Mines Maths 2 PC 2010

Thème de l'épreuve Théorème de Rolle dans le cas complexe
Principaux outils utilisés polynômes complexes, diagonalisation, barycentres
Mots clefs Théorème de Rolle, inversion

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2010 MATH II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2010 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : trois heures) Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Théorème de Rolle dans le cas complexe . Dans ce problème on se propose de prouver l'analogue complexe suivant du théorème de Rolle : Théorème 1. Soient a et b deux nombres complexes distincts et n un entier > 2. Soit P (X) C[X] un polynôme de degré n tel que P (a) = P (b). Le polynôme dérivé P (X) de P possède alors au moins un zéro z0 (ie P (z0 ) = 0) dans le disque n o a+b | 6 Rn (a, b) , Da,b;n = z C; |z - 2 où Rn (a, b) = Soit P (X) = donné par : N X |a - b| cos( n ) . 2 sin( n ) ul X l C[X], le polynôme dérivé P (X) de P (X), est l=0 P (X) = N -1 X ul+1 (l + 1)X l . l=0 Pour k {0, . . . , n}, A. n k désigne le coefficient binomial n! (n-k)! k! . Définition de Az P (X). On note Cn [X] l'espace vectoriel complexe des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à n. Soit P Cn [X] et z C. On définit le polynôme Az P C[X] par la formule : Az P (X) = (z - X)P (X) + nP (X). Cette définition de Az dépend donc de l'espace de départ Cn [X]. 1) Vérifier que Az définit une application linéaire de Cn [X] vers Cn-1 [X]. 2) Soient z1 , z2 C et P Cn [X]. Prouver que : Az1 Az2 P (X) = Az2 Az1 P (X), où dans la composition Az1 Az2 (du membre de gauche), Az2 est vu comme application de Cn [X] vers Cn-1 [X] et Az1 est vu comme application de Cn-1 [X] vers Cn-2 [X]. Pareillement, dans la composition 2 Az2 Az1 (du membre de droite), Az1 est vu comme application de Cn [X] vers Cn-1 [X] et Az2 est vu comme application de Cn-1 [X] vers Cn-2 [X]. 3) Pour z C, déterminer l'ensemble des P Cn [X] tels que Az P (X) soit le polynôme nul. (On pourra utiliser la famille formée par les polynômes (X - z)k , 0 6 k 6 n). Déterminer alors l'image de l'application Az : Cn [X] 7 Cn-1 [X]. 4) Soit z C. Déterminer les valeurs propres et sous espaces propres de cz de Cn [X] défini par : l'endomorphisme A cz (P )(X) = (z - X)P (X) + nP (X). P Cn [X], A cz est diagonalisable. Montrer que A 5) On conserve les notations de la question précédente. Soit E un endocz . Montrer qu'il existe Q morphisme de Cn [X] commutant avec A cz ) = E. (On pourra utiliser un polynôme associé à Cn [X] tel que Q(A une interpolation de Lagrange convenable). B. Définition de . On considère la bijection f : f : C \ {0} - C \ {0} z C \ {0} 7 z1 = f (z) On se place dans le plan euclidien R2 identifié à C. On désignera par C un cercle (de centre z0 et de rayon R non nul) de C : C = {z C, |z - z0 | = R}. On notera respectivement C - et C + l'intérieur géométrique et l'extérieur géométrique de C. Plus précisément : C - = {z C, |z - z0 | < R}, C + = {z C, |z - z0 | > R}. 6) Soit C un cercle de centre z0 et de rayon R > 0 tel que l'origine 0 appartient à C + . On pose z0 = rei où r ]R, +[ et R. Prouver que f (C) est un cercle dont on précisera le centre et le rayon en fonction de r, , R. Vérifier en outre que l'origine 0 appartient à f (C)+ . (On pourra partir de (z - z0 )(z - z0 ) = zz - z0 z - zz0 + z0 z0 = R2 .) 3 7) On conserve les hypothèses et notations de la question précédente. Prouver que f (C - ) = f (C)- . C'est à dire que f transforme l'intérieur du cercle C en la totalité de l'intérieur du cercle f (C) (on pourra utiliser le fait admis suivant. Un point u de C \ {0} appartient à C - si et seulement si la demi-droite Du issue de 0 et passant par u rencontre C en deux points distincts A, B tels que u appartient au segment ouvert ]A, B[. On pourra alors considérer f (Du )). Soient z1 , · · · , zn C, non nécessairement deux à deux distincts. n X 1 Soit C \ {zi , i {1, · · · , n}} tel que n1 est non nul. On