Mines Maths 2 PC 2015

Thème de l'épreuve Étude des suites de Lucas et de Fibonacci
Principaux outils utilisés suites réelles, calcul matriciel, déterminants, probabilités
Mots clefs suites, déterminant, probabilité, calcul, récurrence

Corrigé

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A 2015 MATH. II PC ÉCOLES DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. CONCOURS D'ADMISSION 2015 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC. L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Suites de Lucas Résultats admis Dans tout ce qui suit, C = { R, 2 + - 1 #= 0} et l'on suppose que appartient à C. Pour simplifier la rédaction, le candidat pourra utiliser la notation = 2 + - 1. Les suites de Fibonacci (Fn , n Z) et de Lucas (Ln , n Z) généralisées sont définies respectivement par F0 () = 0, F1 () = 1, Fn+1 () = (1 + 2)Fn () + (1 - - 2 )Fn-1 (), pour tout n 1, (1) L0 () = 2, L1 () = 1 + 2, Ln+1 () = (1 + 2)Ln () + (1 - - 2 )Ln-1 (), pour tout n 1. (2) Pour tout entier naturel n 1, -Fn () + - 1)n Ln () L-n () = 2 · ( + - 1)n F-n () = (2 et (3) (4) Elles vérifient les propriétés admises suivantes pour tout entier n : Fn+1 () + (1 - - 2 )Fn-1 () = Ln (), Ln+1 () + (1 - - 2 )Ln-1 () = 5Fn (). (5) (6) a) I représente la matrice identité dans R2 , b) M2 (R) est l'ensemble des matrices carrées 2 × 2 à coefficients réels, c) J M2 (R) représente une matrice non multiple de I et vérifiant J 2 = 1 d) On note R() la matrice définie par R() = J + ( + ) I. 2 2 5 I, 4 Comme d'habitude, R()n représente la puissance n-ième de la matrice R(). A tout moment, le candidat peut utiliser la formule admise suivante, dite « formule de Moivre », valable pour tout entier naturel n : 1 R()n = Fn () J + Ln () I . 2 (7) L'objectif de ce problème est d'utiliser les propriétés des matrices R() pour en déduire des propriétés des suites de Fibonacci et Lucas. I Préliminaires 1. Calculer F2 (), L2 (). 2. Exhiber une infinité de matrices J qui satisfassent c). 3. Montrer que les matrices I et J sont linéairement indépendantes sur M2 (R). Dans tout ce qui suit, J désigne une matrice quelconque vérifiant J 2 = 54 I. II Formule de Moivre généralisée 4. Trouver deux polynômes Q et T de R[X] tels que 1 5 (X + + )2 = (X 2 - )Q(X) + T (X). 2 4 5. En déduire que R() vérifie l'équation suivante : R()2 = (1 + 2)R() + (1 - - 2 ) I . (8) 6. Montrer que R() est inversible et montrer que R()-1 = - (2 1 1 1 + 2 J+ I. + - 1) 2 (2 + - 1) (9) 7. En utilisant la formule de Moivre, établir que pour n 1, 2Fn+1 () = Ln ()F1 () + L1 ()Fn () 2Ln+1 () = 5Fn ()F1 () + Ln ()L1 (). (10) 8. Montrer que la formule de Moivre reste valable pour tout entier négatif. 3 TSVP III Quelques identités remarquables 9. Montrer l'identité suivante : R()2 + (1 - - 2 ) I = 2 J R(). (11) 10. Soit W () = (2 + - 1)R()-2 . Montrer que I - W () = 2JR()-1 2 (I - W ())-1 = JR(). 5 et 11. Montrer alors que pour tout entier n 0, n ! (2 + - 1)k R()n-2k = Fn+1 () I . k=0 12. En déduire, pour n 0, les valeurs de n ! (2 + - 1)k Fn-2k () et k=0 n ! (2 + - 1)k Ln-2k (). k=0 Pour k 1, on introduit " L () k () = det k-1 Lk () # Lk () . Lk+1 () On définit le polynôme P de R[X] par P (X) = (1 - - 2 ) X 2 + (1 + 2) X - 1. 13. Montrer que (k (), k 1) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. Indication : on pourra utiliser la linéarité du déterminant par rapport à ses colonnes. 14. En déduire, pour k 1, la valeur de Lk ()2 P ( 4 Lk-1 () ). Lk () On pose, pour tout n Z, Fn = Fn (0) et Ln = Ln (0). On a aisément les propriétés admises suivantes : F0 = 0, F1 = 1 et Fn+1 = Fn + Fn-1 L0 = 2, L1 = 1 et Ln+1 = Ln + Ln-1 Fn+1 + Fn-1 = Ln , Ln+1 + Ln-1 = 5Fn 15. Montrer que, pour tout k 1, R( Lk-1 2 )= J R(0)k . Lk Lk (12) 16. Déduire des questions précédentes la propriété suivante : pour tout n Z, pour tout k 1, Lk-1 5n ) = 2n F2nk , F2n ( Lk Lk (13) n L2n ( Lk-1 5 ) = 2n L2nk . Lk Lk Une démarche similaire permet de démontrer les identités suivantes que l'on admettra. F2n+1 ( Lk-1 5n ) = 2n+1 Lk(2n+1) , Lk Lk (14) n L2n+1 ( Lk-1 5 ) = 2n+1 Fk(2n+1) . Lk Lk 5 TSVP IV Une touche de probabilités Soit i un entier impair et n 0, on pose pk = Li L2i(n-k) pour k {0, 1, 2, . . . , 2n}. 2 Li(2n+1) 17. Montrer que la suite (pk , k {0, 1, 2, . . . , 2n}) définit une probabilité. Indication : on pourra chercher à exprimer Li(2n+1) en utilisant les questions 12, 13 et les identités (14). Fin du problème 6

