Mines Maths 1 PC 2021

A2021 - MATH I PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Variables aléatoires entières symétriques à forte dispersion

Dans tout le sujet, on fixe un espace probabilisé (Q, À, P) sur lequel toutes 
les variables
aléatoires considérées sont définies. On utilisera systématiquement la locution 
« variable
aléatoire » pour parler d'une variable aléatoire réelle discrète, et « variable 
aléatoire
entière » pour parler d'une variable aléatoire à valeurs dans Z. On pourra noter

X(Q)={x,, nel}
où J est un sous-ensemble fini ou dénombrable de N et x, EUR R pour tout n EUR 
I.

Définition 1 (Dispersion d'ordre a) On fixe un réel a > 0. Soit X : Q -- R une
variable aléatoire. On dit que X vérifie la condition (D,) - dite de dispersion 
d'ordre
a - lorsque, quand n tend vers +00,

P(IX| > n) = +0(--) (1)

Définition 2 (Variables aléatoires symétriques) On dit que X est symétrique
lorsque --X suit la même loi que À, autrement dit lorsque

Vxe X(Q), PIX = x) = PIX = ---x). (2)
On admet le principe de transfert de l'égalité en loi :

Théorème 1 Étant donné deux variables aléatoires X et Y prenant leurs valeurs 
dans
un même ensemble E, ainsi qu'une application u : E -- F, si À et Y suivent la 
même
loi alors u(X) et u(Y) aussi.

Dans tout le sujet, on se donne une suite (X,),-1 de variables aléatoires 
entières,
mutuellement indépendantes, toutes de même loi, symétriques, et vérifiant la 
condi-
tion (D,). On admet que sous ces conditions la variable X,:1 est indépendante de
X,+---+X, pour tout n EUR N*.

On pose, pour tout n EUR N*.

Nr

appelée n-ième moyenne empirique des variables X,. L'objectif du sujet est 
d'établir la
convergence simple d'une suite de fonctions associées aux variables M.
Les trois premières parties du sujet sont totalement indépendantes les unes des 
autres.
Questions de cours

1 > Soit À une variable aléatoire. Rappeler la définition de « X est 
d'espérance finie ».
Montrer alors que X est d'espérance finie si et seulement si [X| est d'espérance
finie.

2 > Soit À une variable aléatoire. Montrer que si À est bornée, autrement dit 
s'il existe
un réel M > 0 tel que P(IX] < M) = 1, alors X est d'espérance finie. Généralités sur les variables aléatoires 35> Soit À une variable aléatoire entière vérifiant (D,). Montrer que X n'est 
pas
d'espérance finie, et que X? non plus.

4 > Soit À une variable aléatoire symétrique, et f : R -- R une fonction 
impaire. Mon-
trer que f(X) est symétrique et que si f(X) est d'espérance finie alors E(f(X)) 
--
O.

5 & soit À et Y deux variables aléatoires symétriques indépendantes. En 
comparant
la loi de (--X, --Y) à celle de (X, Y), démontrer que X + Y est symétrique.

Deux sommes de séries

On fixe ici un nombre complexe z tel que z £ 1 et |z] < 1. On introduit la fonction U Z Litis | du. o L-- UuZ 6 > Montrer que, sur le segment [0,1|, la fonction L est convenablement définie 
et de
classe C®. Donner une expression simple de sa dérivée n-ième pour tout n > 1.

7 > Justifier que pour tout t EUR 0,1], on a 1 --t < [1 --tz|, et plus précisément encore que 1--t<|1--#t2|. 8 > En déduire successivement que

f

1 --t
l -- {2

n 1 .n+1I 1--1+)?
dt -- 0 et | 2 ) d --> 0.
n--+00 0 (1 -- tz}nt1 n--+00

10 > Montrer que la fonction

_JR° --R
tu) 1 + ue

est continue. En déduire qu'il existe, pour tout a EUR |0,7|, un réel m, > 0 
tel que

V(t,u) E[-a,al x [0,1], [1+ue*| > m,

11 > Montrer que la fonction

1 et
F:tel-rr|----

o 1 +ueît

est de classe CT et donner une expression de sa dérivée sous la forme d'une 
intégrale
à paramètre.

