Mines Maths 2 PC 2011

Thème de l'épreuve Oscillations linéaires et un théorème ergodique
Principaux outils utilisés réduction, algèbre bilinéaire, équations différentielles, analyse générale, calcul intégral
Mots clefs théorème ergodique, systèmes différentiels, approximation par convolution

Corrigé

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A 2011 MATH II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2011 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Oscillations linéaires et un théorème ergodique. On désigne par N l'ensemble des entiers naturels et par N l'ensemble des entiers naturels strictement positifs. Soit k N et n N . On note C k ([0, +[; Rn ) l'ensemble des fonctions de classe C sur [0, +[ à valeurs dans Rn . Pour chaque fonction x C 2 ([0, +[; Rn ), on notera x (t) la dérivée première de x au point t et x (t) sa dérivée seconde. k On désignera C2 (R; C) l'ensemble des fonctions continues h : R C qui sont 2-périodiques ; t R, h(t + 2) = h(t). Pour h C2 (R; C) on posera : ||h|| = sup |h(t)| . tR On désigne par h; i le produit scalaire euclidien canonique de Rn . On identifiera chaque vecteur x de Rn à un vecteur colonne, encore noté x, de Mn,1 (R). On considère deux matrices A et K de Mn,n (R) symétriques d'ordre n à coefficients réels. On suppose que pour tout vecteur colonne non nul x de Rn on a : hAx; xi > 0, hKx; xi > 0 . I. Oscillations d'un certain système linéaire. Q1 ­ Prouver que la matrice symétrique réelle A est inversible. (On pourra considérer le noyau de l'application x 7 Ax). Q2 ­ Prouver que x, y Rn , hA-1 x; yi = hx; A-1 yi. En déduire que la matrice A-1 est symétrique. Pour x, y Rn , on pose : (x; y)A = hAx; yi. On désigne par E l'endomorphisme de l'espace vectoriel Rn défini par x Rn , E(x) = A-1 Kx. Q3 ­ Prouver que (; )A définit un produit scalaire de Rn . Puis montrer que x, y Rn , (E(x); y)A = (x; E(y))A . Q4 ­ Montrer qu'il existe une base (ei )1in de Rn et n réels strictement positifs i R+ (1 i n) tels que i {1, . . . , n}, A-1 Kei = i ei . On considère l'équation différentielle : t [0, +[, Ax (t) = -Kx(t) de fonction inconnue x C 2 ([0, +[; Rn ). 2 (1) Q5 ­ Montrer que x C 2 ([0, +[; Rn ) est solution de l'équation différentielle (1) si et seulement si il existe 2n nombres réels (ai )1in , (bi )1in tels que : t [0, +[, x(t) = n X ai cos(t i=1 p p i ) + bi sin(t i ) ei . En déduire que l'ensemble des solutions de (1) est un espace vectoriel de dimension finie dont on précisera la dimension. Q6 ­ Soient x, y C 1 ([0, +[; Rn ). Prouver que t [0, +[, d (hAx; yi)(t) = hAx (t); y(t)i + hAx(t); y (t)i . dt Q7 ­ Soit x C 2 ([0, +[; Rn ) une solution de l'équation différentielle (1). Pour chaque réel t 0 on pose, T (x )(t) = 21 hAx (t); x (t)i et U (x)(t) = 12 hKx(t); x(t)i. Montrer alors que la quantité T (x )(t) + U (x)(t) ne dépend pas de t [0, +[. Les solutions de (1) interviennent en physique ; l'objet de la partie III est d'étudier leur comportement quand t + dans le cas n = 2. Les quantités T (x )(t) et U (x)(t) représentent respectivement une énergie cinétique et une énergie potentielle. II. Résultats intermédiaires. 2 1 + cos t k Soit k N . On désigne par ck le réel positif tel que : ck dt = 1 , 2 0 1 + cos t k . et pour tout réel t on pose Rk (t) = ck 2 Z 1 + cos t k Q8 ­ Calculer ( . ) sin t dt. En déduire que ck k+1 4 2 0 Z Q9 ­ Soit ]0, [. On pose : dk () = sup Rk (t) . Prouver alors que t[,2-] lim dk () = 0 . k+ Q10 ­ Soit ]0, [, et k N. Prouver que pour toute h C2 (R; C) qui est de classe C 1 sur R et tout réel u, on a : Z 2 Z 2 Rk (u - t)h(t)dt = Rk (t1 )h(u - t1 )dt1 , et 0 Z 0 2 Rk (u - t)h(t)dt - h(u) 2||h || + 4||h||dk () . 0 R 2 (On rappelle que 0 Rk (t1 )dt1 = 1 et que ||h|| est défini au début de l'énoncé. Pour établir l'inégalité, on pourra utiliser que h(u - t1 ) = h(u - t1 + 2) lorsque t1 [2 - , 2]). 