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 Mines Maths 2 PC 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Juliette Brun Leloup (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Kévin Destagnol (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Le but du sujet est d'étudier les suites de Fibonacci (Fn ())nZ et de Lucas e = 2 + - 1 6= 0. Elles vérifient (Ln ())nZ généralisées où est un réel tel que sur N une même relation de récurrence linéaire d'ordre 2 donnée par n > 0 e un un+2 = (1 + 2) un+1 - Elles diffèrent par leurs deux premiers termes dans N et sont définies dans Z\N par n > 1 e-n F-n () = -Fn () et e-n L-n () = Ln () On retrouve les suites de Fibonacci (Fn )nZ et de Lucas (Ln )nZ lorsque = 0. · La première partie établit quelques résultats sur les matrices J réelles carrées de taille 2, non multiple de l'identité, et vérifiant J2 = (5/4)I. On fixe une telle matrice J dans toute la suite. · La deuxième partie a pour but de généraliser à Z la « formule de Moivre » admise par l'énoncé sur N : 1 1 n Z R()n = Fn () J + Ln () I où R() = J + + I 2 2 Pour cela, on montre que R() est inversible et on calcule R()-1 , puis on établit deux nouvelles relations de récurrence où sont imbriqués les termes des suites (Fn ())n>1 et (Ln ())n>1 . · Dans la troisième partie, on établit des identités remarquables sur les suites de Fibonacci et de Lucas généralisées. Dans un premier temps, des calculs matriciels fournissent les formules sommatoires n n P ek Fn-2k () = 0 et P ek Ln-2k () = 2 Fn+1 () n N k=0 k=0 Dans un second temps, on fait le lien avec les suites de Fibonacci et de Lucas standard via les formules n Lk-1 5 2 n Z k > 1 Un = Unk avec U = F ou L Lk Lk n · Enfin, dans l'unique question de la dernière partie, on utilise les identités remarquables précédentes pour démontrer que la famille de réels pk = Li L2i(n-k) 2 Li(2n+1) pour k {0, 1, . . . , 2n} définit une probabilité. Ce sujet très calculatoire fait intervenir les suites mais aussi un peu d'algèbre linéaire et un soupçon de probabilités. Il fait essentiellement appel au programme de première année. Indications Partie I 5 a 2 Résoudre l'équation matricielle J2 = I en posant J = c 4 quatre inconnues réelles. b où a, b, c, d sont d 3 Revenir à la définition pour démontrer que la famille (I, J) est libre : considérer et µ deux réels tels que J + µ I = 0 et montrer que = µ = 0. Partie II 1 2 5 4 Effectuer la division euclidienne de X + + par X2 - . 2 4 5 Ne pas tenir compte de l'indication de l'énoncé « en déduire » et faire le calcul directement. 6 Comme est un élément de C, isoler la matrice I d'un côté de l'égalité à partir de la relation (8) et mettre en facteur R() de l'autre côté de l'égalité. 7 Calculer de deux façons différentes R()n+1 et conclure en utilisant l'indépendance de la famille (J, I) sur M2 (R). 8 Démontrer le résultat par récurrence en utilisant les formules obtenues aux questions 6 et 7 et les formules (3) et (4) données par l'énoncé. Partie III 10 Utiliser le résultat de la question 9 en remarquant que J et R() commutent. 11 Faire apparaître W() dans la somme que l'on cherche à calculer puis montrer n P que I - W() W()k = I - W()n+1 et conclure en utilisant la question 10. k=0 12 Utiliser le résultat établi à la question 11, la formule de Moivre et la liberté de la famille (J, I) pour obtenir les valeurs des deux sommes. 