z - i i=1 considère alors le nombre complexe défini par 1X 1 1 = . - n i=1 zi - n (1) 8) Soit C un cercle tel que {zi , i {1, · · · , n}} C - . Montrer que si l'origine 0 appartient à C + alors 0 est bien défini et appartient à C - n 1X (on pourra commencer par prouver que f (zi ) appartient à f (C)- ). n i=0 9) Soit C un cercle tel que {zi , i {1, · · · , n}} C - . Montrer que si C + alors est bien défini et appartient à C - . C. Condition d'apolarité. Dans cette partie, z1 , · · · , zn désigneront n nombres complexes non nécessairement deux à deux distincts. n Y (X - zi ) un polynôme de Cn [X] et 10) Soit P (X) = i=1 C \ {zi , i {1, · · · , n}}. 1 P () (1 6 i 6 n). En déduire que si en fonction des P () - zi P () est non nul alors Exprimer = - n où est défini par (1). 4 P () P () n Y 11) Soit P (X) = (X - zi ) C[X] et z C \ {zi , i {1, · · · , n}}. i=1 Montrer que l'ensemble des zéros C de Az P (X) est la réunion des deux ensembles suivants : ­ {zi , 1 6 i 6 n, P (zi ) = 0}. ­ { C \ {zi , i {1, · · · , n}}, = z}, où est défini par (1). 12) On conserve les notations de la question précédente. Montrer que 1X zj z= n j=1 n si et seulement si le degré de Az P (X) est strictement inférieur à n - 1. n Y (X - zi ) et z C. On suppose 13) On considère le polynôme P (X) = i=1 qu'il existe un cercle C1 tel que {zi , i {1, · · · , n}} C1- et z C1 C1+ . Prouver alors que Az P (X) est exactement de degré n - 1. Puis prouver que les n - 1 zéros de Az P (X) (en comptant les multiplicités) appartiennent tous à C1- (on pourra utiliser les questions 9 et 11). On considère deux polynômes de C[X] de degré n, n n Y Y P (X) = u (X - zi ), et Q(X) = v (X - zi ), i=1 i=1 où u, v C et zi , zi désignent respectivement les zéros de P (X) et Q(X). On dira que P est apolaire par rapport à Q si Az1 Az2 · · · Azn P (X) = 0. Quand on écrit Az1 Az2 · · · Azn dans cet ordre on utilise la convention décrite dans la question 2. Plus précisément, Azn est vu comme ap est vu comme application de plication de Cn [X] vers Cn-1 [X], Azn-1 Cn-1 [X] vers Cn-2 [X], . . ., Az1 est vu comme application de C1 [X] vers C. Ainsi Az1 Az2 · · · Azn P (X) est une constante. 14) On suppose que P est apolaire par rapport à Q. Montrer que si C est un cercle tel que {zi , i {1, · · · , n}} C - alors il existe i {1, · · · , n} tel que zi C - (on utilisera la question précédente). Dans la suite, on fixe a, b deux points distincts de C. 5 15) Montrer qu'il existe b0 , · · · , bn-1 C que l'on calculera, tels que pour tout polynôme du type n-1 n-1 T (X) = a0 + a1 X + · · · + an-2 X n-2 + an-1 X n-1 , 1 n-2 on ait R1 T (a + t(b - a))dt = n-1 n-1 a1 bn-2 + a2 bn-3 + · · · + (-1)n-1 an-1 b0 . a0 bn-1 - 1 2 0 Avec les notations de la question précédente, on fixe n un entier supérieur ou égal à deux et on pose n-1 n-1 b1 X + · · · + bn-2 X n-2 + bn-1 X n-1 . (X) = b0 + 1 n-2 16) Montrer que (X) = Cn (X -a)n -(X -b)n où Cn est une constante non nulle que l'on calculera. Soit P (X) Cn [X] de degré n > 2 tel que P (a) = P (b). On écrit n-1 n-1 a1 X + · · · + an-2 X n-2 + an-1 X n-1 . P (X) = a0 + 1 n-2 On désigne par t1 , t2 , . . . , tn-1 les zéros (comptés avec multiplicité) de an-1 At1 At2 . . . Atn-1 (X) P (X). On admet que la constante (-1)n-1 (n-1)! est égale à : n-1 n-1 a0 bn-1 - a1 bn-2 + a2 bn-3 + · · · + (-1)n-1 an-1 b0 . 1 2 17) Montrer que (X) est apolaire par rapport à P (X) (on pourra utiliser la question 15). En déduire alors le Théorème 1 (on pourra appliquer la question 14). Fin du problème 6

