Mines Maths 2 PC 2007

Thème de l'épreuve Étude d'une série trigonométrique
Principaux outils utilisés intégrales généralisées, séries de fonctions
Mots clefs Série trigonométrique, comportement asymptotique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2007 MATH. II PC ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2007 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQ UES II _ PC. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Étude d'une série trigonométrique On rappelle que pour tout réel 3: > 0, +00 l'(a:) : / toe_1e_t da:. 0 Par ailleurs, pour tout réel t, et e_t cht : +-- On pose, pour tout réel 3: et tout 04 EUR]O, + oo[, Sa(a:) : Z sinqîgæ). (1) L'objectif de ce problème est d'étudier différentes propriétés de cette fonction. Dans tout le problème, u représente un réel de ] -- 1,1[. I Deux représentations de Sa D 1 -- Prouver que pour tout oz > 1, la fonction Sa est continue sur R. Cl 2 -- Étudier, en fonction du paramètre v E R, l'intégrabilité sur ]0, + oo[, de la fonction t"_1 J : tl--> . et -- u Soit t 2 0. On pose, u N--1 _ --t --t n oz--1 RN(t,u) -- (et _ u -- ue â(ue ) )t . D 3 -- Simplifier l'expression de RN, en l'écrivant sous forme d'une fraction. D 4 -- Prouver que pour tout u 6] -- 1,1[, +oo II Exprimer, en fonction de l'(oz), la constante K (oz) EUR R+ telle que pour tout oz > O, 'n +OOutOA--l +OOu dt=K -- t t e-1,1. 2 /0 ZW ... ou u l [ <> et--u n=1 On admet que l'identité (2) reste vraie aussi pour u = e":" où a: EUR]0,27T[. En déduire pour a: E R \ 27TZ, l'identité suivante: sina: +°° tO'_1 Sa = -- _ dt. (a:) 2F(d) /0 ch t -- cosa: Montrer, pour tout M > O, pour tout u 6] -- l, 1[, l'égalité suivante: M toc--1 +OO M toc--1 dt = "-- dt [@ cht -- u Z/O u (cht)"+1 n=0 Établir, pour tout u 6] -- l, 1[, l'identité +oo M toc--1 +OO +OO toc--1 l° "' _ dt = "" _ dt. Mig--100 ; u /0 (ch t)"+1 g u /0 (ch t)"+1 0 Pour a: E R \ 7TZ, exprimer Sa(a:) en fonction de fonctions trigonomé-- triques et de Ga où +oo Ga(u) = Zanu" pour u 6] -- 1,1[ n=0 avec +00 toc--1 d 3 n = _ t. CL /0 (Ch t)n+1 ( ) Comportement asymptotique Soit B :]O,--l--oo[--> R une fonction continue telle que: /0 00 lB(s)l ds < +00. (4) B(s) = asÀ_1(l --l-- 0(1)), 8 --> 0+, & > 0, À EUR]0, + oo[. (5) 10-- 11-- 12-- 13-- Prouver que pour tout 6 > 0, il existe 5 > 0 tel que, pour tout n 2 1, 5 |/ (B(s)e_ns -- asÀ_1e_ns) ds < 6 & Î(À). 0 n)\ Prouver que pour tout 5 > 0, il existe une constante C(5) > 0 ( que vous exprimerez sous la forme d'une intégrale indépendante de n ) telle que pour tout n > 1 +00 | / (B(s)e_ns -- asÀ_1e_ns) ds 5 Ce_("_1)ô. 5 Prouver que, sous ces hypothèses, +oo _ r()\) B(s)e "3 ds : & À (1 --l-- o(1)), quand n --> +00. 0 n Montrer que pour tout entier n, on peut écrire &" = /... °" (63 + "623_--1>>a--1 623--1 e_"3 ds, où an est défini dans (3). On pose dorénavant, pour tout s > O, D 14-- Ü15-- (m (as + «2-- -- 1>>"5 623--1 B(s) : Donner un équivalent de la fonction B au voisinage de O+. Déterminer la limite de anna/2 quand n tend vers l'infini. FIN DU PROBLÈME

