Mines Maths 2 PC 2017

Thème de l'épreuve Première répétition
Principaux outils utilisés séries numériques, intégration, variables aléatoires
Mots clefs méthode de Laplace, formule de Stirling, formule de Bernstein

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A2017 ­ MATH II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH. Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP. CONCOURS 2017 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l'épreuve : 3 heures L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Première répétition I Exponentielle tronquée Pour x réel strictement positif et n entier naturel, on pose Tn (x) = n ! + ! nk xk nk xk et Rn (x) = · k=0 k! k=n+1 k! 1. Justifier l'existence de Rn (x). Que vaut la somme Tn (x) + Rn (x) ? 2. En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction t ! ent , prouver pour tout réel x strictement positif, pour tout entier n, la relation : Rn (x) = enx nn+1 " x (u e-u )n du. n! 0 Soit y un réel strictement positif. On pose an = nn+1 n y . n! 3. Calculer limn+ an+1 /an . En déduire que, si y < e-1 , alors lim an = 0. n+ 4. On suppose dans cette question que x ]0, 1[. Montrer que la fonction u ! u e-u admet, sur [0, x], un maximum M tel que M < e-1 . En déduire qu'au voisinage de l'infini, Rn (x) = o(enx ) puis que Tn (x) 5. Démontrer la relation n! = " + n+ enx . tn e-t dt pour tout n entier naturel. 0 6. Pour tout entier n 1, montrer l'identité suivante : nx Tn (x) = e nn+1 " + (u e-u )n du. n! x 1 7. En déduire que, si x > 1, alors Tn (x) = o(enx ) lorsque n tend vers +. On pourra l'écrire (ue-u )n (xe-x )n-1 u e-u pour u x. Une estimation asymptotique de Tn (x), pour x = 1, sera obtenue dans la suite du problème. II Méthode de Laplace On admettra la formule de l'intégrale de Gauss : ! + 2 /2 e-t dt = 2. - Soit f : [-1, 1] - R une fonction de classe C 2 sur laquelle on fait les hypothèses suivantes : H1 : f (0) = 1 H2 : f (0) = -1 H3 : Pour tout x ] - 1, 1[\{0} 0 < f (x) < 1 H4 : les nombres f (-1) et f (1) appartiennent à l'intervalle [0, 1[. Pour x ] - 1, 1[\{0}, on pose (x) = - # 1 " ln f (x) . x2 8. Montrer que f (0) = 0 puis, à l'aide d'un développement limité, déterminer k = limx0 (x). On prolonge en posant (0) = k. 2 9. Montrer que la fonction , sur ] - 1, 1[, est minorée par un réel strictement positif. En déduire l'existence d'un réel a strictement positif tel que pour tout x [-1, 1], on ait 2 f (x) e-ax . Indication : on pourra distinguer les cas où f (1) et f (-1) sont non nuls des cas où l'un des deux au moins est nul. Pour tout n entier naturel non nul, on définit une fonction gn : R - R par % & '(n f u gn (u) = 0 n si u [- n, n], sinon. 10. Montrer que chaque fonction gn est continue par morceaux sur R, et que la suite de fonctions (gn , n 1) converge simplement sur R vers la fonction g telle que pour tout u R, g(u) = e-u 2 /2 . 11. En déduire que ) 1 * +n f (x) -1 dx n+ , - · 2n 2 · n On en déduit de la même manière que ) 1* 0 III +n f (x) dx n+ (1) Formule de Stirling Avertissement : même si elle fait partie du programme, on (re)démontre dans cette partie la formule de Stirling. 12. Pour tout entier n 1, déduire de la question 5 que n! = nn+1 e-n (In + Jn ), 3 avec In = ! 1 n -nx (x + 1) e dx et Jn = -1 ! + (x + 1)n e-nx dx. 1 13. Montrer que pour tout x 1, x + 1 2x . En déduire une majoration de Jn . 14. En appliquant la méthode de Laplace, donner un équivalent de In . 15. En déduire que n! IV n+ 2n " #n n e · Formule de Bernstein On reprend les notations Tn (x) et Rn (x) introduites dans la partie I. 16. Pour tout entier n non nul, montrer l'identité suivante : Rn (1) = nn+1 ! 1 (1 - t)n ent dt. n! 0 17. En déduire un équivalent de Rn (1) lorsque n tend vers l'infini. Prouver que Tn (1) V n+ 1 n e . 2 Première répétition Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On effectue n + 1 tirages avec remise. On note X le nombre de tirages nécessaires pour amener, pour la première fois, une boule déjà tirée. Par exemple, avec n = 5, si les 6 tirages donnent successivement 3-2-1-5-2-3, on pose X = 5. Pour représenter cette expérience, on introduit l'espace = {1, · · · , n}n+1 et les variables aléatoires coordonnées (U1 , · · · , Un+1 ) définies par Uj : - {1, · · · , n} w = (w1 , · · · , wn+1 ) '- wj . En d'autres termes, Uj est le numéro de la boule tirée au j-ième tirage. On suppose que la probabilité P sur est telle que les variables aléatoires (Uj , j = 1, · · · , n+1) sont indépendantes et de loi uniforme sur {1, · · · , n}. 