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 Mines Maths 2 PC 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Romain Cosset (ENS Cachan) ; il a été relu par Alban Levy (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Le but de ce problème est d'établir une généralisation du théorème de Rolle. Ce dernier, dans sa version usuelle, assure que si une fonction dérivable de R dans R prend la même valeur en deux points a et b, alors sa dérivée s'annule au moins une fois entre ces deux points. Le résultat ne s'étend pas, dans le cas général, aux fonctions de R dans C. Par exemple, la fonction x 7- e i x prend la même valeur en 0 et en 2, mais sa dérivée x 7- i e i x ne s'annule jamais. Cependant, si l'on se limite aux fonctions polynomiales de R dans C, on obtient un analogue du théorème de Rolle en remplaçant l'intervalle ouvert ] a ; b [ par un disque défini en fonction de a, b et du degré du polynôme. Le problème est composé de trois parties. · La première est algébrique : on y étudie un opérateur linéaire sur les polynômes à coefficients complexes de degré n. En particulier, on détermine ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Les résultats de cette partie découlent plus ou moins directement du cours. · Dans la deuxième partie, on étudie l'action géométrique de l'inversion z 7 1/z, en particulier son action sur les cercles. C'est une bonne occasion d'exercer son intuition géométrique dans un domaine peu traité en cours. · La dernière partie est consacré à la preuve du théorème. Elle s'appuie pour cela sur les résultats de la partie 2. Ce sujet est assez difficile car, en dehors de la première partie, peu de résultats du cours sont utilisés. En particulier, la troisième partie demande de bien savoir utiliser les résultats des questions précédentes mais aussi de maîtriser les raisonnements classiques en mathématiques : preuve par cas (question 11,13), par contraposé (question 13) ou par récurrence comme à la question 14. Indications Partie A 3 Montrer que la famille {(X - z) , 0 6 k 6 n} est une base de Cn [X]. cz . 4 Étudier l'image des (X - z)k par A k cz et E dans la même base. 5 Diagonaliser A Partie B 6 7 8 9 Reconnaître le même type d'égalité pour le point f (z) = 1/z. Montrer d'abord une inclusion avant de l'appliquer au cercle f (C ). Penser aux propriétés des barycentres dans les convexes. Utiliser une translation pour se ramener à la question précédente. Partie C 13 Utiliser un cercle C inclus dans C1 mais contenant les zi et appliquer la question 9. 14 Procéder par récurrence sur le degré des polynômes P et Q. Utiliser le résultat de la question 12 pour traiter le cas de base et appliquer l'hypothèse de récurrence au polynôme Azn P(X) si zn est hors du disque. n-1 15 Considérer les polynômes Tk (X) = Xk . k 17 Montrer que les zéros de appartiennent à l'intérieur du cercle de centre (a+b)/2 et de rayon Rn (a, b). Les conseils du jury Le jury apporte de nombreux conseils pour « améliorer sensiblement sa performance en prêtant attention à quelques « détails » : · Soigner sa rédaction : il faut trouver le juste équilibre entre répondre au plus grand nombre de questions possible et répondre sans ambiguïtés. En effet, une réponse juste mais mal justifiée ne peut être accréditée de tous les points. Les réponses doivent donc être succinctes mais complètes, cela fait partie de l'épreuve. · Écrire proprement : des petits caractères avec un stylo plume épais sont illisibles et la pénalité peut être très importante. · Ne pas « tricher » : si la justification que vous proposez vous paraît erronée ou insuffisante, ne la donnez pas. Le correcteur estimerait que vous ne maîtrisez pas les outils ou que vos connaissances sont superficielles. · Mettre sa copie en valeur : vos copies sont examinées par des humains... les copies illisibles et celles sur lesquelles le correcteur passe plus de temps à chercher les réponses qu'à vérifier leur justesse seront mal notées, c'est mathématique ! · Prendre le temps de lire le sujet en entier avant de rédiger : ceci permet de mieux comprendre les objets traités. » A. Définition de Az P(X) 1 Pour tout polynôme P(X) = n P ak Xk à coefficients complexes, le coefficient du k=0 terme de degré n de (z - X)P (X) + nP(X) est -nan + nan = 0. Ceci prouve que l'application Az définie a priori de Cn [X] dans Cn [X] est bien à valeurs dans Cn-1 [X]. De plus, pour P, Q Cn [X] et C, Az (P + Q)(X) = (z - X)(P + Q) (X) + n(P + Q)(X) = (z - X)P (X) + (z - X)Q (X) + nP(X) + nQ(X) = [(z - X)P (X) + nP(X)] + [(z - X)Q (X) + nQ(X)] Az (P + Q)(X) = Az P(X) + Az Q(X) On a bien vérifié que L'application Az de Cn [X] dans Cn-1 [X] est linéaire. 