Thème de l'épreuve | Variables aléatoires entières symétriques à forte dispersion |
Principaux outils utilisés | séries de fonctions, intégrales à paramètres, variables aléatoires discrètes |
Mots clefs | continuité de la somme, convergence dominée, dérivation sous l'intégrale, espérance, fonction caractéristique, variable aléatoire symétrique |
A2021 - MATH I PC Cm Concours commun Mines-Ponts ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL. Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International). CONCOURS 2021 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l'épreuve : 3 heures L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énontcé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France. Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts. Variables aléatoires entières symétriques à forte dispersion Dans tout le sujet, on fixe un espace probabilisé (Q, À, P) sur lequel toutes les variables aléatoires considérées sont définies. On utilisera systématiquement la locution « variable aléatoire » pour parler d'une variable aléatoire réelle discrète, et « variable aléatoire entière » pour parler d'une variable aléatoire à valeurs dans Z. On pourra noter X(Q)={x,, nel} où J est un sous-ensemble fini ou dénombrable de N et x, EUR R pour tout n EUR I. Définition 1 (Dispersion d'ordre a) On fixe un réel a > 0. Soit X : Q -- R une variable aléatoire. On dit que X vérifie la condition (D,) - dite de dispersion d'ordre a - lorsque, quand n tend vers +00, P(IX| > n) = +0(--) (1) Définition 2 (Variables aléatoires symétriques) On dit que X est symétrique lorsque --X suit la même loi que À, autrement dit lorsque Vxe X(Q), PIX = x) = PIX = ---x). (2) On admet le principe de transfert de l'égalité en loi : Théorème 1 Étant donné deux variables aléatoires X et Y prenant leurs valeurs dans un même ensemble E, ainsi qu'une application u : E -- F, si À et Y suivent la même loi alors u(X) et u(Y) aussi. Dans tout le sujet, on se donne une suite (X,),-1 de variables aléatoires entières, mutuellement indépendantes, toutes de même loi, symétriques, et vérifiant la condi- tion (D,). On admet que sous ces conditions la variable X,:1 est indépendante de X,+---+X, pour tout n EUR N*. On pose, pour tout n EUR N*. Nr appelée n-ième moyenne empirique des variables X,. L'objectif du sujet est d'établir la convergence simple d'une suite de fonctions associées aux variables M. Les trois premières parties du sujet sont totalement indépendantes les unes des autres. Questions de cours 1 > Soit À une variable aléatoire. Rappeler la définition de « X est d'espérance finie ». Montrer alors que X est d'espérance finie si et seulement si [X| est d'espérance finie. 2 > Soit À une variable aléatoire. Montrer que si À est bornée, autrement dit s'il existe un réel M > 0 tel que P(IX] < M) = 1, alors X est d'espérance finie. Généralités sur les variables aléatoires 35> Soit À une variable aléatoire entière vérifiant (D,). Montrer que X n'est pas d'espérance finie, et que X? non plus. 4 > Soit À une variable aléatoire symétrique, et f : R -- R une fonction impaire. Mon- trer que f(X) est symétrique et que si f(X) est d'espérance finie alors E(f(X)) -- O. 5 & soit À et Y deux variables aléatoires symétriques indépendantes. En comparant la loi de (--X, --Y) à celle de (X, Y), démontrer que X + Y est symétrique. Deux sommes de séries On fixe ici un nombre complexe z tel que z £ 1 et |z] < 1. On introduit la fonction U Z Litis | du. o L-- UuZ 6 > Montrer que, sur le segment [0,1|, la fonction L est convenablement définie et de classe C®. Donner une expression simple de sa dérivée n-ième pour tout n > 1. 