13 Suivre l'indication de l'énoncé en exprimant, à l'aide de la formule (2), Lk+1 () et Lk+2 () en fonction de Lk-1 (), Lk () et Lk+1 () dans la deuxième colonne de k+1 (). Conclure en utilisant les propriétés du déterminant pour faire apparaître k (). 14 Revenir à la formule de la définition du déterminant d'une matrice de M2 (R) pour faire apparaître la formule demandée dans le calcul de k (). 15 Transformer la partie droite de l'égalité en utilisant la formule de Moivre ainsi que les propriétés admises par l'énoncé. Obtenir alors la partie gauche de l'égalité. 16 Partir de l'égalité établie à la question 15 mise à la puissance 2n. Utiliser la formule de Moivre pour transformer la partie gauche de l'égalité. Remarquer la commutativité des matrices J et R(0) pour transformer celle de droite. Conclure avec la liberté de la famille (J, I) dans M2 (R). Partie IV 17 Suivre l'indication de l'énoncé pour démontrer que 2n P pk = 1. Écrire Li(2n+1) k=0 sous forme de somme à l'aide de la formule (14) puis du résultat de la question 12. Utiliser les propriétés démontrées à la question 14 et la relation (13) pour transformer les termes sommés et faire apparaître le résultat demandé. I. Préliminaires 1 Soit C. Appliquons les formules (1) et (2) données par l'énoncé à n = 1 : F2 () = (1 + 2) F1 () + (1 - - 2 ) F0 () L2 () = (1 + 2) L1 () + (1 - - 2 ) L0 () C F2 () = 1 + 2 et L2 () = 22 + 2 + 3 a b 2 Posons J = où a, b, c, d sont quatre inconnues réelles. On a c d 2 a + bc ab + bd 2 J = ca + dc cb + d2 2 a + bc = 5/4 5 b(a + d) = 0 2 donc J = I c(a + d) = 0 4 2 d + cb = 5/4 d'où Considérons le cas où a + d = 0. Le système est équivalent à ( 5 a2 + bc = 4 d = -a En particulier, si l'on choisit a = d = 0 la première équation devient bc = 5/4 et on trouve une infinité de solutions possibles. ! 0 b Les matrices J = 5 pour b R satisfont la condition c). 0 4b Il est inutile dans cette question de donner la forme générale de toutes les matrices vérifiant J2 = (5/4) I. Il suffit d'en donner une infinité qui convient, ce qui est plus simple. Géométriquement, on peut penser à toutes les symétries par rapport à unedroite dans le plan. Il y en a une infinité. Il suffit de rajouter un coefficient 5/2 en facteur pour avoir une matrice J. 3 Montrons que les matrices I et J sont linéairement indépendantes sur M2 (R). Soient et µ deux réels tels que J + µI = 0 µ Si 6= 0, alors J = - I. Comme J n'est pas multiple de I d'après la condition c), nécessairement = 0. Il ne reste que µ I = 0 puis µ = 0 : Les matrices I et J sont linéairement indépendantes sur M2 (R). II. Formule de Moivre généralisée 4 Soit C. Effectuons la division euclidienne du polynôme (X + + 1/2)2 par le polynôme X2 - 5/4. Le reste de la division doit ainsi être un polynôme de degré inférieur ou égal à 1. On a X++ 1 2 1 = X2 + (2 + 1)X + 2 + + 2 4 5 3 2 2 = X - + (2 + 1)X + + + 4 2 3 En posant Q = 1 et T = (2 + 1)X + 2 + + , on a trouvé 2 deux polynômes Q et T de R[X] tels que 1 2 2 5 X++ = X - Q(X) + T(X) 2 4 5 Soit C. On a R() = J + ( + 1/2) I. Comme les matrices J et I commutent et comme J2 = 5/4 I, 1 R()2 = J2 + (2 + 1) J + 2 + + I 4 3 = (2 + 1) J + 2 + + I 2 1 3 = (1 + 2) R() - (1 + 2) + I + 2 + + I 2 2 R()2 = (1 + 2) R() + (1 - - 2 ) I L'énoncé voudrait en fait que l'on utilise ici les polynômes de matrices, mais ils sont hors programme en PC. Pour vous présenter ce que le concepteur du sujet attendait (mais pas les correcteurs !), voici d'abord un bref n P complément. Si P = ak Xk est un polynôme de R[X] et M une matrice de k=0 M2 (R), alors on définit P(M) par P(M) = n P ak Mk k=0 où les puissances de matrices sont définies par récurrence par M0 = I et pour tout entier k > 0, Mk+1 = Mk M Pour répondre à la question 5, on applique à la matrice J la formule obtenue à la question 4 : 1 2 2 5 3 J+ + I = J - I + (2 + 1) J + 2 + + I 2 4 2 Par définition de R() et d'après le choix de la matrice J, il s'ensuit que 3 R()2 = (2 + 1) J + 2 + + I 2 = (1 + 2) R() + (1 - - 2 ) I en reprenant le même calcul que précédemment.