Mines Maths 2 PC 2001

Thème de l'épreuve Étude des solutions d'une équation différentielle
Principaux outils utilisés développement en série entière, dérivation sous les signes somme et intégrale, calcul différentiel

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2001 Math PC 2 ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES. ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRÇNAUÏÏQUÈ ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNIÇAÏIÛNS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTOENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏÏONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNÏQUE (Filière STI). CONCOURS D'ADMISSION 2001 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIEME EPREUVE Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE--BNP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES 2--Filière PC. Cet énoncé comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'objet de ce problème est l'étude de l'équation différentielle suivante : El: xy"+(l--x)y'--Ày=0. Où la fonction y est une fonction inconnue deux fois confinûment dérivable de la variable x et À un réel donné. PREMIÈRE PARTIE I--1. Solution de l'équation différentielle définie sur toute la droite réelle : Il est admis qu'il existe une fonction fa, somme d'une série entière de rayon de convergence R, strictement positif, prenant la valeur 1 en O, (f1(0) : 1), solution dans l'intervalle ]--R,R[ de l'équation différentielle E 1-- Cette fonction est définie par la relation : ' f, (x) = 1 + Z a,,x". n=l a. Déterminer les coefficients a... n 2 l, en fonction de l'entier n et du réel À. Préciser les foncüonsfl , fo, f_1 , f_2. Tournez la page S.V.P. - 1/4 - b. Pour quelles valeurs du réel il la fonction fz_ est--elle un polynôme '? Préciser son degré en fonction de la valeur ----p donnée au réel À et le coefficient du terme de plus haut degré (le terme dominant). 0. Quel est le rayon de convergence R de la série entière de terme général a,, x", n 2 1, lorsque le réel A est différent des valeurs obtenues précédemment ? Il est admis, dans la suite, que la fonction fg, est la seule fonction, développable en série entière sur toute la droite réelle, qui soit solution de l'équation différentielle E a et qui prenne la valeur 1 en 0. 1--2. Solution de l'équation différentielle E 1 : Dans cette question le réel À est égal à l : El: xy"+(l---x)y'--y=0. a. Déterminer la solution générale fl de l'équation différentielle E 1 sur la demi-droite ]0, oo [, exprimer cette solution à l'aide de fonctions usuelles et de la fonction définie sur la demi--droite ]O,oo[, par la relation x --2' x r-----> J --e----dt. 1 l b. Déterminer de même la solution générale de l'équation différentielle E 1 sur la demi--droite ]--°°, 0 [- c. Déterminer enfin les fonctions solutions sur R de l'équation différentielle E 1. 1--3. Relation entre les fonctions fg, : , Etant donné un réel À, soit g 3_ la fonction. définie sur la droite réelle R par la relation suivante : ga(x) = 6" fa(--X)- a. Déterminer une équation différentielle linéaire du second ordre vérifiée par la fonction g 1. b. En déduire, en admettant que le produit de deux fonctions réelles développables en série entière sur la droite réelle R est encore une fonction développable en série entière sur la droite réelle R, que, pour tous réels À et x, il vient : fl--À(x) = exfz(--x)-- 0. Préciser, lorsque p est un entier strictement positif, les fonctions fp. En déduire les fonctions f2 CÎf3. d. Soit p un entier donné supérieur ou égal à 1 (p _>_ 1) ; quelle est, lorsque le réel x croît indéfiniment, la limite de l'expression ci--dessous : j};+1(X) ? XJ}(X) - 2/4- 1--4. Application à une équation aux dérivées partielles : Soit Q le sous-ensemble ouvert de R3 , rapporté à un repère Oxyz, obtenu en retranchant de R3 le plan Oxy : Q : {(x,y,Z) | (x7yaz) EUR R3 9 2 $ 0} Soit F une fonction inconnue, définie dans l'ouvert Q, vérifiant l'équation aux dérivées partielles (P) suivante : 2 2 2 ( ) 6x2 ôy2 