12 > Montrer que

VLE -x,x|, F(t) -- = AU +

et en déduire la valeur de F(t) pour tout t EUR |--T,7|.

13 > Soit 0 EUR |0,2r|. Déduire des questions précédentes que

+00 OO 4: _
ÿ cos(nÛ) L -m(2 in c) t sin(nÛ) _T-0

n n 2

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire
symétrique

On fixe dans cette partie une variable aléatoire symétrique À. On pose

G... R --RkR
F4 -- E(cos(iX)),

appelée fonction caractéristique de X.

14 > Montrer que ® x est bien définie, paire et que VER, [®x(t)| < 1. 15 > En utilisant le théorème du transfert, montrer que ® x est continue.

Dans la suite de cette partie, on suppose que À est une variable aléatoire 
entière
symétrique vérifiant la condition (D,). Pour tout n EUR N, on pose

Rn:= P(IX| > n).

16 > On fixe un réel t EUR [0,27{[. Montrer successivement que

+00

Px(t) = D (Rs -- Ray) cos(nt)

n=0
puis
+00

Px(t)=1+ R, |cos(nit) -- cos((n -- 1)t)|.

n=1l

On pourra établir au préalable la convergence de la série DR, cos(nt).

17 > Montrer qu'il existe un nombre réel C tel que

+00 a |
D(R, _ =) ent sc
n=1 nm t--0+

et en déduire que, quand t tend vers 07.

+00 T2

Sd RAcos(nt) = O(lnt) et ÿ R, sin(nt) -- _. + o(1).

n=1l n=1l
18 > Conclure que, quand t tend vers 0?,
Px(t)=1- + ot).

La fonction ® + est-elle dérivable en 0 ?

Convergence simple de la suite des fonctions
caractéristiques des variables M,

19 & Soit X et Y deux variables aléatoires symétriques indépendantes. Montrer 
que

VEER, Dray (t) = Px(t)Dy(t).
20 > Démontrer que pour tout entier n > 1, la variable 17, est symétrique et
VER, ®u,(t) = (Ex(t/n)) :

21 > En déduire que pour tout réel f,

Put) -- exp(-T 2.

n-- +00 2

22 > La convergence établie à la question précédente est-elle uniforme sur R ?

À partir de là, des théorèmes d'analyse de Fourier permettraient de démontrer 
que
la suite (M,),>1 converge en loi vers une variable de Cauchy de paramètre ©, ce 
qui
signifie que pour tout segment [a, b] de R,

bd
Pa 

Mines Maths 1 PC 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par David Michel (professeur agrégé) ; il a été relu par 
Jean
Starynkévitch (professeur en CPGE) et William Aufort (professeur en CPGE).

Ce sujet traite d'une classe de variables aléatoires entières symétriques à 
forte
dispersion, plus précisément celles qui satisfont la condition suivante pour un 
 > 0 :

1
(D )
P |X| > n = + O
n n+ n2
Ce type de condition n'est pas fréquent en prépa : elle n'est satisfaite par 
aucune loi
usuelle au programme ! Pour des variables aléatoires entières, la quantité P 
|X| > n
reste familière puisqu'elle est utilisée pour exprimer l'espérance de |X|. On 
la retrouve
également dans les inégalités de Markov et de Bienaymé­Tchebychev.
· La première partie comporte deux questions de cours qui seront utilisées plus
tard.
· Dans la deuxième partie, on démontre des résultats généraux sur les variables
aléatoires satisfaisant la condition (D ) ainsi que sur les variables aléatoires
symétriques.
· La troisième partie est indépendante de la précédente. Sans que l'énoncé ne
le mentionne, elle est consacrée à l'étude de la série entière z n /n sur le 
cercle
unité. Après avoir démontré la convergence de cette série sur le disque unité
privé de 1, l'étude d'une intégrale à paramètre permet d'obtenir l'expression de
la somme de la série entière z n /n pour z = e i  avec   ] 0 ; 2 [. Cette partie
constitue une bonne révision du cours sur les intégrales à paramètre.
· Dans la partie suivante, on définit la fonction caractéristique X d'une 
variable aléatoire symétrique X. On en démontre des propriétés élémentaires 
puis,
lorsque la condition (D ) est vérifiée, on prouve que X n'est pas dérivable en 
0.
Pour cela, on utilise les résultats des parties précédentes ainsi qu'une méthode
standard dans l'étude de séries semi-convergentes : la transformation d'Abel.
· Dans la cinquième partie, on applique un schéma classique d'étude de la suite
des fonctions caractéristiques des moyennes empiriques d'une famille de 
variables aléatoires indépendantes et de même loi en démontrant une propriété
de morphisme puis la convergence simple.
Pour réussir ce sujet, il fallait maîtriser les séries de fonctions et les 
intégrales à
paramètre, ainsi que les définitions et propriétés essentielles de l'espérance 
en probabilités. On utilise à plusieurs reprises les théorèmes de continuité de 
la somme d'une
série de fonctions, de convergence dominée et de dérivation des intégrales à 
paramètre, ce qui en fait un bon sujet de révision des chapitres d'analyse de 
deuxième
année et de probabilités.

