Mines Maths 1 PC 2019

Thème de l'épreuve Comportement asymptotique de sommes de séries entières
Principaux outils utilisés séries entières, probabilités, limites et équivalents
Mots clefs équivalents, fonction d'Airy, comparaison asymptotique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A2019 --- MATH I PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH,
CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVEP.

CONCOURS 2019
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur

d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Comportement asymptotique de sommes de séries entières

Soit p un entier naturel non nul et r un nombre réel strictement positif. On 
considère la

fonction k
@,e)
(pn)"
Srp:2EeC+H 27.
. 2 (pn)!
L'objectif du problème est d'établir la validité de l'énoncé suivant :
Srp(t) © Lorer (H,,)
PT oo p TP

Cet objectif sera atteint dans la partie IT pour le cas particulier p = 1, et 
dans la partie III
pour le cas p > 2. Dans la partie IV, on étudie une application de ce résultat 
au comportement
asymptotique d'une solution particulière d'une certaine équation différentielle 
d'ordre 2.

Dans tout le sujet, on note |x| la partie entière du nombre réel x, 
c'est-à-dire l'unique entier
k tel que & < x < k +1. On rappelle que par convention 0° = 1, tandis que 0" = 0 pour tout réel r > 0.

I Généralités, cas particuliers

z" a pour rayon de conver-

n
1. Soit r EUR R? et p EUR N°. Justifier que la série entière > / :
pn)!

n>1

n T
gence +00, et faire de même pour la série entière > Fe :
pn)!

n>1

ITS

zP.

2. Pour x réel, expliciter S51(x) et So2(x), et en déduire la validité des 
énoncés Ho 1 et Ho.

II Une démonstration probabiliste de À,

On admet dans cette partie qu'il existe, sur un certain espace probabilisé 
(Q,.4,P), une
famille (Xx)2cR: de variables aléatoires à valeurs dans N telle que X, suive la 
loi de Poisson
de paramètre x pour tout réel x > 0. On fixe de telles données dans 
l'intégralité de cette partie,
et l'on fixe un réel r > 0. On pose

X%
Dy = --
T
Pour N EUR N°, on pose
N--1
Van = J[(Xx --k) = X3(X3 -- 1). (X3 -- N +1).
k=0

3. Soit x EUR R*. Montrer que (Z;)" admet une espérance, et exprimer E((Z;)") à 
l'aide de
Sr1(t).

4. Pour x > 0, rappeler l'espérance et la variance de X,. Déduire alors de 
l'inégalité de

Bienaymé-Tchebychev que
P(IZ: --11>x 3) = 0.

T--+oo
5. Montrer que pour tout réel x > 1,
x PS) P(Z, >1-x 3)  1-7 8) > 1.

T-- +00

6. Soit N E N° et x EUR R7. Montrer que Y, n admet une espérance et que

E(Y,n) =".

1

7. Soit N EUR N°. Montrer qu'il existe des réels a1,...,an tels que
N
an = 1 et Vx > Û, (X»)" -- > ke Ya.
k=1

On pourra introduire la famille (H;);en de polynômes à coefficients réels 
définie par

j--1
Hyo=1 et VjeN*, H;-- I[(T-0.
i=0

où l'indéterminée est notée T..

En déduire que
E((Z:)") -- 1.

T-- +00
8. On pose N := [r| et s:= 7 -- N. Montrer l'inégalité
VMER,, t  0, (Z;) <(1--Ss) CZ)" + Ss CARE 9. En combinant les résultats précédents, établir la convergence E((Z:)) -- 1 T-- +00 et conclure à la validité de l'énoncé H,.1. III Démonstration de À,, pour p > 2

On fixe dans cette partie un entier naturel p > 2 et un réel r > 0, et l'on se 
propose de
déduire la validité de A,, de celle de F1.
PouneNetzxeR, on pose
10.

11.

12.

153.

14.

15.

On fixe un réel x > 0. Étudier le signe de la fonction
Px:tell,+ooe #4 "(t-- 1) -- x.

