Mines Maths 2 PC 2012

Thème de l'épreuve Équation de la chaleur
Principaux outils utilisés séries de Fourier, séries de fonctions, calcul différentiel
Mots clefs chaleur, principe du maximum

Corrigé

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A 2012 MATH II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2012 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Equation de la chaleur Dans ce texte on note l'ensemble des nombres réels, l'ensemble des nombres entiers positifs ou nuls, l'ensemble des nombres entiers strictement positifs et l'ensemble des entiers relatifs. Le problème est consacré à l'équation de la chaleur monodimensionnelle ; la fonction inconnue définie dans le domaine à valeurs réelles est supposée continue, et de plus indéfiniment dérivable par rapport à sur et par rapport à sur L'inconnue est solution du système d'équations suivant : sur (1) conditions aux limites (2) condition initiale, (3) où désigne une fonction définie sur l'intervalle Dans la suite on prendra comme condition initiale la fonction définie par { (4) La variable est la variable d'espace, est la variable temporelle. 1 Un problème aux valeurs propres On cherche ici à déterminer les valeurs de (valeurs propres) pour lesquelles il existe une solution non nulle de l'équation différentielle ordinaire sur (5) (6) Question 1 Montrer que si est solution de (5)-(6) alors elle est de classe sur que ( ) d d et en déduire que si n'est pas identiquement nulle, alors Question 2 Pour déterminer l'ensemble des solutions de (5). En déduire que le système d'équations (5)-(6) n'a pas d'autre solution que la solution nulle. Question 3 Montrer que (5)-(6) possède une solution non nulle si et seulement si tel que Pour fixé, déterminer la dimension de l'espace des solutions et en expliciter une base. 2 La série de Fourier de la condition initiale On note la fonction égale à sur tout entier. impaire et prolongée par -périodicité à Question 4 Tracer la courbe représentative de sur de variation. et en préciser le tableau On note (dérivée généralisée), la fonction égale à la fonction dérivée sur chaque intervalle de la forme et prolongée par continuité sur chaque intervalle Question 5 Dessiner le graphe de la fonction Soit une fonction pose continue par morceaux et périodique de période on d (7) Question 6 Démontrer que 2 et Question 7 Calculer en déduire que ( ) (8) et donner l'expression de la série de Fourier de en fonction des Question 8 En déduire que la série de Fourier de converge normalement. 3 Construction d'une solution de (1)-(2)-(3) Pour tout on définit la fonction sur le domaine par (9) et on note la somme de la série de fonctions c'est-à-dire sous réserve de la convergence, (10) Question 9 Montrer que pour tout est continue sur indéfiniment dérivable par rapport à sur et par rapport à sur et vérifie (1). Question 10 Montrer que la série de fonctions est convergente sur et que la somme définit une fonction continue sur Question 11 La série ( ) converge-t-elle ?. Question 12 Soit montrer que la série de fonctions converge normalement sur En déduire que la somme définie selon (10) admet une dérivée partielle par rapport à sur et que sur Question 13 La série de fonctions Justifiez votre réponse. converge-t-elle normalement sur On admettra dans la suite (raisonnement analogue) que admet des dérivées partielles de tous ordres sur et qu'elles s'obtiennent par dérivation sous le signe somme. Question 14 Montrer que est solution de (1)-(2)-(3). 4 Unicité de la solution Soit une fonction continue sur et indéfiniment dérivable sur Question 15 Quel est le signe de et si atteint son maximum en Justifiez votre réponse. On définit la dérivée à gauche de en selon la formule 3 si la limite existe. Question 16 Quel est le signe de si admet en une dérivée à gauche et y atteint son maximum ? On choisit et on note t t T T C Di F x x ¼ 0 ¼ 0 Figure 1 ­ Partition du domaine Soit (1)-(2)-(3). on définit la fonction par où est une solution de Question 17 Montrer que ne peut atteindre son maximum sur en aucun point de . Notons Question 18 Déduire de ce qui précède que atteint son maximum sur Question 19 Conclure que la solution de (1)-(2)-(3) est unique. Si est une solution de (1)-(2)-(3) on pose Question 20 Démontrer que l'unicité de la solution de (1)-(2)-(3). d En déduire par un autre raisonnement Fin de l'épreuve 4 (11)

