Mines Maths 2 PC 2004

Thème de l'épreuve Calcul de sommes de séries numériques à l'aide d'intégrales
Principaux outils utilisés fonctions développables en série entière, techniques d'interversions de limites et d'intégrales

Corrigé

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES. ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAU'I'IQUÈ ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TÉLÉCOMMUNIÇAÏIÛNS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICAI'IONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2004 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, lNT, TPE--BNP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie: MATHÉMATIQUES 2--Filière PC. Cet énoncé comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Dans tout le problème l'entier n est strictement positif (n 2 1 ) ; l'expression C£ désigne le nombre des parties ayant p éléments d'un ensemble de n éléments. Autre notation : ...... Première partie Soit (un)"EN et (P,, ) "SN les suites de polynômes définies par les relations suivantes : u,,(x)=x"(x--l)" ; P,,(x)--«---- ", 1£nun(x). Intégrale de la fonction u,, sur le segment [(= [0,1]: l. Étant donnés un réel strictement positif et (a > O) et un entier naturel k (k & N ), démontrer l'existence de l'intégrale Ia, ,, définie ci--dessous et la calculer: I !" == L}x""' (x-- 1)"dx 2. Déduire du résultat précédent la valeur de l'intégrale de la fonction u,, , étendue au segment K : [O, 1], en fonction du coefficient du binôme Câ " : fx" (x--l)"dx 0 Polynômes P,, : 3. Déterminer le degré du polynôme P,, et préciser le coefficient de son terme de plus haut ' degré. 4. Déterminer de deux manières différentes le polynôme P,, : la première, par dérivation de l'expression de u,, obtenue après développement ; la seconde, par dérivation du produit x" (x ------- l)" ; le résultat sera exprimé en fonction d'expressions du type x" (x --- 1 )"" ". 5. En déduire la relation : == Z(C£: >' M Deuxième partie Étant donnés deux réels a et b, strictement positifs (0 > 0, b > O) , soit J (a, b) l'intégrale suivante : d.t J(a, b)= [;f"* 1+t" Intégrale J(a, b) : 6. Étudier l'existence de r intégrale J(a, b). 7. Démontrer que l'intégrale J (a, b) est égale à la somme de la série de terme général (------1)"/(a+kb),k EUR N: J(a b)== Ê% 8. En déduire la somme de la série suivante : Étant donné un réel a strictement compris entre ------1 et 1 (----1 < a < 1 ), soit ça,, la fonction définie sur l'intervalle ouvert ! = ]----l , l [ par la relation suivante : 'Pa(x) " ............l... (l ---- a x) Jl --- x2 9. Démontrer que la fonction «pa est intégrable sur l'intervalle ouvert 1. Soit K(a) l'intégrale de la fonction (p,, étendue à l'intervalle I : K ..........l... (a)== I'" (] ---ax)de IO. Démontrer, pour tout réel a appartenant à l'intervalle ouvert 1 = ]--l , l [, la relation suivante : l K(a):Za2k ...Â%L.dx M "' l---x2 Il. Déterminer, en admettant le résultat suivant K(a) --== ---------------'£..., J] -------a2 le développement en série entière de la fonction K : a 1----+ K(a) dans un voisinage de l'origine. Préciser le rayon de convergence. 12. Exprimer, pour tout entier n strictement positif, la valeur de l'intégrale L,, ci--dessous en fonction du coefficient du binôme Cg " : 1 2 n Ln : ...«L..... dx I"' J] ---- x2 Troisième partie Soit f la fonction définie sur la demi--droite ouverte ]--oe, 1 [ par la relation suivante : Développement en série entière de la fonction f dans un voisinage de 0 : 13. Déterminer le développement en série entière de la fonction f dans un voisinage de l'origine 0. Préciser le rayon de convergence de la série entière. Déterminer des coefficients a... n e N * , de façon que ce développement s'écrive sous la forme suivante : 1 oo ! ==...=1+2 a,,C" t". fl) J---_--_--t n»! 211 Développement en série entière de la fonction g dans un voisinage de 0: 14. Établir que la fonction g vérifie une équation difl'érentielle linéaire du premier ordre. 15. En déduire le développement en série entière de la fonction g dans un voisinage de 0. Préciser le rayon de convergence R de la série entière obtenue. 16. Établir, lorsque le réel x appartient à l'intervalle ouvert de convergence de la série entière, l'expression ci--dessous de g(x) : g(x) : Z 22"...