4 18. Pour une entrée liste= [w1 , · · · , wn+1 ], écrire un pseudo-code ou un code Python pour calculer la valeur de X(w1 , · · · , wn+1 ). Si nécessaire, on admettra l'existence d'une fonction qui permet de tester l'appartenance d'un élément w à une liste L : (w in L) renvoie « True » si w L, « False » sinon. 19. Montrer que pour k !2, n + 1", l'événement (X = k) est de probabilité non nulle. 20. Pour tout k !0, n - 1", montrer que " " ! # P(X > k + 1) = P X > k + 1 " X > k P(X > k). 21. En déduire que pour tout k !0, n", P(X > k) = nk n! · (n - k)! 22. Etablir l'identité suivante : E[X] = n $ P(X > k). k=0 23. En utilisant les questions précédentes, donner un équivalent simple de E[X] lorsque n tend vers +. Fin du problème 5

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 Mines Maths 2 PC 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Émilie Liboz (professeur en CPGE) ; il a été relu par Sophie Rainero (professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à l'université). Ce problème développe dans différents cadres un cas particulier de la méthode de Laplace, qui permet l'étude asymptotique de fonctions définies par des intégrales. Elle permet dans cette épreuve d'obtenir des équivalents d'une somme partielle, de l'espérance d'une variable aléatoire, ou encore de redémontrer la formule de Stirling. Le sujet est découpé en cinq parties qui balayent une grande part du programme de PC puisqu'il est question de séries numériques, d'intégrales, de suites de fonctions et de variables aléatoires discrètes. La première partie s'intéresse au reste Rn (x) et à la somme partielle Tn (x) de P nk xk la série exponentielle . On étudie le comportement asymptotique de Tn (x) k>0 k ! quand n tend vers + pour x > 0 différent de 1. Les questions présentes dans cette partie sont assez classiques ; la question 7 est plutôt technique. Pour obtenir un équivalent de Tn (1) à la partie 4, on a besoin du résultat suivant, démontré à la partie 2 : si f est une fonction C 2 définie sur [ -1 ; 1 ], à valeurs dans [ 0 ; 1 ], et qui atteint son maximum 1 uniquement au point 0 avec la condition f (0) = -1, alors on a l'équivalent r Z 1 2 n (f (x)) dx + n n -1 C'est un cas particulier de la méthode de Laplace qui étudie le comportement asympZ b totique des fonctions de la forme t 7 e -t(x) f (x) dx, où la fonction atteint a généralement son minimum en un unique point qui ne doit pas être un zéro de f . Z b La technique se généralise pour les fonctions de la forme t 7 e -it(x) f (x) dx, a portant cette fois de nom de méthode de la phase stationnaire. Ces outils s'étendent à des intégrales multiples et à des intégrales de la variable complexe ; elles ont des applications en physique, notamment en mécanique statistique. On applique ensuite la formule de la partie 2 à une fonction particulière dans les parties 3 et 4 pour démontrer la formule de Stirling puis la formule de Bernstein, Tn (1) e n /2. Celle-ci permettra dans la partie 5 d'évaluer le comportement n+ asymptotique de l'espérance de la première répétition dans le cas de tirages avec remise d'une boule dans une urne qui en contient n distinctes. Ce sujet plutôt varié est intéressant car il permet de découvrir et d'appliquer une méthode classique d'analyse numérique dans un cas particulier, tout en restant dans le cadre du programme. De plus, les résultats clés étaient donnés pour permettre aux candidats de ne pas rester bloqués. La partie 2 est la plus difficile et peut être admise dans un premier temps, afin d'observer comment elle s'applique dans la suite du sujet. Indications Partie I 1 Reconnaître la somme partielle et le reste d'une série usuelle. 3 Penser à la règle de D'Alembert pour conclure. 5 Utiliser un raisonnement par récurrence. 6 Reprendre les résultats des questions 1, 2 et 5. 7 Suivre l'indication de l'énoncé pour majorer Tn (x). Partie II 8 Montrer que f admet un maximum en 0. 9 Distinguer les cas où est prolongeable ou non par continuité sur [ -1 ; 1 ]. 