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 Mines Maths 2 PC 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Landelle (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Romain Cosset (Professeur agrégé) et par Guillaume Dujardin (Chercheur INRIA). Le sujet propose l'étude de l'équation de la chaleur u 2u (x, t) = (x, t) sur ] 0 ; [ × ] 0 ; + [ t x2 C'est un problème très classique et très célèbre puisque c'est ce problème qui a motivé le mathématicien et physicien Joseph Fourier à introduire les séries trigonométriques qui portent désormais son nom. L'épreuve se compose de quatre parties. · Dans une première partie, on s'intéresse à la résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants. On procède à une étude qualitative des solutions en fonction d'un paramètre et on établit certaines propriétés sur l'énergie de la solution. Cette partie est indépendante des autres même si certaines techniques qui y sont déployées réapparaissent à la toute dernière question du problème. · La deuxième partie propose une mise en oeuvre très classique de la théorie de Fourier. On y établit des relations entre les coefficients de Fourier cn () d'une fonction avec ceux de sa dérivée généralisée. On procède alors au calcul de ces coefficients et on précise le mode de convergence de la série de Fourier. · Dans la troisième partie, on construit explicitement une solution à l'équation de la chaleur avec condition initiale et conditions aux limites. La solution est construite comme une série de fonctions dont on établit certaines propriétés. Cette partie est hélas lourdement entachée de notions hors-programme alors que les propriétés à démontrer peuvent s'obtenir en restant dans le cadre du programme de PC. · Dans la dernière partie, on démontre l'unicité de la solution de l'équation de la chaleur avec condition initiale et conditions aux limites. Une première approche consiste à mettre en oeuvre le principe du maximum en s'appuyant sur des techniques de calcul différentiel. Certaines questions sont très difficiles et requièrent une grande aisance avec les notions du programme. Dans une dernière question, une autre approche est suggérée, mais elle s'avère toutefois impraticable du fait d'hypothèses non adaptées. Le sujet est un peu décevant. L'enjeu du problème qu'est la résolution de l'équation de la chaleur est un défi passionnant mais les multiples maladresses de l'énoncé, notamment les incursions hors-programme, dénaturent le travail de recherche du candidat. Cependant, ce sujet constitue un très bon problème d'entraînement et permet d'apprendre à réagir face à des imprévus dans un énoncé. Indications Un problème aux valeurs propres 1 Écrire v en fonction de v et raisonner par récurrence. Utiliser une intégration par parties. 2 Distinguer < 0 et = 0. 3 Procéder par condition nécessaire et suffisante. La série de Fourier de la condition initiale 6 Vérifier que est C 1 par morceaux sur R. 7 Introduire la fonction paire coïncidant avec sur ] (2k - 1)/2 ; (2k + 1)/2 [ avec k Z et nulle ailleurs. Construction d'une solution de (1)-(2)-(3) 10 Pour (x1 , t1 ) et (x2 , t2 ) dans [ 0 ; ] × [ 0 ; + [ , montrer que |u(x1 , t1 ) - u(x2 , t2 )| 6 avec lim RN = 0. N+ 11 Considérer une sous-suite de N P un (x1 , t1 ) - un (x2 , t2 ) + 2RN n=1 un ,0 . t 2 n>1 12 Première question hors-programme puis remarquer que > 0 est quelconque pour la question suivante. 