--1 x2n--l_ " nul "C2" 17. Déduire des résultats précédents la somme 23 de la série suivante : .. 21 2.4 1 2.4.6 ___1___ 2 1+32"" 3.522 3.5.7 23 Soit 11 la fonction définie sur l'intervalle ouvert 1 m ]----1 , 1 [ par la relation suivante : + __ x2 x arcsin(x) h(x) ...1----x2 + ...(1--x2)m . 18. Démontrer que la fonction h est développable en série entière dans un voisinage de 0 ; déterminer des coefficients B... n EUR N'" , de façon que ce développement s'écrive sous la forme suivante : 19. Déduire des deux dernières questions la somme de chacune des séries de termes généraux v... n EUR N'", et w... n 6 N'", définis respectivement par les relations suivantes : 1 . 1 v = , w == . " n C 3 n " C; ,, Quatrième partie Le but de cette partie est de montrer que, plus généralement, étant donnés une fonction F, définie et continue sur le segment K % [O, 1 ], et un réel a strictement positif, il existe des coefficients c,,(a ), k EUR N, permettant d'écrire la relation suivante : 1 Ft °°_ 1 1, : [OÎÎÊË)--Îdt= ëck(a) jo F(t) zk dt. Étant donné un réel et strictement positif (a > 0), soit f,, la fonction définie sur la demi--droite ouverte ]--oo, ] [ par la relation suivante : fn") ""'" Îï"%"ïj"â". Développement de la fonction fi, en série entière : 20. Déterminer le développement en série entière de la fonction f,, dans un voisinage de 0 ; préciser le rayon de convergence. Soit c,,(a) t", k & N, le terme général de la série entière obtenue. Démontrer que les coefficients ck (a ), k 6 N, sont strictement positifs. L'intégrale la est égale à la somme d'une série. 21 . La fonction F étant une fonction définie et continue sur le segment K = [O, 1 ], étudier, lorsque le réel 0: est strictement compris entre 0 et 1 (0 < a < 1), l'existence de l'intégrale la : Ia :J1._Æ_dL (» (l...--t)" 22. Démontrer, lorsque le réel 0: est strictement compris entre 0 et 1 (0 < a < 1), la relation suivante : °° 1 I.,, z % 67,01) [0 F(t) t" dt. 23. Application : démontrer que le coefficient du binôme C; n est égal à la somme d'une série dont le terme général dépend de coefficients C choisir, par exemple, la fonction F et le réel a définis par les relations suivantes : k . 2k' F(t)"=t"'Jï ; (Ix--%. FIN DU PROBLÈME

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 Mines Maths 2 PC 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Delsinne (ENS Cachan) ; il a été relu par Aurélien Alvarez (ENS Lyon) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet d'analyse vise principalement à calculer des séries numériques à l'aide d'intégrales. Les séries que l'on cherche à calculer sont des séries dont les termes généraux s'expriment à l'aide des coefficients binomiaux. Le problème est divisé en quatre parties quasiment indépendantes les unes des autres (seule la dernière question utilise un résultat de la deuxième partie). · La première partie est consacrée à l'étude de deux suites de polynômes. On parvient, à la fin de cette partie, à exprimer Cn2n sous la forme d'une somme finie de coefficients binomiaux. On démontre ainsi de manière analytique une formule que l'on obtient usuellement par un raisonnement « à main levée » sur les manières de choisir k ou n - k éléments parmi n. · Dans la deuxième, on utilise deux intégrales à paramètres pour calculer d'une part une série numérique (série lacunaire alternée reliée à la série harmonique), d'autre part chaque terme d'une suite d'intégrales. Ces intégrales sont dites « de Wallis » : on retrouve ici leur forme usuelle après un changement de variable x = sin t. On démontre donc de manière analytique, une nouvelle fois, un résultat usuellement obtenu par un raisonnement ad hoc de type récurrence. · On utilise dans la troisième partie des fonctions que l'on développe en série entière, pour calculer des séries numériques difficiles. Une méthode classique de développement en série entière par une équation différentielle est employée à la question 15. · Enfin, la dernière partie est en quelque sorte une généralisation des deux précédentes. On aboutit, à l'issue de cette partie, à l'expression de Cn2n comme somme infinie de coefficients binomiaux. On utilise tout au long du problème le développement en série entière des fonctions du type t 7 (1 + t) , appartenant