Mines Maths 2 PC 2009

Thème de l'épreuve Autour du noyau de Poisson
Principaux outils utilisés continuité, théorèmes d'intégration, développement en série entière
Mots clefs noyau de Poisson, intégrabilité, série entière

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2009 MATH. II PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2009 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Autour du noyau de Poisson Définitions et notations ­ On note F l'ensemble des nombres réels positifs non entiers ; ­ On note D l'ensemble des nombres complexes de module inférieur strictement à 1. ­ Si Z est un nombre complexe, on note Re(Z) sa partie réelle et Im(Z) sa partie imaginaire. ­ Dans tout le problème, on désigne par g la fonction réelle de variable réelle définie par : g : [0, 1] - R u- 7 I 1 · 1+u Question préliminaire 1) Soit x un réel. Montrer que l'intégrale : I(x) = Z 1 0 ux-1 + u-x du 1+u existe si et seulement si x ]0, 1[. L'objet du problème est de calculer la valeur de cette intégrale. II Une identité intégrale Soit f une fonction à valeurs réelles, définie et développable en série entière sur [0, 1[. On note (an )nN les coefficients de son développement. 2) Montrer que l'expression Z 1 v x-1 f (yv) dv 0 a un sens pour tout x > 0 et tout y ]0, 1[. 2 Pour x > 0, on pose Z 1 v x-1 f (yv) 0 S[f ](x, y) = dv pour y ]0, 1[, f (0) pour y = 0. x 3) Montrer que pour tout x > 0, la fonction y 7 S[f ](x, y) est continue sur [0, 1[. 4) Montrer que pour tout x F , la fonction y 7 S[f ](x, y) est développable en série entière sur [0, 1[, et donner les coefficients de son développement en série entière. On considère la fonction f~ définie sur D par la relation : z D : f~(z) = + X an z n . n=0 Pour tout x F et tout y [0, 1[, on considère l'expression : Re J[f ](x, y) = sin(x) Z 1 ixt e f~(-yeit ) dt . 0 5) Calculer, pour tout x F et tout n N : In (x) = (-1)n Z 1 cos((n + x)t) dt. sin(x) 0 6) Montrer que pour tout x F , la fonction y 7 J[f ](x, y) est développable en série entière sur [0, 1[, et donner les coefficients de son développement en série entière. En déduire que S[f ](x, y) = J[f ](x, y) pour tout x F et tout y [0, 1[. Pour tout x ]0, 1[ et tout y [0, 1[, on pose : C[f ](x, y) = S[f ](x, y) + S[f ](1 - x, y). 3 7) Établir l'identité suivante pour tout x ]0, 1[ et tout y [0, 1[ : (1 - y) Z 1 cos((1 - x)t) + cos(xt) dt. C[g](x, y) = sin(x) 0 1 - 2y cos(t) + y 2 III Noyau de Poisson Pour tout y [0, 1[ et tout t [0, 1], on définit le noyau de Poisson P par : P (t, y) = 1 - y2 . 1 - 2y cos(t) + y 2 8) Établir l'identité suivante pour tout y [0, 1[ et tout t [0, 1] : 1 + yeit . P (t, y) = Re 1 - yeit # " 9) Montrer que pour t [0, 1] fixé, la fonction y 7 P (t, y) est développable en série entière sur [0, 1[, et calculer les coefficients de son développement en série entière. 10) Établir que pour tout y [0, 1[ on a : Z 1 0 P (t, y) dt = 1. Dans les questions 11) et 12) ci-dessous, on désigne par une fonction définie et continue sur [0, 1], à valeurs réelles. 11) Montrer que pour tout ]0, 1[, on a : lim Z 1 y1 et Z 0 P (t, y)(t) dt = 0 P (t, y)(t) dt 6 sup |(t)| . t[0,] 4 12) En déduire que l'on a : lim Z 1 P (t, y)(t) dt = (0). y1 0 On pourra commencer par traiter le cas où (0) = 0. IV Application à un calcul d'intégrale Pour tout x ]0, 1[ et tout y [0, 1[, on pose : A(x, y) = Z 1 P (t, y) cos(xt) dt. 0 13) Pour tout x ]0, 1[ et tout y [0, 1[, exprimer C[g](x, y) en fonction de A(x, y) et de A(1 - x, y). 14) Pour x ]0, 1[ fixé, déterminer la limite de C[g](x, y) quand y tend vers 1 par valeurs inférieures. 15) En déduire la valeur de I(x) pour tout x ]0, 1[. Fin du problème 5