2 Soient z1 , z2 deux nombres complexes et P un polynôme de degré au plus n. Par définition Az2 P(X) = (z2 - X)P (X) + nP(X) est un polynôme de degré inférieur à n - 1. Par ailleurs, pour R Cn-1 [X], Az1 R(X) = (z1 - X)R (X) + (n - 1)R(X) d'où Az1 (Az2 P)(X) = (z1 - X) (z2 - X)P (X) + nP(X) + (n - 1) (z2 - X)P (X) + nP(X) = -(z1 - X)P (X) + (z1 - X)(z2 - X)P (X) + (z1 - X)nP (X) + (n - 1)(z2 - X)P (X) + n(n - 1)P(X) Az1 (Az2 P)(X) = (z1 - X)(z2 - X)P (X) + (n - 1)(z1 - X)P (X) + (n - 1)(z2 - X)P (X) + n(n - 1)P(X) Les rôles de z1 et z2 étant symétriques, on peut les intervertir et obtenir que Az2 (Az1 P)(X) = Az1 (Az2 P)(X) 3 Commençons par remarquer que la famille formée des n + 1 polynômes (X - z)k avec 0 6 k 6 n forme une base de Cn [X] car ils sont de degrés distincts (c'est une famille de polynômes à degrés étagés). Soit P un polynôme de Cn [X] ; il se décompose n P dans la base précédente : P(X) = ak (X - z)k . La linéarité de Az , prouvée à la k=0 question 1, permet d'intervertir la somme et l'opérateur et ainsi de se restreindre au calcul des Az (X - z)k : pour k différent de 0, Az (X - z)k (X) = (z - X)k(X - z)k-1 + n(X - z)k = (n - k)(X - z)k Comme Az (1)(X) = 0 + n × 1 = n, on a pour tout 0 6 k 6 n, Az (X - z)k (X) = (n - k)(X - z)k Supposons que P appartienne au noyau de Az , on doit avoir n n-1 P P 0 = Az P(X) = ak (n - k)(X - z)k = ak (n - k)(X - z)k k=0 k=0 La famille (X - z)k , 0 6 k 6 n formant une base de Cn [X], la somme précédente est nulle si et seulement si tous ses termes sont nuls. c'est-à-dire que pour tout entier k strictement inférieur à n, ak (n - k) = 0 et donc ak = 0. Par ailleurs, on voit que pour tout an C, Az an (X - z)n = 0, d'où, Les polynômes P de Cn [X] tels que Az P(X) est nul sont ceux de la forme an (X- z)n avec an C. Le jury fait remarquer qu'« il ne suffit pas de tester une application linéaire sur les éléments d'une base pour étudier son noyau. En particulier, ce n'est pas parce que un seul vecteur de la base suggérée appartient au noyau de que le noyau se limite à la droite vectorielle engendrée par ce vecteur ! Par exemple pour l'application (x, y) 7 x-y, aucun vecteur de la base canonique n'est envoyé à 0 pourtant le noyau est une droite. » D'après la question 1, l'application Az : Cn [X] Cn-1 [X] est linéaire et l'on vient de montrer qu'elle a pour noyau Vect {(X - z)n } qui est de dimension 1. Puisque l'espace Cn [X] est de dimension n + 1, la dimension de l'image de Az est n par le théorème du rang. Comme dim(Cn-1 [X]) = n, L'application Az est surjective. cz : Cn [X] Cn [X] est incluse dans Cn-1 [X]. 4 L'image de l'endomorphisme A Pour tout entier 0 6 k 6 n on a montré à la question 3 que cz (X - z)k (X) = (n - k)(X - z)k A cz et les sous-espaces Les nombres complexes n - k sont donc des valeurs propres de A propres associés contiennent Vect {(X - z)k }. Remarquons que pour k = n, il s'agit cz . On a trouvé n + 1 valeurs propres distinctes de A cz , du noyau de l'application A c or comme dim (Cn [X]) = n + 1, les n - k sont toutes les valeurs propres de Az et la dimension de chaque sous-espace est égale à 1 : cz sont les k = k pour 0 6 k 6 n Les valeurs propres de A associées aux sous-espaces propres Ek = Vect {(X - z)n-k }. cz de l'espace Cn [X] de dimension n + 1 admettant ainsi n + 1 L'endomorphisme A valeurs propres distinctes, cz est diagonalisable. A cz , il doit laisser stable les sous-espaces 5 Comme l'endomorphisme E commute avec A c propres de Az . Ces derniers étant de dimension 1, ce sont également des sous-espaces propres de E. Dans la base {(X - z)k , 0 6 k 6 n}, les matrices des endomorphismes sont alors de la forme : n µ0 µ1 n-1 cz ) = Mat (A Mat (E) = .. .. . . 0 µn