à R, et les techniques d'interversion de limites et d'intégrales. Ce sujet ne comporte pas de difficulté insurmontable, mais il nécessite beaucoup de soin dans les nombreux calculs. Indications 5 Identifier, dans les expressions de Pn trouvées à la question précédente, le coefficient du terme de degré n. 7 Développer 1/(1 + tb ) en série entière pour écrire la fonction sous la forme d'une série. Majorer l'intégrale de la valeur absolue du reste d'ordre n de la série par un terme qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini. 8 Remarquer que S = J(1, 3) puis développer la fraction rationelle 1/(1 + X3 ) en éléments simples pour calculer S. 10 Écrire la fonction sous la forme d'une série. Puis, deux possibilités : · raisonner comme à la question 7 : majorer l'intégrale de la valeur absolue du reste d'ordre n de la série par un terme qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini. · utiliser le théorème de convergence dominée. 12 Utiliser l'unicité du développement en série entière et les résultats des questions 10 et 11. 15 Chercher une solution de l'équation différentielle trouvée à la question précédente sous forme de série entière et conclure avec le théorème de Cauchy-Lipchitz. a P 2n+1 , où an désigne le coefficient d'ordre n du dévelop17 Remarquer que = n k=0 2 pement de g en série entière. Puis chercher en quel point de I = ] -1 ; 1 [ on peut appliquer g pour calculer cette série. 18 Exprimer h en fonction de g . 19 Exprimer les deux séries en fonction de g et h grâce aux résultats des questions 16 et 18. 22 Écrire F(t)/(1-t) sous la forme d'une série et utiliser le théorème de convergence dominée. Z 1 n-1/2 t 23 Pour calculer dt, effectuer un changement de variable judicieux afin de 1-t 0 reconnaître l'intégrale calculée à la question 12. Première partie 1 Montrons tout d'abord l'existence de l'intégrale Ia,k pour tout réel a strictement positif et tout entier naturel k. Soit ha,k la fonction définie sur ] 0 ; 1 ] par ( ] 0 ; 1 ] - R ha,k : x 7- xa-1 (x - 1)k Cette fonction est continue et donc intégrable sur tout intervalle du type [ ; 1 ] avec strictement positif. Au voisinage de 0, ha,k (x) (-1)k xa-1 x0 et ha,k est donc intégrable car a est strictement positif. Par conséquent, Ia,k existe a > 0 k N Calculons Ia,0 : Ia,0 = Z 1 xa-1 dx = 0 1 a Puis calculons Ia,k en fonction de Ia ,k-1 pour k supérieur ou égal à 1. On sait calculer Ir,0 pour tout réel r strictement positif. On va donc chercher à diminuer progressivement l'indice k de Ia,k . Pour cela, on va exprimer Ia,k en fonction de Ia ,k-1 , où a désigne un réel strictement positif qui peut être différent de a (le calcul montrera qu'il s'agit de a + 1). À l'aide d'une intégration par parties, on a : ] 0 ; 1 [ Z 1 a-1 x xa (x - 1)k (x - 1) dx = a k 1 - Z 1 xa k(x - 1)k-1 dx a Ainsi, en faisant tendre vers 0 on obtient : k N a > 0 Ia,k = -k Ia+1,k-1 a d'où, par récurrence immédiate, Ia,k = (-1)k k(k - 1) · · · 1 Ia+k,0 a(a + 1) · · · (a + k - 1) soit encore, en injectant la valeur de Ia+k,0 , k N a > 0 Ia,k = (-1)k k! a(a + 1) · · · (a + k) 2 Pour tout entier naturel n, l'intégrale de la fonction un sur le segment [ 0 ; 1 ] correspond à In+1,n . D'après la question précédente : In+1,n = (-1)n = (-1)n Finalement, n N Z 0 n! (n + 1) · · · (2n + 1) (n!)2 (2n + 1)! 1 xn (x - 1)n dx = (-1)n (2n + 1)Cn2n 3 Pour tout entier naturel n, en développant un , on obtient : x R un (x) = x2n + Rn (x) où Rn est un polynôme de degré strictement inférieur à 2n. Par suite, 1 dn Pn (x) = un (x) n! dxn 1 (2n)! n = x + Qn (x) n! n! Pn (x) = Cn2n xn + Sn (x) où Sn est un polynôme de degré strictement inférieur à n. Ainsi, Pn est de degré n et le coefficient de son terme de degré n est Cn2n . 4 La formule du binôme de Newton permet de développer un . n N x R un (x) = xn n P k=0 = n P k=0 Ckn xk (-1)n-k Ckn (-1)n-k xn+k Ainsi, en dérivant chaque terme de la somme : n 1 P (n + k)! k Pn (x) = Ck (-1)n-k x n! k=0 n k! et n N x R Pn (x) = n P k=0 (-1)n-k Ckn Ckn+k xk (1) D'autre part, la formule de dérivation de Leibniz permet d'écrire directement : n-k k n 1 P d d n n Pn (x) = Ckn x (x - 1) n! k=0 dxn-k dxk n 1 P n! k n! = Ckn x (x - 1)n-k n! k=0 k! (n - k)! d'où n N x R Pn (x) = n P k=0 Ckn Ckn xk (x - 1)n-k (2)