Mines Maths 2 PC 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Paul Bonnet (professeur en CPGE) ; il a été relu
par David Michel (ENS Rennes) et William Aufort (professeur en CPGE).
L'objectif de cette épreuve est d'étudier la dérivabilité en 0 et en de la
fonction R
définie par la somme d'une série de fonctions :
+
X
sin n2 x
R(x) =
n2
n=1
Le sujet comporte quatre parties.
· Dans la partie I, il est demandé d'établir des résultats élémentaires de
convergence d'une série de fonctions et d'une intégrale. Cette partie se
termine par
la preuve qu'une certaine intégrale à paramètre définit une fonction continue
sur R.
· Dans la partie II, on établit la non-dérivabilité en 0 de R. Pour cela, on
prouve
une égalité entre une fonction définie par une série et une intégrale à
paramètre. Le calcul de l'équivalent de R en 0 se fait notamment en utilisant la
caractérisation séquentielle de la limite et le théorème de convergence dominée.
· Dans la partie III, on démontre une formule sommatoire dite de Poisson. Pour
ce
faire, on prouve la continuité et la 2-périodicité de deux fonctions avant d'en
calculer les coefficients de Fourier complexes. Les objets sont définis dans le
sujet et un résultat central est admis. Il est besoin d'établir certaines
inégalités
techniques.
· Enfin dans la partie IV, on établit la dérivabilité en de la fonction R.
Pour cela,
on démontre de façon classique le caractère C d'une certaine fonction qui est
a priori définie par morceaux. Puis, à grand renfort d'intégrations par parties,
la convergence d'une intégrale ainsi que des inégalités afin d'appliquer la
formule sommatoire de Poisson. Ce travail débouche sur l'existence pour R d'un
développement limité au voisinage de qui permet de conclure.
Ce sujet est classique et parcourt une bonne partie du programme d'analyse de
la filière PC. La moitié des questions environ sont relativement faciles,
d'autres sont
des variations de méthodes classiques. Enfin, certaines questions réclament de
vérifier
scrupuleusement les conditions d'application des résultats prouvés ou admis.
Plus
précisément, ce sujet aborde les fonctions d'une variable réelle, les suites et
séries de
fonctions, l'intégration sur un intervalle quelconque et les intégrales à
paramètre.
Indications
Partie II
5 Utiliser la convergence de S établie en question 4 pour justifier de la
convergence
de l'intégrale.
6 Utiliser une minoration de x à partir de l'inégalité qui la définit.
7 Utiliser la limite par la caractérisation séquentielle de la limite à l'aide
du théorème de convergence dominée. La majoration se fait par morceaux à l'aide
de celle
obtenue en question 6.
8 Appliquer le résultat de la question 7 à la fonction x 7 sin(x2 )/x2
convenablement
prolongée par continuité en 0. Veiller à bien établir la condition de domination
nécessaire. Exprimer ensuite S(h) en fonction de R, ce qui permet d'en déduire
l'équivalent de R à droite de 0. Conclure enfin sur la dérivabilité de R en 0
avec
le taux d'accroissement.
Partie III
9 Prouver la convergence normale sur tout segment.
11 Utiliser le résultat admis sur les séries de Fourier, à savoir que si deux
fonctions
continues et 2-périodiques ont les mêmes coefficients de Fourier complexes,
alors
elles sont égales.
12 Appliquer la formule précédente à la fonction h(t) = f (at/2) ce qui conduit
à
vérifier une majoration sur f (at/2) et une majoration sur fb(2x/a).
Partie IV
15 Procéder à une réduction du domaine par parité de la fonction. Effectuer
ensuite
le changement de variable x 7 x2 sur ] 0 ; + [. Il en résulte une intégrale
dont la
partie sur ] 0 ; 1 ] converge classiquement. Pour le morceau restant, effectuer
une
intégration par parties.
16 Intégrer deux fois par partie l'application x 7 x2 fb(x) et utiliser les
questions 14
et 15 pour prouver l'existence de l'intégrale et établir le résultat demandé.
17 Appliquer la formule sommatoire de Poisson établie en question 12 à la
fonction f .
Pour justifier que f vérifie les hypothèses de la formule, utiliser la question
16,
sans oublier de vérifier que fb est bien définie et continue. Le terme b se
déduit
rapidement mais le terme a requiert le calcul de fb(0) ce qui se fait par
intégration
par parties.
