Mines Maths 2 PC 2018

Thème de l'épreuve Fonctions harmoniques
Principaux outils utilisés analyse, équations différentielles
Mots clefs continuité, intégration, développement en série, D'Alembert-Gauss

Corrigé

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CONCOURS MINES COMMUN... PONTS .. ECOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT--ETIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH. Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines--Télécom, Concours Commun TPE / EIVP. CONCOURS 2018 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l'épreuve : 3 heures L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES n - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d 'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Fonctions harmoniques Soit U un ouvert du plan R2, soit f : U --> C une fonction de classe C2. Son laplacien A f est alors défini sur U par 32 ô2f V(w,y) e U Af<æ,y> = Ô--;;<æ,y> + Ô--y2<æ, y). La fonction f : U --> C est dite harmonique sur U si elle est de classe C2 et de laplacien nul sur U, i.e. Af : O. I Noyau de Dirichlet Pour n entier naturel et t réel, on pose 'I'L TL 'I'L Dn(t) : z eikt : Zeikt + ze--ikt_ k=--n k=0 k=1 1. Vérifier la relation fÎÎ Dn(t) dt : 277 pour tout n entier naturel. 2. Pour H E N et t réel non multiple entier de 277, prouver que _ 1 s1n ((n + 5) L') .--É' 5111 (5) 3. Soit h : [--7r, 7r] --> C une fonction de classe C1. Montrer que l'intégrale Dn(t) = Ia = /_1 h(u) sin(au) du tend vers 0 lorsque le réel oz tend vers +00. On considère maintenant une fonction g : R --> C, de classe C2 et 277-- périodique. Pour tout k: entier relatif, on pose 1 7r --ioe Ck(9)=Ë/_ 9(äï)EUR k dl"- 4. Pour n entier naturel et t réel, prouver la relation î ck(g)eikt-- 1 /7r g(t--u)Dn(u)du. k=_n 277 _7r 5. En déduire que î ck(g) eikt _ g(t) = % /_î ht(u) sin ((n + %) u) du , k=--n où ht est une fonction continue sur [--7T, 77] que l'on explicitera. On admettra que cette fonction ht est de classe C1 sur le segment [--7T, 77]. 6. À l'aide d'une double intégration par parties, montrer que 1 ...) = 0(3) et c_n = O(fi) lorsque n tend vers +00. 7. Prouver la relation +oo _ +oo _ g(t) = z cn(g) em + z c_n(g) e_Z"t . n=0 n=1 II Coordonnées polaires Le plan R2 est muni de sa norme euclidienne canonique. Soit f : U --> C harmonique sur U , où U est un ouvert de R2. Soit mg = (:roeyg) un point de U , soit 5 > 0 tel que la boule ouverte B (mo, 6) soit incluse dans U. Pour (mt) 6] -- ô, ô[> R une fonction harmonique à valeurs réelles sur un ouvert U de R2. On suppose que la fonction f admet un extremum global en un point mo de U. 11. En utilisant les résultats de la partie II, montrer que f est constante sur toute boule ouverte centrée en m0 et incluse dans U. Soit f : K = [O, 277] >< [O, 277] --> R une fonction à valeurs réelles, continue sur le carré fermé K = [O, 277] >< [O, 277], harmonique sur son intérieur U = 0 K =]0, 27T[><[0, 27r[, et nulle sur la frontière Fr(K) = K \ K de ce carré. 12. Montrer que f est nulle sur K. Dans la fin de cette section 111, on cherche à construire une fonction f : K --> R, avec K = [O, 27r]2, satisfaisant aux conditions suivantes : 1 f est continue sur le carré fermé K ; O 2 f est harmonique sur le carré ouvert K =]0, 27T[2, 3 V3: 5 [0,277], f(æ,O) =sin(æ); 4 Va: EUR [0,27r], f(æ,27r) = O; 5 Vy EUR [0,277], f(0,y) = f(277,y) = 0- 13. IV Construire une fonction fo vérifiant ces conditions et qui soit de la forme fg(æ,g) = cp(æ) 1/J(y), où 30 et 1/J sont deux fonctions continues de l'intervalle [O, 277] vers R. Montrer ensuite que cette fonction fo est l'unique solution du problème posé. Développement en série Soit f : D(0, R) --> C harmonique, où D(O, R) est le disque ouvert de centre O et de rayon R, avec R EUR]0, +00]. On posera D(0, +00) = R2. Pour T E [O, R[ et n entier relatif, on pose 14. 15. 16. 