Indications
3 Comme |X| est à valeurs dans N,
 elle est d'espérance finie si et seulement si la
série de terme général P |X| > n est convergente.
4 Appliquer le théorème 1 admis par l'énoncé.
5 Montrer que les couples (-X, -Y) et (X, Y) suivent la même loi puis appliquer 
le
théorème 1 avec une fonction u : R2 7 R bien choisie.
6 Montrer que l'intégrande est continue sur [ 0 ; 1 ]. En déduire par 
récurrence que,
pour tout n  N , L est de classe C n et
t  [ 0 ; 1 ]

L(n) (t) =

(n - 1)! z n
(1 - tz)n

7 Utiliser l'inégalité triangulaire et son cas d'égalité.
8 Appliquer le résultat de la question 7 pour obtenir la première limite puis 
montrer
que la fonction t  [ 0 ; 1 ] 7 |1 - tz| admet un minimum strictement positif.
9 Utiliser les questions 6 et 8 ainsi que la formule de Taylor avec reste 
intégral.
10 Justifier que, pour a  ] 0 ;  [, la fonction continue  atteint son minimum 
sur
[ -a ; a ] × [ 0 ; 1 ]. Montrer qu'il est strictement positif à l'aide de la 
question 7.
11 Appliquer le théorème de dérivation des intégrales à paramètre sur tout 
segment
de la forme [ -a ; a ] avec a  ] 0 ;  [ grâce à la question 10. Montrer que
Z 1
ieit
t  ] - ;  [
F0 (t) =
du
it 2
0 (1 + u e )
12 Calculer F0 en mettant l'intégrande sous la forme g 0 /g. Montrer, en 
intégrant
l'expression de F0 obtenue, que

t
it
t  ] - ;  [
F(t) = ln 2 cos
+
2
2
13 Justifier que l'on peut appliquer la question 9 avec z = e i  . En déduire 
que
P ein
= -F( - )
n=1 n
+

16 Montrer que pour tout entier naturel n, Rn - Rn+1 = P |X| = n . Déduire la
première formule voulue du théorème de transfert. Obtenir la seconde formule en
raisonnant sur les sommes partielles, en coupant la somme initiale en deux et en
effectuant un changement d'indice dans l'une des sommes.
17 Obtenir la limite souhaitée en démontrant que la somme de gauche définit une
fonction continue sur R. Conclure grâce aux résultats des questions 9 et 13.
18 Utiliser les résultats des questions 16 et 17 et la formule de trigonométrie

p+q
p-q
(p, q)  R2
cos p - cos q = -2 sin
sin
2
2
Déduire du développement limité obtenu en 0+ un développement limité en 0- .
20 Raisonner par récurrence grâce à la question 19 en écrivant, pour tout n  N ,
n
1
Mn +
Xn+1
n+1
n+1
21 Appliquer les résultats des questions 18, 20 puis 14.
22 Montrer que Mn (2n) = 1 pour tout n  N grâce à la question 20.
Mn+1 =