7 > Justifier que pour tout t EUR 0,1], on a 1 --t < [1 --tz|, et plus précisément encore que 1--t<|1--#t2|. 8 > En déduire successivement que f 1 --t l -- {2 n 1 .n+1I 1--1+)? dt -- 0 et | 2 ) d --> 0. n--+00 0 (1 -- tz}nt1 n--+00 10 > Montrer que la fonction _JR° --R tu) 1 + ue est continue. En déduire qu'il existe, pour tout a EUR |0,7|, un réel m, > 0 tel que V(t,u) E[-a,al x [0,1], [1+ue*| > m, 11 > Montrer que la fonction 1 et F:tel-rr|---- o 1 +ueît est de classe CT et donner une expression de sa dérivée sous la forme d'une intégrale à paramètre. 12 > Montrer que VLE -x,x|, F(t) -- = AU + et en déduire la valeur de F(t) pour tout t EUR |--T,7|. 13 > Soit 0 EUR |0,2r|. Déduire des questions précédentes que +00 OO 4: _ ÿ cos(nÛ) L -m(2 in c) t sin(nÛ) _T-0 n n 2 Fonction caractéristique d'une variable aléatoire symétrique On fixe dans cette partie une variable aléatoire symétrique À. On pose G... R --RkR F4 -- E(cos(iX)), appelée fonction caractéristique de X. 14 > Montrer que ® x est bien définie, paire et que VER, [®x(t)| < 1. 15 > En utilisant le théorème du transfert, montrer que ® x est continue. Dans la suite de cette partie, on suppose que À est une variable aléatoire entière symétrique vérifiant la condition (D,). Pour tout n EUR N, on pose Rn:= P(IX| > n). 16 > On fixe un réel t EUR [0,27{[. Montrer successivement que +00 Px(t) = D (Rs -- Ray) cos(nt) n=0 puis +00 Px(t)=1+ R, |cos(nit) -- cos((n -- 1)t)|. n=1l On pourra établir au préalable la convergence de la série DR, cos(nt). 17 > Montrer qu'il existe un nombre réel C tel que +00 a | D(R, _ =) ent sc n=1 nm t--0+ et en déduire que, quand t tend vers 07. +00 T2 Sd RAcos(nt) = O(lnt) et ÿ R, sin(nt) -- _. + o(1). n=1l n=1l 18 > Conclure que, quand t tend vers 0?, Px(t)=1- + ot). La fonction ® + est-elle dérivable en 0 ? Convergence simple de la suite des fonctions caractéristiques des variables M, 19 & Soit X et Y deux variables aléatoires symétriques indépendantes. Montrer que VEER, Dray (t) = Px(t)Dy(t). 20 > Démontrer que pour tout entier n > 1, la variable 17, est symétrique et VER, ®u,(t) = (Ex(t/n)) : 21 > En déduire que pour tout réel f, Put) -- exp(-T 2. n-- +00 2 22 > La convergence établie à la question précédente est-elle uniforme sur R ? À partir de là, des théorèmes d'analyse de Fourier permettraient de démontrer que la suite (M,),>1 converge en loi vers une variable de Cauchy de paramètre ©, ce qui signifie que pour tout segment [a, b] de R, bd Pa
Mines Maths 1 PC 2021 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par David Michel (professeur agrégé) ; il a été relu par Jean Starynkévitch (professeur en CPGE) et William Aufort (professeur en CPGE). Ce sujet traite d'une classe de variables aléatoires entières symétriques à forte dispersion, plus précisément celles qui satisfont la condition suivante pour un > 0 : 1 (D ) P |X| > n = + O n n+ n2 Ce type de condition n'est pas fréquent en prépa : elle n'est satisfaite par aucune loi usuelle au programme ! Pour des variables aléatoires entières, la quantité P |X| > n reste familière puisqu'elle est utilisée pour exprimer l'espérance de |X|. On la retrouve également dans les inégalités de Markov et de BienayméTchebychev. · La première partie comporte deux questions de cours qui seront utilisées plus tard. · Dans la deuxième partie, on démontre des résultats généraux sur les variables aléatoires satisfaisant la condition (D ) ainsi que sur les variables aléatoires symétriques. · La troisième partie est indépendante de la précédente. Sans que l'énoncé ne le mentionne, elle est consacrée à l'étude de la série entière z n /n sur le cercle unité. Après avoir démontré la convergence de cette série sur le disque unité privé de 1, l'étude