1 " . "un(r) = % /_ f(r cos t,rsin t) e_..." dt . En utilisant les calculs faits dans la question 8, montrer que la fonction Un est solution sur [D, R[ de l'équation différentielle (En) : r2 vä(r) + 7" vÇ,(r) -- n2 v,,(r) = 0 . Résoudre l'équation (E...) sur ]0, R[ en utilisant le changement de va-- riable ?" = es. En déduire, pour tout n entier relatif, l'existence d'un coefficient com-- plexe an tel que l'on ait vn(r) = an r'"' sur [O, R[. 17. 18. V Montrer que pour tout 7" E [O, R[ et tout t E R, +00 _ +oo . f(rcos t,rsint) : 2 an (r gli)" + 2 a_n (r e--zt)n_ n=0 n=1 Soit f : R2 --> C une fonction harmonique bornée sur R2. Montrer que f est constante. Théorème de D'AIembert-Gauss Dans cette dernière partie, on considère un polynôme P E C[X], supposé non constant. Pour (:D, y) EUR R2, on pose 19. 20. 21. 22. f(æay) = P(OE+iy)- . ( 2 2 \ 7 . Expr1mer %(oe,y), Ê--£(oe,y), Ê%(æ,y) et gîä(oe,y) a la1de des poly- nômes dérivés P' et P" . Montrer que la fonction f est harmonique sur R2. Soit U un ouvert du plan sur lequel f ne s'annule pas. Montrer que la fonction 9 = 1 /f est harmonique sur U. Montrer qu'il existe un réel positif A tel que, pour tout nombre com- plexe z vérifiant |z| 2 A, on ait lP(z)| Z 1. En déduire une preuve du théorème de d'Alembert--Gauss dont on rappellera l'énoncé précis. FIN DU PROBLÈME

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 Mines Maths 2 PC 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Duboc (ENS Lyon) ; il a été relu par Céline Chevalier (enseignant-chercheur à l'université) et Florian Metzger (docteur en mathématiques). Cette épreuve étudie les fonctions harmoniques sur U R2 ouvert. Ce sont les fonctions f de régularité C 2 dont le laplacien f est nul sur U : f = 2f 2f + 2 =0 2 x y · On commence par établir, de manière élémentaire, la décomposition en série de Fourier pour des fonctions harmoniques 2-périodiques. Pour établir les résultats, on s'aide de polynômes trigonométriques appelés noyaux de Dirichlet : x R n N Dn (x) = n P e ikx k=-n · La deuxième partie utilise une analyse en coordonnées polaires pour prouver la propriété de la moyenne harmonique, c'est-à-dire que si une fonction f est harmonique sur un ouvert de R2 , sa valeur en un point a est égale à la moyenne des valeurs prises par f sur tout cercle de rayon r et de centre a. · On démontre ensuite une version affaiblie du principe du maximum, qui assure que si une fonction f harmonique sur un ouvert U de R2 admet un extremum global, alors f est constante sur U. Ensuite, le problème de Dirichlet, qui consiste à calculer le prolongement harmonique d'une fonction sur la frontière de U, est résolu pour deux cas particuliers : lorsque f s'annule sur la frontière, f s'annule en fait sur tout le domaine de définition ; si f est sinusoïdale sur une partie de la frontière, on montre que la solution du problème de Dirichlet est unique. · La quatrième partie définit un certain type de développement en série pour les fonctions harmoniques (le développement de Laurent) et l'utilise pour prouver qu'une fonction bornée harmonique sur tout R2 est nécessairement constante. · Enfin, la partie précédente permet d'obtenir une preuve du théorème de D'Alembert­Gauss, qui affirme que tout polynome P C[X] non constant admet au moins une racine complexe. Ce sujet d'analyse permet de pratiquer intensivement les notions de continuité, de dérivation, d'intégration et de développements en série. La partie 3 demande une intuition géométrique mais permet de mieux comprendre le comportement général des fonctions harmoniques. Le reste du sujet met l'accent sur les techniques classiques de calcul et de résolution d'équations différentielles. Indications Partie I 2 Identifier une somme géométrique. 3 Utiliser une intégration par parties dérivant la fonction h et majorer les termes obtenus avec khk et kh k , où khk = sup |h(t)|. t[ - ; ] 5 Exprimer g(t) sous la forme d'une intégrale à l'aide de la question 1, puis identifier ht (u) (question 2) et la prolonger en 0 en utilisant la régularité de g. 6 Majorer les termes obtenus après la deuxième intégration par parties à l'aide de kg k et kg k . 