Mines Maths 2 PC 2014

Thème de l'épreuve Opérateur de moyenne
Principaux outils utilisés intégration, équations différentielles, fonctions périodiques
Mots clefs opérateur de moyenne, intégration

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2014 MATH II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2014 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-ENR Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page dela copie : MATHÉMATIQUES II - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initia- tives qu'il est amené à prendre. Opérateur de moyenne Notations On note C l'ensemble des nombres complexes, R l'ensemble des réels, R* l'ensemble des réels non nuls, Rî l'ensemble des réels strictement positifs et R*_ l'ensemble des réels strictement négatifs. On note N l'ensemble des entiers naturels, N* l'ensemble des entiers naturels non nuls, Z l'ensemble des entiers relatifs et Z* l'ensemble des entiers relatifs non nuls. On note (60 l'ensemble des fonctions continues sur R, à valeurs dans R, (61? l'en- semble des fonctions bornées appartenant à (6° et 0 g0oe (x) . On notera encore g0oe ce prolongement. On note AO, l'application qui à f fait correspondre go,,. Question 2 Montrer que Aoe définit un endomorphisme de (6° ; est-ce également un en- domorphisme de (61? ? Question 3 Démontrer que Aoe est injectif. On dit que  est une valeur propre de A,, sur (6°, s'il existe u EUR (61? non identique- ment nulle telle que A,, (u) = Âu. La fonction u est alors un vecteur propre associé à la valeur propre Â. Questi0n4 Déterminer l'équation difiérentielle satisfaite par la restrictions à Rî d'un vecteur propre u de Aa). Question 5 Résoudre cette équation difiérentielle dans Rî. Montrer que sa solution ne peut se prolonger par continuité en O que si  EUR ]0, 1] . Question 6 Dans le cas ou ca est intégrable sur R+ déterminer l'ensemble des valeurs propres de Aoe et les sous--espaces propres associés (on pourra distinguer le cas  = 1). 2 Le cas périodique On suppose désormais que ca est T-périodique et que f est T -périodique, où T et T sont des réels strictement positifs. Question 7 Montrer que f; oe (t)dt tend vers +oo quand x --> +00. Question 8 Montrer que ca admet un maximum et un minimum strictement positifs Périodes commensurables On suppose dans ce paragraphe que T/ T est rationnel. Question 9 Déterminer 6 > 0 tel que pour tout x, oe(x+6)=oe(x) etf(x+6)=f(x). On note E l'application partie entière de R dans Z, et pour 6 EUR Rî, EQ (x) = 6E(x/6), où x E R. Question 10 Représenter graphiquement la fonction EQ pour --26 S JC S 36. Question 11 Déterminer Aoe ( f ) 0 EG sur [k6, (k + 1) 6[ où k EUR Z*. Démontrer que (Aoe(f)oE9)(x)=As(f)oe) pourx EUR [0,6[. Question 12 Montrer que LÏQ(X)f (t)w(t)dr| s @ ||f|| lloell. Question 13 Démontrer que, pour x E Rî |(Aoe(f)_Aoe(f)oE9)(x)| S @ ||f|l ||oe||( ||w|| +1)_ x min oe min oe Question 14 En déduire que Aoe ( f ) EUR (60 et possède une limite lorsque x tend vers +00 et en donner une expression. Qu'en est-il lorsque x tend vers --00 ? 3 Périodes incommensurables On suppose dans ce paragraphe que T/ T est irrationnel. PourNEURN*,onnoteZN={neZl--NSnSN}. Question 15 Pour n EUR ZN \ {O} , on pose S,, (T, T) = {lmT + HT| où m EUR Z} . Démontrer que S,, (T, T) admet un minimum non nul. Question 16 On pose 5 (N,T, T) = {lmT + HT| où m EUR Z, n EUR ZN \ {O)}. Démontrer que S (N, T, T) admet un minimum non nul. On suppose à présent que ca est non seulement continue, mais de classe '61 par morceaux Question 17 Démontrer qu'il existe des nombres complexes ym, où m EUR Z, tels que Emez |ym| converge et tels que pour tout n EUR Z, x x J (1) (É) eZi7tnt/Tdt : 2 Y J eZint(n/T+m/T)dt m . 0 0 mEURZ . . N - . . . ,. Quest10n 18 Sozt p (t) = Z+ c e2mnt/T, ou les en appartiennent a C, montrer qu ll n=--N n existe K > 0 tel que Vx EUR Rî T 1 A..(p)(x)-- ÎJ mm 0 S--. fxoe(t)dt 0 On rappelle le théorème de Weierstrass trigonométrique : pour toute fonction f continue, T périodique et tout s > 0, il existe un polynôme trigonométrique p, soit p (t) = z c,,e2imt/T où en E C, nEURZN tel que "f --p|l S 8/3. Question 19 En déduire que Aoe (f)(x) tend vers une limite lorsque x --> +00, et en donner une expression. Fin de l'épreuve

