Mines Maths 1 PC 2014

Thème de l'épreuve Somme de projecteurs
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, projecteurs, trace, matrices par blocs
Mots clefs algèbre linéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2014 MATH I PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2014 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-ENR Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page dela copie : MATHÉMATIQUES I - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initia- tives qu'il est amené à prendre. Somme de projecteurs Notations On note N l'ensemble des entiers naturels, R l'ensemble des réels et ./%n l'ensemble des matrices n >< n à coefficients réels. Dans tout le problème, X est un espace vectoriel de dimension n 2 2 sur le corps des réels et T un endomorphisme non nul de X . Soit 9% une base de X , on note T93 la matrice représentant T dans cette base. On note N (T) le noyau de T et R(T) l'image de T On dit que T est une homothétie si c'est un multiple scalaire de l'identité. On appelle projecteur un endomorphisme P de X idempotent, c'est-à-dire tel que P2 =P On note 1 l'endomorphisme identité de X , lin la matrice identité de ./%n et O la matrice nulle. 1 Traces et projecteurs Si A EUR.//Z... on appelle trace de A le nombre réel suivant : Tl ÏÏA : Z aii. i=1 Question 1 Soient A et B EUR.//Z... montrer que tr AB = tr BA. Question 2 Montrer que la trace de la matrice T93 associée à T est indépendante de la base 9%. On appelle trace de T, notée tr T, la valeur commune des traces des matrices repré- sentant T. On dit que la trace est un invariant de similitude. Soit P un projecteur de X . Question 3 Démontrer que X = R (P) 69 N (P). Question 4 En déduire que rg P= tr P. On pose P' =I--P. Question 5 Montrer que R (P') = N (P) et que R (P) = N (P') . Question 6 Démontrer que la dimension de la somme de deux sons--espaces F et G de X est inférieure ou égale à la somme de leurs dimensions. Question 7 Montrer que si l'endomorphisme S est une somme finie de projecteurs F,, i = 1,...,m, alors trSEUR N et trSZ rgS. 2 Projecteurs de rang 1 On suppose dans cette partie que le rang du projecteur P est égal à 1. Question 8 Démontrer qu'il existe ,a E R tel que PTP= ,uP. Soit (6 = {f1, f2, . . . , fn} une base de X adaptée à la décomposition X=R(P)OEN(P). Question 9 Montrer que dans la base (6 la matrice représentant T s'écrit (1) où ,a est le nombre réel dont l'existence découle de la question 8, et B E.//tn_1. Question 10 Montrer que si P'TP' n'est pas proportionnel à P', alors 18, défini en (1), n'est pas la matrice d'une homothétie. On rappelle que P' =I--P. 3 Endomorphismes différents d'une homothétie On suppose dans cette partie que l'endomorphisme T n'est pas une homothétie. Question 11 Démontrer qu'il existe un vecteur x E X tel que x et Tx ne soient pas liés (c'est-à-dire ne soient pas colinéaires). Question 12 Montrer qu'il existe une base 9% = {e1, e2, . . . , en} dans laquelle la matrice '11' 93 est de la forme suivante : ,_\ T93 : 0 Où A EURÆn_1. Question 13 En déduire que si tr T= 0, il existe une base 9ä' dans laquelle la diagonale de '1I'93/ est nulle. Soit t,, i = 1, . . . , n une suite de n nombres réels vérifiant tr T= ZÏ=1 ti. Question 14 En dimension n = 2, démontrer qu'il existe une base 9%" dans laquelle *1I'93" ait pour éléments diagonaux les t,, i = 1, 2. Soit t E R, on admettra qu'en dimension n 2 3, il existe un projecteur L de X de rang 1, tel que d'une part LTL= tL et d'autre part L'TL' ne soit pas proportionnel à L' =I--L. Question 15 En dimension n 2 3, à l'aide des questions 9 et 10 démontrer qu'il existe une base (6 dans laquelle la matrice représentant T s'écrit t1|><>< T.EUR = >< B où B n'est pas une homothétie. >< Question 16 En dimension n 2 3, démontrer par récurrence qu'il existe une base 9%" dans laquelle T9," ait pour éléments diagonaux les t,, i = 1, . . . , n. 4 Décomposition en somme de projecteurs On suppose désormais que T est un endomorphisme de X vérifiant tr TE N et tr TZ rgT. On pose ,o = rgT et 6 = trT. Question 17 Montrer qu'il existe une base 9% dans laquelle T 93 est de la forme suivante : '1I'1 @ '1I'2 @ ' où T1 est une matrice de taille p >< p. Supposons tout d'abord que '1I'1 ne soit pas la matrice d'une homothétie Question 18 A l'aide de la question 16 montrer qu'il existe une base 9ä' dans laquelle _ t1 >< _ >< @ E -. t . _ _ '1I'93, = _ P ou les t,, 1 = 1, ,o sont des entiers non nuls. 5 © _ >< _ Question 19 En déduire que T est la somme d'un nombre fini de projecteurs. On suppose maintenant que T1 est la matrice d'une homothétie. Question 20 Démontrer que là encore, T est la somme d'un nombre fini de projecteurs. Fin de l'épreuve