d'une intégrale à paramètre permet d'obtenir l'expression de la somme de la série entière z n /n pour z = e i avec ] 0 ; 2 [. Cette partie constitue une bonne révision du cours sur les intégrales à paramètre. · Dans la partie suivante, on définit la fonction caractéristique X d'une variable aléatoire symétrique X. On en démontre des propriétés élémentaires puis, lorsque la condition (D ) est vérifiée, on prouve que X n'est pas dérivable en 0. Pour cela, on utilise les résultats des parties précédentes ainsi qu'une méthode standard dans l'étude de séries semi-convergentes : la transformation d'Abel. · Dans la cinquième partie, on applique un schéma classique d'étude de la suite des fonctions caractéristiques des moyennes empiriques d'une famille de variables aléatoires indépendantes et de même loi en démontrant une propriété de morphisme puis la convergence simple. Pour réussir ce sujet, il fallait maîtriser les séries de fonctions et les intégrales à paramètre, ainsi que les définitions et propriétés essentielles de l'espérance en probabilités. On utilise à plusieurs reprises les théorèmes de continuité de la somme d'une série de fonctions, de convergence dominée et de dérivation des intégrales à paramètre, ce qui en fait un bon sujet de révision des chapitres d'analyse de deuxième année et de probabilités. Indications 3 Comme |X| est à valeurs dans N, elle est d'espérance finie si et seulement si la série de terme général P |X| > n est convergente. 4 Appliquer le théorème 1 admis par l'énoncé. 5 Montrer que les couples (-X, -Y) et (X, Y) suivent la même loi puis appliquer le théorème 1 avec une fonction u : R2 7 R bien choisie. 6 Montrer que l'intégrande est continue sur [ 0 ; 1 ]. En déduire par récurrence que, pour tout n N , L est de classe C n et t [ 0 ; 1 ] L(n) (t) = (n - 1)! z n (1 - tz)n 7 Utiliser l'inégalité triangulaire et son cas d'égalité. 8 Appliquer le résultat de la question 7 pour obtenir la première limite puis montrer que la fonction t [ 0 ; 1 ] 7 |1 - tz| admet un minimum strictement positif. 9 Utiliser les questions 6 et 8 ainsi que la formule de Taylor avec reste intégral. 10 Justifier que, pour a ] 0 ; [, la fonction continue atteint son minimum sur [ -a ; a ] × [ 0 ; 1 ]. Montrer qu'il est strictement positif à l'aide de la question 7. 11 Appliquer le théorème de dérivation des intégrales à paramètre sur tout segment de la forme [ -a ; a ] avec a ] 0 ; [ grâce à la question 10. Montrer que Z 1 ieit t ] - ; [ F0 (t) = du it 2 0 (1 + u e ) 12 Calculer F0 en mettant l'intégrande sous la forme g 0 /g. Montrer, en intégrant l'expression de F0 obtenue, que t it t ] - ; [ F(t) = ln 2 cos + 2 2 13 Justifier que l'on peut appliquer la question 9 avec z = e i . En déduire que P ein = -F( - ) n=1 n + 16 Montrer que pour tout entier naturel n, Rn - Rn+1 = P |X| = n . Déduire la première formule voulue du théorème de transfert. Obtenir la seconde formule en raisonnant sur les sommes partielles, en coupant la somme initiale en deux et en effectuant un changement d'indice dans l'une des sommes. 17 Obtenir la limite souhaitée en démontrant que la somme de gauche définit une fonction continue sur R. Conclure grâce aux résultats des questions 9 et 13. 18 Utiliser les résultats des questions 16 et 17 et la formule de trigonométrie p+q p-q (p, q) R2 cos p - cos q = -2 sin sin 2 2 Déduire du développement limité obtenu en 0+ un développement limité en 0- . 20 Raisonner par récurrence grâce à la question 19 en écrivant, pour tout n N , n 1 Mn + Xn+1 n+1 n+1 21 Appliquer les résultats des questions 18, 20 puis 14. 