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 Mines Maths 2 PC 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Émilie Liboz (Professeur en CPGE) ; il a été relu par François Lê (ENS Lyon) et Benjamin Monmege (ENS Cachan). Cette épreuve est consacrée à l'étude de l'opérateur de moyenne qui, à une fonction continue f , associe la fonction A (f ) telle que, pour tout x R , Z x 1 Z A (f )(x) = x f (t)(t) dt (t) dt 0 0 où est une fonction continue sur R, bornée et à valeurs dans R+ . · La première partie étudie les propriétés de base de l'opérateur de moyenne : on montre que c'est un endomorphisme injectif de Cb0 et on étudie ses valeurs propres à l'aide d'une équation différentielle. · La seconde partie, plus calculatoire, s'intéresse à la limite de A (f ) en l'infini dans le cas où les fonctions f et sont périodiques. Elle est divisée en deux sous-parties. À l'aide notamment de la fonction partie entière et grâce à des majorations d'intégrales, on détermine la limite en + - de A (f ) quand les périodes respectives T et de f et sont telles que /T Q. Dans le cas où ce quotient est irrationnel, le sujet fait appel à la théorie des séries de Fourier pour les fonctions périodiques afin d'étudier la limite en + de la fonction A (f ). Les notions fondamentales de l'analyse sont abordées : continuité, dérivation et intégration ainsi que la théorie des équations différentielles à coefficients non constants. La partie 1 et la première sous-partie de la partie 2 constituent ainsi un très bon entraînement, d'autant qu'elles sont l'occasion de mettre en oeuvre des techniques de calcul très classiques. Seule la question 17 n'est pas faisable avec le nouveau programme de la filière PC. Indications Partie I 1 Pour le calcul de lim (x), on peut écrire la fonction comme un quotient de x0 2 3 4 5 6 taux d'accroissement de primitives de certaines fonctions. Pour montrer que A est un endomorphisme de Cb0 , majorer la quantité | (x)| à l'aide de kf k. Dériver l'égalité A (f ) = 0. Dériver l'égalité A (u) = u après avoir chassé le dénominateur. Se ramener, en discutant suivant les valeurs de , à une équation différentielle de la forme u (x) = a(x)u(x) dont la solution générale est connue. Résoudre l'équation différentielle dans R. On pourra distinguer deux cas selon que est intégrable ou non sur R afin d'obtenir une solution dans Cb0 . Partie II 7 Écrire l'intégrale Z x (t) dt à l'aide de la période de . 0 11 Pour k 6= 0, remplacer E (x) par sa valeur quand x [ k ; (k + 1) [. La formule donnée par l'énoncé sur l'intervalle [ 0 ; [ est fausse, chercher plutôt à montrer que A (f ) E (x) = f (0) pour x [ 0 ; [. 12 Majorer x - E (x) indépendamment de x. 13 Découper la différence en deux parties en additionnant puis en soustrayant le terme Z E (x) 1 Z x f (t)(t) dt (t) dt 0 0 14 15 16 17 et utiliser les questions 8 et 12. Conclure en utilisant les questions 11 et 13. Se ramener à un ensemble où m varie dans un sous-ensemble fini de Z ou construire explicitement ce minimum à l'aide de la partie entière. Écrire cet ensemble comme une union finie d'ensembles étudiés à la question 15. [HP] Pour f une fonction T-périodique, on définit ses coefficients de Fourier, par Z 1 T n Z, cn (f ) = f (t)e-2int/T