On montrera en particulier que w4 s'annule en un unique élément de |1, +] que 
l'on notera

tx. En déduire que la suite finie (u,(x)) est croissante et que la suite (u,(x))

est décroissante.

L'ensemble {u,(x) | n EUR N} admet donc un maximum valant u},,,(æ). Dans la 
suite de
cette partie, ce maximum sera noté M,.

Soit à EUR R. Déterminer la limite de w,(x + a) quand x tend vers +. En déduire 
que

tx --t---r --> (0.
LT -- +00

Pour établir ce dernier résultat, on pourra revenir à la définition d'une 
limite.

Montrer que pour tout entier relatif k,

Ur+k(T) Te Url)

Soit m EUR N*. Montrer que

Lx]
> ui(x) Zmu;j(x) pour + voisin de +co.

i=|x|-m

En déduire que, pour x voisin de +co,

T 5x

TL EUR

< En déduire que pour tout entier relatif k, Ulx]+k(T) = 07-+00 (27 EUR") puis que My = Oy-10(2" EUR"). En vue de ce dernier résultat, on pourra commencer par démontrer que, pour x assez grand, Ms = U|3,4:(x) pour un entier à compris entre [r] --1 et |r] +2. Dans cette question et la suivante, on fixe un nombre complexe z tel que |2| = 1 et z Z 1. Pour n EUR N°, on pose n--1l D} := Y 27. k=--0 Montrer que 2 Vn E N°, ID < --<-- 1 -- 2) et que les séries SD, un_1(x) et DD, u,(x) sont absolument convergentes. nm nm 16. On conserve le nombre complexe z introduit dans la question précédente. Montrer que +00 Vx EUR R, > D (un_1(x) = Un(x)) -- Sr1(27)
n=1

puis que, pour x voisin de +00,

41M
12

LS 1 (27) < et conclure à la relation Sr1(2T) = 0x-;100(2 EUR"). 17. On pose 6 := exp (ar). Pour tout réel x, montrer que p--l Y SE x) = p Sy px) k=--0 et en déduire la validité de À,,. IV Application à une équation différentielle On s'intéresse ici à l'équation différentielle : (E): tx"(t) --x(t) = 0. 18. Montrer que, parmi les solutions de (E) sur R à valeurs réelles, il en existe une et une seule, notée f, qui soit la somme d'une série entière et vérifie f'(0) = 1. Expliciter la suite (Cn)nen telle que +00 VER, f(t)= ct". n--=0 19. Démontrer que 1 nn En © ---- 4". n--+00 4/7 (2n)! Pour la dernière question, on admet le résultat suivant : Lemme de comparaison asymptotique des séries entières. Soit (an)nen EURt (bn)nen deux suites à termes réels. On suppose que : (i) La série entière 5b,z"° a pour rayon de convergence +co. nm (ii) Il existe un rang no EUR NN tel que Vn > no, bn > 0.

(ii) Les suites (an )}nen et (bn)neN sont équivalentes.
Alors la série entière ÿ_a,z" a pour rayon de convergence + et
nm

+00
n > bnx".
LOU

+00
1
An TL PJ

n=0

20. En exploitant la validité de H,, pour un couple (r,p) bien choisi, 
démontrer l'équivalent

p1/4

LE
JE) t--+00 2/7 c |

FIN DU PROBLÈME

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 1 PC 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Rémi Pellerin (ENS Lyon) ; il a été relu par Céline
Chevalier (enseignant-chercheur à l'université) et par Gilbert Monna 
(professeur honoraire en CPGE).

