Mines Maths 2 PC 2008

Thème de l'épreuve Stabilité d'un polynôme trigonométrique
Principaux outils utilisés fonctions usuelles, développements limités, calcul intégral, théorème de Parseval
Mots clefs Lemme de Van der Corput, Intégrales oscillantes

Corrigé

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A 2008 MATH. II PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2008 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Stabilité d'un polynôme trigonométrique Définition 1. On appelle polynôme trigonométrique toute fonction c de la variable réelle x de la forme c(x) = X cn einx n=- où les cn sont des nombres complexes, tous nuls sauf un nombre fini d'entre eux. On appelle degré de c, noté deg c, le plus petit entier K tel que cj = 0 pour tout |j| > K. On désigne par E l'ensemble des polynômes trigonométriques ; on tiendra pour acquis que E est un C-espace vectoriel stable par la multiplication des fonctions. Pour un nombre complexe z, (z) représente sa partie réelle et (z) sa partie imaginaire. I Stabilité d'un polynôme trigonométrique 1. Montrer que l'on définit une norme sur E en posant kck = X |cn | n=- pour tout c E. 2. Soit c E, établir pour tout entier p de {- deg c, · · · , deg c}, l'identité 1 Z cp = c(x)e-ipx dx. 2 - 3. Montrer que pour tout c E, on a sup |c(x)| 6 kck 6 (2 deg c + 1) sup |c(x)|. xR xR Définition 2. On dira que le polynôme trigonométrique c est stable lorsque la suite kck k des normes de ses puissances successives est bornée quand k décrit N. 4. Montrer que s'il existe x0 R tel que |c(x0 )| > 1 alors c n'est pas stable. Le but de la suite de ce problème est de montrer que la condition |c(x)| 6 1 pour tout réel x n'est pas suffisante pour que c soit stable. 2 II Un polynôme trigonométrique particulier Dorénavant, désigne une constante réelle telle que 0 < < 1 et a désigne le polynôme trigonométrique a(x) = 2 cos x - i sin x + 1 - 2 . Pour tout entier k > 2, on note ak,n les nombres complexes tels que la puissance k-ième de a(x) s'écrive ak (x) = k X ak,n einx . n=-k 5. Établir, pour tout réel x, l'identité x |a(x)|2 = 1 - 4(2 - 4 ) sin4 · 2 En déduire que a vérifie les propriétés a(0) = 1 et |a(x)| < 1 pour tout x appartenant à ]0, ]. 6. Donner les développements limités à l'ordre 4 au voisinage de 0 des fonctions g et h définies par ! (a(x)) g(x) = ln(|a(x)| ) et h(x) = arctan . (a(x)) 2 7. En déduire que l'on a, au voisinage de 0, la relation suivante : a(x) = exp -i x + i - 3 3 2 - 4 4 x - x + o(x4 ) . 6 8 Il existe donc trois réels , et strictement positifs et une fonction : [-, ] C, tendant vers 0 quand x tend vers 0 tels que l'on ait, pour tout x dans un voisinage de 0, a(x) = exp -ix + i x3 - x4 (1 + (x)) . On admet que la fonction est définie et de classe C 1 sur [-, ]. Dans toute la suite, on posera d(x) = exp -ix + i x 3 et b(x) = exp -x (1 + (x)) , de sorte que a(x) = d(x)b(x) et |a(x)| = |b(x)|. 3 4 III Majoration des coefficients de ak Soit [r, s] un segment de longueur non nulle de R, soit f une fonction de classe C 2 sur R à valeurs réelles. On suppose qu'il existe K > 0 tel que |f (t)| > K pour tout t [r, s] et que de plus f (t) > 0 pour tout t [r, s]. 8. Montrer l'inégalité Z s r f (t) 2 dt 6 · 2 (f (t)) K 9. En intégrant par parties l'intégrale Z s r 1 f (t) cos f (t) dt, f (t) établir que Z s cos f (t) dt 6 r 4 · K Dans les question 10 à 12, [u, v] désigne un segment de longueur non nulle de R et f une fonction de classe C 2 sur [u, v], à valeurs réelles. On suppose cette fois que f (t) > M > 0 pour tout t appartenant à [u, v]. 10. On suppose que f (u) > 0. Établir, sur [u + 2/ M , v], l'inégalité suivante f (t) > 2 M . 11. En déduire que Z v u 4 cos f (t) dt 6 · M On admettra que le résultat est identique lorsque f (v) 6 0. 12. On suppose que f (u)f (v) < 0. Montrer qu'il existe un unique réel w de ]u, v[ tel que f (w) = 0. En déduire que Z v u 8 cos f (t) dt 6 · M 4 Dans les questions 13 et 14 , désigne un nombre réel, k un entier naturel non nul et Jk, la fonction définie par Jk, (x) = Z x cos(t + kt3 ) dt, 0 où est le nombre réel non nul défini après la question 7. 