Mines Maths 2 PC 2005

Thème de l'épreuve Construction d'une racine carrée de l'opérateur dérivation
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction des endomorphismes, intégration terme à terme, séries entières, transformation de Fourier

Corrigé

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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2005 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE Filière PC Durée de l'épreuve : 3 heures L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENST IM, EN SAE (Statistique), INT, TPE--EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES 2 -- Filière PC. Cet énoncé comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à. prendre. Racine carrée d'endomorphisme Pour toute fonction f continue intégrable sur IR, on considère Î, dite trans-- formée de Fourier de f, définie sur IR par: A +oe . f (y) = f (OE)EUR""'"" da"- --00 D'après le théorème de convergence dominée, on sait que f est continue et on admet que si, de plus, fest intégrable alors l'égalité suivante est vérifiée pour tout réel :::: +oo A 27Tf(SL') = f (y)e'æy dy- --00 On note 8 , l'ensemble, appelé espace de Schwartz, des fonctions f définies sur IR à valeurs complexes, de classe C°° sur IR et telles que pour tous les entiers j 2 0 et k 2 0, la fonction f " ) soit négligeable devant la fonction (y l-----> (l + lylk)'1) quand [y] tend vers l'infini: pour tout j et tout k entiers, lf(j)(y)|(l + ly|k) tend vers 0 quand |y| tend vers l'infini. On admet que la transformation de Fourier est une bijection de 5 dans lui-même. Soient 1 un intervalle de IR et E un sous--espace vectoriel de l'espace des fonctions définies et indéfiniment dérivables sur IR, à valeurs réelles ou complexes. On appelle dérivation dans E l'application d qui à tout f de E associe sa dérivée f'. On suppose que d est un endomorphisme de l'espace vectoriel E. L'objet du problème est de chercher s'il existe un endomorphisme 5 de E tel que 5 o 5 = d: on dira alors que 5 est une racine carrée de d. I. Préliminaires On suppose, dans cette partie seulement, que 5 existe. 1) Quelle relation d'inclusion existe--t-il entre le noyau de d et le noyau de 5? 2) Quelle relation d'inclusion existe--t--il entre l'image de d et l'image de 5? 3) Montrer que 5 est un automorphisme de E si et seulement si d est un automorphisme de E. 4) Montrer que tout sous--espace propre de d est stable par 5. Il. Dimension finie On désigne par E le IR--espace vectoriel des fonctions définies sur IR, à valeurs réelles, dont une base est (cos a:, sin a:). 5) Montrer que la dérivation dans E est un automorphisme d de E. 6) Écrire la matrice D de d dans la base (cos a:, sin 33). Montrer que D est diagonalisable dans M2 (C). 7) Qu'est-ce que cela implique pour 5? 8) Pour diagonaliser D, prenons la matrice de passage Quelles sont les valeurs possibles de la matrice A de 6 dans cette base? 9) Déterminer, par leur matrice dans la base (cos :1:, sin cc), tous les auto-- morphismes du IR--espace vectoriel E dont le carré est égal à. d. 111. Espace de Schwartz Désormais, on considère l'espace vectoriel E = 8 défini dans l'introduc- tion. Dans ce qui suit, on considère un élément donné f de E. Pour tout nombre réel y, on note si > 0 T(y) = { '/ÿ . y ' z,/--y 81 y < 0. On définit la fonction 6 ( f ) par: 1+z' +°° 27Ï\/-2- --00 10) À quelle condition sur le réel À, la fonction  