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 Mines Maths 2 PC 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Landelle (Doctorant en mathématiques) ; il a été relu par Tristan Poullaouec (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE). Ce sujet d'analyse porte sur l'étude de certaines propriétés de la série de fonctions S (x) = + P sin(nx) n=1 n avec >0 Il est constitué de deux parties indépendantes. · L'enjeu de la première partie est d'établir une nouvelle écriture de S à l'aide d'une série entière et de fonctions trigonométriques élémentaires. On emploie des résultats de continuité pour les séries de fonctions, ainsi que des techniques habituelles sur les intégrales généralisées : méthodes de comparaison et théorèmes d'interversion série/intégrale et limite/série. Les cinq premières questions sont très classiques et ne présentent pas de grandes difficultés. La mise en oeuvre des théorèmes d'interversion est plus délicate et impose de bien comprendre le comportement des suites de fonctions pour cibler les contraintes satisfaites et choisir les théorèmes à employer. · La seconde partie propose d'étudier le comportement asymptotique des coefficients intervenant dans la nouvelle écriture de S . On travaille les relations de négligeabilité, l'usage des quantificateurs, les méthodes de changement de variable et les équivalents. Cette partie est sans doute moins intuitive que la première. Le maniement des quantificateurs est toujours quelque peu aride mais l'énoncé constitue un bon fil conducteur. Les transformations d'intégrales par changement de variable sont très classiques et la partie se termine par des questions sur les équivalents qui sont tout à fait abordables. Ce sujet est de taille et de difficulté raisonnables. Il présente un large éventail des techniques autour du calcul intégral et des séries de fonctions. Les deux parties de l'énoncé forment un ensemble cohérent et amènent à des résultats intéressants sur la série S . Il s'agit d'un très bon entraînement pour l'épreuve d'analyse. Indications I. Deux représentations de S 1 Vérifier que la série de fonctions S converge normalement. 2 Utiliser le critère des équivalents aux bornes de l'intervalle ] 0 ; + [. 3 Identifier dans l'expression de RN la somme des termes d'une suite géométrique. Z + 5 Développer l'expression de RN (t, u) dt et faire apparaître () par un 0 changement de variable. 6 Calculer les parties imaginaires dans l'égalité (2) évaluée en u = eix . 1 7 Faire apparaître la fraction u et écrire son développement en série. 1- ch t Z M t-1 8 Considérer la norme infinie de hn (M) = un . n+1 0 (ch t) II. Comportement asymptotique 10 Traduire la condition (5) avec des quantificateurs. 11 Utiliser l'inégalité triangulaire et faire apparaître les termes e-(n-1) . 12 Additionner les relations établies aux questions 10 et 11. Traduire avec des quantificateurs le fait que C() -(n-1) n e ----- 0 n+ a() 13 Utiliser les changements de variable x = ch t, puis x = es . 