Mines Maths 1 PC 2019

Thème de l'épreuve Comportement asymptotique de sommes de séries entières
Principaux outils utilisés séries entières, probabilités, limites et équivalents
Mots clefs équivalents, fonction d'Airy, comparaison asymptotique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Mines Maths 1 PC 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Rémi Pellerin (ENS Lyon) ; il a été relu par Céline
Chevalier (enseignant-chercheur à l'université) et par Gilbert Monna 
(professeur honoraire en CPGE).

Ce sujet propose d'établir des équivalents simples pour une famille 
d'applications
développables en série entière sur R. Il est composé de 4 parties largement 
indépendantes.
· La première partie est une mise en jambe qui a pour but d'une part d'établir 
un
résultat de convergence utile pour la suite, et d'autre part d'écarter de 
l'étude
qui suit quelques cas triviaux.
· La deuxième partie propose la preuve d'un cas particulier qui utilise la 
théorie
des probabilités. Cela dit, il s'agit d'une utilisation purement analytique de
cette théorie qui exclut tout argument de type combinatoire.
· La troisième partie est quant à elle plus délicate. Elle établit le résultat 
dans
le cas général et constitue un très bon entraînement à la manipulation 
d'équivalents et de « petits o ».
· La quatrième partie propose une application simple à l'étude d'une équation
différentielle. La question 18 est à savoir faire absolument ! Elle peut 
d'ailleurs
être traitée indépendamment du reste du problème.
Dans l'ensemble, ce sujet est d'une difficulté raisonnable car tous les 
résultats
utiles pour continuer à avancer sont donnés. Il y a néanmoins quelques questions
délicates dans les parties II et III. De plus, le sujet est long et sa 
résolution complète
dans les 3 heures imparties est un véritable défi ! Travailler ce sujet est une 
bonne idée
pour réviser les chapitres relatifs aux séries entières, aux probabilités dans 
leur aspect
purement analytique ainsi que le calcul de limites et la manipulation 
d'équivalents et
de « petits o ».

Indications
1
2
4
5

Utiliser le critère de d'Alembert.
Penser aux développements en séries entières usuels.
Remarquer que E (Xx ) = V (Xx ) = x.
Commencer par établir, en utilisant l'inégalité de Markov, que

-1 r
-1 r 
r
r
x > 1
1-x 3
P (Zx ) > 1 - x 3
6 E (Zx )

-1 
-1 
r
puis que
x > 1
P (Zx ) > 1 - x 3
= P Zx > 1 - x 3

+
P
P -x n
1 N-1
(n - k) ; les premiers termes de
e x
n ! k=0
n=0
7 Établir la relation suivante sur les polynômes

6 Simplifier

N  N

!(a1 , . . . , aN )  RN

XN =

N
P

N-1

 (n - k) sont nuls.

k=0

ak Hk

k=1

où les polynômes Hk sont définis comme dans l'indication. Que vaut deg Hk ?
(
R+ - R
8 Introduire l'application fs :
et étudier ses variations.
t 7- ts - s(t - 1) + 1
Ensuite, considérer l'égalité obtenue et l'appliquer à t = Zx () pour   .
9 Établir grâce aux résultats des questions 5, 7 et 8 que pour x > 1,

-1 r
-1 
r
N
N-1 
1-x 3
P Zx > 1 - x 3 6 E [(Zx ) ] 6 (1 - s) E (Zx ) + s E (Zx )

10 Prouver que

-xn (n + 1)r-1
x (n + 1)
n!
11 On pourra utiliser la question 10 pour calculer les limites
x > 0

un+1 (x) - un (x) =
et

lim x (x + r + )

x+

lim x (x + r - )

x+

12 Remarquer que
k  N

(x + k)!

x+

x! × x

k

13 Utiliser la question 10.
14 Se servir du résultat établi à la question 13.
16 Pour établir la première égalité sur Sr,1 (zx), on pourra raisonner avec la 
somme
partielle et montrer que
N
P

Dn (un-1 (x) - un (x)) =

n=1

N
P

(Dn+1 - Dn ) un (x) + D1 u0 (x) - DN uN (x)

n=1

avant de conclure avec la question 15.
Pour majorer |Sr,1 (zx)|, utiliser la question 10 et notamment, le fait que un 
(x)
est croissante puis décroissante, et toujours positive. Utiliser la question 11 
pour
justifier que tx  > 1 pour x suffisamment grand. Conclure grâce à la question 
14.
17 Permuter les deux sommes en le justifiant.
18 Raisonner par analyse-synthèse et établir que, nécessairement,
n
n  N
cn =
(n !)2