822 Il a été posé dans cette relation : r = ,/x2 +y2 +22. Comment y a--t--il lieu de choisir le réel 2. pour que la fonction F définie dans l'ouvert Q par la relation suivante F = ----1fi--fa(r), soit solution del' équation aux dérivées partielles (P) ? SECONDE PARTIE L'objet de cette seconde partie est l'étude de certaines propriétés de la fonction fl @. Dans ce but soit (p la fonction, définie pour tout réel x, par la relation suivante : 15/2 _ 2 (p(x) = ! ex S'" 9a'9. o Étant donné un entier naturel p, soit Ip l'intégrale définie par la relation suivante : 1C/2 ]p = [ sin2P6 dB. 0 lI--1. Détermination de l'intégrale IP : Etablir une relation entre les intégrales Ip et I }... . En déduire la valeur de l'intégrale Ip. II-2. Relation entre les fonctions (0 et fl @ : a. Démontrer que la fonction (p est définie et continue sur toute la droite réelle R. Est--elle plusieurs fois confinûment dérivable ? b. Déterminer le développement en série entière de la fonction (p sur un intervalle ]---R, R [. En déduire qu'elle est proportionnelle àla foncfionf 1/2. Préciser le coefficient de proportionnalité. Tournez la page S.V.P. -- 3/4 - lI-3. Encadrements de (p(x) : a. Démontrer que, pour tout réel u strictement inférieur à 1 (u < 1), l'inégalité ci-dessous existe : b. Soit x un réel strictement inférieur à l (x < 1 ) ; soit J(_x) l'intégrale définie par la relation suivante : 1r/2 619 J = ----------------. (x) "0 1----x sin29 Calculer l'intégrale J (x). c. Déduire des résultats précédents que, pour tout réel x strictement inférieur à 1 (x < 1), la fonction (p vérifie l'encadrement suivant : 0 _<_ «10: 5 £- ---4---1-----. . ) 2 r----1 __ x (1. Démontrer l'existence d'une constante A strictement positive telle que pour tout réel x inférieur ou égal à '--l (x _<_ -----1 ), la fonction (p vérifie la minoration suivante : A. JÎ--Î' e. Démontrer que la fonctionfuz admet une limite lorsque le réel x tend vers --00. Préciser cette limite. Est--ce que la fonctionf... est intégrable sur la demi--droite ]--oe,--l] ? W) Z II--4. Étude d'une fonction h : Soit h la fonction définie sur la droite réelle par la relation : h(x) = e--x/2f1/2(XÎ). a. Démontrer que la fonction h est paire et que la valeur de h(x) est donnée par la relation suivante : h(x) : k jZ" ch (x 00259 ) de. où k est une constante qui sera déterminée. b. Déterminer, lorsque le réel x croît indéfiniment, les limites des deux expressions suivantes : h(x) et h(;) . c. Étudier les variations de la fonction h et tracer la courbe représentative, lorsque le réel x varie sur la droite réelle R. FIN DU PROBLÈME .-4/4--

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 Mines Maths 2 PC 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par David Lecomte (ENS Cachan) et Alexander Gewirtz (ENS Lyon) ; il a été relu par François Michel (École Polytechnique) et Olivier Bertrand (ENS Lyon). Ce problème comporte deux parties. Son objet est l'étude de l'équation différentielle E : xy + (1 - x)y - y = 0 · Dans la première partie, on commence par étudier les solutions de cette équation qui sont développables en série entière. Puis on se place dans le cas particulier = 1 et on essaie d'exprimer ces solutions de manière plus explicite à l'aide de fonctions usuelles. Enfin, on applique les résultats précédents à l'étude d'une équation aux dérivées partielles. · Dans la seconde partie, on se place dans le cas particulier = 1/2 et on étudie les propriétés de la solution développable en série entière f 21 . Il s'agit là d'un problème assez classique, qui ne présente pas de grosses difficultés. Sa résolution permet de tester ses connaissances sur les développements en série entière et sur l'utilisation des intégrales dépendant d'un paramètre. Indications Première partie I-1.c Penser à la règle de D'Alembert. I-2.a On connaît déjà une solution de E1 ; utiliser la méthode de variation de la constante. I-2.c Donner l'expression d'une solution de E1 (sur R) sur chacun des intervalles ] - , 0[ et ]0, [, puis étudier le « raccord » en 0 par continuité. I-3.b Bien utiliser les résultats admis aux questions I-1.c et I-3.b. I-3.d Utiliser le résultat des questions I-1.b et I-3.c. Seconde partie II-1 Chercher une relation de récurrence entre les (Ip )pN à l'aide d'une intégration par parties. II-2.a Utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale dans sa version la plus simple. II-2.b Montrer que vérifie la même équation différentielle que f 21 . En déduire qu'elle lui est proportionnelle. II-3.a Utiliser la convexité de la fonction exponentielle inverse 1/exp. II-3.b Faire le changement de variable u = tan , puis reconnaître la dérivée d'une fonction connue. II-3.c Utiliser la question II-3.a et la valeur de J(x). h i II-3.d Montrer que 0 6 sin u 6 u sur l'intervalle 0 ; et appliquer la croissance 2 de l'intégrale. II-3.e Utiliser les résultats des questions II-3.c et II-3.d pour obtenir un encadrement de sur ] - , -1]. En déduire les limites demandées. II-4.a La parité de h s'obtient à l'aide de la relation obtenue à la question I-3.b, 1 dans le cas = . 2 Pour obtenir la représentation intégrale de h, utiliser la propriété du cosinus hyperbolique comme partie paire de l'exponentielle. Puis faire des changements de variables judicieux pour faire apparaître . II-4.b Déterminer d'abord la limite de h en - en utilisant les encadrements des questions précédentes. Conclure en utilisant la parité de h. II-4.c Utiliser la parité de h et le théorème de dérivation sous le signe intégrale. Première partie I-1 Solution de l'équation différentielle définie sur toute la droite réelle I-1.a D'après l'énoncé, il est admis qu'il existe une fonction f , somme d'une série entière de rayon de convergence R, strictement positif, prenant la valeur 1 en 0 (f (0) = 1), solution dans l'intervalle ] -R ; R [ de l'équation différentielle E . Cette solution est définie par la relation : + P x ] - R, R[ f (x) = 1 + an xn n=1 Détermination des coefficients (an )n>1 f étant somme d'une série entière sur l'intervalle ] -R ; R [, elle est C sur cet intervalle et ses dérivées première et seconde sont obtenues en dérivant terme à terme. Ainsi, + f (x) = x ] -R ; R [ nan xn-1 P f (x) = x ] -R ; R [ n=1 + P n(n - 1)an xn-2 n=2 Par suite, pour x ] -R ; R [, + P · xf (x) = n(n - 1)an xn-1 n=1 + · (1 - x)f (x) = P + nan xn-1 - n=1 P nan xn n=1 Ainsi f est solution de E si et seulement si, pour tout x ] -R ; R [, + P + n(n - 1)an xn-1 + n=1 P + nan xn-1 - n=1 P + nan xn - - n=1 P an xn = 0 n=1 Soit, en modifiant les indices de sommation, + P + n(n + 1)an+1 xn + n=0 P + (n + 1)an+1 xn - n=0 P + nan xn - - n=1 P an xn = 0 n=1 Or une série entière est nulle si et seulement si chacun de ses coefficients est nul. On en déduit donc que f est solution de E si et seulement si a1 = soit encore et n > 1 n(n + 1)an+1 + (n + 1)an+1 - nan - an = 0 n > 1 an+1 = n+ an (n + 1)2 D'où l'on déduit l'expression des an : n > 1 an = 1 (n !)2 n-1 (k + ) k=0 Calcul effectif de f1 , f0 , f-1 et f-2 · Pour = 1, on a alors n > 1 donc an = 1 n! f1 (x) = ex x R · Pour = 0, on a n > 1 par suite an = 0 f0 (x) = 1 x R · Pour = -1, on a a1 = -1 et n > 2 Ainsi f-1 (x) = 1 - x x R · Pour = -2, on a a1 = -2, a2 = an = 0 1 et 2 n > 3 Par conséquent x R an = 0 f-2 (x) = 1 - 2x + x2 2 Il est très important d'ajuster les indices de sommation de façon à ce que toutes les expressions aient le même indice en puissance de x. Sinon on a de grandes chances d'oublier de compter un terme constant, voire de se tromper dans les indices de la suite (c'est-à-dire remplacer an par an+1 par exemple). I-1.b Déterminons les valeurs de pour lesquelles f est un polynôme. On sait que c'est le cas si et seulement si tous les coefficients de la série entière définissant f sont nuls, sauf éventuellement un nombre fini. Or n N an+1 = n+ an (n + 1)2 et dès qu'un coefficient est nul, tous les suivants le sont. Ainsi, f est un polynôme n N n N n N D'où an = 0 1 (n !)2 n-1 (k + ) = 0 k=0 = -n f est un polynôme si et seulement si est un entier négatif.