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 Mines Maths 1 PC 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par François Lê (ENS Lyon) ; il a été relu par Tristan Poullaouec (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE). Le sujet porte sur les endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie (au moins 2) qui peuvent s'écrire comme une somme finie de projecteurs. Plus précisément, on montre que ce sont les endomorphismes à trace entière et supérieure à leur rang. · La première partie demande de retrouver des résultats de cours sur les projecteurs et la trace. En particulier, le but de la question 4 est de montrer que trace et rang d'un projecteur sont égaux. La partie se termine par la preuve que si un endomorphisme est une somme de projecteurs, alors sa trace est entière et supérieure à son rang. · Dans la courte deuxième partie, on étudie la matrice d'un endomorphisme quelconque dans une base particulière associée à un projecteur de rang 1. · La troisième partie est plus technique. On y prouve que si un endomorphisme T n'est pas une homothétie et si t1 , . . . , tn sont des réels dont la somme est égale à la trace de T, il existe une base dans laquelle la matrice de T a pour éléments diagonaux les réels t1 , . . . , tn . · Enfin, la quatrième partie s'attache à montrer que si un endomorphisme est à trace entière et supérieure à son rang, c'est une somme finie de projecteurs. On utilise notamment les résultats de la troisième partie. Le sujet mélange des questions de cours (numéros 1, 2, 3 et 5) et des questions « classiques » (numéros 4, 11 et 13). Il faut rester vigilant et bien rédiger le tout. Remarquons que les notations utilisées dans le sujet sont inhabituelles : N(T) pour le noyau d'un endomorphisme T, R(T) pour son image, TB pour sa matrice dans une base B. Elles peuvent déstabiliser, mais le correcteur s'attend à ce que vous les employiez. Indications Partie 1 4 Utiliser une base de X adaptée à la décomposition obtenue à la question 3 et chercher la matrice de P dans cette base. 6 Chercher une famille génératrice de F + G à partir d'une base de F et d'une base de G. 7 Pour l'inégalité Tr S > rg S, commencer par montrer, grâce au résultat de la question 6, que si U et V sont des endomorphismes de X, alors rg (U+V) 6 rg U+rg V. Procéder ensuite par récurrence sur m en écrivant, pour l'étape d'hérédité, S = (P1 + P2 + · · · + Pm-1 ) + Pm afin d'appliquer à S l'inégalité sur le rang d'une somme. Partie 2 8 Travailler matriciellement dans une base adaptée à la décomposition en somme directe X = R(P) N(P). 10 Montrer la contraposée en calculant la matrice de P TP dans la base C obtenue à la question 9. Partie 3 11 Raisonner par l'absurde en supposant que pour tout x X, la famille (x, Tx) est liée. Commencer par montrer que cela implique que pour tout x, Tx est proportionnel à x. Démontrer ensuite que les coefficients de proportionnalité ainsi introduits sont tous égaux. 13 Procéder par récurrence sur n en utilisant la question 12 lors de l'hérédité. 14 Choisir une base B construite comme à la question 12 pour l'endomorphisme T et considérer les endomorphismes U et T définis par UB = Diag(t1 , t2 ) et T = T-U. Appliquer ensuite le résultat de la question 13 à T . 16 Bien que l'énoncé laisse entendre que la récurrence est à initialiser à n = 3, on peut avantageusement la faire commencer à n = 2, ce cas étant celui traité à la question 14. Partie 4 18 Commencer par trouver des entiers (positifs) t1 , . . . , t de somme Tr T afin de pouvoir appliquer les résultats des questions 14 et 16 à l'endomorphisme dont la matrice dans la base B de la question 17 est T1 . Le fait de choisir des ti positifs sera utile pour la question suivante. 