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 Mines Maths 2 PC 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Batog (ENS Cachan) ; il a été relu par Julien Lévy (Professeur en CPGE) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Le problème se propose de calculer l'intégrale : Z 1 x-1 u + u-x I(x) = du 1+u 0 en faisant apparaître un noyau de Poisson dont on étudie quelques propriétés. Il comporte quatre parties, dont les trois premières sont indépendantes. · La première partie ne comporte qu'une seule question, préliminaire au problème. Il s'agit de déterminer le domaine de définition de I(x). · La deuxième partie considère des intégrales généralisant I(x) en y introduisant un paramètre et une fonction développable en série entière. Très peu de propriétés sont utilisées concernant les séries entières. En revanche, les gros théorèmes d'analyse portant sur les intégrales sont appliqués à de nombreuses reprises. Un petit calcul dans le corps des complexes fournit une expression intégrale qui sera utile dans la dernière partie. · La troisième partie est consacrée à l'étude du noyau de Poisson. On y utilise les mêmes techniques qu'à la partie précédente, parfois même plus facilement. En revanche, les deux dernières questions sont les plus difficiles du problème. On y prouve un comportement limite, spécifique aux « bons » noyaux, à l'aide de raisonnements classiques d'analyse. · La quatrième partie ne présente pas de difficulté particulière ; il s'agit essentiellement d'appliquer les principaux résultats des parties précédentes. On y détermine la valeur de I(x). Le niveau de ce sujet se situe dans la moyenne de ceux proposés au concours des Mines : les techniques sont très classiques en analyse mais nécessitent de l'expérience dans leur utilisation. Bien que le thème du problème soit le calcul d'une intégrale, très peu de calculs sont nécessaires pour répondre aux questions. Indications 1 Calculer un équivalent de l'intégrande au voisinage de 0. 2 Même indication qu'à la question 1. Conclure alors à l'intégrabilité de la fonction sous l'intégrale. 3 Prouver la continuité en y sur [ 0 ; 1 [ de l'intégrale définie à la question 2 à l'aide du théorème de continuité sous le signe intégrale. 4 Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions avec le développement en série entière de f . 5 Calculer directement l'intégrale. 6 Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions avec le développement en série entière de fe donné dans l'énoncé puis calculer la partie réelle du résultat obtenu. 7 Utiliser l'égalité S[f ](x, y) = J[f ](x, y) obtenue à la question 6. 8 Calculer directement la partie réelle du membre de droite pour obtenir P(t, y). 9 Développer en série entière l'application 1 + y e i t 1 - y e i t 10 Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions en utilisant la série obtenue à la question 9. 11 Appliquer le théorème de convergence dominée pour établir la limite. On considérera un intervalle de la forme [ ; 1 [ pour y, avec convenablement choisi. Pour la majoration, faire apparaître l'intégrale de la question 10. 12 Pour le cas (0) = 0, établir la limite en raisonnant avec des : majorer l'intégrale sur les intervalles respectifs [ 0 ; ] et [ ; 1 ] avec bien choisi, à l'aide des résultats de la question 11. Montrer en particulier que Sup || --- 0. y 7- [ 0 ; ] 0 Pour le cas général, considérer l'application t 7- (t) - (0) et utiliser l'égalité de la question 10. 13 Faire apparaître A(x, y) et A(1 - x, y) dans l'expression de C[g](x, y) obtenue à la question 7. 14 Utiliser les résultats des questions 12 et 13. 15 Montrer que lim C[g](x, y) = I(x) en écrivant la définition y1 C[g](x, y) = S[f ](x, y) + S[f ](1 - x, y) Utiliser le résultat de la question 14 pour conclure. Les conseils du jury Le rapport du jury donne de nombreux conseils sur la manière de bien rédiger afin « d'être récompensé par le barème ». Les candidats se contentant de citer ou d'énoncer un théorème du cours « sont toujours très pénalisés et souvent éliminés ». Il faut absolument « vérifier ses hypothèses dans le cadre du sujet » « avec justification précise de toutes les étapes », ce qui ne signifie pas d'en écrire des pages : « Le correcteur cherche des arguments clés, formulés de manière précise et concise. Pour cela, souvent quelques lignes suffisent. Les meilleures copies sont brèves. » I. Question préliminaire 1 La fonction hx : u 7- (ux-1 + u-x ) g(u) est continue sur ] 0 ; 1 ] comme produit de fonctions continues sur ] 0 ; 1 ]. Elle y est de plus positive. Calculons un équivalent de hx en 0 pour décider son intégrabilité sur ] 0 ; 1 ]. Celui-ci dépend de l'ordre des puissances x - 1 et -x intervenant dans l'expression de hx . En effet pour deux réels < , u = o(u ) au voisinage de 0 donc u +u u au voisinage de 0. Puisque