dt T 0 On peut alors définir la série de Fourier de f par, pour n N et x R : n P Sn (f ) = c0 (f ) + cn (f )e2int/T + c-n (f )e-2int/T k=1 Le théorème de Dirichlet affirme que si f est continue et C 1 par morceaux alors la série de fonctions (Sn )n converge simplement vers f . On peut ici utiliser ce dernier pour écrire (t) comme la somme de sa série de Fourier. Z T 18 Réduire la différence en calculant explicitement p(t) dt puis utiliser les résul0 tats des questions 16 et 17. Z 1 T 19 Découper la différence A (f )(x) - f (t) dt en trois parties en introduisant le T 0 polynôme trigonométrique p et majorer chacune d'elles. I. L'opérateur de moyenne La fonction étant continue sur R, elle admet des primitives. Dans tout le corrigé, on note donc la primitive de qui s'annule en 0. En d'autres termes, pour tout x R, on a Z x (x) = (t) dt 0 et la formule donnée dans l'énoncé devient, pour x R , Z x 1 (x) = f (t)(t) dt (x) 0 1 Par le même argument que dans la remarque précédente, la primitive F de f qui s'annule en 0 vérifie, pour tout x R, Z x F(x) = f (t)(t) dt 0 De plus, comme est à valeurs dans R+ , la fonction est strictement croissante. Sachant que (0) = 0, on en déduit que ne s'annule pas sur R : elle est strictement négative sur R- et strictement positive sur R+ . Le quotient (x) = F(x)/(x) définit donc une fonction continue sur R comme quotient de fonctions continues, le dénominateur ne s'annulant pas. En outre, pour x 6= 0, (x) = F(x) x × x (x) donc lim (x) existe et vaut F (0)/ (0), soit x0 lim (x) = f (0) x0 Ainsi, on peut affirmer que La fonction est continue sur R et se prolonge continûment à R. 2 L'application A associe à une fonction f de C 0 la fonction correspondante. D'après la question 1, est aussi dans C 0 . De plus, A est linéaire, grâce à la linéarité de l'intégrale, de sorte que L'application A est un endomorphisme de C 0 . Si f est une fonction de Cb0 alors kf k est bien définie et pour tout x > 0, sachant que est strictement positive sur R+ , Z x Z x 1 1 | (x)| = f (t)(t) dt = f (t)(t) dt (x) 0 (x) 0 On peut maintenant utiliser l'inégalité triangulaire et il vient Z x 1 |f (t)| (t) dt | (x)| 6 (x) 0 Z x 1 kf k(t) dt car l'intégrale conserve l'ordre 6 (x) 0 Z x 1 = kf k (t) dt (x) 0 | (x)| 6 kf k Cette inégalité est aussi vérifiée si x = 0 et le cas x < 0 se traite d'une manière similaire, en pensant bien à inverser dans ce cas le sens des bornes de l'intégration et en considérant que (x) < 0 sur R- . On a donc montré que est aussi bornée et que L'application A est un endomorphisme de Cb0 . 3 Pour montrer que l'endomorphisme A est injectif, il suffit de montrer que son noyau est réduit à {0}. Soit f un élément de Ker A . Alors A (f ) = = 0, ce qui entraîne que Z x f (0) = lim (x) = 0 et x R f (t)(t) dt = 0 x0 0 Par continuité de f · , la fonction x 7- Z x f (t)(t) dt est de classe C 1 sur R . 0 En dérivant la dernière égalité, on obtient donc x R f (x)(x) = 0 Puisque est à valeurs dans R+ , on en déduit que f (x) = 0 pour tout x 6= 0 et comme f (0) = 0, f est la fonction nulle. Ainsi L'endomorphisme A est injectif. 4 Soient une valeur propre de A et u un vecteur propre associé. La fonction u est donc continue, bornée et non identiquement nulle sur R. De plus, elle vérifie la relation suivante, pour tout x R : Z x 1 u(x) = A (u)(x) = u(t)(t) dt (x) 0 Z x 1 Par continuité de u et , la fonction x 7- u(t)(t) dt est dérivable. Multi(x) 0 plions l'égalité A (u)(x) = u(x) par (x), on obtient alors Z x u(t)(t) dt = u(x)(x) 0 Dérivons ensuite cette relation pour obtenir x R+ u(x)(x) = u (x)(x) + u(x)(x) L'équation différentielle satisfaite par la restriction à R+ d'un vecteur propre u pour la valeur de A est donnée par Z x (t) dt u (x) = (1 - ) (x) u(x) (E) 0