A 2009 MATH. I PC
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES
DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS,
DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2009
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page
de
la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Étude spectrale d'un opérateur de transfert
Soit V un C-espace vectoriel et T un endomorphisme de V : on dira que le
complexe
est une valeur propre de T s'il existe un élément f de V non nul tel que T f =
f .
Soit C 0 l'espace des fonctions de R dans C qui sont continues et 1-périodiques.
Cet espace est normé par
kf k = sup{|f (x)| , x R}.
On désigne par e0 la fonction constante égale à 1 sur tout R et par D le
sous-espace
vectoriel de C 0 engendré par e0 .
Si f C 0 on définit
T f (x) =
1
x
x+1
f( ) + f(
) .
2
2
2
L'objet du problème est l'étude des propriétés spectrales de diverses
restrictions de
T à des sous-espaces invariants de C 0 . On mettra notamment en évidence sur
certains
de ces espaces la propriété de « trou spectral » : il existe 0 < r < 1 tel que les valeurs propres autres que 1 sont de module inférieur ou égal à r. I Préliminaires 1) Montrer que si f appartient à C 0 alors T f aussi. 2) Montrer que pour tout élément f de C 0 on a l'inégalité kT f k 6 kf k puis que sup kT f k = 1. kf k =1 On appelle H 0 l'hyperplan de C 0 des fonctions f telles que Z 1 f (t) dt = 0. 0 3) Montrer que H 0 est stable par T . 4) Expliciter la projection P sur D parallèlement à H 0 . 2 II Fonctions trigonométriques Pour tout entier relatif k, on note ek (x) = e2ikx de sorte que ek est continue et 1-périodique, c'est-à-dire que ek appartient à C 0 . Pour tout entier n, on désigne par En le sous-espace de C 0 engendré par e0 , e1 , e-1 , · · · , en , e-n . 5) Déterminer T ek (respectivement P ek ) pour tout entier relatif k et en déduire que les espaces En sont T -stables (respectivement P -stables). On note Tn (respectivement Pn ) l'endomorphisme de En induit par T (respectivement par P ). 6) Calculer les valeurs propres de T2 . L'endomorphisme T2 est-il diagonalisable ? 7) Soit n N et k l'unique entier tel que 2k-1 6 n < 2k . Montrer pour tout entier p > k, l'identité suivante :
Tnp = Pn .
8) Calculer les coefficients de Fourier de T f en fonction de ceux de f pour
tout
f C 0.
9) Déterminer le noyau de T .
III
Fonctions höldériennes
On rappelle que pour tous les réels x et y,
|eix - eiy | 6 |x - y|.
Soit ]0, 1[. On appelle C le sous-espace de C 0 des fonctions f telles que
(
|f (x) - f (y)|
|x - y|
,
2
(x, y) R , x 6= y
3
)
soit majoré.
On notera alors
m (f ) = sup
(
|f (x) - f (y)|
|x - y|
,
2
)
(x, y) R , x 6= y .
On admettra que
kf k = m (f ) + kf k
définit une norme sur C .
10) Montrer que C est stable par T .
On note T l'endomorphisme de C induit par T.
11) Montrer que pour tout f C , kT f k 6 kf k puis que supkf k =1 kT f k = 1.
Soit un nombre complexe de module strictement inférieur à 1. On pose, pour tout
réel x,
n
X
Sn (x) =
k e2k (x).
k=0
12) Montrer que la série de fonctions
fonction f C 0 .
P
k
k e2k converge normalement sur R vers une
On admettra, que dans ce cas, la suite (Sn , n > 0) converge dans l'espace
vectoriel
(C 0 , k k ) vers f :
lim kSn - f k = 0.
n+
13) Montrer qu'alors T f = f . Est-ce que est une valeur propre de T ?
14) Soit maintenant tel que || 6 2- et deux réels x et y tels que
2-n-1 < |x - y| 6 2-n . En considérant séparément les sommes avec k 6 n et k > n dans la série ayant
pour valeur f (x) - f (y), montrer que f C .
4
15) Montrer que T laisse invariant H = H 0 C .
16) Soit f C 0 , montrer que
T f (x) = 2
n
-n
n -1
2X
f (k2-n + x2-n ).
k=0
17) Établir, pour f C , l'inégalité suivante :
sup |Tn f (x) -
x[0,1]
Z 1
0
f (t) dt| 6 2-n m (f ).
18) Montrer que si f H alors pour tout entier n, l'inégalité suivante est
vérifiée :
kTn f k 6 21-n kf k .
19) En déduire que l'ensemble des valeurs propres de T est la réunion du
singleton {1}
et du disque fermé de centre 0 et de rayon 2- (phénomène de trou spectral).
Fin du problème
5
