Mines Maths 1 PC 2016

Thème de l'épreuve Marche aléatoire: retour à 0
Principaux outils utilisés développement en série entière, intégrales généralisées, probabilités, variables aléatoires
Mots clefs Développement en série entière, théorème Taubérien, marche aléatoire, équivalents, partie entière, indépendance, série génératrice, coefficients binomiaux

Corrigé

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A 2016 - MATH I PC. École des PONTS ParisTech, ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech, TÉLÉCOM ParisTech, MINES ParisTech, MINES Saint-Étienne, MINES Nancy, TÉLÉCOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filière MP). CONCOURS 2016 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle international). Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Mathématiques I - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Marche aléatoire : retour à 0 A Préliminaire 1. Montrer que, pour tout x ] - 1, 1[, B Ø 1 2 2k 1 k = xk . k 1 - x k=0 4 Identité de Karamata On considère dans cette partie une suite réelle (ak )kN telle que, pour tout réel x ] - 1, 1[, la série de terme général ak xk converge absolument. Pour tout réel x ] - 1, 1[, on note f (x) la somme de cette série et l'on suppose que lim- 1 - x f (x) = . x1 2. Pour tout p N , déterminer : lim- x1 1-x Ø ak x(p+1)k . k=0 3. Pour tout p N, justifier la convergence de l'intégrale Ú + -(p+1)t e 0 t dt et calculer sa valeur. En déduire l'égalité : lim- x1 On admettra que 1-x Ø k=0 Ú + -t e 0 ak x(p+1)k = dt = t Ú + -(p+1)t e 0 t dt. . 4. Montrer que, pour toute application polynomiale réelle Q, on a : lim- x1 1-x Ø ak xk Q(xk ) = k=0 2 Ú + -t e Q(e-t ) 0 t dt. Soit h la fonction définie, pour tout x [0, 1], par : 0 si x [0, e-1 [ h(x) = 1 x si x [e-1 , 1]. 5. Justifier la convergence de l'intégrale Ú + -t e h(e-t )dt t 0 et donner sa valeur. 6. Soit x [0, 1[. Justifier la convergence de la série de terme général ak xk h(xk ). On admet l'égalité (dite de Karamata) : lim- x1 1-x Ø ak xk h(xk ) = Ú + -t e h(e-t ) 0 k=0 t dt. 1 7. En utilisant ce résultat pour x = e- n , en déduire que n Ø ak n k=0 C 2 n. Théorème taubérien On considère une suite (an )nN décroissante de réels positifs et, pour tout entier naturel n, on pose : Sn = n Ø an . On fait l'hypothèse que k=0 Sn 2 n. n On va montrer qu'alors an n 1 · n On notera [x] la partie entière d'un réel x . 3 TSVP 8. Soit , un couple de nombres réels vérifiant : 0 < < 1 < . Pour tout entier naturel n tel que n - [n] et n - [n] soient non nuls, justifier l'encadrement : Sn - S[n] S[n] - Sn an · [n] - n n - [n] 9. Soit un réel strictement positif. Déterminer les limites des suites de termes généraux S[n] n et · [n] n 10. Soit un réel strictement positif. Montrer que, pour tout entier naturel n assez grand, on a : 2( - 1) 2(1 - ) - n an + . -1 1- 11. En déduire que n lim D n an = 1. Marche aléatoire On considère = ZN l'ensemble des suites indexées par N à valeurs dans Z. On définit les applications coordonnées, pour tout i 1, Xi : - Z = (1 , 2 , · · · ) Ô- i . On admet que l'on peut construire une tribu B et une mesure de probabilité P sur , de sorte que les Xi soient des variables aléatoires, indépendantes et de même loi donnée par 1 P(X1 = 1) = P(X1 = -1) = · 2 On définit la suite de variables aléatoires (Sn , n 0) par S0 () = 0, Sn () = n Ø Xi (). i=1 On définit enfin la variable aléatoire T par T : - N = N {+} Ô- + inf{n si Sn () Ó= 0, n 1, s'il existe n 1 tel que Sn () = 0. 1, Sn () = 0} 4 Pour tout entier naturel n, on note En = {T > n}, pour n 1, Ann = {Sn = 0} et pour k {0, · · · , n - 1}, Ank = {Sk = 0} n \ {Si 6= 0}. i=k+1 Sn S2 = 2 X2 =1 X3 =-1 S1 = 1 S3 = 1 X1 =1 n T =6 Figure 1 ­ Notations. Ici commence par (1, 1, -1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, 1). appartient à A66 et A88 , ainsi qu'à A10 , A20 , ..., A50 , A76 , etc. 12. Montrer pour tout 1 k < n, pour tout (i1 , · · · , in-k ) {-1, 1}n-k , P(Xk+1 = i1 , · · · , Xn = in-k ) = P(X1 = i1 , · · · , Xn-k = in-k ). 