3 III. Un théorème ergodique. Dans toute la suite on se limite au cas n = 2 de la partie I. Q11 ­ Soit x C 2 ([0, +[; R2 ) une solution de l'équation (1). Montrer qu'il existe quatre réels c1 , c2 , 1 , 2 tels que : t [0, +[, x(t) = 2 X ci cos(t i=1 p (2) i + i ) e i . (On rappelle que les deux vecteurs e1 , e2 sont introduits dans la Question 4 ). Dans la suite on fixe deux réels 1 , 2 et on pose : p p t [0, +[, (t) = (t 1 + 1 , t 2 + 2 ) . 1 2 Jusqu'à la fin de l'énoncé, on suppose que (3) n'est pas un nombre rationnel. On suppose donc qu'il n'existe pas d'entiers naturels m1 , m2 N tels que 1 2 2 = m1 . m2 On désigne par C2,2 (R2 ; C) l'ensemble des fonctions continues f : R C telles que : (1 , 2 ) R2 , f (1 + 2, 2 ) = f (1 , 2 ) = f (1 , 2 + 2) . 1 On désigne par C2,2 (R2 ; C) l'ensemble des fonctions f C2,2 (R2 ; C) telles f f que les deux dérivées partielles (1 , 2 ), (1 , 2 ) existent en tout point de R2 et 1 2 définissent toutes deux des fonctions continues sur R2 . Q12 ­ Soit f C2,2 (R2 ; C). Prouver que sup (1 ,2 )R2 |f (1 , 2 )| = sup |f (1 , 2 )|. (1 ,2 )[0,2]2 En déduire que (1 , 2 ) 7 |f (1 , 2 )| est majorée sur R2 et atteint sa borne supérieure. Avec les notations de la question précédente, on posera ||f || = sup |f (1 , 2 )| . (1 ,2 )R2 R 2 1 (R2 ; C). On sait que 2 7 0 f (1 , 2 )d1 est continue sur R. On Soit f C2,2 pose alors : Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 f (1 , 2 )d1 d2 = f (1 , 2 )d1 d2 . 0 0 0 0 Le but de cette partie est de démontrer le résultat suivant : 1 Théorème 1. (Théorème Ergodique) Soit f C2,2 (R2 ; C). Alors, Z Z 2 Z 2 1 T -2 f (t)dt = (2) f (1 , 2 )d1 d2 . lim T + T 0 0 0 (On rappelle que (t) est défini dans (3) et que 4 1 2 (4) n'est pas un nombre rationnel). Q13 ­ Soit j, l Z. Prouver le Théorème Ergodique dans le cas particulier de la i1 j i2 l fonction e . (Dans le cas où (j, l) 6= (0, 0) on pourra vérifier 2 ) 7 f (1 , 2 ) = e (1 , que j 1 + l 2 est non nul puis on pourra calculer séparément chaque membre de (4) dans ce cas particulier). 1 Dans les trois questions suivantes on fixe un élément quelconque f C2,2 (R2 ; C). Pour chaque k N on pose : Z 2 Z 2 2 Rk (u - 1 )Rk (v - 2 )f (1 , 2 )d1 d2 . (u, v) R , fk (u, v) = 0 0 Q14 ­ Soit k N . Prouver qu'il existe (2k + 1)2 nombres complexes (aj,l )-kj,lk P iuj ivl tels que pour tout (u, v) R2 : fk (u, v) = e . Justifier que la -kj,lk aj,l e fonction fk vérifie le Théorème Ergodique. Q15 ­ Soit ]0, [ et k N . En écrivant fk (u, v) - f (u, v) comme somme de deux termes et en appliquant la Question 10, prouver que pour tout (u, v) R2 : |fk (u, v) - f (u, v)| 2(|| f f || + || ||) + 8||f ||dk () . 1 2 On rappelle que ||f || est défini juste après la Question 12. Q16 ­ Prouver le Théorème Ergodique pour la fonction f . (On pourra poser f f M = 2(|| || + || ||) + 8||f ||. Pour > 0 donné, on pourra choisir k N tel que 1 2 dk () < . Ensuite, on pourra appliquer la Question 14 à fk et considérer T0 > 0 tel que pour tout T T0 : Z Z 2 Z 2 1 T -2 | fk (t)dt - (2) fk (1 , 2 )d1 d2 | < .) T 0 0 0 Soient a, b ]0, 2[ tels que a < b. On désigne par a,b : R R la fonction continue 2-périodique définie comme suit. La fonction a,b est nulle sur [0, a] et [b, 2]. Pour tout t [a, b], a,b (t) = sin2 ( b-a (t - a)). On rappelle que tout ouvert non vide de ] - 1, 1[2 contient un pavé de la forme ] cos b, cos a[×] cos d, cos c[ où 0 < a < b < et 0 < c < d < . P Q17 ­ On considère la solution x(t) = 2i=1 cos(t i + i ) ei de (1) obtenue en prenant c1 = c2 = 1 dans (2). Soit un ouvert non vide de {ue1 + ve2 / u, v ] - 1, 1[}. Prouver qu'il existe t [0, +[ tel que x(t) . (On pourra raisonner par l'absurde et justifier alors l'existence d'une fonction du type (1 , 2 ) 7 a,b (1 )c,d (2 ) = (1 , 2 ) telle que ((t)) est nulle pour tout t [0, +[ ). Fin de l'épreuve. Le Théorème 1 dit que la moyenne temporelle de la grandeur physique f coincide avec la moyenne spatiale de f . Il s'agit de l'hypothèse ergodique du physicien Boltzmann. La Question 17 est alors une illustration du fait que toute trajectoire du système (hamiltonien) ergodique rencontre tout ouvert de l'espace des phases. 5

