Mines Maths 1 PC 2008

Thème de l'épreuve Translations dans des espaces de fonctions
Principaux outils utilisés réduction des endomorphismes, polynômes, matrices, coefficients de Fourier
Mots clefs translation, sous-espace stable, réduction, Fourier (coefficients)

Corrigé

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A 2008 MATH. I PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2008 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Translations dans des espaces de fonctions La partie III est indépendante des deux premières. I Préliminaires Pour n N, {a0 , a1 , · · · , an } un ensemble de n + 1 complexes distincts et pour i entier compris entre 0 et n, on définit le polynôme Li par : Li (X) = Y X - aj . 06j6n,j6=i ai - aj 1. Montrer que les polynômes Li forment une base de Cn [X]. 2. Écrire la matrice M du système {1, X, X 2 , · · · , X n } dans la base {L0 , L1 , · · · , Ln }. II Fonctions polynomiales Dans cette partie, on note k un entier naturel fixé et E l'espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à k. Pour a C , on définit ta : E - E P - 7 (X 7 P (X + a)). Pour P E, on note d(P ) le polynôme dérivé : d : E - E P - 7 P . Pour k > 2, on pose dk = dk-1 d = d dk-1 . On tiendra pour acquis que ta et d sont des endomorphismes de E. On désignera par B = {e0 , e1 , · · · , ek } la base de E définie par {1, X, X 2 , · · · , X k }. 3. Écrire les matrices, notées respectivement Ta et D, des endomorphismes ta et d dans la base B. 4. En déduire les éléments propres de ces endomorphismes. On donnera les valeurs propres, les espaces propres correspondants ainsi que leurs dimensions. 2 5. Quels sont les sous-espaces vectoriels de E stables par d ? Donner leur nombre. Indication : on pourra considérer un polynôme de degré maximal dans F , sousespace stable. 6. Soit P (X) = système Pk i=0 pi X i un polynôme fixé de degré k (pk 6= 0). Montrer que le d k (P ) d(P ) d2 (P ) , ,··· , P, 1! 2! k! ( ) constitue une base B1 de E. Donner la matrice de passage R de B vers B1 . 7. Pour a C , exprimer les coordonnées du système S = {P (X), P (X + a), P (X + 2a), · · · , P (X + ka)} dans la base B1 . On note U la matrice ainsi obtenue. En déduire que S constitue une base de E qu'on notera B2 . 8. On note Q la matrice de passage de B vers B2 . Exprimer Q en fonction de R et U. 9. Pour a fixé dans C , caractériser les sous-espaces vectoriels de E stables par ta . III Fonctions continues, 2-périodiques Dans cette partie, E désigne l'espace vectoriel des fonctions complexes continues sur R et 2-périodiques. Pour f E, on désignera par cn (f ) la suite (indexée sur Z) des coefficients de Fourier de f : pour tout entier relatif n, 1 Z 2 f (x)e-inx dx. cn (f ) = 2 0 Pour tout entier relatif k, on notera ek la fonction 7 exp(ikx). ek : x - Pour a R et f E, on note ta (f ) la fonctions à valeurs dans C définie ta (f ) : x - 7 f (x + a). Cela nous permet de définir l'endomorphisme ta de E : ta : E - E f- 7 ta (f ). 3 Pour tout réel a, on définit la fonction a par a : Z - C n- 7 exp(ina). 10. Préciser les réels a pour lesquels la fonction a est injective. Dans le cas contraire, montrer que a est périodique. 11. Pour f E, donner les valeurs de la suite cn (ta (f )) en fonction des valeurs prises par la suite cn (f ). 12. Donner les valeurs propres de ta . Caractériser les valeurs de a pour lesquelles les espaces propres de ta sont tous de dimension 1. 13. Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie p > 1 et stable par ta . Soit f F , f non nul, montrer qu'il existe p + 1 scalaires j non tous nuls tels que pour tout entier relatif n, p X j=0 j exp(inaj) cn (f ) = 0. 14. Soit a réel fixé tel que a/ soit irrationnel. Soit f appartenant à F , montrer qu'il existe un entier Nf tel que cn (f ) = 0 pour |n| > Nf . 15. Montrer qu'il existe un entier N tel que pour tout g appartenant à F , cn (g) = 0 pour |n| > N . 16. Soit G le sous-espace vectoriel de E engendré par (ek , k = -N, · · · , N ). Vérifier que F G et G stable par ta . 17. L'endomorphisme ta restreint à G est-il diagonalisable ? 18. Montrer qu'on peut trouver un ensemble fini S d'entiers relatifs tel que F soit le sous-espace vectoriel engendré par les ek pour k décrivant S. Fin du problème 4