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 Mines Maths 2 PC 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Walter Appel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE) et David Lecomte (Professeur en CPGE). Le sujet des Mines de cette année est extrêmement progressif : si les premières questions se résolvent en quelques minutes et ne devraient poser aucune difficulté, les dernières sont beaucoup plus délicates et demandent une maîtrise parfaite de tout ce qui a été démontré ou admis dans les questions précédentes. Il porte sur la recherche d'une application qui serait la « racine carrée » de la dérivation, c'est-à-dire d'une application telle que = d où d est la dérivation. Deux cas sont étudiés, l'un en dimension finie -- avec des outils provenant essentiellement de l'algèbre linéaire et de la théorie de la réduction des endomorphismes, l'autre en dimension infinie -- avec l'utilisation d'une transformation intégrale appelée transformation de Fourier. · Un préambule établit quelques relations entre les noyaux, images et sous-espaces propres de d et de . · Une seconde partie propose de limiter le problème à un espace vectoriel de dimension 2, engendré par les fonctions sinus et cosinus. La recherche de l'endomorphisme se fait uniquement à partir de diagonalisation de matrices et de considérations algébriques. · Dans la troisième partie, on se propose de construire un opérateur en dimension infinie, mais sur un espace de fonctions bien choisi. On y introduit la transformation intégrale de Fourier, ainsi que sa transformation inverse. On part ensuite du constat que la dérivation d'une fonction correspond, pour la transformée de Fourier, à une multiplication par (iy). Ainsi, pour dériver une fonction f , il suffit de calculer sa transformée de Fourier fb, de la multiplier pour obtenir y 7 (iy) fb(y), puis de prendre la transformée de Fourier inverse. De même, si l'on veut la dérivée cinquième, il suffit de prendre la transformée de Fourier inverse de y 7 (iy)5 fb(y). L'idée, maintenant, est de définir (f ) comme la transformée de Fourier inverse de « iy fb(y) », où les guillemets rappellent que iy n'est pas un complexe défini de manière univoque. L'énoncé nous donne donc une fonction dont on vérifie sans peine que r2 (y) = y pour tout y réel, et définit (f ) comme la transformée inverse du produit rfb (à une constante multiplicative près). Ce problème offre l'intérêt de faire intervenir de nombreux outils d'algèbre linéaire et d'analyse : intégrales dépendant d'un paramètre, intégration terme à terme, séries entières. Il est à noter qu'il souffre malheureusement de quelques imprécisions et de passages flous, qui peuvent dérouter ou gêner le candidat. Cependant, pour la beauté du sujet, il vaut la peine d'être étudié. Indications 5 Montrer que l'image de la base (cos, sin) est une base de E. 6 Calculer le polynôme caractéristique de D. 7 L'énoncé comporte ici une erreur ; une solution est de se placer dans le C-espace vectoriel engendré par (cos, sin), puis de montrer qu'une base diagonalisant d diagonalise également . 8 Montrer que est diagonale, calculer 2 et en déduire les valeurs possibles de . 9 Ne garder que les matrices réelles. (j) (y) = iy f\ (j-1) (y) à l'aide 11 Si j est un entier strictement positif, montrer que fd d'une intégration par parties proprement justifiée. 13 Développer l'exponentielle se trouvant à l'intérieur de l'intégrale définissant fb. Intervertir sommation et intégration à l'aide du théorème de convergence normale. 15 Intégrer par parties en se ramenant tout d'abord à un intervalle du type [ ; M ], puis prendre les limites 0+ et M +. 