I. Généralités, cas particuliers
1 Soient p  N et r  R+ . Utilisons le critère de d'Alembert. Comme (p n)r / (p 
n) !
ne s'annule pour aucune valeur de n, on peut écrire
r

r
(p(n + 1))
(p n) !
(p n) !
1
×
×
=
1
+
(p(n + 1)) ! (p n)r
n
(p(n + 1)) !

r
1
Or,
1+
----- 1
n+
n

(p n) !
1
=
----- 0
(p(n + 1)) !
(p n + 1) × · · · × (p n + p) n+

et

car p  N

Ainsi, d'après le critère de d'Alembert,

Pour tout p PN et tout r  R+ , le rayon de la
r
série entière n>1 (p n) / (p n)! z n est infini.
P
Soit z  C, comme laPsérie
an z n convergeP
absolument sur C, il y a également
pn
convergence absolue de
an z . Ainsi, la série
an z pn converge absolument pour
tout z  C donc le rayon de convergence de cette série entière est infini. Ainsi,
Pour tout p PN et tout r  R+ , le rayon de la
r
série entière n>1 (p n) / (p n)! z pn est infini.

Plus P
généralement, si R désigne le rayon dePconvergence 
de la série entière an z n , alors le rayon de convergence de  an z pn vaut p 
R. Ce résultat
est valable pour R = + si l'on convient que p + = +.
2 Soit x  R. D'après la question 1, on peut écrire
P n0 n
x
n=1 n !
+

S0,1 (x) =
d'où

S0,1 (x) = e x - 1

x  R

De même, la question 1 permet d'affirmer l'existence de la somme infinie
P (2n)0 2n
x
n=1 (2n) !
+

S0,2 (x) =
puis

x  R

S0,2 (x) = ch (x) - 1

Rappelons les sommes de séries entières suivantes, valables pour tout z  C :
P zn
n=0 n !
+

ez =

De plus, on a les équivalents suivants :
ex - 1
Par conséquent,

P z 2n
n=0 (2n) !
+

ch (z) =

x+

ex

et

z 2n+1
n=0 (2n + 1) !
+

sh (z) =

ch (x) - 1

P

ex
x+ 2

Les énoncés H0,1 et H0,2 sont valides.

II. Une démonstration probabiliste de Hr,1
r

3 Pour montrer que la variable aléatoire (Zx ) admet une espérance finie, il 
suffit,
d'après le théorème de transfert, d'établir que la série
X  n r
e -x X nr xn
P (Xx = n) = r
x
x
n!
n>0

n>0

converge absolument. Or, la question 1 permet d'affirmer que cette série est 
effectir
vement absolument convergente en prenant p = 1. Ainsi, la variable aléatoire 
(Zx )
admet une espérance finie et celle-ci vaut
r

E [(Zx ) ] =

e -x
Sr,1 (x)
xr

4 L'espérance et la variance d'une variable aléatoire suivant une loi de 
Poisson de
paramètre x > 0 sont égales et valent x, c'est-à-dire
x > 0

E (Xx ) = V (Xx ) = x

Appliquons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable aléatoire réelle de
variance finie Zx . Comme x-1/3 > 0,
-1 
V (Zx )
P |Zx - E (Zx )| > x 3 6
-1 2
x3
1
E (Xx ), et donc
x
1
E (Zx ) = × x = 1
x
1
1
1
V (Zx ) = 2 V (Xx ) = 2 × x =
x
x
x
1/x
-1 
-1
P |Zx - 1| > x 3 6 -2 = x 3
x3

Or, par linéarité de l'espérance, E (Zx ) =

De même,
Ainsi,
Or, x

-1
3

---- 0 et une probabilité est toujours positive donc, par encadrement,
x+
-1 
P |Zx - 1| > x 3 ---- 0
x+

Il ne faudrait pas conclure en invoquant un passage à la limite ! En effet, le
passage à la limite suppose que les limites existent justement. Ici, on encadre
une quantité par deux autres qui convergent vers la même limite car
-1 
-1
0 6 P |Zx - 1| > x 3 6 x 3
Comme

x-1/3 ---- 0
x+

on montre d'une part que la limite de la probabilité au centre existe quand x
tend vers +, et d'autre part que cette limite vaut nécessairement 0.
r

5 Appliquons l'inégalité de Markov à la variable aléatoire positive (Zx ) . 
Comme par
hypothèse x > 1, on a (1-x-1/3 ) > 0, donc (1-x-1/3 )r est bien défini et 
strictement
positif. Ainsi,
h
i
E ((Zx )r )
-1 r
P (Zx )r > 1 - x 3
6
-1 r
1-x 3