Mines Maths 1 PC 2013

Thème de l'épreuve Le flot de Toda
Principaux outils utilisés théorème spectral, équations différentielles, intégrales généralisées
Mots clefs réduction des endomorphismes symétriques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2013 MATH I PC ECOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2013 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit. Sujet mis a la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE--EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I _ PC L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Le flot de Toda On note R l'ensemble des nombres réels, I la matrice unité d'ordre m et ej le j--ème vecteur de la base canonique de R'" dont les composantes sont les %, i = 1, m. On rappelle que 515 = 0 si j # i et 515 = 1 si j = i. On note (u lv) le produit scalaire des vecteurs u et v de R. Les vecteurs de R'" seront assimilés a des matrices colonnes; "u note le transposé du vecteur u. L'expression : i = 1, m signifie "pour tout i entier tel que 1 S i 5 m." 1 Tridiagonalisation Soit u un vecteur unitaire de R'" ; la matrice H = I -- 2u "u, (1) est la matrice de Householder d'ordre m associée au vecteur u. Question 1 Montrer que Hu : --u et que Hv : v dès que v est orthogonal a u. Question 2 Démontrer que H est symétrique et orthogonale. Question 3 Soit g E R'", de composantes %, 1 S i 5 m, un vecteur unitaire non colinéaire à el. On pose u = (g -- el) /«/2 (1 -- %)» montrer que u est unitaire et que Hg=EUR1. Question 4 En déduire que si a: est un vecteur de R'" non colinéaire à el, il eriste un vecteur unitaire u et une matrice de Householder associée H telle que Ha:= Ha:H e1. Soient c un réel, Q une matrice symétrique réelle d'ordre m -- 1, q21 un vecteur de t Rm_1 et Ô= ( qc ?? ) une matrice définie par blocs. Si H1 est une matrice de 21 C 1 ÇH1 1SiSm, 15j£m ' Householder d'ordre m -- 1 ; on pose HÏ= ( ) , où Ç note le vecteur nul dans AAA Rm_1, ainsi que @ : H1QH1 : (ay--) Question 5 Montrer que @ est semblable a @ et qu'on peut choisir H1 de telle sorte que 311 : 31i : () pouri : 3, m. On dit qu'une matrice T= (TZ-j) li -- jl > 1. 1Sz'Sm, 1Sy'Sm est tr1d1agonale s1 rij : 0 des que Question 6 En déduire un procédé permettant de déterminer une matrice tridiagonale symétrique semblable a @. 2 Matrices de J acobi Une matrice tridiagonale symétrique réelle est encore appelée matrice de J acobi. Soit {bl al 0 0 \ a1 (92 a2 È T0= () a2 0 (2) \6 s' 'äÎl une matrice de Jacobi d'ordre m. On pose ao : a... = 0 et on suppose que ai # 0, i = l, m -- 1. On note 0 (TO) le spectre de T0, c'est--à--dire l'ensemble de ses valeurs propres. Question 7 Soit À EUR 0 (T0) et a: un vecteur propre associé de composantes @, j = l, m. En raisonnant par l'absurde, montrer que EUR... # 0. Question 8 Démontrer que les sous--espaces propres de T0 sont de dimension 1. Quel est le cardinal de 0 (TO) ? 3 Paires de Lax On remplace désormais les ai et les bi par des fonctions a valeurs réelles ou et & de la variable réelle t. On pose alors {sl(t) d1(t) () 0 \ 041 (t) 52 (t) 042 (t) "' 3 T(t)= @ OE2(t) 0 - (3) ainsi que U(t)= 0 --a2(t) 0 (4) \ 0 0 --a..._1(t) @ } et on étudie le système différentiel non linéaire suivant : T'(t)=U(t)T(t)--T(t)U(t), tEURR (5) T (O) : TO donné par (2), dont on admettra qu'il possède une solution et une seule T(t) définie sur R. Le couple (T (t) ,U (t)) constitue une paire de Lait. Question 9 Etant donnée T(t) solution de (5), et donc U(t), démontrer que le sys-- tème différentiel v'(t)=U(t)v(t),teR (6) v (O) = 1, admet une solution et une seule V(t) sur R. Question 10 Montrer que pour tout t E R, la matrice V(t) solution de (6) est orthogonale. Question 11 Montrer que"V(t)T(t)\/(t) est une matrice constante que l'on détermi-- nera. Les valeurs propres de T(t) dépendent-elles de t ? On montre facilement, et on admettra, que le système différentiel (5) peut s'écrire sous la forme suivante : { a; (t) = a. (t) (5... (t) --e- (..., z'= ..._ 1 (,, a (t) = 2 (a? (t) -- aä_1(t)) . z'= ... avec oz,-(O) : a,, i : 1,7n-- 1, fi,-(O) : b,, i : 1,7n et d0(t) : 0 : a...