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 Mines Maths 2 PC 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean Louet (ENS Cachan) ; il a été relu par Guillaume Dujardin (chercheur à l'INRIA) et Gilbert Monna (professeur en CPGE). L'épreuve se compose de trois parties. · Dans la première, les thèmes abordés sont la réduction d'endomorphismes, l'algèbre bilinéaire et les équations différentielles linéaires. On y étudie la diagonalisation d'une matrice de la forme A-1 B, A et B étant symétriques définies positives. Le raisonnement, bien que relativement classique, est assez fin et nécessite d'avoir bien assimilé le cours sur les formes bilinéaires ; les étapes sont bien détaillées par l'énoncé. On applique ensuite cette réduction à la résolution du système différentiel Ax = -Kx. · La deuxième partie, totalement indépendante de la première, est consacrée à l'analyse et au calcul intégral. Il s'agit de montrer que toute fonction h de classe C 1 et 2-périodique peut être approchée uniformément par une fonction définie par une intégrale. Il faut notamment savoir bien manipuler les expressions proposées (ici via un changement de variable exploitant la périodicité, l'inégalité triangulaire, la relation de Chasles et l'inégalité des accroissements finis) pour établir l'inégalité de la question 10, la plus technique de cette partie. · L'objectif de la troisième partie est de montrer, à partir des résultats de la précédente, le théorème suivant, dit ergodique, dans lequel est une fonction donnée R R2 : Si f : R2 C est de classe C 1 et 2- périodique par rapport à ses deux variables, alors Z Z 2 Z 2 1 T -2 lim f (t) dt = (2) f (1 , 2 ) d1 d2 T+ T 0 0 0 On montre d'abord ce résultat lorsque f est un polynôme trigonométrique ; ce n'est pas difficile intuitivement, mais la rédaction soigneuse est un peu lourde. On procède ensuite par approximation en utilisant les fonctions construites dans la deuxième partie. La démonstration s'effectue « à la main » en utilisant la définition de la limite, et il faut là encore être attentif (et astucieux) pour effectuer les majorations nécessaires. La dernière question propose d'étudier le comportement global d'une solution du système différentiel étudié à la fin de la première partie, dans le cas de la dimension 2. On démontre par l'absurde et en utilisant le théorème ergodique que, pour une certaine base (e1 , e2 ) de R2 , la solution rencontre tout ouvert non vide inclus dans l'ensemble {ue1 + ve2 | u, v ] -1 ; 1 [}. C'est donc un très beau problème, qui aborde des aspects variés du programme (algèbre bilinéaire, équations différentielles et calcul intégral). Les raisonnements sont bien détaillés par l'énoncé, mais plusieurs questions sont assez techniques et il faut être bien entraîné au calcul intégral et à l'analyse à une variable pour espérer les résoudre entièrement. Indications 1 Montrer que le noyau de l'application x 7 Ax est réduit à {0}. 2 Poser z = A-1 y et exploiter la symétrie de A. 3 Montrer que les deux membres de l'égalité cherchée valent hKx; yi. 4 Utiliser la question 3 pour montrer que A-1 K est symétrique pour le produit scalaire ( ; )A , déduire qu'elle est diagonalisable et calculer (E(ei ); ei )A de deux façons pour trouver le signe de ses valeurs propres. n P 5 Si x est une solution de (1), écrire x(t) = xi (t)ei et résoudre l'équation différentielle scalaire vérifiée par chaque xi . i=1 6 Développer le produit scalaire hAx(t), y(t)i à l'aide des coordonnées de x(t), y(t) dans la base canonique de Rn et des coefficients de la matrice A, puis dériver. 