13 Question hors-programme. Unicité de la solution 15 Supposer h () > 0 et aboutir à une contradiction. 17 Utiliser la nature topologique de D pour l'existence du maximum puis supposer par l'absurde que celui-ci est atteint dans l'ouvert Di ou sur l'intervalle C. Établir le lien avec les questions 15 et 16 pour obtenir une contradiction. 18 Comparer le maximum de u sur D avec le maximum de u sur F puis avec le maximum de v sur F et faire tendre 0. 19 Si u et v sont deux solutions de (1)-(2)-(3), remarquer que u - v vérifie (1) ce qui suffit pour appliquer le résultat de la question 18. 20 Les hypothèses du sujet sont insuffisantes pour répondre. On pourra alors se permettre d'ajouter celles qui nous manquent. 1. Un problème aux valeurs propres 1 Par hypothèse, si v est solution de (5), alors v est deux fois dérivable sur [ 0 ; ] donc sur ] 0 ; [ et on a v = -v Comme v est deux fois dérivable sur ] 0 ; [, il s'ensuit que v est deux fois dérivable sur ] 0 ; [ et une récurrence immédiate permet alors de montrer que v est dérivable sur ] 0 ; [ à l'ordre 2n pour tout n N. Il s'ensuit v C (] 0 ; [ , R) On peut tenir le même raisonnement sur [ 0 ; ] et obtenir v C ([ 0 ; ] , R). Comme (x 7 v(x)) est de classe C 1 sur [ 0 ; ] car deux fois dérivable sur [ 0 ; ], on obtient en intégrant par parties Z Z v (x)v(x) dx = [v (x)v(x)] 0 - v (x)2 dx 0 0 Or v(0) = v() = 0 et par conséquent Z Z v (x)v(x) dx = - v (x)2 dx 0 0 Comme v est solution de (5), on a v = -v et par suite Z Z v (x)v(x) dx = - v(x)2 dx 0 0 Si v n'est pas identiquement nulle, comme v est continue sur [ 0 ; ], la fonction v 2 est continue positive non identiquement nulle sur [ 0 ; ] et le caractère défini de l'intégrale donne Z v(x)2 dx > 0 0 Par suite Z 0 Z Z 2 v (x)v(x) dx = - v(x) dx = - v (x)2 dx 0 soit = Z 0 Ainsi, on conclut que 0 Z -1 2 2 v (x) dx v(x) dx 0 >0 2 L'équation (5) est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants. Son équation caractéristique est r2 + = 0 · Si < 0, cette équation admet les solutions réelles distinctes < 0 = (, ) R2 | x [ 0 ; ] v(x) = e + - -. Par suite -x + e - -x La relation (6) donne v(0) = v() = 0 ( + =0 e - + e - - = 0 1 1 0 = 0 e - e - - soit soit 1 1 = -2 sh ( -) e - e - - Pour < 0, on a sh ( -) 6= 0 donc le système en (, ) est de Cramer et (, ) = (0, 0) en est l'unique solution. · Si = 0, l'équation v = 0 implique que v est affine c'est-à-dire avec = 0 = (, ) R2 | x [ 0 ; ] v(x) = + x Les conditions v(0) = v() = 0 donnent immédiatement (, ) = (0, 0). En conclusion Si 6 0, alors le système (5)-(6) admet la solution nulle pour unique solution. Il n'est pas indispensable de résoudre (5) pour répondre à la question. Dans la première question, on a démontré que pour v solution de (5)-(6) v non nulle = > 0 Par contraposée, v est nulle lorsque < 0 et il ne reste que le cas = 0 à discuter. 3 Procédons par double implication. Par contraposée du résultat de la question précédente, si le système (5)-(6) admet une solution v non nulle, alors > 0. Les racines de l'équation caractéristique de (5) sont complexes conjuguées n o r2 + = 0 r + -i Ainsi, il existe (, ) R2 tel que x [ 0 ; ] v(x) = cos( x) + sin( x) Les conditions initiales donnent v(0) = v() = 0 soit ( cos( ) + sin( ) soit ( sin( ) =0 =0 =0 =0 Si le système (5)-(6) admet une solution non nulle, le système en (, ) n'est pas de Cramer sans quoi la seule solution serait la solution nulle. Ainsi, sin( ) = 0. Or, sin( ) = 0 n N | = n2 Réciproquement, s'il existe n N tel que = n2 , il est immédiat que v(x) = sin(nx) pour tout x [ 0 ; ] est une solution non nulle du système (5)-(6). En conclusion (5)-(6) possède une solution non nulle n N | = n2