(t) Vt E R. C'est le système de Toda. 4 Etude asymptotique Pour tout réel t, on pose 1 L(t)=ZOEÎ(t)+îzfiz-Z(t)- (8) Question 12 Montrer que la fonction L est constante. En déduire que les fonctions 5,- sont bornées sur R, soit par D. Question 13 Pour 1 S i 5 m -- 1, montrer que 2 f0t 04,2 (t) dt : zj=l,i (5,-- (t) -- b,) et en déduire que les 04,2 sont intégrables sur R. Question 14 En déduire que les &- (t) , i = 1, m possèdent une limite quandt + ioo. Question 15 Déduire des résultats des questions précédentes que la fonction oz,ozâ est intégrable sur R. En déduire la limite de oz,- (t) lorsque t + ioo. On note xt (À) : det (ÀI -- T (t)) le polynôme caractéristique de la matrice T(t) et À,-, i = 1, m les valeurs propres de T rangées dans l'ordre décroissant. Les limites de &- (t) pour t + +00 ou t + --oo seront respectivement notées @+ et 5,-- ; l'ensemble des fi,-+ , i = 1, m sera noté B+ et celui des 5,-- sera noté BÎ Question 16 Montrer que pour tout À E R, xt (À) tend vers H,=Lm (À -- 5Ï) (res-- pectivement vers H,=Lm (À -- 55)) lorsque t --> +oo {respectivement --oo). Question 17 En déduire que 0 (T) : B+ : B_. On rappelle que, par hypothèse, oz,- (O) = a,- 7£ 0, i = 1, m -- 1. Pour i fixé compris entre 1 et m -- 1, on note A+ : {t > 0 la,- (t) = O} et A_ ={t<0lor,(t) =D}. Question 18 On suppose que A+ n'est pas uide et on pose r : inf {t lt EUR A+}. Dé-- terminer la valeur de oz,- (r) et montrer que pourt EUR ]0, r[, oz,- (t) est du même signe que a,. Question 19 En supposant toujours que A+ n'est pas vide, montrer que Vt EUR [O,rl, ln la,- (t)l -- ln la,- (O)l S 2Dr. En déduire que nécessairement A+ : @, puis que oz,- ne s'annule en aucun point de R. Question 20 En raisonnant par l'absurde, montrer que Æ,ÎH < fi,-+ , i = 1, m -- 1 ; en déduire que @+ : À,-, i = 1, m. Question 21 Montrer que si 5 est choisi tel que 0 < 5 < fi,-+ -- ,ÎH, i = 1, m-- 1, alors il eriste S et C strictement positifs tels que Vs > S, la,- (s)l < C'e_53, i = 1, m -- 1. En déduire que pourt > S, EIC" > 0 tel que lÀ,- -- &- (t)l < C'e_25t, i : 1,m. Fin de l'épreuve

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 Mines Maths 1 PC 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Samuel Baumard (ENS Ulm) ; il a été relu par Jules Svartz (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Cette épreuve porte sur une méthode de calcul numérique des valeurs propres d'une matrice symétrique réelle par le biais d'équations différentielles. · Dans la première partie, on construit un algorithme permettant de réduire le problème aux matrices tridiagonales symétriques réelles, dites de Jacobi, t grâce aux matrices de la forme I - 2 u u où u est un vecteur unitaire, dites de Householder. · La deuxième partie est consacrée à montrer que les matrices de Jacobi dont les coefficients proches de la diagonale sont non nuls ont des valeurs propres distinctes. · La troisième partie relève des systèmes d'équations différentielles : à une matrice de Jacobi T0 sont associées deux familles de matrices à un paramètre, T(t) et U(t), reliées par un système différentiel. L'intérêt est que les matrices T(t) ont pour tout t le même spectre que la matrice T0 . · Dans la quatrième partie, on exploite le système différentiel de la troisième partie pour prouver que la matrice T(t) converge, lorsque t tend vers l'infini, vers une matrice diagonale donnant les valeurs propres de T0 (questions 12 à 17), et que cette convergence est exponentielle (questions 18 à 21). Mêlant réduction des matrices symétriques et équations différentielles, ce problème constitue un bon sujet de révision. Attention néanmoins : l'énoncé n'est pas exempt de petites erreurs et d'imprécisions parfois troublantes. Soyez-y attentif, et, en situation de concours, signalez dans la copie les erreurs remarquées, si celles-ci sont manifestes. Indications Partie 1 t 1 Se souvenir que si u et v sont deux vecteurs colonnes, la matrice u v est de taille 1 et son seul coefficient vaut (u | v). 3 Commencer par calculer (u | g). 