10 Utiliser le développement limité de f en 0 obtenu à la question 8. 11 Penser au théorème de convergence dominée. Partie III 12 Effectuer un ou plusieurs changements de variable dans l'intégrale In + Jn pour se ramener à la question 5. 13 On peut composer l'inégalité par la fonction ln pour la démontrer plus facilement. 15 Montrer à l'aide des questions 13 et 14 que In + Jn n+ In . Partie IV 17 Appliquer le résultat de la question 11 à une fonction bien choisie. Partie V 19 Trouver une issue qui réalise (X = k). 20 Comparer les événements (X > k + 1) et (X > k). 21 Démontrer cette formule par récurrence à l'aide de la question 20. 22 Relier les événements (X = k), (X > k + 1) et (X > k). I. Exponentielle tronquée P (nx)k . On reconnaît la série exponenk>0 k ! tielle de paramètre nx, qui converge pour tout (x, n) ] 0 ; + [ × N et dont la somme vaut e nx . De plus, Tn (x) est la somme partielle d'indice n de cette même série. Ainsi 1 Rn (x) est le reste d'indice n de la série Rn (x) existe Tn (x) + Rn (x) = e nx . et 2 Soient x > 0 et n N. En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction f : t 7- e nt qui est de classe C sur [ 0 ; x ], et dont les dérivées successives sont données par f (k) (t) = nk e nt , pour tout (t, k) [ 0 ; x ] × N, on obtient Z x n nk P (x - t)n nx k e = x + nn+1 e nt dt n! k=0 k ! 0 n nk P xk , d'où k=0 k ! Z n+1 Z x nn+1 x nt n nx n e (x - t) dt = e e n(t-x) (x - t)n dt Rn (x) = n! 0 n! 0 Or, d'après la question 1, Rn (x) = e nx - Pour retrouver la formule donnée dans l'énoncé, il suffit de poser le changement de variable u = Zx - t dans l'intégrale obtenue. La fonction t 7 x - t est de classe C 1 Z x x e n(t-x) (x - t)n dt = sur [ 0 ; x ] et 0 e -nu un du. Ainsi 0 Rn (x) = e nx n n+1 Z x n! n (ue -u ) du 0 Rappelons la formule de Taylor avec reste intégral pour une fonction f de classe C n+1 sur un segment [ a ; b ] : Z b n f (k) (a) P (b - t)n k f (b) = (b - a) + f (n+1) (t) dt k! n! k=0 a 3 Par définition, an > 0 pour tout n N et n+1 an+1 (n + 1)n+2 n+1 n! (n + 1)n+2 n+1 = y × n+1 n = y = y an (n + 1) ! n y (n + 1)nn+1 n n+1 n n n+1 n+1 n+1 n+1 Or = et n+ n n n n n n n 1/n+ o (1/n) 1+ o (1) 1 n+1 1 n+ = e n+ = 1+ = e n ln(1+ n ) = e n n D'où lim n+ an+1 = ey an an+1 Ainsi, si y < e -1 , alors lim < 1 et, d'après la règle de D'Alembert, la série + n an P numérique an converge donc Si y < e -1 alors lim an = 0. n+ 4 La fonction g : u 7- ue -u est de classe C 1 sur R de dérivée g : u 7- (1-u)e -u . Ainsi, pour tout u [ 0 ; 1 [, g (u) > 0 donc la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle [ 0 ; 1 ]. Par conséquent, si x ] 0 ; 1 [, alors g est croissante sur [ 0 ; x ]. Elle admet donc un maximum M atteint en u = x. Ainsi, M = g(x) = xe -x < g(1) = e -1 On a donc montré que Si x ] 0 ; 1 [, alors la fonction u 7 ue -u admet un maximum M sur [ 0 ; x ] tel que M < e -1 . Soit x ] 0 ; 1 [. Les inégalités 0 6 ue -u < M pour tout u [ 0 ; x ] impliquent, par croissance de l'intégrale : Z x Z x n 06 (ue -u ) du 6 Mn du = Mn x 6 Mn 0 0 d'où, d'après la question 2, 0 6 Rn (x) 6 e nx nn+1 n M n! nn+1 n M = 0 d'où n+ n ! si x ] 0 ; 1 [ La question 3 permet d'affirmer que, comme M < e -1 , lim Rn (x) = o n+ (e nx ) Mais d'après la question 1, Tn (x) = e nx -Rn (x) = e nx + Tn (x) n+ e nx o n+ (e nx ), par conséquent si x ] 0 ; 1 [ 5 Soit n N. Commençons par justifier la convergence de l'intégrale Z + tn e -t dt : 0 · la fonction t 7 tn e -t est continue sur [ 0 ; + [ donc intégrable sur [ 0 ; 1 ] ; Z + · de plus, tn e -t = o 1/t2 et dt/t2 converge donc, par comparaison, t+ 1 Z + tn e -t dt converge. 1 Z + Montrons ensuite la relation P(n) : n ! = tn e -t dt par récurrence sur n N : 0 Z + Z x -t e dt = lim e -t dt = lim (1 - e -x ) = 1. · P(0) est vraie car x+ 0 0 n+1 x+ et v(t) = -e -t , on définit deux · P(n) = P(n + 1) : en posant u(t) = t 1 fonctions de classe C sur R qui vérifient u (t) = (n + 1)tn et v (t) = e -t . De plus, par croissances comparées lim u(t)v(t) = u(0)v(0) = 0. On obtient t+ ainsi, par une intégration par parties : Z + Z + Z + n+1 -t t e dt = u(t)v (t) dt = (n + 1) tn e -t dt 0 0 Ainsi, si P(n) est vraie, alors + tn+1 e -t dt = (n + 1)n ! = (n + 1) ! et 0 P(n + 1) est vraie. · Conclusion : 0 Z nN n! = Z + tn e -t dt 0