14 Écrire le développement limité de es à l'ordre 1 et l'appliquer à l'expression de B(s). I. Deux représentations de S 1 Soit > 1. Introduisons la suite de fonctions (un )nN définie par n N x R Vérifions la convergence normale de la série un (x) = sin(nx) . n P un pour la norme infinie sur R. 1 On a la relation n N kun k = . n P La série 1/n est la série de référence dite de Riemann qui est convergente P pour tout > 1. Ainsi, la série un est normalement convergente. Comme la suite (un )nN est une suite de fonctions continues, d'après le théorème de P continuité d'une série de fonctions continues normalement convergente, la série un est continue, c'est-à-dire Pour tout > 1, la fonction S est continue sur R. Il est fondamental de connaître la nature de la série paramètre . On rappelle ce résultat majeur : P 1 en fonction du n P 1 converge > 1 n>1 n 2 Pour tout t > 0, on a et > 1. Comme u est un réel de ] -1 ; 1 [, il s'ensuit que et - u est strictement positif ce qui assure que J(t) = t-1 /(et - u) est bien définie et clairement positive. Par ailleurs, J est une fonction continue sur ] 0 ; + [ comme produit de fonctions continues. Elle est donc intégrable sur tout segment strictement inclus dans ] 0 ; + [. Il reste à étudier son comportement en 0 et +. La fonction J est intégrable sur ] 0 ; + [ si et seulement si elle est intégrable sur ] 0 ; 1 ] et sur [ 1 ; + [. · En 0 : on a l'équivalent J(t) t-1 /(1-u) et par suite J est intégrable sur ] 0 ; 1 ] si et seulement si - 1 > -1, c'est-à-dire > 0. · En + : on a J(t) t-1 e-t = o(e-t/2 ), ce qui implique que J est intégrable sur [ 1 ; + [ quelque soit . Ainsi, on conclut que La fonction J est intégrable sur ] 0 ; + [ si et seulement si > 0. 3 Signalons une petite erreur dans l'énoncé : vu que > 0, la quantité RN (t, u) est définie pour t > 0 et non pour t > 0. Soit N N . Pour t > 0, on identifie, dans l'expression de RN (t, u), la somme des termes d'une suite géométrique de raison ue-t qu'on peut écrire sous la forme N-1 P (ue-t )n = n=0 N -Nt 1 - (ue-t )N t 1-u e = e 1 - ue-t et - u Il en découle RN (t, u) = et par suite t > 0 u 1 - uN e-Nt - u et - u et - u t-1 uN+1 e-Nt t-1 et - u RN (t, u) = 4 D'après le résultat de la question 3 et comme on a l'inégalité e-Nt 6 1 t > 0 en fixant = , on obtient la majoration t > 0 |RN (t, u)| 6 t-1 |u|N+1 = J(t) |u|N+1 et - u Puisque > 0, on déduit de la question 2, d'une part, que la fonction t 7 RN (t, u) est intégrable sur ] 0 ; + [ et d'autre part, l'inégalité Z + Z + RN (t, u) dt 6 J(t) dt |u|N+1 0 0 Enfin, comme le réel u appartient à l'intervalle ] -1 ; 1 [, on a lim |u|N+1 = 0 et N+ par encadrement u ] -1 ; 1 [ lim N+ Z + RN (t, u) dt = 0 0 5 Par définition de RN (t, u), on peut écrire Z + Z + -1 N-1 P ut -t -t k -1 (ue ) t dt RN (t, u) dt = - ue et - u k=0 0 0 Les différents termes sous l'intégrale de droite sont intégrables sur ] 0 ; + [. En effet, le premier terme est l'application t 7 u J(t) avec = > 0 qui est intégrable d'après le résultat de la question 2. Le second terme est la différence u J(t)- RN (t, u), qui est intégrable en tant que différence de fonctions intégrables. Ensuite, par linéarité de l'intégrale, il vient Z + -1 Z + Z + N-1 P ut -t RN (t, u) dt = dt - ue (ue-t )k t-1 dt t-u e k=0 0 0 0 Z + -1 Z N-1 P k+1 + -(k+1)t -1 ut = dt - u e t dt. et - u k=0 0 0 C'est une erreur classique d'appliquer la linéarité de l'intégrale sans avoir vérifier l'intégrabilité des différents termes. Le changement d'indice n = k + 1 dans la somme amène à l'égalité suivante Z + Z + -1 Z + N P ut n RN (t, u) dt = dt - u e-nt t-1 dt et - u n=1 0 0 0 Puis, le changement de variable s = nt permet d'obtenir Z + Z + s -1 ds () n [[ 1 ; N ]] e-nt t-1 dt = e-s = n n n 0 0