5 Utiliser le résultat de la question 2, puis expliciter la décomposition par blocs de la matrice b S. 6 Montrer qu'il existe une matrice P Om-1 (R) telle qu'en posant 1 b P= P t bQ bP b soit tridiagonale. la matrice P Partie 2 7 Écrire explicitement les relations vérifiées par les j . 8 Cela revient à prouver que deux vecteurs d'un tel sous-espace sont colinéaires. Partie 3 9 Cette question semble faire appel à un théorème général d'existence de solutions aux systèmes différentiels qui, bien qu'intuitif, n'est plus au programme de PC. t 10 Commencer par dériver le produit V V. Partie 4 13 Dériver la somme et exploiter les relations (7). 14 Intégrer la seconde relation du système (7). Attention à ne pas oublier le cas i = m. 15 Multiplier la première relation de (7) par i (t). 16 Le déterminant d'une matrice est une fonction polynomiale des coefficients. 18 Utiliser le fait que la borne inférieure peut être vue comme une limite, et le théorème des valeurs intermédiaires. 19 Combiner le système (7) et le résultat de la question 12, puis prendre la limite pour t croissant vers . 21 Attention à l'interversion flagrante du « pour t > S » et du « C > 0 ». Dans tout le corrigé, la notation k · k désignera la norme euclidienne usuelle sur Rm . 1. Tridiagonalisation t 1 Si u et v sont deux vecteurs, la matrice u v est de taille 1 et son seul coefficient vaut (u | v), par définition même du produit scalaire. De ce fait, par associativité du produit matriciel, et puisque u est unitaire, t H u = u - 2 u u u = u - 2 u (u | u) = u - 2 u soit Hu = - u De même, si v est orthogonal à u, le produit scalaire (u | v) est nul et par conséquent t H v = v - 2 u u v = v - 2 u (u | v) = v soit Hv = v t t t t t t 2 Par les propriétés usuelles de la transposition, ( u u) = ( u) u = u u, et la t matrice u u est symétrique. Comme la matrice identité est elle aussi symétrique, La matrice H est symétrique. De plus, l'associativité du produit matriciel implique (u t u)2 = (u t u)(u t u) = u( t u u) t u = u (u | u) t u = u t u puisque u est unitaire. Ainsi, t (H est symétrique) H H = H2 t 2 = (I - 2 u u) t t = I - 4 u u + 4 (u u)2 t t (I et u u commutent) t = I - 4u u+4u u t soit H H=I ce qui signifie que La matrice H est orthogonale. On peut aussi se servir des résultats de la première question, qui se traduisent par le fait que la matrice H représente, dans la base canonique, la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan u ; elle est donc de fait automatiquement orthogonale. 3 Remarquons que (g | e1 ) = 1 et que 1 < 1 : en effet, 1 6 kgk = 1, et l'hypothèse 1 = 1 impliquerait, par application de l'inégalité de Cauchy­Schwarz et de son cas d'égalité, que g = e1 , ce qui est exclu par hypothèse. Ainsi, il est légitime de définir u comme dans l'énoncé, la racine carrée étant non nulle. Comme g et e1 sont unitaires, kg - e1 k2 = kgk2 - 2 (g | e1 ) + ke1 k2 = 2 (1 - 1 ) ce qui montre que kuk = 1, c'est-à-dire que Le vecteur u est unitaire. Si H est définie comme dans l'équation (1) de l'énoncé, écrivons d'où et donc soit 1 (u | g) = p (g - e1 | g) 2 (1 - 1 ) 1 = p ((g | g) - (e1 | g)) 2 (1 - 1 ) 1 - 1 = p 2 (1 - 1 ) r 1 - 1 (u | g) = 2 t H g = g - 2 u u g = g - 2 u (u | g) r 1 - 1 Hg = g - 2u 2 r 1 - 1 g - e1 p = g-2 2 2 (1 - 1 ) = g - (g - e1 ) H g = e1 4 Comme x n'est pas colinéaire à e1 , il est en particulier non nul, et le vecteur g = x/kxk, qui est bien défini, est unitaire. Par la question précédente, il existe un vecteur unitaire u et une matrice de Householder H associée tels que H g = e1 , soit encore H x = H (kxk g) = kxk H g = kxk e1 : Il existe un vecteur unitaire u et une matrice de Householder H associée tels que H x = kxk e1 . 5 D'après la réponse à la question 2, la matrice de Householder H1 vérifie H21 = Im-1 . b 1 est de ce fait aussi sa propre inverse. En effectuant un produit par blocs, la matrice H Par conséquent, b sont semblables. Les matrices b S et Q Réécrivons la condition sur les coefficients de la première ligne et la première colonne en calculant explicitement b S. Cela donne soit b b 1Q bH b1 S=H t 1 1 c q 21 = H1 q21 Q t 1 c q 21 H1 = H1 q21 Q H1 t c q 21 H1 b S= H1 q21 H1 Q H1 H1