Mines Maths 2 PC 2005

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES
NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE
L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES
TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE
SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES
TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ECOLE
POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2005

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIÈME ÉPREUVE
Filière PC

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENST IM, EN SAE (Statistique), INT, TPE--EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première
page de la copie :
MATHEMATIQUES 2 -- Filière PC.

Cet énoncé comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant

les raisons des initiatives qu'il est amené à. prendre.

Racine carrée d'endomorphisme

Pour toute fonction f continue intégrable sur IR, on considère Î, dite trans--

formée de Fourier de f, définie sur IR par:

A +oe .
f (y) = f (OE)EUR""'"" da"-
--00
D'après le théorème de convergence dominée, on sait que f est continue et
on admet que si, de plus, fest intégrable alors l'égalité suivante est vérifiée

pour tout réel ::::
+oo

A

27Tf(SL') = f (y)e'æy dy-

--00
On note 8 , l'ensemble, appelé espace de Schwartz, des fonctions f définies
sur IR à valeurs complexes, de classe C°° sur IR et telles que pour tous les
entiers j 2 0 et k 2 0, la fonction f " ) soit négligeable devant la fonction
(y l-----> (l + lylk)'1) quand [y] tend vers l'infini: pour tout j et tout k 
entiers,

lf(j)(y)|(l + ly|k) tend vers 0 quand |y| tend vers l'infini.

On admet que la transformation de Fourier est une bijection de 5

dans lui-même.
Soient 1 un intervalle de IR et E un sous--espace vectoriel de l'espace

des fonctions définies et indéfiniment dérivables sur IR, à valeurs réelles ou

complexes. On appelle dérivation dans E l'application d qui à tout f de E
associe sa dérivée f'. On suppose que d est un endomorphisme de l'espace
vectoriel E. L'objet du problème est de chercher s'il existe un endomorphisme

5 de E tel que 5 o 5 = d: on dira alors que 5 est une racine carrée de d.

I. Préliminaires

On suppose, dans cette partie seulement, que 5 existe.
1) Quelle relation d'inclusion existe--t-il entre le noyau de d et le noyau de 
5?
2) Quelle relation d'inclusion existe--t--il entre l'image de d et l'image de 5?

3) Montrer que 5 est un automorphisme de E si et seulement si d est un

automorphisme de E.

4) Montrer que tout sous--espace propre de d est stable par 5.

Il. Dimension finie

On désigne par E le IR--espace vectoriel des fonctions définies sur IR, à

valeurs réelles, dont une base est (cos a:, sin a:).

5) Montrer que la dérivation dans E est un automorphisme d de E.

6) Écrire la matrice D de d dans la base (cos a:, sin 33). Montrer que D est
diagonalisable dans M2 (C).

7) Qu'est-ce que cela implique pour 5?

8) Pour diagonaliser D, prenons la matrice de passage

Quelles sont les valeurs possibles de la matrice A de 6 dans cette base?

9) Déterminer, par leur matrice dans la base (cos :1:, sin cc), tous les auto--
morphismes du IR--espace vectoriel E dont le carré est égal à. d.

111. Espace de Schwartz

Désormais, on considère l'espace vectoriel E = 8 défini dans l'introduc-
tion. Dans ce qui suit, on considère un élément donné f de E. Pour tout

nombre réel y, on note

si > 0
T(y) = { '/ÿ . y '
z,/--y 81 y < 0. On définit la fonction 6 ( f ) par: 1+z' +°° 27Ï\/-2- --00 10) À quelle condition sur le réel À, la fonction