Mines Maths 1 PC 2022

A2022 --- MATH I PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Étude asymptotique du nombre de partitions d'un entier

L'objectif de ce problème est l'étude asymptotique du nombre de partitions d'un 
entier
naturel n, c'est-à-dire du nombre de décompositions de n en somme d'entiers 
naturels
non nuls (sans tenir compte de l'ordre des termes). Une définition rigoureuse 
de ce
nombre, noté p,, est donnée en début de partie C. Dans la partie À, on 
introduit une
fonction P de variable complexe ; dans la fin de la partie C on démontre qu'il 
s'agit de

la somme, sur le disque unité ouvert complexe, de la série entière 3° p,2". 
Dans la partie
n>0

B, on étudie P au voisinage de 1 en variable réelle. Cette étude est mise à 
profit, dans
la partie D, pour obtenir une domination de bonne qualité de la suite (p,).
Tout au long du problème, le disque unité ouvert de EUR sera noté

D={fz2ecC:<1}. On admettra aussi l'identité classique suivante : +00 1 T° m2 n=]l n 6 A. Fonctions L et P 21 15 Soit z EUR D. Montrer la convergence de la série D -- Préciser la valeur de sa n>1l
somme lorsque 2 EUR |--1,1|. On notera

2 > Soit z EUR D. Montrer que la fonction ® : {+ L(tz) est dérivable sur un 
intervalle
ouvert incluant |--1,1] et donner une expression simple de sa dérivée sur 
|--1,1].

35 Soit z EUR D. Montrer que la fonction Y :#r++ (1 -- +2) el (2) est constante 
sur [0,1],

et en déduire que
1

exp(L(2)) =

4 > Montrer que |L(z)| < --In(1 -- |2|) pour tout z dans D. En déduire que la série 5 L(z") est convergente pour tout z dans D. n>1l

Dans la suite, pour tout z EUR D on note

Pa = ep | ELE")|
5 >

B.

Soit z EUR D. Vérifier que P(z2) £ 0, que

et que pour tout réel & > 0,

+00
mP(e)=-S m(i-e ").
n=1l

Développement asymptotique en variable réelle

Dans cette partie, on introduit la fonction q qui à tout réel x associe le 
nombre
réel q(x) = x -- [x] -- 5, où |x] désigne la partie entière de x.

10 ©

115

Montrer que q est continue par morceaux sur R, qu'elle est 1-périodique et que 
la
fonction |q| est paire.

+00 U
Montrer que | au) du est bien définie pour tout réel & > 0.

1 etu -- ]

Montrer que pour tout entier n > 1,

CORRE OT | 1.

2 n/n
T q(u
Montrer que | au) à, tend vers 0 quand x tend vers +oc, et en déduire la
Lt] U
+ q(u) _ ue
convergence de l'intégrale | ----" du, ainsi que l'égalité
1 u

U

[T qu) 4, _ MT).

À l'aide d'un développement en série sous l'intégrale, montrer que

+00
| m(1---e "*)du = ----.
0 6

Montrer que

/ ° --pT7T / °
On pourra commencer par établir que x + ---- est décroissante sur R*.
Pour ke N*'etteR,, on pose

(k+1)/2 # (k+1)/2
ux(t) = tu) du sit>0, et ux(t) -- qu) du sit = 0.
tu __
k/2 e 1 k/2 u

12 > Montrer que u4 est continue sur R, pour tout k EUR N*.

| | TD/2 4 |q(u)]
13 & Soit t EUR R*. Montrer successivement que Juz(t)| = | |, TI du
k/2 ET --

puis ug(t) = (--1)"lug(t)| pour tout entier k& > 1, et établir enfin que

Vn EUR N",

1
«< on +00 >, ux(t)
k=n
On admettra dans la suite que cette majoration vaut encore pour t{ = 0.

14 > En déduire que
[ t q(u) du -- Mm(27)
1

etu -- ] t--0+ 2

15 > Montrer, pour tout réel t > 0, l'identité

+00 [ +00
| tatu) du -- T5 In(i----e ')---InP(e *) -- | In(1--e "*) du.
1 1

eu -- ]
16 > Conclure que

+ o(1) quand t tend vers 0.

In P(e"*) -- + --

C. Développement de F en série entière

Pour (n, N) EUR N x N*, on note P, x l'ensemble des listes (a1,...,an) EUR N° 
telles

N
que D kayx = n. Si cet ensemble est fini, on note p, n son cardinal.
k=1

17 > Soit n EUR N. Montrer que PF, n est inclus dans [0, #1] et non vide pour 
tout
N EUR N*, que la suite (p, n)n>1 est croissante et qu'elle est constante à 
partir du

rang max(n, 1).
Dans toute la suite, on notera p, la valeur finale de (pyn)n>1.

18 > Soit N EUR N*. Donner une suite (as n)nen telle que
Vz EUR D, -Y An NZ
En déduire, par récurrence, la formule

VNEN",V2e D, [x = Emxs"

19> Onfixe LE Net x EUR [0,1]. En utilisant le résultat de la question 
précédente,
£

établir la majoration > Pnt" < P(x). En déduire le rayon de convergence de la n=0 série entière > p,2"

+00 +00
20 & Soit z EUR D. En examinant la différence 5 p,2" -- 5 p,n2", démontrer que
n=0 n=0
+00
= D Pre"
n=Û0

21 > Soit n EUR N. Montrer que pour tout réel t > 0,

e"tP(et) fr _,,9 P(e te)
= -- 7 d6. 1
. 27 fe P(e"t) ()

Dans le reste du problème, l'objectif est d'utiliser la formule (1) pour 
obtenir un
contrôle assez fin du nombre »p, lorsque n tend vers +oo.

D. Controle de P

225 Soitx E [0,1|/et 0EUR R. En utilisant la fonction L, montrer que

l-- x
1 -- xet

< exp(--(1 -- cos À) r). En déduire que pour tout x EUR [0,1] et tout réel 6, 1 1 < PE ah . £ exp ( 1x +Re(---->))

23 & Soit x EUR |[0,1| et 0 un réel. Montrer que

1. " 1 x(1 -- cos 0)
1--x ñ (1) : (1--x)((1-- x)? + 2x(1 -- cos0))

eo)

Pour ce dernier résultat, on distinguera deux cas selon les valeurs relatives de
x(1 -- cos 4) et (1-- x).

En déduire que si x > alors

P(xef?) _ 1 cos on P(xe'?)
Pa) | = | 61 -- ss P(x

24 > Montrer qu'il existe un réel & > 0 tel que
VOE[-7T,7|), 1--cos0 > al".

En déduire qu'il existe trois réels { > 0, 6 > 0 et 7 > 0 tels que, pour tout
t EUR |0, tol et tout 0 E Ï---7,r|,
P(e-tett)
P(e"t)

P(e"tet?)
P(e"t)

--8(t-3/29)? c er /2181)?/#

OU

25 > En déduire que

T .r20 PP --t, 10
|. 2 d8 = O(t*/?) quand t tend vers 0*.

E. Conclusion

26 > En prenant { = == dans (1), conclure que

ex (rV#)

Pn = O quand n tend vers +00.
n

Épilogue. Le dernier résultat est très proche de l'optimalité. Par une analyse 
plus fine
de l'intégrale dans la formule (1), on peut en effet établir l'équivalent

sn(rv®
PT 4V3n

formule découverte par Hardy et Ramanujan en 1918.

quand n -- +00,

FIN DU PROBLÈME