19 Décomposer la matrice obtenue à la question 18 en une somme de matrices de projecteurs. On pourra avantageusement interpréter chacun des ti comme la somme 1 + · · · + 1 (ti fois). 20 Se ramener au cas précédent en retranchant à T le projecteur dont la matrice dans la base B construite à la question 18 est Diag(1, 0, . . . , 0). Signalons que l'utilisation par l'énoncé d'accolades pour désigner des familles de vecteurs est sujette à discussion, puisque de telles familles ne sont pas des ensembles. Pour cette raison, nous utiliserons dans ce corrigé des parenthèses en lieu et place des accolades de l'énoncé. 1. Traces et projecteurs 1 Notons A = (aij )16i,j6n et B = (bij )16i,j6n . Pour calculer la trace de AB et celle de BA, commençons par calculer leurs éléments diagonaux. Avec la formule donnant les termes d'une matrice produit, on a, pour tout i [[ 1 ; n ]], (AB)ii = n P et aik bki (BA)ii = k=1 Par conséquent, n P bik aki . k=1 Tr (AB) = n P (AB)ii = i=1 n P n P aik bki i=1k=1 Cette somme double étant finie, on peut intervertir l'ordre de sommation, de sorte que Tr (AB) = n P n P k=1i=1 soit aik bki = n P (BA)kk k=1 Tr (AB) = Tr (BA) 2 Soient B et B deux bases de X et Q = MatB B la matrice de passage de B à B : on sait que TB = QTB Q-1 . En utilisant le résultat de la question 1, il vient Tr (TB ) = = = = Tr (TB ) = Ainsi, Tr (QTB Q-1 ) Tr ((QTB )Q-1 ) Tr (Q-1 (QTB )) Tr (Q-1 QTB ) Tr (TB ) La trace de TB est indépendante de la base B. On prendra garde à ne pas faire dire au résultat de la question 1 ce qu'il ne dit pas : de façon générale, si A, B et C sont trois matrices, alors Tr (ABC) prend des valeurs différentes par permutation de A, B, C : par exemple, Tr (ABC) 6= Tr (ACB) en général. Il faut donc bien grouper les matrices avant d'utiliser la propriété Tr (AB) = Tr (BA). 3 On peut par exemple montrer que R(P) N(P) = {0} et vérifier que l'égalité de dimensions dim X = dim R(P) + dim N(P) est vraie. · Soit x R(P)N(P). Comme x R(P), il existe X tel que x = P(). Alors, puisque x N(P), on a P(x) = 0 = P2 (). Or, P2 = P car P est un projecteur : ainsi, 0 = P2 () = P(), d'où x = 0. Cela montre que R(P) N(P) {0}. Réciproquement, on a bien 0 R(P) N(P). Ainsi, R(P) N(P) = {0}. · D'après la formule du rang, dim X = dim N(P) + rg P = dim N(P) + dim R(P). En conclusion, X = R(P) N(P) Une autre façon de faire est de montrer que R(P) N(P) = {0} et que X = R(P) + N(P). Pour cette dernière égalité, il est aisé de vérifier que si x X, il se décompose selon cette somme en x = P(x) + (x - P(x)). En effet, P(x) R(P) par définition de l'image de P et x - P(x) N(P) car P(x - P(x)) = P(x) - P2 (x) = P(x) - P(x) = 0. 4 Déterminons la matrice de P dans une base adaptée à la décomposition en somme directe obtenue à la question précédente afin de calculer la trace de P. Soient (e1 , . . . , er ) une base de R(P) et (er+1 , . . . , en ) une base de N(P). La famille B = (e1 , . . . , er , er+1 , . . . , en ) est une base de X car X = R(P) N(P). Pour trouver la matrice de P dans cette base, décomposons sur celle-ci chacun des vecteurs P(ei ), pour tout i [[ 1 ; n ]]. Si i [[ r + 1 ; n ]], alors ei N(P) et il vient immédiatement P(ei ) = 0. Si maintenant i [[ 1 ; r ]], alors ei R(P) : il existe fi appartenant à X tel que ei = P(fi ). Dans ce cas, P(ei ) = P2 (fi ) = P(fi ) puisque P est un projecteur. Ainsi, P(ei ) = ei lorsque i [[ 1 ; r ]]. La matrice de P dans la base B est donc la suivante : e1 e2 .. . er er+1 .. . en P(e1 ) P(er ) P(er+1 ) 0 ··· 1 0 ··· 0 0 1 0 0 ··· .. . .. . . . .. . . 0 ··· 0 1 0 ··· 0 ··· ··· 0 0 ··· . . . .. .. .. 0 ··· 0 ··· ··· 0 P(en ) ··· 0 ··· 0 .. Ir . = O ··· 0 ··· 0 .. . O O ··· 0 D'après la question 2, la trace de P est égale à la trace de la matrice précédente, donc Tr P = Tr Ir = r. Autrement dit, Tr P = rg P 5 Traitons d'abord la première égalité proposée, en procédant par double inclusion. Soit d'abord x R(P ) : il existe X tel que x = P (). En se souvenant que P2 = P, on obtient P(x) = P(P ()) = P( - P()) = P() - P() = 0 Ainsi, x N(P) pour tout x R(P ), ce qui signifie que R(P ) N(P). Réciproquement, soit x N(P). Par définition même de P , on a P (x) = x-P(x). Or P(x) = 0, ce qui entraîne que x = P (x). Par conséquent x R(P ) pour tout x N(P). Autrement dit, N(P) R(P ) et finalement R(P ) = N(P)