g est continue en 0 et g(0) = 1, on obtient les équivalents suivants : u-x si x > 1/2 2/ u si x = 1/2 hx (u) u0 x-1 u si x < 1/2 Or la fonction puissance u 7- u est intégrable sur ] 0 ; 1 ] si et seulement si > -1. D'après le théorème de comparaison des intégrales de fonctions positives, · pour x > 1/2, hx est intégrable sur ] 0 ; 1 ] si et seulement si x < 1 ; · h1/2 est intégrable sur ] 0 ; 1 ] ; · pour x < 1/2, hx est intégrable sur ] 0 ; 1 ] si et seulement si x > 0. Finalement, hx est intégrable sur ] 0 ; 1 ] si et seulement si x ] 0 ; 1 [. Comme hx possède une symétrie en 1/2 pour x (h1-x = hx ), on peut restreindre l'étude de l'intégrabilité de hx pour x > 1/2. Puisque hx est positive, son intégrale (impropre) sur ] 0 ; 1 ] converge si et seulement si hx est intégrable sur ] 0 ; 1 ], d'où I(x) existe si et seulement si x ] 0 ; 1 [. Une autre méthode pour prouver l'existence de I(x) consiste à décomposer la fonction positive hx comme la somme des deux fonctions positives u 7- ux-1 g(u) et u 7- u-x g(u). La première est intégrable sur ] 0 ; 1 ] si et seulement si x > 0 et la seconde l'est si et seulement si x < 1. Ainsi hx est intégrable sur ] 0 ; 1 ] si et seulement si x ] 0 ; 1 [ grâce à la propriété suivante : deux fonctions positives f1 et f2 continues définies sur un intervalle A sont intégrables sur A si et seulement si leur somme f = f1 + f2 est intégrable sur A. En effet, · si f1 et f2 sont intégrables, on conclut à l'intégrabilité de f grâce à l'inégalité triangulaire |f | 6 |f1 | + |f2 | (qui est vérifiée pour toutes les fonctions, qu'elles soient positives ou non) ; · si f est intégrable, on conclut à l'intégrabilité de fi puisque 0 6 fi 6 f (la positivité des fonctions est primordiale ici). En revanche, cette équivalence est fausse si on ne suppose pas que les deux fonctions sont positives. Par exemple, u 7- u-2 - u-1 et u 7- u-1 sont non intégrables sur [ 1 ; + [ mais leur somme u 7- u-2 est intégrable sur [ 1 ; + [. II. Une identité intégrale 2 Soient x > 0 et y ] 0 ; 1 [ fixés. La fonction h : v 7- v x-1 f (yv) est continue sur ] 0 ; 1 ] comme produit de fonctions continues sur ce domaine. En effet, |yv| < 1 pour tout v dans ] 0 ; 1 ] et f est continue sur [ 0 ; 1 [ car elle y est développable en série entière, donc la composée v 7- f (yv) est continue sur ] 0 ; 1 ]. Étudions à présent le comportement de h au voisinage de 0 pour montrer que h est intégrable sur ] 0 ; 1 ]. D'abord, si f est identiquement nulle, alors h aussi et l'intégrale est nulle. Sinon, posons p = Min {n N | an 6= 0}. Celui-ci existe car c'est le minimum d'un ensemble non vide d'entiers naturels (si tous les an sont nuls, alors f est nulle). Comme P P f (v) = an v n = ap + an+p v n v p n>p n>1 f (v) --- ap v p v0 f (yv) ap y p v p on obtient Ainsi v0 d'où h(v) et même |h(v)| ap y p v p+x-1 |ap | y p v p+x-1 v0 v0 La fonction puissance obtenue est intégrable sur ] 0 ; 1 ] puisque p+x-1 > -1. Comme la fonction |h| est continue positive sur ] 0 ; 1 ], |h| est intégrable sur ] 0 ; 1 ] d'après le théorème de comparaison des intégrales de fonctions positives. Puisque la convergence absolue d'une intégrale implique sa convergence, l'intégrale de h sur ] 0 ; 1 ] est bien définie. Z 1 L'intégrale v x-1 f (yv) dv est bien définie pour tout x > 0 et tout y ] 0 ; 1 [. 0 Il n'est pas nécessaire de calculer précisément un équivalent pour étudier le comportement local d'une fonction : de grosses approximations suffisent parfois. Ici, comme f est continue en 0, f = O(1) au voisinage de 0 (c'est-à-dire qu'il existe > 0 tel que f soit bornée sur le segment [ 0 ; ]) donc h(v) = O(v x-1 ). L'intégrabilité de h s'en déduit comme précédemment. Le rapport du jury signale que « beaucoup deZcandidats se sont mis à P développer f en série entière, à permuter les signes et et à aboutir à la valeur de l'intégrale en terme de an , en anticipant sur la question 4. Cette démarche superflue n'a été récompensée que lorsqu'elle a été faite correctement avec justification précise de toutes les étapes. » L'intégrale est bien définie lorsque y = 0 puisqu'on obtient Z 1 f (0) f (0) v x-1 dv = x 0 mais elle ne l'est pas forcément lorsque y = 1 car le comportement de f au voisinage de 1 n'est pas connu.