Si les deux premières parties sont indépendantes, leurs résultats sont 
abondamment utilisés dans la troisième partie, qui exigeait de bonnes capacités 
de synthèse.
Dans l'ensemble, le sujet, de longueur raisonnable, contient nombre de 
questions très
abordables, y compris dans la dernière partie, et fait appel à des outils 
classiques
d'analyse : séries entières, interversion série-intégrale et famille de 
polynômes orthogonaux.

Indications
Partie I
1 Pour tout x > 0, étudier l'intégrabilité de la fonction t 7 tx-1 e -t en 0 et 
en +.
2 Effectuer une intégration par parties.
3 Appliquer la règle de d'Alembert.
7 Appliquer le théorème de Pythagore.
Partie II
8 Développer (|a| - |b|)2 .
11 Par des arguments de linéarité, il suffit de montrer que les fonctions 
monomiales,
c'est-à-dire de la forme x 7 xn , où n  N, appartiennent à E .
13 Calculer n (n) à l'aide de la formule de Leibniz.
15 Montrer que la fonction n (k) s'écrit comme une combinaison linéaire de 
fonctions
de la forme x 7 x e -x , avec  > 0.
16 Intégrer par parties de manière successive.
17 Montrer que la fonction n (n) est constante.
Partie III
18 Calculer hfk , n i à l'aide d'intégrations par parties successives, puis 
reconnaître
dans la somme
+
X
hfk , n i

n=0

kn k

2

un cas particulier de la somme de la question 4, à un coefficient multiplicatif 
près.
2

19 Calculer d'une part kfk k et appliquer d'autre part le résultat de la 
question 7.
20 Effectuer une projection orthogonale sur VN , avec N bien choisi.
21 Remarquer que, pour tout x  R+ , on a g(x) = f (e -x ), où g est définie dans
l'énoncé.
22 Utiliser le résultat de la question 21, et approcher à leur tour les 
fonctions fk par
des polynômes.

I. Résultats préliminaires

1 Soit x  R+ . Montrons en premier lieu que la fonction t 7 tx-1 e -t , définie 
et
continue sur R+ , y est intégrable, ce qui établira que la fonction  est bien 
définie
en x. Pour cela, étudions l'intégrabilité de cette fonction aux extrémités du 
domaine
d'intégration.
· Étude en 0 : puisque lim e -t = 1, on a l'équivalence suivante
t0

tx-1 e -t 

1

t0 t1-x

De plus, comme 1 - x < 1, la fonction positive t 7 1/t1-x est intégrable sur ] 0 ; 1 ] par le critère de Riemann. Par équivalence, il en est de même pour la fonction t 7 tx-1 e -t . · Étude en + : cette fois, on a la relation de négligeabilité tx-1 e -t = o e -t/2 valable en +. En effet, tx-1 e -t = tx-1 e -t/2 - 0 t+ e -t/2 par croissances comparées. L'intégrabilité sur [ 1 ; + [ de la fonction t 7 e -t/2 implique alors celle de la fonction dominée t 7 tx-1 e -t . Il résulte de la discussion précédente que la fonction t 7 tx-1 e -t est intégrable sur R+ . Comme elle est à valeurs strictement positives, son intégrale sur ] 0 ; + [ est elle-même strictement positive. La fonction  est bien définie et est à valeurs dans R+ . 2 Soit x  R+ . Les applications t 7 e -t et t 7 tx /x sont de classe C 1 sur R+ . Par croissances comparées, tx e -t  0 lorsque t  +. De plus, en partant de l'écriture tx e -t = exp (x ln t - t), on montre, par composition de limites, que lim+ tx e -t = lim exp = 0 t0 - La paragraphe précédent établit l'existence du crochet + x tx -t t -t tx e = lim e - lim+ e -t = 0 - 0 = 0 t+ x t0 x x 0 Il en résulte que les intégrales Z Z + 1 + x tx-1 e -t dt et t (-e -t ) dt x 0 0 sont de même nature. La première est convergente d'après le résultat de la question 1. On peut ainsi effectuer l'intégration par parties suivante x + Z + Z Z t -t 1 + (x+1)-1 -t 1 + x x-1 -t -t e dt = e t (-e ) dt = t e dt t - x x 0 x 0 0 0 ce qui revient à dire que x  R+ (x + 1) = x(x) On peut étendre la fonction  à R r {0, -1, -2, . . . } de sorte que la formule précédente reste valable. Pour cela, on définit d'abord (x) = (x + 1)/x pour tout x  ] -1 ; 0 [, puis on réutilise cette formule pour définir (x) pour x  ] -2 ; -1 [, et ainsi de suite. Cependant, la formule intégrale de la question 1 n'est valable que pour x  R+ . Un calcul direct donne (1) = 1. À l'aide de la formule précédente, on peut prouver par récurrence que (n + 1) = n ! pour tout entier n  N. En ce sens, la fonction  généralise les factorielles. Elle trouve ainsi des applications dans tous les domaines des mathématiques, y compris en arithmétique. 3 Notons d'abord que an > 0, comme on l'a vu à la question 1, pour tout n  N.
Soit x  R . En vue d'appliquer la règle de d'Alembert, on calcule le quotient
an+1 xn+1
(n +  + 2)
n!
=
|x|
a n xn
(n + 1) ! (n +  + 1)
(n +  + 1)(n +  + 1)
n!
=
|x| (question 2)
(n + 1)n !
(n +  + 1)
n++1
an+1 xn+1
|x| - |x|
=
n
n+
an x
n+1
P
Ainsi, lorsque |x| < 1, la série an xn converge absolument, et lorsque |x| > 1,
elle diverge grossièrement. On conclut que
P
La série entière
an xn a pour rayon de convergence 1.
Qu'en est-il de la convergence au bord de l'intervalle ] -1 ; 1 [, c'est-à-dire 
aux
points x = -1 et x = 1 ?
· Cas  > 0 et x = -1 : le calcul précédent montre que
an+1
n++1
>1
=
an
n+1
Ainsi, la suite positive (an )nN est croissante. Comme de plus,
P a0 > 0,
il s'en suit que (an )nN ne converge pas vers 0 et que la série an (-1)n
diverge grossièrement.
n  N

· Cas   ] -1 ; 0 [ et x = -1 : On observe d'abord que la série de terme
général an (-1)n est alternée. Comme
an+1
n++1
n  N
61
=
an
n+1
et que la suite (an )nN est positive, elle est décroissante. Il ne reste
plus qu'à prouver qu'elle tend vers 0 pour pouvoir appliquer
P le critère
spécial des séries alternées et conclure à la convergence de
an (-1)n .
On remarque que, pour tout n  N, on a

an+1
ln an+1 - ln an = ln
an

= ln 1 +
n+1

ln an+1 - ln an 

( 6= 0)
n+1
n
Par comparaison avec la série de terme général /n de signe négatif,
la série de terme général ln an+1 - ln an diverge vers -. On en déduit
par télescopage que
ln an - ln a0 =

n-1
P

(ln ak+1 - ln ak ) -

k=0

d'où le fait que an  0 lorsque n  .

n

-