Ce sujet propose d'établir des équivalents simples pour une famille 
d'applications
développables en série entière sur R. Il est composé de 4 parties largement 
indépendantes.
· La première partie est une mise en jambe qui a pour but d'une part d'établir 
un
résultat de convergence utile pour la suite, et d'autre part d'écarter de 
l'étude
qui suit quelques cas triviaux.
· La deuxième partie propose la preuve d'un cas particulier qui utilise la 
théorie
des probabilités. Cela dit, il s'agit d'une utilisation purement analytique de
cette théorie qui exclut tout argument de type combinatoire.
· La troisième partie est quant à elle plus délicate. Elle établit le résultat 
dans
le cas général et constitue un très bon entraînement à la manipulation 
d'équivalents et de « petits o ».
· La quatrième partie propose une application simple à l'étude d'une équation
différentielle. La question 18 est à savoir faire absolument ! Elle peut 
d'ailleurs
être traitée indépendamment du reste du problème.
Dans l'ensemble, ce sujet est d'une difficulté raisonnable car tous les 
résultats
utiles pour continuer à avancer sont donnés. Il y a néanmoins quelques questions
délicates dans les parties II et III. De plus, le sujet est long et sa 
résolution complète
dans les 3 heures imparties est un véritable défi ! Travailler ce sujet est une 
bonne idée
pour réviser les chapitres relatifs aux séries entières, aux probabilités dans 
leur aspect
purement analytique ainsi que le calcul de limites et la manipulation 
d'équivalents et
de « petits o ».

Indications
1
2
4
5

Utiliser le critère de d'Alembert.
Penser aux développements en séries entières usuels.
Remarquer que E (Xx ) = V (Xx ) = x.
Commencer par établir, en utilisant l'inégalité de Markov, que

-1 r
-1 r 
r
r
x > 1
1-x 3
P (Zx ) > 1 - x 3
6 E (Zx )

-1 
-1 
r
puis que
x > 1
P (Zx ) > 1 - x 3
= P Zx > 1 - x 3

+
P
P -x n
1 N-1
(n - k) ; les premiers termes de
e x
n ! k=0
n=0
7 Établir la relation suivante sur les polynômes

6 Simplifier

N  N

!(a1 , . . . , aN )  RN

XN =

N
P

N-1

 (n - k) sont nuls.

k=0

ak Hk

k=1

où les polynômes Hk sont définis comme dans l'indication. Que vaut deg Hk ?
(
R+ - R
8 Introduire l'application fs :
et étudier ses variations.
t 7- ts - s(t - 1) + 1
Ensuite, considérer l'égalité obtenue et l'appliquer à t = Zx () pour   .
9 Établir grâce aux résultats des questions 5, 7 et 8 que pour x > 1,

-1 r
-1 
r
N
N-1 
1-x 3
P Zx > 1 - x 3 6 E [(Zx ) ] 6 (1 - s) E (Zx ) + s E (Zx )

10 Prouver que

-xn (n + 1)r-1
x (n + 1)
n!
11 On pourra utiliser la question 10 pour calculer les limites
x > 0

un+1 (x) - un (x) =
et

lim x (x + r + )

x+

lim x (x + r - )

x+

12 Remarquer que
k  N

(x + k)!

x+

x! × x

k

13 Utiliser la question 10.
14 Se servir du résultat établi à la question 13.
16 Pour établir la première égalité sur Sr,1 (zx), on pourra raisonner avec la 
somme
partielle et montrer que
N
P

Dn (un-1 (x) - un (x)) =

n=1

N
P

(Dn+1 - Dn ) un (x) + D1 u0 (x) - DN uN (x)

n=1

avant de conclure avec la question 15.
Pour majorer |Sr,1 (zx)|, utiliser la question 10 et notamment, le fait que un 
(x)
est croissante puis décroissante, et toujours positive. Utiliser la question 11 
pour
justifier que tx  > 1 pour x suffisamment grand. Conclure grâce à la question 
14.
17 Permuter les deux sommes en le justifiant.
18 Raisonner par analyse-synthèse et établir que, nécessairement,
n
n  N
cn =
(n !)2

I. Généralités, cas particuliers
1 Soient p  N et r  R+ . Utilisons le critère de d'Alembert. Comme (p n)r / (p 
n) !
ne s'annule pour aucune valeur de n, on peut écrire
r

r
(p(n + 1))
(p n) !
(p n) !
1
×
×
=
1
+
(p(n + 1)) ! (p n)r
n
(p(n + 1)) !

r
1
Or,
1+
----- 1
n+
n

(p n) !
1
=
----- 0
(p(n + 1)) !
(p n + 1) × · · · × (p n + p) n+

et

car p  N

Ainsi, d'après le critère de d'Alembert,

Pour tout p PN et tout r  R+ , le rayon de la
r
série entière n>1 (p n) / (p n)! z n est infini.
P
Soit z  C, comme laPsérie
an z n convergeP
absolument sur C, il y a également
pn
convergence absolue de
an z . Ainsi, la série
an z pn converge absolument pour
tout z  C donc le rayon de convergence de cette série entière est infini. Ainsi,
Pour tout p PN et tout r  R+ , le rayon de la
r
série entière n>1 (p n) / (p n)! z pn est infini.