7 Montrer que la dérivée de cette fonction est nulle en se servant de la question précédente et de la symétrie des matrices A et K. 8 Pour calculer l'intégrale, poser x = cos t. Pour l'inégalité, remarquer que k k Z Z 1 + cos t 1 + cos t sin t dt 6 dt 2 2 0 0 et Z 0 2 1 + cos t 2 k dt = 2 Z 0 1 + cos t 2 k dt 9 Montrer que, pour tout t [ ; 2 - ] k 1 + cos t 6 k 2 où [ 0 ; 1 [ (et ne dépend pas de t). 10 Remarquer que comme l'intégrale de Rk vaut 1, la différence cherchée vaut Z 2 Rk (t1 ) (h(u - t1 ) - h(u)) dt1 0 et majorer l'intégrale de cette fonction sur les intervalles [ 0 ; ], [ 2 - ; 2 ] (en utilisant l'inégalité des accroissements finis) et [ ; 2 - ] (via la question 8). p 11 Prendre ci = a2i + b2i . 12 Utiliser la périodicité de f par rapport à ses deux variables pour se ramener au compact [ 0 ; 2 ]2 , sur lequel f est continue. 13 Dans le cas où (j, l) 6= (0, 0), montrer que les deux membres de (4) sont nuls en écrivant f sous la forme f (t) = ei eit puis en calculant directement son intégrale sur [ 0 ; T ]. k 14 Remarquer que (1+cos(x-))/2 peut s'écrire comme une combinaison linéaire des quantités (epx eq )p,q6|k| , 15 Introduire la fonction gk (u, v) = Z 2 Rk (u - 1 )f (1 , v) d1 0 et majorer séparément f - gk et gk - fk . 16 Écrire la différence à majorer comme somme des trois termes Z Z Z 2 Z 2 ! Z 2 Z 2 1 T 1 T -2 -2 (f - fk ) + fk - (2) fk + (2) (fk - f ) T 0 T 0 0 0 0 0 Se donner alors > 0 fixé et utiliser la question 15 pour majorer le premier et le troisième terme par M ; puis prendre T assez grand pour que le deuxième terme soit majoré par . 17 Exploiter l'indication de l'énoncé en notant que contient un ensemble de la forme U = {ue1 + ve2 | (u, v) ] cos b ; cos a [ × ] cos d ; cos c [} et remarquer que si (cos 1 , cos 2 ) / U alors a,b (1 ) ou c,d (2 ) est nul (donc leur produit est nul). I. Oscillations d'un certain système linéaire 1 Soit y Rn appartenant au noyau de A. Ainsi Ay = 0 donc hAy; yi = 0. Or, par hypothèse sur A, hAx; xi > 0 pour tout vecteur x non nul ; on en déduit que y est nul. Le noyau de x 7 Ax est donc réduit à {0} ; cette application est injective. Comme il s'agit d'un endomorphisme de Rn , elle est bijective, et c'est l'endomorphisme de Rn canoniquement associée à la matrice A. Ainsi, A est inversible. 2 Soient x, y Rn . D'après la question 1, A est inversible, notons z = A-1 y ; alors hA-1 x; yi = hA-1 x; Azi = hA(A-1 x); zi soit x, y Rn car A est symétrique hA-1 x; yi = hx; A-1 yi L'endomorphisme x 7 A-1 x est donc symétrique pour le produit scalaire usuel, donc sa matrice dans toute base orthonormale pour ce produit scalaire est symétrique ; c'est le cas pour la base canonique de Rn , et la matrice correspondante est alors A-1 . On conclut : La matrice A-1 est symétrique. 3 Montrons que l'application ( ; )A , qui est à valeurs réelles, est un produit scalaire : · elle est linéaire à gauche : si x, y, z Rn et , µ R on a hA(x + µy); zi = hAx + µAy; zi = hAx; zi + µhAy; zi · elle est symétrique : si x, y Rn , on a par symétrie de la matrice A (x; y)A = hAx; yi = hAy; xi = (y; x)A Étant symétrique et, d'après le point précédent, linéaire à gauche, ( ; )A est une forme bilinéaire symétrique ; · elle est définie positive : si x Rn est non nul, (x; x)A = hAx; xi > 0 par hypothèse sur A, et si x est nul, ce terme est nul ; ainsi, (x; x)A > 0, avec égalité si et seulement si x = 0. On conclut que ( ; )A est un produit scalaire sur Rn . On note E = A-1 K, de sorte que pour x, y Rn (E(x); y)A = hAE(x); yi = hA(A-1 Kx); yi = hKx; yi et (x; E(y))A = hAx; A-1 Kyi = hx; AA-1 Kyi par symétrie de A = hx; Kyi (x; E(y))A = hKx; yi Ainsi x, y Rn (E(x); y)A = (x; E(y))A par symétrie de K