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 Mines Maths 1 PC 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Francesco Colonna Romano (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Julien Lévy (Professeur en CPGE) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce problème étudie l'opérateur translation, qui à une fonction ou un polynôme f associe la fonction x 7 f (x+a). Le but est de déterminer ses valeurs propres, vecteurs propres et espaces stables de dimension finie. · La première partie introduit une matrice particulière, qui se révélera utile dans la suite du problème. La deuxième question doit impérativement être résolue pour que l'on puisse réutiliser dans la partie II son résultat, car celui-ci n'est pas donné par l'énoncé. · La deuxième partie étudie l'espace des polynômes à coefficients complexes de degré au plus k, noté Ck [X], et les opérateurs dérivation et translation. Dans les premières questions, on calcule les valeurs propres et espaces propres de ces applications. On détermine ensuite les sous-espaces de Ck [X] laissés stables par chacune d'entre elles. · La troisième partie est indépendante des deux précédentes. Elle présente aussi l'étude de sous-espaces de dimension finie stables par translation, mais l'espace considéré est ici l'ensemble des fonctions continues et 2-périodiques. La démonstration repose sur l'emploi des coefficients de Fourier exponentiels, mais ne demande presque aucune connaissance sur les séries associées (et notamment aucun résultat sur la convergence). Le sujet est découpé en questions assez courtes qui s'enchaînent de manière logique ; il est dès lors très important de suivre et de comprendre la démarche de l'auteur. Le sujet paraîtra agréable, bien construit et modérément difficile pour peu que l'on aborde les parties dans l'ordre, tout en conservant un aperçu global des objectifs du problème. En revanche, chercher à répondre aux questions dans le désordre en grappillant des points sans comprendre le raisonnement d'ensemble risque de se révéler très contre-productif. Indications 1 Que vaut Li (aj ) ? n P 2 Écrire Xk = mik Li (X) et remplacer X par des valeurs bien choisies. i=0 4 Pour trouver les polynômes vérifiant P(X + a) = P(X), considérer une racine de P dans C et voir ce que cela implique sur les autres racines. 5 Considérer la suite des dérivées d'un polynôme de degré maximal dans F. Montrer que cette famille est libre. Quel espace engendre-t-elle ? 6 Quels sont les degrés des polynômes de la famille considérée ? 7 Penser à la formule de Taylor. Remarquer ensuite que la matrice obtenue ressemble à celle de la question 2. Les résultats de la première partie permettent-ils d'affirmer que cette matrice est inversible ? 9 Utiliser le résultat de la question 7. Lorsque P est de degré j, quel est l'espace engendré par la famille {P(X), P(X + a), . . . , P(X + j a)} 12 Pour trouver les valeurs propres, utiliser la formule de la question précédente. En ce qui concerne les vecteurs propres, certains d'entre eux sont censés être évidents : pouvez-vous les citer ? 13 Les ta k (f ) peuvent-ils être linéairement indépendants ? p P 14 Considérer le polynôme P(X) = j Xj , les réels 1 , . . . , p étant ceux définis à j=0 la question 13. Que peut-on dire de ses racines ? 15 Se placer dans une base {f1 , . . . , fp } de F. 16 Pour toute fonction f de F, trouver une fonction g dans G ayant les mêmes coefficients de Fourier que f . Comment conclure que f = g ? Les conseils du jury Le rapport du jury constate que « l'algèbre linéaire reste une partie difficile pour les candidats en PC ». Ces derniers doivent mieux acquérir « les notions fondamentales d'algèbre telles que l'injectivité, les familles libres et génératrices, la traduction en calcul matriciel » et éviter « les maladresses dans les rudiments du calcul élémentaire ». Enfin, le rapport du jury signale « quelques grosses erreurs qu'on ne devrait plus trouver à ce niveau : · diviser par un vecteur ; · exhiber un vecteur propre nul ; · penser qu'une exponentielle peut s'annuler, ou affirmer que e i a > 0 lorsque a est complexe. » I. Préliminaires 1 Remarquons que les polynômes Li sont de degré n, ont pour racines les aj pour j 6= i et vérifient Li (ai ) = 1. Les Li ne sont définis que lorsque les ai sont distincts. Comme on a une famille de n + 1 éléments de Cn [X] qui est lui-même de dimension n + 1, pour montrer qu'il s'agit d'une base, il suffit de démontrer que c'est une famille libre. Soient donc des complexes 0 , . . . , n tels que 0 L0 (X) + · · · + n Ln (X) = 0 En remplaçant X par ai , tous les termes de la somme s'annulent, sauf le ie qui vaut i . D'où i = 0 . Comme ce raisonnement est vrai pour tout i, tous les coefficients sont nuls, la famille est libre, il s'agit d'une base. La famille (Li )i[[ 0 ; n ]] est une base de Cn [X]. Le rapport du jury précise que « beaucoup reconnaissent les polynômes d'interpolation de Lagrange, mais parfois on a beaucoup de mal à justifier qu'ils constituent une base. » 2 Décomposons chaque polynôme Xk dans la base des Li Xk = n P mi,k Li (X) i=0 En remplaçant X par aj il vient mj,k = aj k . On peut alors écrire la matrice M demandée en mettant en colonnes les coordonnées de chacun des polynômes Xk . 1 a0 a0 2 · · · a0 n 1 a1 a1 2 · · · a1 n M = . .. .. .. .. .. . . . . 1 an an 2 · · · an n La famille (1, X, . . . , Xn ) est une base de Cn [X] et (L0 , L1 , . . . , Ln ) aussi. On a donc ici deux bases du même espace. M étant la matrice de passage entre ces deux bases, elle est inversible. Cette matrice s'appelle matrice de Vandermonde, vous l'avez probablement rencontrée dans le chapitre sur les déterminants. Le déterminant de cette matrice vaut det M = (ai - aj ) i