Plus P
généralement, si R désigne le rayon dePconvergence 
de la série entière an z n , alors le rayon de convergence de  an z pn vaut p 
R. Ce résultat
est valable pour R = + si l'on convient que p + = +.
2 Soit x  R. D'après la question 1, on peut écrire
P n0 n
x
n=1 n !
+

S0,1 (x) =
d'où

S0,1 (x) = e x - 1

x  R

De même, la question 1 permet d'affirmer l'existence de la somme infinie
P (2n)0 2n
x
n=1 (2n) !
+

S0,2 (x) =
puis

x  R

S0,2 (x) = ch (x) - 1

Rappelons les sommes de séries entières suivantes, valables pour tout z  C :
P zn
n=0 n !
+

ez =

De plus, on a les équivalents suivants :
ex - 1
Par conséquent,

P z 2n
n=0 (2n) !
+

ch (z) =

x+

ex

et

z 2n+1
n=0 (2n + 1) !
+

sh (z) =

ch (x) - 1

P

ex
x+ 2

Les énoncés H0,1 et H0,2 sont valides.

II. Une démonstration probabiliste de Hr,1
r

3 Pour montrer que la variable aléatoire (Zx ) admet une espérance finie, il 
suffit,
d'après le théorème de transfert, d'établir que la série
X  n r
e -x X nr xn
P (Xx = n) = r
x
x
n!
n>0

n>0

converge absolument. Or, la question 1 permet d'affirmer que cette série est 
effectir
vement absolument convergente en prenant p = 1. Ainsi, la variable aléatoire 
(Zx )
admet une espérance finie et celle-ci vaut
r

E [(Zx ) ] =

e -x
Sr,1 (x)
xr

4 L'espérance et la variance d'une variable aléatoire suivant une loi de 
Poisson de
paramètre x > 0 sont égales et valent x, c'est-à-dire
x > 0

E (Xx ) = V (Xx ) = x

Appliquons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable aléatoire réelle de
variance finie Zx . Comme x-1/3 > 0,
-1 
V (Zx )
P |Zx - E (Zx )| > x 3 6
-1 2
x3
1
E (Xx ), et donc
x
1
E (Zx ) = × x = 1
x
1
1
1
V (Zx ) = 2 V (Xx ) = 2 × x =
x
x
x
1/x
-1 
-1
P |Zx - 1| > x 3 6 -2 = x 3
x3

Or, par linéarité de l'espérance, E (Zx ) =

De même,
Ainsi,
Or, x

-1
3

---- 0 et une probabilité est toujours positive donc, par encadrement,
x+
-1 
P |Zx - 1| > x 3 ---- 0
x+

Il ne faudrait pas conclure en invoquant un passage à la limite ! En effet, le
passage à la limite suppose que les limites existent justement. Ici, on encadre
une quantité par deux autres qui convergent vers la même limite car
-1 
-1
0 6 P |Zx - 1| > x 3 6 x 3
Comme

x-1/3 ---- 0
x+

on montre d'une part que la limite de la probabilité au centre existe quand x
tend vers +, et d'autre part que cette limite vaut nécessairement 0.
r

5 Appliquons l'inégalité de Markov à la variable aléatoire positive (Zx ) . 
Comme par
hypothèse x > 1, on a (1-x-1/3 ) > 0, donc (1-x-1/3 )r est bien défini et 
strictement
positif. Ainsi,
h
i
E ((Zx )r )
-1 r
P (Zx )r > 1 - x 3
6
-1 r
1-x 3