Publié dans les Annales des Concours

I. Questions de cours
1 La définition de l'espérance d'une variable aléatoire discrète varie selon 
que l'image
de X est un ensemble fini ou non. Distinguons deux cas.
· 1er cas : Si X () est finie, alors X est d'espérance finie.
· 2e cas : Si X () est infinie et dénombrable, alors
P en notant X() = {xn , n  N},
on dit que X est d'espérance finie si la série
xn P (X = xn ) converge absolument.
Démontrons à présent l'équivalence demandée en distinguant ces deux cas.
· 1er cas : X () est finie. Alors l'image de  par |X| est également finie, car
c'est l'image de l'ensemble fini X() par l'application x  R 7 |x|. D'après la
définition qui précède, |X| est d'espérance finie.
· 2e cas : Si X () est infinie et dénombrable, d'après le théorème de transfert,
la variable aléatoire
|X| est d'espérance finie si et seulement si, avec les notations
P
précédentes,
|xn |P (X = xn ) converge absolument. La probabilité P prenant
des valeurs positives ou nulles, on a
n  N

|xn |P(X = xn ) = xn P(X = xn )
P
Par conséquent, la convergence absolue
|xn |P(X = xn ) équivaut
P de la série
à la convergence absolue de la série
xn P (X = xn ), c'est-à-dire au fait que X
est d'espérance finie.
Dans tous les cas,
X est d'espérance finie si et seulement si |X| l'est aussi.

2 On suppose que X est bornée : soit M > 0 tel que P |X| 6 M = 1. Lorsque X()
est finie, X est d'espérance finie, indépendamment du fait qu'elle soit bornée. 
Supposons désormais que X() est infinie dénombrable. En notant X() = {xn , n  
N},
comme P est positive,
n  N

xn P (X = xn ) 6 M P (X = xn )

En effet, pour tout n  N,
· soit |xn | 6 M ;

· soit |xn | > M et dans ce cas {X = xn }  |X| > M d'où l'on déduit, par 
croissance de P, que 0 6 P (X = xn ) 6 P |X| > M = 1 - P |X| 6 M = 0,
et finalement P (X = xn ) = 0.
Dans tous les cas,
Pl'inégalité ci-dessus est vraie. Par comparaison de séries à termes
positifs, comme
P (X = xn ) est convergente (par définition de la loi de X), on en
P
déduit que la série
xn P (X = xn ) est absolument convergente. Ainsi,
Si X est bornée, alors X est d'espérance finie.

II. Généralités sur les variables aléatoires
Nous allons étudier des variables aléatoires entières symétriques vérifiant
la condition (D ) pour un  > 0. Il convient donc de se demander s'il existe
un réel  > 0 et une variable aléatoire entière symétrique X tels que (D )
est vérifié.
Considérons une variable aléatoire X :   Z suivant la loi donnée par :
P(X = 0) = 0

k  Z r {0}

et

P(X = k) =

3
2 k2

Ainsi définie, X est une variable aléatoire entière symétrique sur (Z, P(Z), P).
Soit n > 2. On a
 1

6 +P
P |X| > n = 2
 k=n k 2
Or, comme la fonction t 7 1/t2 est décroissante sur R+ ,
Z k+1
Z k
dt
1
dt
k > n
6 2 6
2
2
t
k
k
k-1 t
1
1
1
1
1
-
6 2 6
-
k k+1
k
k-1 k
On reconnaît dans les membres de gauche et de droite des termes généraux
de séries télescopiques, donc on obtient en sommant
 !
+
P 1
1
1
1
1
1
1
6
6
= ×
= × 1+ O
2
+
n  n
n k=n k
n-1
n 1 - 1/n
n

6
6
1
d'où
6 P |X| > n 6
+ O
n 2
n 2 n+ n2
soit

k > n

D'après le théorème d'encadrement, on en déduit que X est une variable
aléatoire entière symétrique vérifiant (D ) avec  = 6/ 2 .
La question suivante se pose alors : Soit  > 0. Existe-t-il une variable
aléatoire entière symétrique X :   Z satisfaisant (D ) ? On peut vérifier
que la suite (pn )nN définie par

-
si n > 

n
n
+
1

pn = 1 -
si n = 0

bc + 1

0
sinon
est positive et vérifie
+

P
n=0

+

pn = 1

et

P
k=n

pk =

1

+ O
n n+ n2

En raisonnant comme précédemment, on démontre que la variable aléatoire
X :   Z suivant la loi donnée par
p|n|

P(X = 0) = 1 -
et
n  Z r {0} P(X = n) =
bc + 1
2
est alors une variable aléatoire entière symétrique vérifiant (D ) : l'énoncé
n'est pas en train de parler de choses qui n'existeraient pas !