22 Montrer que Mn (2n) = 1 pour tout n N grâce à la question 20. Mn+1 = Publié dans les Annales des Concours I. Questions de cours 1 La définition de l'espérance d'une variable aléatoire discrète varie selon que l'image de X est un ensemble fini ou non. Distinguons deux cas. · 1er cas : Si X () est finie, alors X est d'espérance finie. · 2e cas : Si X () est infinie et dénombrable, alors P en notant X() = {xn , n N}, on dit que X est d'espérance finie si la série xn P (X = xn ) converge absolument. Démontrons à présent l'équivalence demandée en distinguant ces deux cas. · 1er cas : X () est finie. Alors l'image de par |X| est également finie, car c'est l'image de l'ensemble fini X() par l'application x R 7 |x|. D'après la définition qui précède, |X| est d'espérance finie. · 2e cas : Si X () est infinie et dénombrable, d'après le théorème de transfert, la variable aléatoire |X| est d'espérance finie si et seulement si, avec les notations P précédentes, |xn |P (X = xn ) converge absolument. La probabilité P prenant des valeurs positives ou nulles, on a n N |xn |P(X = xn ) = xn P(X = xn ) P Par conséquent, la convergence absolue |xn |P(X = xn ) équivaut P de la série à la convergence absolue de la série xn P (X = xn ), c'est-à-dire au fait que X est d'espérance finie. Dans tous les cas, X est d'espérance finie si et seulement si |X| l'est aussi. 2 On suppose que X est bornée : soit M > 0 tel que P |X| 6 M = 1. Lorsque X() est finie, X est d'espérance finie, indépendamment du fait qu'elle soit bornée. Supposons désormais que X() est infinie dénombrable. En notant X() = {xn , n N}, comme P est positive, n N xn P (X = xn ) 6 M P (X = xn ) En effet, pour tout n N, · soit |xn | 6 M ; · soit |xn | > M et dans ce cas {X = xn } |X| > M d'où l'on déduit, par croissance de P, que 0 6 P (X = xn ) 6 P |X| > M = 1 - P |X| 6 M = 0, et finalement P (X = xn ) = 0. Dans tous les cas, Pl'inégalité ci-dessus est vraie. Par comparaison de séries à termes positifs, comme P (X = xn ) est convergente (par définition de la loi de X), on en P déduit que la série xn P (X = xn ) est absolument convergente. Ainsi, Si X est bornée, alors X est d'espérance finie. II. Généralités sur les variables aléatoires Nous allons étudier des variables aléatoires entières symétriques vérifiant la condition (D ) pour un > 0. Il convient donc de se demander s'il existe un réel > 0 et une variable aléatoire entière symétrique X tels que (D ) est vérifié. Considérons une variable aléatoire X : Z suivant la loi donnée par : P(X = 0) = 0 k Z r {0} et P(X = k) = 3 2 k2 Ainsi définie, X est une variable aléatoire entière symétrique sur (Z, P(Z), P). Soit n > 2. On a 1 6 +P P |X| > n = 2 k=n k 2 Or, comme la fonction t 7 1/t2 est décroissante sur R+ , Z k+1 Z k dt 1 dt k > n 6 2 6 2 2 t k k k-1 t 1 1 1 1 1 - 6 2 6 - k k+1 k k-1 k On reconnaît dans les membres de gauche et de droite des termes généraux de séries télescopiques, donc on obtient en sommant ! + P 1 1 1 1 1 1 1 6 6 = × = × 1+ O 2 + n n n k=n k n-1 n 1 - 1/n n 6 6 1 d'où 6 P |X| > n 6 + O n 2 n 2 n+ n2 soit k > n D'après le théorème d'encadrement, on en déduit que X est une variable aléatoire entière symétrique vérifiant (D ) avec = 6/ 2 . La question suivante se pose alors : Soit > 0. Existe-t-il une variable aléatoire entière symétrique X : Z satisfaisant (D ) ? On peut vérifier que la suite (pn )nN définie par - si n > n n + 1 pn = 1 - si n = 0 bc + 1 0 sinon est positive et vérifie + P n=0 + pn = 1 et P k=n pk = 1 + O n n+ n2 En raisonnant comme précédemment, on démontre que la variable aléatoire X : Z suivant la loi donnée par p|n| P(X = 0) = 1 - et n Z r {0} P(X = n) = bc + 1 2 est alors une variable aléatoire entière symétrique vérifiant (D ) : l'énoncé n'est pas en train de parler de choses qui n'existeraient pas !