13. Montrer, pour tout x appartenant à [k -1/3 , ], l'inégalité : 8k -1/3 · cos(t + kt3 ) dt 6 6 k-1/3 Z x 14. En déduire qu'il existe une constante C1 > 0, indépendante de et k, telle que pour tout x de [0, ] on ait la relation |Jk, (x)| 6 C1 k -1/3 . On admet que l'on peut démontrer de la même manière qu'il existe une constante C2 , indépendante de k et , telle que pour tout x de [0, ] on ait la relation suivante : Z x sin(t + kt3 ) dt 6 C2 k -1/3 . (1) 0 15. Montrer qu'il existe une constante > 0 telle que pour tout x de [-, ], on ait |b(x)| 6 exp(-x4 ). 16. Montrer qu'il existe une constante C3 > 0 telle que pour tout x de [-, ], on ait |b (x)| 6 C3 |x3 |. 17. À l'aide d'une intégration par parties et en utilisant les résultats précédents, montrer qu'il existe une constante C4 indépendante de n et de k telle que pour tout entier non nul k et pour tout entier relatif n, on ait l'inégalité : Z - Jk,k+n (x)(b(x))k dx 6 C4 k -1/3 . 5 18. En déduire qu'il existe une constante C5 > 0 indépendante de k et n telle que pour tout k N et pour tout n {-k, · · · , k}, on ait l'inégalité |ak,n | 6 C5 k -1/3 . On admet dorénavant l'existence d'une constante C6 > 0 telle que, pour tout entier k non nul, Z |a(x)|2k dx > C6 k -1/4 . - 19. Montrer qu'il existe C7 > 0 tel que, pour tout entier k, kak k > C7 k 1/12 , c'est-à-dire que a n'est pas stable ! Fin du problème 6

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 Mines Maths 2 PC 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par David Lecomte (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Benoît Landelle (Doctorant) et Guillaume Dujardin (ENS Cachan). Cette épreuve des Mines est à la fois passionnante et frustrante. Sous couvert d'estimer les coefficients de Fourier des puissances d'une fonction 2-périodique particulièrement simple, elle fait démontrer au candidat un fameux et difficile lemme dû à Van der Corput. Ce théorème est l'un des outils Z fondamentaux, en analyse v eif (x) dx. harmonique, pour l'estimation d'intégrales oscillantes u Somme toute, sa démonstration n'utilise que des connaissances de première année de CPGE, mais elle est assez subtile et c'est en ce sens que le problème est intéressant : il guide le candidat de manière très claire. Le sujet s'articule en trois parties, de longueurs inégales : · La première établit quelques propriétés élémentaires des polynômes trigonométriques. · La deuxième fait une étude rapide du polynôme trigonométrique a : t 7- 1 - 2 (1 - cos t) + i sin t avec ]0 ; 1[ · Enfin, on démontre une partie du lemme de Van der Corput : si f est deux fois dérivable sur [ u ; v ], telle que f > M > 0 sur cet intervalle, alors Z v u 8 cos f (t) dt 6 M Celui-ci est enfin appliqué à l'estimation des coefficients de Fourier de ak . L'auteur a dû faire des choix pour rendre cette épreuve faisable en trois heures et de nombreux résultats admis jalonnent l'énoncé. Bien que la plupart d'entre eux ne soient pas très difficiles, leur accumulation peut être déstabilisante pour le candidat. Mais, et cela est plus gênant, on doit admettre à la fin une minoration d'une certaine intégrale ; et celle-ci est loin d'être triviale. Enfin, il semble que pour pouvoir terminer le sujet, il soit nécessaire de modifier légèrement la question 17 et d'ajouter (encore) un résultat à admettre. Tout ceci est expliqué au cours du corrigé. En résumé, cette épreuve constitue un problème d'analyse difficile, calculatoire par moments, mais très intéressant. Mis à part quelques résultats élémentaires sur les séries de Fourier, elle n'utilise que des outils de première année et serait théoriquement faisable par un élève de mathématiques supérieures. Il s'agit d'un excellent entraînement pour tester son aisance en analyse, où la capacité à estimer des quantités est l'objectif principal du programme de CPGE. Indications Première partie 3 Utiliser le résultat de la question 2. 4 Montrer que kck k > |c(x0 )|k à l'aide de la question 3. Deuxième partie 5 Utiliser les formules trigonométriques de l'angle moitié. 