16 Utiliser le résultat précédent pour montrer que (f )(x) = O (1/x2 ). x+ 18 Utiliser la formule admise donnant une fonction à partir de sa transformée de d) = (1 + i)/2 r fb. Noter que fb S. Fourier pour montrer que (f 19 Se limiter aux fonctions vérifiant les hypothèses de la question 10, et utiliser le fait que la transformée de Fourier de f est y 7 (iy)fb(y). d) = rfb est dévelop20 Montrer que, si (f ) s'annule en dehors d'un segment, alors (f pable en série entière. Trouver une contradiction avec le fait que fb est également développable en série entière. I. Préliminaires 1 On suppose ici que et d sont des endomorphismes de E. Pour tout x Ker (), on a (x) = 0 et par conséquent d(x) = (x) = 0, c'est-à-dire que x Ker (d). Ainsi, Ker () Ker (d) L'énoncé demande « quelle relation d'inclusion existe-t-il [...] » au singulier ; le résultat attendu est sans doute celui-là, et c'est le seul qui sert dans la suite. Cependant, il est possible de montrer qu'il y a, en réalité, égalité entre les noyaux. Tout d'abord, remarquons que, pour tout f E, on a d(f ) = f ; or les éléments de E sont des fonctions définies et dérivables sur R. Par conséquent, tout élément du noyau de d est une fonction constante. Deux cas sont alors à considérer : · Si E ne contient pas les fonctions constantes sur R (autres que la fonction nulle), alors Ker (d) = {0}. On en déduit que {0} Ker () Ker (d) = {0} et donc Ker () = Ker (d). · Si E contient les fonctions constantes, alors le noyau de d est précisément la droite vectorielle des fonctions constantes, donc est de dimension 1. Si l'on avait une inclusion stricte entre les deux noyaux, cela impliquerait que Ker () = {0}, donc que est injective ; on en déduirait l'injectivité de d = , et une contradiction. Par conséquent, Ker () = Ker (d). Au total, Ker () = Ker (d) 2 Soit x Im (d). Alors il existe y E tel que x = d(y) = 2 (y) = (y) , ce qui montre que x appartient à l'image de . Ainsi, Im (d) Im () 3 Supposons que soit un automorphisme de E. Puisque le produit de deux automorphismes de E est encore un automorphisme, on en déduit que d = est un automorphisme de E. Réciproquement, supposons que d soit un automorphisme de E. · d est injectif, donc son noyau est réduit à {0} et la question 1 permet d'en déduire que le noyau de est également réduit à {0}, c'est-à-dire que est injectif. · De plus, d est surjectif, ainsi son image est E tout entier ; d'après la question 2, l'image de est également E, donc est surjectif. En conséquence, est un automorphisme de E. est un automorphisme de E si et seulement si d l'est. 4 Cette question est très proche du cours, nul doute que tous les candidats l'ont déjà abordée en cours d'année. Le programme ne traite en principe que les vecteurs et valeurs propres en dimension finie. Il n'y a ici aucune difficulté : un scalaire est appelé valeur propre de d si et seulement si Ker (d - Id E ) 6= {0}, c'est-à-dire si et seulement si d - Id E n'est pas injective (au lieu de « n'est pas inversible »). On appelle alors vecteur propre associé à tout vecteur f non nul tel que d(f ) = f . Soit une valeur propre de d. Montrons que le sous-espace E = Ker (d - Id ) est stable par . Soit f un élément de E . Alors d(f ) = f . Or, d et commutent puisque d = 3 = d donc (d - Id ) (f ) = d (f ) - (f ) = d(f ) - (f ) = (f ) - (f ) = 0 d'où (f ) E Ceci étant vrai pour tout f dans E , on en déduit que ce sous-espace est stable par . Tout sous-espace propre de d est stable par . II. Dimension finie 5 La dérivation est bien une opération linéaire ; de plus, l'image de la base (cos, sin) par d est (- sin, cos), qui est une base de E. On en déduit : · que E est stable par dérivation, c'est-à-dire que la dérivation définit un endomorphisme d de E ; · que cet endomorphisme transforme une certaine base en une base. Par conséquent La dérivation est un automorphisme de E. 6 Puisque d(cos) = - sin et d(sin) = cos, on 0 D= -1 en déduit que 1 0 Cette matrice D peut être vue comme un élément de M2 (C). On cherche ses valeurs propres complexes en calculant son polynôme caractéristique D : D = det (D - XI2 ) = -X 1 = X2 + 1 = (X - i)(X + i) -1 -X Les valeurs propres de D sont donc i et -i, distinctes, chacune de multiplicité égale à 1. Par suite, D est diagonalisable dans M2 (C).