13. Montrer pour tout 1 k < n, pour tout (j1 , · · · , jn-k ) Zn-k que P(Sk+1 - Sk = j1 , · · · , Sn - Sk = jn-k ) = P(S1 = j1 , · · · , Sn-k = jn-k ). Indication : on pourra considérer l'application : Zn-k - Zn-k (z1 , · · · , zn-k ) 7- (z1 , z1 + z2 , · · · , n-k X zj ). j=1 14. En déduire que pour tout k {0, · · · , n} P(Ank ) = P(Sk = 0)P(En-k ). 5 TSVP 15. Montrer l'égalité : 1= n Ø P(Sk = 0) P(En-k ). k=0 16. Pour tout réel x de ]0, 1[, établir l'égalité : 1 = 1-x 3Ø P(Sn = 0) xn n=0 43 Ø 4 P(En ) xn . n=0 17. Pour tout entier naturel n, calculer P(Sn = 0). Indication : on discutera suivant la parité de n. 18. En déduire que, pour tout x ]0, 1[, on a : Ø P(En ) xn = n=0 ó 1+x · 1-x 19. À l'aide des résultats obtenus dans les parties précédentes déterminer, quand l'entier naturel n tend vers l'infini, un équivalent de P(En ). 20. Montrer que l'on a : P(T = +) = 0. 21. Pour tout réel x [0, 1], prouver l'égalité : 1- 1 - x2 = Ø P(T = n) xn . n=1 22. En déduire que, pour tout n N , 1 2 2n 1 n · P(T = 2n) = 2n - 1 4n Fin du problème 6

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 Mines Maths 1 PC 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Matthias Moreno Ray (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Thomas Ragel (ENS Lyon) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). Le problème se compose de quatre parties. La première ne contient qu'une question préliminaire, qui sera utile dans la suite. Les deux suivantes sont indépendantes. · La question préliminaire établit le développement en série entière d'une fonction. Il s'agit d'une question de cours. · La partie B étudie le comportement d'une fonction développable en série entière au bord de son disque ouvert de convergence. Si la somme satisfait l'équivalent + P k ak x - x1 1-x k=0 P on montre que la suite des sommes partielles de la série an diverge et on établit l'équivalent n P an k=0 n+ 2 n La démonstration repose sur une identité de Karamata qui est partiellement démontrée à l'aide de calculs de limites et d'intégrales généralisées. Cette partie ne comporte pas de difficulté particulière. · La partie C établit le théorème suivant : si (an ) est une suite décroissante de réels positifs, alors n P ak k=0 n+ 2 n = an n+ 1 n Il s'agit un cas particulier d'une famille plus vaste de résultats portant le nom de théorèmes taubériens. Cette partie ne fait appel qu'à des notions classiques et élémentaires : partie entière, limites, équivalents. Elle peut être traitée en première année. · La partie D vise à démontrer quelques résultats sur les marches aléatoires dans Z. Les premières questions font uniquement appel au formalisme des probabilités (manipulation de symboles, de l'indépendance et du conditionnement d'événements), mais les séries entières sont rapidement introduites pour mener à bien des calculs avancés. On utilise alors tous les résultats des parties précédentes pour obtenir des équivalents ou des valeurs exactes de certaines probabilités. On montre notamment que la marche aléatoire dans Z est récurrente (un point revient presque sûrement à sa position de départ en temps fini) et on calcule explicitement la loi de probabilité du temps de premier retour. Cette partie, plus délicate que les précédentes, est très enrichissante et permet d'explorer le théorème de Polya (1921) en dimension 1. Ce problème est intéressant tout en restant d'un niveau raisonnable et d'une difficulté progressive. Il permettra de revoir de nombreux points essentiels des programmes d'analyse et de probabilités, ainsi que d'aborder un théorème fondamental du XXe siècle, qui a donné naissance à des branches très actives de la recherche actuelle. Indications Partie A 1 Écrire le développement en série entière de x 7- (1 + x) avec = -1/2. Partie B 2 Exprimer + P ak x(p+1)k à l'aide de f . k=0 3 Effectuer un changement de variable et utiliser l'indication de l'énoncé. 