7 Utiliser les questions 5 et 3, puis prouver la convergence des séries. Partie II 8 Se rappeler que f est harmonique et que le théorème de Schwarz s'applique pour les dérivées partielles d'ordre 2. 9 Utiliser l'égalité de la question 8 et le théorème de dérivation des intégrales à paramètre. Pour r = 0, l'égalité à démontrer est J (0) = 0. 10 Intégrer les termes de l'équation de la question 9 entre 0 et x pour x [ 0 ; [. Partie III 11 Raisonner par l'absurde en supposant f non constante en un point situé à une distance r0 de m0 . En invoquant la continuité de f en ce point, et en évaluant J sur le cercle de centre m0 et de rayon r0 , montrer que J ne peut pas être constante. 12 Montrer que f s'annule en tout extremum. Pour cela raisonner géométriquement selon la position d'un extremum, à l'intérieur ou sur la frontière de K. Dans le premier cas, utiliser la question 11. 13 Se ramener, par séparation des variables, à la résolution de deux équations différentielles pour et . Pour l'unicité, étudier la fonction définie par la différence entre deux solutions du problème. Partie IV 14 Intégrer l'égalité de la question 8. 17 Identifier vn (r) avec les coefficients de la question 7. 18 Utiliser la question 16 et l'expression de vn (r) pour montrer que les coefficients an sont tous nuls sauf a0 . Partie V 21 Effectuer une comparaison asymptotique de P(z) avec son monôme de plus haut degré. 22 Appliquer le résultat de la question 18 à la fonction g. I. Noyau de Dirichlet 1 Pour k Z , puisque t 7- e ikt est 2-périodique, remarquons que Z e ikt dt = - Z Pour k = 0, cette intégrale vaut e ikt ik =0 - 1 dt = 2 - Alors, pour tout n N, par linéarité de l'intégrale, Z Dn (t) dt = Z n P e ikt dt = - k=-n - donc k=-n Z n N n P Z e ikt dt = 2 - Dn (t) dt = 2 - 2 Considérons n N et t R tel que t / 2Z. Comme e it 6= 1, l'expression de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique donne Dn (t) = n P (e it )k k=-n = e -int 2n P (e it )j (car j = k + n) j=0 Dn (t) = e -int e it(2n+1) - 1 e it - 1 En mettant en facteur la demi-somme des arguments, il vient Dn (t) = e -int =1 Dn (t) = donc n N e i(n+1/2)t e i(n+1/2)t - e -i(n+1/2)t e it/2 e it/2 - e -it/2 2i sin((n + 1/2)t) 2i sin(t/2) sin((n + 1/2)t) sin(t/2) t R r 2Z Dn (t) = sin((n + 1/2)t) sin(t/2) 3 Soit > 0. Les fonctions h et x 7- cos(x) étant de classe C 1 sur [ - ; ], on réalise l'intégration par parties suivante : 1 1 I = h(u) sin(u) du = [-h(u) cos(u)]- + - Z Z - cos(u)h (u) du Comme h et h sont continues sur le segment [ - ; ] donc bornées, il vient : Z 1 1 [-h(u) cos(u)]- + cos(u)h (u) du |I | 6 - Z 1 1 6 2 max |h| + | cos(u)h (u)| du [ - ; ] - 1 1 6 2 max |h| + 2 max |h | [ - ; ] [ - ; ] 1 |I | 6 2 max |h| + 2 max |h | [ - ; ] [ - ; ] La quantité |I | est donc majorée par le produit de 1/ (tendant vers 0 lorsque tend vers +) et d'une quantité bornée. Ainsi, par théorème d'encadrement : lim I = 0 + Cette question démontre le lemme de Riemann-Lebesgue Z lim h(t) cos(nt) dt = 0 n+ - pour des fonctions de classe C 1 . Ce résultat est néanmoins valable pour toute fonction h intégrable sur ] - ; [. 4 Soient n N et t R. Alors n P ck (g)e ikt = k=-n n 1 P 2 k=-n Z - g(x)e -ikx dx e ikt Pour tout k [[ -n ; n ]], l'application x 7- g(x) e -ikx e ikt est continue sur [ - ; ]. De plus, la somme est finie. En échangeant somme et intégrale, on obtient Z n n P 1 P ikt ck (g)e = g(x)e ik(t-x) dx 2 - k=-n k=-n Z 1 = g(x) Dn (t - x) dx 2 - Par le changement de variable affine non constant donc licite u = t - x, il vient : Z Z n P 1 t- 1 t+ ikt ck (g)e = g(t - u) Dn (u)(- du) = g(t - u) Dn (u) du 2 t+ 2 t- k=-n Puisque les fonctions g et Dn sont 2-périodiques, cette dernière intégrale vaut aussi Z 1 g(t - u) Dn (u) du 2 - d'où (n, t) N × R n P ck (g)e ikt = k=-n 1 2 Z g(t - u) Dn (u) du -