6 Les formules à établir sont - 3 3 2 - 4 4 x + o(x4 ) et h(x) = -x + x + o(x4 ) 4 6 La fonction h est impaire ; les termes non nuls de ses développements à l'ordre 3 et à l'ordre 4 sont les mêmes. On se contente donc de développer h à l'ordre 3, ce qui simplifie les calculs. g(x) = - 7 Si z C est de partie réelle strictement positive, on peut écrire ln |z|2 (z) (z) z = |z| exp i Arctan = exp + i Arctan (z) 2 (z) Justifier que (a(x)) > 0 au voisinage de 0. Troisième partie Z t 10 Utiliser le fait que f (t) = f (u) + f (s) ds. u 11 Estimer séparément chacune des intégrales Z u+2M-1/2 Z cos f (t) dt et u 12 Majorer Z cos f (t) dt u+2M-1/2 w u v cos f (t) dt et Z v cos f (t) dt en utilisant la question 11 et le fait w que f (w) est à la fois positif et négatif. 13 Minorer f par 6k 2/3 sur k -1/3 ; . Conclure à l'aide des questions 11 et 12. 14 Il ne reste qu'à étudier le cas où x 0 ; k -1/3 . 15 On rappelle que |b(x)| = |a(x)|. Utiliser les estimations classiques h i 2|x| x - ; | sin x| > 2 2 et 1 - x 6 e-x x R pour majorer d'abord |b(x)|2 . 17 Démontrer le résultat plus général : il existe C4 > 0 tel que Z R k N Jk, (x) b(x)k dx 6 C4 k -1/3 - en procédant à une intégration par parties, comme le propose l'énoncé. Majorer b et b à l'aide des questions 15 et 16. 18 Il est nécessaire d'admettre que Z R k N sin(x + kx3 ) b(x)k dx 6 C4 k -1/3 - Utiliser la question 2 et le fait que a(x) = b(x)d(x) pour obtenir Z 1 cos(x + kx3 ) + i sin(x + kx3 ) b(x)k dx ak,n = 2 - Z P 1 19 Justifier que |ak,n |2 = |a(x)|2 dx. 2 - n=- |ak,n |2 Minorer |ak,n | à l'aide de l'identité |ak,n | = et de la question 18. Conclure |ak,n | en utilisant le dernier résultat admis par l'énoncé. Les conseils du jury Dans son rapport, le jury conseille aux candidats d'aborder une épreuve avec patience. Tout d'abord, il recommande aux candidats « de lire en entier le sujet avant de commencer » afin d'avoir « une vision plus claire des buts poursuivis » ce qui peut apporter de « précieuses indications » pour répondre à certaines questions. Ensuite, il juge « souhaitable d'avoir une idée précise de la solution avant de commencer à rédiger. » Cette façon de procéder « permet de se concentrer sur la rédaction et de faire apparaître les éléments clefs de la démonstration. » Enfin, il constate que la précipitation des candidats a tendance à leur « faire écrire n'importe quoi » (changement d'une inégalité, disparition discrète d'un terme ou tout autre « procédé surprenant [...] pour aboutir au résultat »). I. Stabilité d'un polynôme trigonométrique 1 Vérifions que k k définit une norme sur E. On rappelle que toutes les sommes faisant intervenir les coefficients de polynômes trigonométriques, bien que s'étendant de - à +, sont en fait finies. P · Si c un polynôme trigonométrique, on a par définition kck = |cn | qui est n=- positif, puisqu'un module l'est. · Supposons que kck = 0. Une somme de nombres positifs est nulle si, et seulement si, chacun d'eux l'est. Par suite, tous les (|cn |)nZ sont nuls et c = 0. c E kck = 0 = c = 0 · Soient c un polynôme trigonométrique et un complexe. Alors P P P kck = |cn | = || |cn | = || |cn | = || kck n=- n=- n=- On s'est ici servi du fait que |zz | = |z| |z | si Pz et z sont deux complexes, et de manipulations élémentaires de la notation . · Étant donnés deux polynômes trigonométriques c et d, P P P kc + dk = |cn + dn | 6 |cn | + |dn | = kck + kdk n=- | {z } n=- n=- 6|cn |+|dn | ce qui établit l'inégalité triangulaire. Conclusion : k k est une norme sur E. Soyez très précautionneux dans la rédaction des premières questions faciles d'un problème. D'après le rapport du jury, « beaucoup de candidats ont oublié de vérifier une ou deux propriétés. » 2 Soit c E, dont on note N le degré. De sorte que x R N P c(x) = cn einx n=-N Étant donné un entier relatif p {-N, . . . , N}, Z Z N Z N P P -ipx i(n-p)x c(x) e dx = cn e dx = cn - n=-N - Or, Z n Z n 6= p Z d'où n=-N ei(n-p)x dx = - c(x) e-ipx dx = cp - On a bien p {-N, . . . , N} 1 2 Z Z ei(n-p)x dx - ei(n-p) - e-i(n-p) =0 n-p dx = 2cp - c(x) e-ipx dx = cp - Il est aisé de vérifier que cette formule est également valide pour |p| > N + 1. Dans ce cas, cp = 0.