4 Le déduire de la question 3 en raisonnant à l'aide de combinaisons linéaires. e -t 5 Étudier d'abord la fonction t 7- h(e -t ). t 6 Montrer que la suite est nulle à partir d'un certain rang. 7 Utiliser l'égalité de Karamata et la question 5. Partie C 8 Majorer Sn - Sn grâce au fait que (an ) est décroissante. 10 Utiliser les questions 8 et 9. Partie D 12 Utiliser le fait que les (Xi )iN sont des variables indépendantes et de même loi. 14 Conditionner par {Sk = 0} pour se ramener à la probabilité de la question 13. 15 Montrer que les ensembles Ank forment, pour 0 6 k 6 n, une partition de . 16 Reconnaître un produit de Cauchy avec la question 15. 17 Observer que pour avoir Sn = 0, il faut le même nombre de 1 et de -1. 18 Utiliser les questions 1, 16 et 17. 19 Appliquer les résultats des questions 7 et 11 à la série + P P(En )xn . n=0 20 Écrire l'événement {T = +} en fonction des événements En , n N, puis passer à la limite. 21 Justifier que P(T = n) = P(En-1 ) - P(En ) et utiliser la question 18. 22 Calculer le développement en série entière de 1 - 1 - x2 . Conclure à l'aide de la question 21. A. Préliminaire 1 D'après le cours, la fonction x 7- (1 + x)-1/2 est développable en série entière avec, pour tout x ] -1 ; 1 [ -1/2 (1 + x) = 1+ + X k=1 - 1 xk 1 1 - - 1 ··· - - k + 1 2 2 2 k! + 1 xk X 1 11 = 1+ (-1)k + 1 ··· +k-1 2 2 2 k! 1+x k=1 ainsi + 1 xk X 1 11 + 1 ··· +k-1 = 1+ 2 2 2 k! 1-x k=1 d'où en remplaçant x par -x ] -1 ; 1 [. Pour k N , on trouve 1 1 11 1 + 1 ··· +k-1 = 2 2 2 k! k! = k-1 j=0 1 k 2 k! 1 +j 2 k-1 (1 + 2j) j=0 (2k) ! = k 2k k ! = 2j j=1 (2k) ! k 4k k ! j j=1 1 1 11 1 2k + 1 ··· +k-1 = k k 2 2 2 k! 4 soit Finalement Pour tout x ] -1 ; 1 [ , + X 1 2k xk = . 1 - x k=0 k 4k Il est possible d'écrire une autre preuve de ce résultat. Après avoir étudié le rayon de convergence de la série entière, des calculs simples montrent que les + X 1 2k xk et x 7- fonctions définies sur ] -1 ; 1 [ par x 7- sont k 4k 1-x k=0 solutions du problème de Cauchy linéaire 1 y 2 avec la condition initiale y(0) = 1. Par unicité des solutions, ces deux fonctions sont donc égales. (1 - x) y = B. Identité de Karamata 2 Soit p N. Si x ] -1 ; 1 [ alors xp+1 ] -1 ; 1 [ donc par hypothèse, la série de terme général ak (xp+1 )k converge et sa somme est f (xp+1 ). Ainsi, en posant X = xp+1 s + P 1 - X1/(p+1) × 1 - X × f (X) 1-x ak x(p+1)k = 1 - x × f (xp+1 ) = 1-X k=0 1 1 - X1/(p+1) ---- - 1-X p+1 X1 D'une part 1 car la fonction X 7- X1/(p+1) est dérivable sur R+ de dérivée X 7- X-p/(p+1) . p + 1 D'autre part, la fonction X 7- 1 - X f (X) admet pour limite en 1- par hypothèse. Comme X 1- lorsque x 1- , il s'ensuit que s + P 1 - X1/(p+1) (p+1)k lim 1 - x ak x = lim- × 1 - X × f (X) = 1 - X X1 p + 1 x1- k=0 Conclusion + P (p+1)k lim 1 - x ak x existe et vaut . x1- p + 1 k=0 3 Soit p N. La fonction définie sur ] 0 ; + [ par g : t 7- e -(p+1)t t est continue et strictement positive. Puisque g(t) 1/ t, elle est intégrable sur ] 0 ; 1 ]. Par ailleurs, g(t) 0+ = t+ o(1/t2 ) par croissances comparées. Par comparaison, g est donc intégrable sur [ 1 ; + [. En conclusion, L'intégrale Z 0 + e -(p+1)t dt converge. t Effectuons le changement de variable linéaire u = (p + 1)t. La fonction t 7- (p + 1)t est une bijection strictement croissante de classe C 1 de ] 0 ; + [ dans ] 0 ; + [, d'où Z + -(p+1)t Z + -u p+1 e e × dt = du u p +1 t 0 0 1 = p+1 soit Z + 0 Z + 0 e -u du u e -(p+1)t dt = p+1 t en utilisant l'indication de l'énoncé. D'après la question 2, on a donc l'égalité lim- x1 + P 1-x ak x(p+1)k = k=0 Z 0 + e -(p+1)t dt t