18 Remarquer que n et n2 ont la même parité ce qui permet une compensation des
termes en sommant F (4x) et F (x + ).
19 Utiliser la question 18 pour obtenir une expression de F(x + ) dont on déduit
un développement limité à l'aide de la formule de la question 17.
I. Préliminaires
1 La fonction R est la somme d'une série de fonctions continues sur R dont on
va vérifier la convergence uniforme sur R. Pour tout n N , on définit la
fonction fn : x 7 sin(n2 x)/n2 . Cette fonction est définie et continue sur R
et par majoration classique de la fonction sinus, on a
1
n2
qui est le terme général d'une série de Riemann convergente. Ceci prouve la
convergence normale de la série de fonctions de terme général fn sur R donc sa
convergence
simple et uniforme sur R. Dès lors,
kfn k 6
La fonction R est définie et continue sur R.
2 Tout d'abord, la fonction g : x 7 sin(x2 )/x2 est continue sur ] 0 ; + [. Au
voisinage de 0,
sin(x2 )
1
x2 x0
par équivalent classique de la fonction sinus au voisinage de 0. Dès lors, g
est prolongeable par continuité en x = 0 par la valeur 1. L'intégrale proposée
est par conséquent
faussement impropre en 0 et
Z 1
sin(x2 )
dx
x2
0
converge. Pour x > 1, on a
sin(x2 )
1
6 2
x2
x
par majoration classique du sinus. La fonction x 7 1/x2 est intégrable sur [ 1
; + [
par le critère de Riemann. Dès lors, la fonction g est intégrable sur [ 1 ; + [
d'où
Z +
sin(x2 )
dx
x2
1
est convergente. En conclusion,
L'intégrale
Z
0
+
sin(x2 )
dx est convergente.
x2
La fonction fb s'appelle la transformée de Fourier de la fonction f , c'est une
notion d'analyse harmonique qui sert notamment en théorie du signal.
Il s'agit ici d'une intégrale à paramètre, on va par conséquent appliquer le
théorème de continuité sous le signe intégrale.
3
· Pour x R, la fonction t 7 f (t)e-ixt est continue par morceaux sur R puisque
f
l'est et que t 7 e-ixt est continue sur R ;
· Pour t R, la fonction x 7 f (t)e-ixt est continue sur R ;
· Pour (t, x) R2 , f (t)e-ixt 6 |f (t)|, avec |f | positive, continue par
morceaux
et intégrable sur R par hypothèse.
Les conditions étant vérifiées, la fonction fb est bien définie et continue sur
R.
II. Étude de la dérivabilité de R en 0
4 Soient n N et h > 0. En utilisant les hypothèses faites sur f , il vient
|f (nh)| 6
C
n2 h2
+1
6
C
n2 h2
ce qui prouve qu'à partir du rang n = 1 le terme général de S(h) est majoré par
celui
d'une série convergente d'après le critère de Riemann. Ainsi,
S(h) existe pour tout h > 0.
5
Cette question demande d'établir un lien entre une série et une intégrale.
Il faut donc s'inspirer de la démonstration du théorème de comparaison
sérieintégrale. Par ailleurs, les questions mettant en jeu une partie entière
sont
souvent facilement réglées en se ramenant à l'inégalité la caractérisant :
x R
x 6 x < x + 1 Soient n N et h > 0. Pour tout t [ nh ; (n + 1)h [ on a, par définition de la
partie entière, t/h = n d'où h (t) = f (t/h h) = f (nh) et
Z (n+1)h
Z (n+1)h
f (t/h h) dt = f (nh)
dt = hf (nh)
nh
nh
par linéarité de l'intégrale. Cette égalité et la convergence de S prouvent
celles de la
série
X Z (n+1)h
h (t) dt
n>0
et la relation de Chasles donne
+ Z (n+1)h
X
n=0
En conclusion, on a bien
nh
h (t) dt =
+
h (t) dt
0
nh
S(h) =
Z
Z
+
h (t) dt
0
6
Ici l'inégalité demandée s'établit, comme c'est parfois le cas, en « inversant »
celle donnée par la partie entière.
x R
x - 1 < x 6 x D'une part, en appliquant l'inégalité vérifiée par f , on a t C |h (t)| = f h 6 2 h (t/h h) + 1 (1) D'autre part, comme t > 1 et h ] 0 ; 1 ], en utilisant l'inégalité sur les
parties entières
on a
t
t
06 t-16 t-h=
-1 h< h h h
